Dev fac 10 Nombres complexes 1.pdf

Dev fac 10
Nombres complexes 1
1 ) On désigne le plan par P. Voici une liste L d’applications f de P dans P déjà connues : symétrie s D par
rapport à une droite D , par rapport à un point I , translation de vecteur u notée t , rotation rot (, ) de
u
centre  et d’angle  . On laisse de côté les projections sur une droite D parallèlement à une droite D’ car
elles n’ont pas les propriétés étudiées ensuite. Lorsque P est muni d’un repère, chacune de ces applications
est définie par des équations qui, avec la notation M ( x, y) et M ' ( x' , y' )  f (M ) , donnent x ' et y ' en
fonction de x et y . Par exemple pour s( x ' x ) ces équations sont x'  x et y'   y . On peut aussi écrire ces
équations sous forme complexe en considérant M (z ) et M ' ( z ' ) , par exemple pour s( x ' x ) on obtient z '  z
ou bien pour t on obtient z '  z  z .
u
u
Pour un point A , on notera souvent dans ce qui suit z A  a. Montrer que l’équation complexe de rot(, )
est z '  e i ( z   )   et en déduire ses équations réelles.
2 ) On dit qu’une application f de P dans P admet une (application) réciproque s’ il existe une application
g de P dans P vérifiant : si f (M )  M ' , alors g (M ' )  M . g est alors souvent notée f 1 et le schéma
suivant est parlant : M
f

1
f

M ' . On prouverait facilement que c’est le cas de toutes les applications de la
liste L. Donner sans preuve la réciproque de chacune de ces applications.
3 ) On dit qu’une application f de P dans P conserve les distances si pour tous points M et N vérifiant
f (M )  M ' et f ( N )  N ' , on a M ' N '  MN . Montrer avec le 1 ), version complexe, que rot(, )
conserve les distances. C’était déjà connu pour les autres applications de la liste L.
Un détail hors-sujet ici est que toute application
f
de P dans P conservant les distances est une composée d’applications de la liste
L, mais ce n’est plus au programme des lycées et il serait long de le prouver.
4 ) Soit f une application de P dans P vérifiant : tout point de P a au moins un antécédent par f . Montrer
que si f conserve les distances, alors elle admet une réciproque. Montrer par ailleurs que si f
conserve les distances, l’image par f d’une droite est une droite (rappel : M  AB   AM  MB  AB )
et que l’image par f d’un cercle est un cercle. On note C(A,r) le cercle de centre A et de rayon r.
5 ) Définition
Soient I un point fixé et k un réel fixé, k  0 . L’inversion f de centre I et de
rapport k est l’application de P dans P qui à tout point M de P, M  I , associe l’unique point M '
vérifiant I , M , M ' alignés et I M .I M '  k (où . est le produit scalaire).
Il importe de noter que sur la droite ( I M ) : plus M est proche de I , plus M ' …
Remarque
L’ensemble des points M invariants par l’inversion est l’ensemble des points M vérifiant
I M .I M  k , soit I M 2  k , c’est-à-dire que c’est C  C ( I , k ) . La donnée de ce cercle contient toute
l’information relative à f d’où la définition alternative d’une inversion : on parle de « l’inversion de cercle
C » ; si C= C ( A, r ) , il s’agit de l’inversion de centre A et de rapport r 2 .
C’est la définition utilisée par Géogébra (icone 8) qui sera nécessaire pour deviner les résultats qui suivent.
Noter que Géogébra qualifie l’inverse d’un point M de « symétrique de M par rapport à C ». Expliquer
pourquoi c’est un peu abusif .
a ) Pour simplifier les calculs (et sans perte de généralité), on utilise dans ce qui suit un repère orthonormé
d’origine I . Noter qu’on a toujours
u.v  Ré ( zu z v ) . Montrer qu’avec ce repère d’origine I
l’équation de l’inversion f de centre I et de rapport k est z ' k / z . (noter que Im ( z '. z )  0 )
b ) Soit D une droite. Montrer que si I  O  D , alors f ()   (où   D  O = D privée de O ).
Que dire de f (D) si O  D ? C’est dur et une figure Géogébra est indispensable. Commencer par tracer
un cercle de centre O (le cercle d’inversion), puis tracer une droite D ne passant pas par O. Placer un point M
sur D (« point sur un objet ») puis tracer son inverse noté N et activer la trace de N avant de faire varier M
sur D. On désignera par H (avec h  z H ) le projeté de O sur D et par H ' son image par f .
c ) Déterminer la réciproque d’une inversion i .
Conjecturer l’image d’un cercle par une inversion.
d ) f est encore l’inversion de pôle O et de rapport k . Soit C un cercle de centre A (on pose a  z A ) et de
rayon r ne passant pas par le pôle O. On rappelle que les affixes des points de C sont les nombres du type


a  reit avec t  0;2  . On pose   k / a  r 2 . Montrer que f ( C ) est contenu dans le cercle de
2
centre  a et de rayon  r . Modifier la conjecture du c ) pour la rendre vraie.
6 ) a ) On considère ici l’inversion de centre le point R (0 ; 1/4 ) et de rapport 1. Tracer la parabole P
d’équation y  x 2 . Comme au 5 ) b), placer un point M sur P (« point sur un objet ») puis tracer son inverse
noté N (le cercle d’inversion est C (R ; 1) ) et activer la trace de N avant de faire varier M sur P. A l’aide du
devoir 8, conjecturer la nature de l’inverse d’une parabole.
b ) Un exercice (essentiel) de seconde Le plan est muni d’un repère orthonormé. On désigne par D la droite
d’équation y = x. Montrer que quels que soient les réels a et b, D est la médiatrice des points L (a,b) et
L’ (b,a). En déduire que les représentations graphiques des fonctions racine et carré, restreinte à
0; , sont symétriques par rapport à D (remarque : ça fonctionne avec n’importe quelle fonction et sa
réciproque (si cette réciproque existe) ).
c ) On se contente d’un cas particulier pour avoir peu de calculs. On considère ici l’inversion f de centre O
et de rapport 1. Soit C la cardioïde du devoir 8. On rappelle qu’il s’agit de l’ensemble des points du type

1 t 2
2t 
 , t  IR . Montrer que f ( C ) est contenue dans la réunion des
M  x(t ) 
; y(t ) 
2 2
2 2 
(
1

t
)
(
1

t
)


représentations graphiques des fonctions g et  g où g est définie par g ( x)  2 1  x , réunion qui est
une parabole (on le montrerait comme au b) ).
Exercice pour qui n’est pas persuadé de l’intérêt des nombres complexes en géométrie : refaire tout ce qui
précède sans les complexes…la vérité étant que le 5 ) ,par exemple, est facilement traitable sans les
complexes…quand on connait un peu de géométrie (voir la correction).