GLMA403 - FICHE N◦ 3A CPUS 2013-2014 ANNEAUX EXERCICE 1. Soit A l’ensemble des fonctions de R dans R. 1) Montrer que (A, +, ×) est un anneau. 2) Montrer que l’ensemble A× des inversibles de (A, +, ×) est l’ensemble des fonctions qui ne s’annulent pas. 3) Montrer que (A, +, ◦) n’est pas un anneau. EXERCICE 2. Soit A un anneau. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneau de Z dans A. EXERCICE 3. Trouver tous les morphismes d’anneau de Z × Z dans Z (indication : les éléments (1, 0) et (0, 1) vérifient x2 = x). EXERCICE 4. Soit f un morphisme d’anneau de Q dans Q. 1) Montrer que ∀n ∈ Z, f (n) = n. 1 1 ∗ 2) Montrer que ∀n ∈ Z , f = . n n 3) Montrer que f = idQ . EXERCICE 5. Soit f un morphisme d’anneau de R dans R. 1) Montrer que f (R+ ) ⊆ R+ . 2) Montrer que f est croissante. 3) Montrer que f|Q = idQ . 4) En déduire que f = idR . EXERCICE 6. Soit A un anneau. 1) Soit x ∈ A. Montrer que pour tout n ∈ N, on a (1 − x)(1 + x + . . . + xn ) = 1 − xn+1 . n X n k n−k n x y . 2) Soient x, y ∈ A qui commutent. Montrer que pour tout n ∈ N, on a (x + y) = k k=0 3) Donner un contre-exemple à la formule du binôme lorsque x et y ne commutent pas, par exemple dans A = M2 (R). EXERCICE 7. √ Si I est un idéal de A, anneau commutatif, on appelle racine ou radical de I, et l’on note I l’ensemble : √ {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ I}. Montrer que I est un idéal de A, qui contient I. EXERCICE 8. Soit I = {P ∈ R[X] | P (0) = 0}. 1) Montrer que I est un idéal de R[X]. R[X] → R 2) Montrer que f : est un morphisme d’anneau. P 7→ P (0) 3) Montrer que R[X]/I est isomorphe à R. EXERCICE 9. Soit I = {P ∈ R[X] | X 2 + 1|P }. Montrer que R[X]/I est isomorphe à C. GLMA403 - FICHE N◦ 3B CPUS 2013-2014 ANNEAUX ET CORPS EXERCICE 10. Soit (A, +, ×) un anneau tel que ∀x ∈ A, x3 = x. 1. Montrer que ∀x ∈ A, 3x2 = 3x. 2. Montrer que ∀x, y ∈ A, 3xy = 3yx. 3. Pour x, y ∈ A, calculer (x + y)3 − (x − y)3 et montrer que A est commutatif. EXERCICE 11. Soit (A, +, ×) un anneau. Soit a ∈ A, on suppose qu’il existe un unique b ∈ A tel que ab = 1. Montrer que a est inversible. EXERCICE 12. Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A. Montrer que A/I est intègre si et seulement si I vérifie la condition suivante : si x, y ∈ A et xy ∈ I alors x ∈ I ou y ∈ I. EXERCICE 13. Soit A un anneau commutatif. 1) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents de A forme un idéal I de A. 2) Montrer que l’anneau quotient A/I ne possède pas d’élements nilpotents non nuls. EXERCICE 14. Montrer que si K est un corps, alors K[X] est un anneau intègre. EXERCICE 15. 1) Soit K un corps. Déterminer les idéaux de K. 2) Déterminer les idéaux de R2 . 3) Soit K un corps et n ∈ N∗ . Déterminer les idéaux de K n . EXERCICE 16. Soit A un anneau intègre de cardinal fini. 1) Montrer que, si x ∈ A\{0}, alors a 7→ xa et x 7→ ax sont des applications bijectives de A dans A. 2) En déduire que x est inversible puis que A est un corps. EXERCICE 17. a b ∈ M2 (C) telles que d = a et c = −b. Soit H l’ensemble des matrices c d Montrer que H est un corps non commutatif.