Dev fac 10 Nombres complexes 1 1 ) On désigne le plan par P. Voici une liste L d’applications f de P dans P déjà connues : symétrie s D par rapport à une droite D , par rapport à un point I , translation de vecteur u notée t , rotation rot (, ) de u centre et d’angle . On laisse de côté les projections sur une droite D parallèlement à une droite D’ car elles n’ont pas les propriétés étudiées ensuite. Lorsque P est muni d’un repère, chacune de ces applications est définie par des équations qui, avec la notation M ( x, y) et M ' ( x' , y' ) f (M ) , donnent x ' et y ' en fonction de x et y . Par exemple pour s( x ' x ) ces équations sont x' x et y' y . On peut aussi écrire ces équations sous forme complexe en considérant M (z ) et M ' ( z ' ) , par exemple pour s( x ' x ) on obtient z ' z ou bien pour t on obtient z ' z z . u u Pour un point A , on notera souvent dans ce qui suit z A a. Montrer que l’équation complexe de rot(, ) est z ' e i ( z ) et en déduire ses équations réelles. 2 ) On dit qu’une application f de P dans P admet une (application) réciproque s’ il existe une application g de P dans P vérifiant : si f (M ) M ' , alors g (M ' ) M . g est alors souvent notée f 1 et le schéma suivant est parlant : M f 1 f M ' . On prouverait facilement que c’est le cas de toutes les applications de la liste L. Donner sans preuve la réciproque de chacune de ces applications. 3 ) On dit qu’une application f de P dans P conserve les distances si pour tous points M et N vérifiant f (M ) M ' et f ( N ) N ' , on a M ' N ' MN . Montrer avec le 1 ), version complexe, que rot(, ) conserve les distances. C’était déjà connu pour les autres applications de la liste L. Un détail hors-sujet ici est que toute application f de P dans P conservant les distances est une composée d’applications de la liste L, mais ce n’est plus au programme des lycées et il serait long de le prouver. 4 ) Soit f une application de P dans P vérifiant : tout point de P a au moins un antécédent par f . Montrer que si f conserve les distances, alors elle admet une réciproque. Montrer par ailleurs que si f conserve les distances, l’image par f d’une droite est une droite (rappel : M AB AM MB AB ) et que l’image par f d’un cercle est un cercle. On note C(A,r) le cercle de centre A et de rayon r. 5 ) Définition Soient I un point fixé et k un réel fixé, k 0 . L’inversion f de centre I et de rapport k est l’application de P dans P qui à tout point M de P, M I , associe l’unique point M ' vérifiant I , M , M ' alignés et I M .I M ' k (où . est le produit scalaire). Il importe de noter que sur la droite ( I M ) : plus M est proche de I , plus M ' … Remarque L’ensemble des points M invariants par l’inversion est l’ensemble des points M vérifiant I M .I M k , soit I M 2 k , c’est-à-dire que c’est C C ( I , k ) . La donnée de ce cercle contient toute l’information relative à f d’où la définition alternative d’une inversion : on parle de « l’inversion de cercle C » ; si C= C ( A, r ) , il s’agit de l’inversion de centre A et de rapport r 2 . C’est la définition utilisée par Géogébra (icone 8) qui sera nécessaire pour deviner les résultats qui suivent. Noter que Géogébra qualifie l’inverse d’un point M de « symétrique de M par rapport à C ». Expliquer pourquoi c’est un peu abusif . a ) Pour simplifier les calculs (et sans perte de généralité), on utilise dans ce qui suit un repère orthonormé d’origine I . Noter qu’on a toujours u.v Ré ( zu z v ) . Montrer qu’avec ce repère d’origine I l’équation de l’inversion f de centre I et de rapport k est z ' k / z . (noter que Im ( z '. z ) 0 ) b ) Soit D une droite. Montrer que si I O D , alors f () (où D O = D privée de O ). Que dire de f (D) si O D ? C’est dur et une figure Géogébra est indispensable. Commencer par tracer un cercle de centre O (le cercle d’inversion), puis tracer une droite D ne passant pas par O. Placer un point M sur D (« point sur un objet ») puis tracer son inverse noté N et activer la trace de N avant de faire varier M sur D. On désignera par H (avec h z H ) le projeté de O sur D et par H ' son image par f . c ) Déterminer la réciproque d’une inversion i . Conjecturer l’image d’un cercle par une inversion. d ) f est encore l’inversion de pôle O et de rapport k . Soit C un cercle de centre A (on pose a z A ) et de rayon r ne passant pas par le pôle O. On rappelle que les affixes des points de C sont les nombres du type a reit avec t 0;2 . On pose k / a r 2 . Montrer que f ( C ) est contenu dans le cercle de 2 centre a et de rayon r . Modifier la conjecture du c ) pour la rendre vraie. 6 ) a ) On considère ici l’inversion de centre le point R (0 ; 1/4 ) et de rapport 1. Tracer la parabole P d’équation y x 2 . Comme au 5 ) b), placer un point M sur P (« point sur un objet ») puis tracer son inverse noté N (le cercle d’inversion est C (R ; 1) ) et activer la trace de N avant de faire varier M sur P. A l’aide du devoir 8, conjecturer la nature de l’inverse d’une parabole. b ) Un exercice (essentiel) de seconde Le plan est muni d’un repère orthonormé. On désigne par D la droite d’équation y = x. Montrer que quels que soient les réels a et b, D est la médiatrice des points L (a,b) et L’ (b,a). En déduire que les représentations graphiques des fonctions racine et carré, restreinte à 0; , sont symétriques par rapport à D (remarque : ça fonctionne avec n’importe quelle fonction et sa réciproque (si cette réciproque existe) ). c ) On se contente d’un cas particulier pour avoir peu de calculs. On considère ici l’inversion f de centre O et de rapport 1. Soit C la cardioïde du devoir 8. On rappelle qu’il s’agit de l’ensemble des points du type 1 t 2 2t , t IR . Montrer que f ( C ) est contenue dans la réunion des M x(t ) ; y(t ) 2 2 2 2 ( 1 t ) ( 1 t ) représentations graphiques des fonctions g et g où g est définie par g ( x) 2 1 x , réunion qui est une parabole (on le montrerait comme au b) ). Exercice pour qui n’est pas persuadé de l’intérêt des nombres complexes en géométrie : refaire tout ce qui précède sans les complexes…la vérité étant que le 5 ) ,par exemple, est facilement traitable sans les complexes…quand on connait un peu de géométrie (voir la correction).