Dev fac 10 Nombres complexes 1 1 ) On désigne le plan par P. Voici

Dev fac 10 Nombres complexes 1
1 ) On désigne le plan par P. Voici une liste L d’applications
f
de P dans P déjà connues : symétrie
D
s
par
rapport à une droite
D
, par rapport à un point I , translation de vecteur
u
notée
u
t
, rotation
),( rot
de
centre et d’angle . On laisse de côté les projections sur une droite D parallèlement à une droite D’ car
elles n’ont pas les propriétés étudiées ensuite. Lorsque P est muni d’un repère, chacune de ces applications
est définie par des équations qui, avec la notation
),( yxM
et
)()','(' MfyxM 
, donnent
'x
et
'y
en
fonction de
x
et
y
. Par exemple pour
)'( xx
s
ces équations sont
xx '
et
yy '
. On peut aussi écrire ces
équations sous forme complexe en considérant
)(zM
et
)'(' zM
, par exemple pour
)'( xx
s
on obtient
zz '
ou bien pour
u
t
on obtient
u
zzz '
.
Pour un point
A
, on notera souvent dans ce qui suit
.azA
Montrer que l’équation complexe de
),( rot
est
 )(' zez i
et en déduire ses équations réelles.
2 ) On dit qu’une application
f
de P dans P admet une (application) réciproque s’ il existe une application
g
de P dans P vérifiant : si
')( MMf 
, alors
MMg )'(
.
g
est alors souvent notée
1
f
et le schéma
suivant est parlant :
'
1MM f
f
. On prouverait facilement que c’est le cas de toutes les applications de la
liste L. Donner sans preuve la réciproque de chacune de ces applications.
3 ) On dit qu’une application
f
de P dans P conserve les distances si pour tous points
M
et
N
vérifiant
')( MMf 
et
')( NNf 
, on a
MNNM ''
. Montrer avec le 1 ), version complexe, que
),( rot
conserve les distances. C’était déjà connu pour les autres applications de la liste L.
Un détail hors-sujet ici est que toute application
f
de P dans P conservant les distances est une composée d’applications de la liste
L, mais ce n’est plus au programme des lycées et il serait long de le prouver.
4 ) Soit
f
une application de P dans P vérifiant : tout point de P a au moins un antécédent par
f
. Montrer
que si
f
conserve les distances, alors elle admet une réciproque. Montrer par ailleurs que si
f
conserve les distances, l’image par
f
d’une droite est une droite (rappel :
ABMBAMABM
)
et que l’image par
f
d’un cercle est un cercle. On note C(A,r) le cercle de centre A et de rayon r.
5 ) Définition Soient
I
un point fixé et
k
un réel fixé,
0k
. L’inversion
f
de centre
I
et de
rapport
k
est l’application de P dans P qui à tout point
M
de P,
IM 
, associe l’unique point
'M
vérifiant
',, MMI
alignés et
kMIMI '.
(où . est le produit scalaire).
Il importe de noter que sur la droite
)( MI
: plus
M
est proche de
I
, plus
'M
…
Remarque L’ensemble des points
M
invariants par l’inversion est l’ensemble des points
M
vérifiant
kMIMI .
, soit
kMI 
2
, c’est-à-dire que c’est
),( kICC 
. La donnée de ce cercle contient toute
l’information relative à
f
d’où la définition alternative d’une inversion : on parle de « l’inversion de cercle
C » ; si C=
),( rAC
, il s’agit de l’inversion de centre
A
et de rapport
2
r
.

C’est la définition utilisée par Géogébra (icone 8) qui sera nécessaire pour deviner les résultats qui suivent.
Noter que Géogébra qualifie l’inverse d’un point M de « symétrique de M par rapport à C ». Expliquer
pourquoi c’est un peu abusif .
a ) Pour simplifier les calculs (et sans perte de généralité), on utilise dans ce qui suit un repère orthonormé
d’origine
I
. Noter qu’on a toujours
)(. vu zzRévu 
. Montrer qu’avec ce repère d’origine
I
l’équation de l’inversion
f
de centre
I
et de rapport
k
est
zkz /'
. (noter que
0)'.(Im zz
)
b ) Soit
D
une droite. Montrer que si
DOI 
, alors
)(f
(où
OD
=
D
privée de
O
).
Que dire de
)(Df
si
DO
? C’est dur et une figure Géogébra est indispensable. Commencer par tracer
un cercle de centre O (le cercle d’inversion), puis tracer une droite D ne passant pas par O. Placer un point M
sur D (« point sur un objet ») puis tracer son inverse noté N et activer la trace de N avant de faire varier M
sur D. On désignera par
H
(avec
H
zh 
) le projeté de
O
sur
D
et par
'H
son image par
f
.
c ) Déterminer la réciproque d’une inversion i .
Conjecturer l’image d’un cercle par une inversion.
d )
f
est encore l’inversion de pôle O et de rapport
k
. Soit C un cercle de centre A (on pose
A
za 
) et de
rayon
r
ne passant pas par le pôle O. On rappelle que les affixes des points de C sont les nombres du type
it
rea
avec
2;0t
. On pose
2
2
/rak 
. Montrer que
f
( C ) est contenu dans le cercle de
centre
a
et de rayon
r
. Modifier la conjecture du c ) pour la rendre vraie.
6 ) a ) On considère ici l’inversion de centre le point R (0 ; 1/4 ) et de rapport 1. Tracer la parabole P
d’équation
2
xy 
. Comme au 5 ) b), placer un point M sur P (« point sur un objet ») puis tracer son inverse
noté N (le cercle d’inversion est C (R ; 1) ) et activer la trace de N avant de faire varier M sur P. A l’aide du
devoir 8, conjecturer la nature de l’inverse d’une parabole.
b ) Un exercice (essentiel) de seconde Le plan est muni d’un repère orthonormé. On désigne par D la droite
d’équation y = x. Montrer que quels que soient les réels a et b, D est la médiatrice des points L (a,b) et
L’ (b,a). En déduire que les représentations graphiques des fonctions racine et carré, restreinte à
;0
, sont symétriques par rapport à D (remarque : ça fonctionne avec n’importe quelle fonction et sa
réciproque (si cette réciproque existe) ).
c ) On se contente d’un cas particulier pour avoir peu de calculs. On considère ici l’inversion
f
de centre O
et de rapport 1. Soit C la cardioïde du devoir 8. On rappelle qu’il s’agit de l’ensemble des points du type
2222
2
)1( 2
)(;
)1(1
)( tt ty
tt
txM
,
IRt
. Montrer que
f
( C ) est contenue dans la réunion des
représentations graphiques des fonctions
g
et
g
où
g
est définie par
xxg  12)(
, réunion qui est
une parabole (on le montrerait comme au b) ).
Exercice pour qui n’est pas persuadé de l’intérêt des nombres complexes en géométrie : refaire tout ce qui
précède sans les complexes…la vérité étant que le 5 ) ,par exemple, est facilement traitable sans les
complexes…quand on connait un peu de géométrie (voir la correction).