GLMA403 - FICHE N 3A CPUS 2013

GLMA403 - FICHE N◦3A CPUS 2013-2014
ANNEAUX
EXERCICE 1.
Soit Al’ensemble des fonctions de Rdans R.
1) Montrer que (A, +,×) est un anneau.
2) Montrer que l’ensemble A×des inversibles de (A, +,×) est l’ensemble des fonctions qui ne s’annulent pas.
3) Montrer que (A, +,◦) n’est pas un anneau.
EXERCICE 2.
Soit Aun anneau. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneau de Zdans A.
EXERCICE 3.
Trouver tous les morphismes d’anneau de Z×Zdans Z(indication : les ´el´ements (1,0) et (0,1) v´erifient x2=x).
EXERCICE 4. Soit fun morphisme d’anneau de Qdans Q.
1) Montrer que ∀n∈Z, f(n) = n.
2) Montrer que ∀n∈Z∗, f 1
n=1 n.
3) Montrer que f= idQ.
EXERCICE 5.
Soit fun morphisme d’anneau de Rdans R.
1) Montrer que f(R+)⊆R+.
2) Montrer que fest croissante.
3) Montrer que f|Q= idQ.
4) En d´eduire que f= idR.
EXERCICE 6.
Soit Aun anneau.
1) Soit x∈A. Montrer que pour tout n∈N, on a (1 −x)(1 + x+. . . +xn)=1−xn+1.
2) Soient x, y ∈Aqui commutent. Montrer que pour tout n∈N, on a (x+y)n=
n
X
k=0 n
kxkyn−k.
3) Donner un contre-exemple `a la formule du binˆome lorsque xet yne commutent pas, par exemple dans A=M2(R).
EXERCICE 7.
Si Iest un id´eal de A, anneau commutatif, on appelle racine ou radical de I, et l’on note √Il’ensemble :
{x∈A| ∃n∈N∗, xn∈I}. Montrer que √Iest un id´eal de A, qui contient I.
EXERCICE 8.
Soit I={P∈R[X]|P(0) = 0}.
1) Montrer que Iest un id´eal de R[X].
2) Montrer que f:R[X]→R
P7→ P(0) est un morphisme d’anneau.
3) Montrer que R[X]/I est isomorphe `a R.
EXERCICE 9.
Soit I={P∈R[X]|X2+ 1|P}. Montrer que R[X]/I est isomorphe `a C.

GLMA403 - FICHE N◦3B CPUS 2013-2014
ANNEAUX ET CORPS
EXERCICE 10.
Soit (A, +,×) un anneau tel que ∀x∈A, x3=x.
1. Montrer que ∀x∈A, 3x2= 3x.
2. Montrer que ∀x, y ∈A, 3xy = 3yx.
3. Pour x, y ∈A, calculer (x+y)3−(x−y)3et montrer que Aest commutatif.
EXERCICE 11.
Soit (A, +,×) un anneau. Soit a∈A, on suppose qu’il existe un unique b∈Atel que ab = 1.
Montrer que aest inversible.
EXERCICE 12.
Soient Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. Montrer que A/I est int`egre si et seulement si Iv´erifie la
condition suivante : si x, y ∈Aet xy ∈Ialors x∈Iou y∈I.
EXERCICE 13.
Soit Aun anneau commutatif.
1) Montrer que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de Aforme un id´eal Ide A.
2) Montrer que l’anneau quotient A/I ne poss`ede pas d’´elements nilpotents non nuls.
EXERCICE 14.
Montrer que si Kest un corps, alors K[X] est un anneau int`egre.
EXERCICE 15.
1) Soit Kun corps. D´eterminer les id´eaux de K.
2) D´eterminer les id´eaux de R2.
3) Soit Kun corps et n∈N∗. D´eterminer les id´eaux de Kn.
EXERCICE 16.
Soit Aun anneau int`egre de cardinal fini.
1) Montrer que, si x∈A\{0}, alors a7→ xa et x7→ ax sont des applications bijectives de Adans A.
2) En d´eduire que xest inversible puis que Aest un corps.
EXERCICE 17.
Soit Hl’ensemble des matrices a b
c d ∈ M2(C) telles que d=aet c=−b.
Montrer que Hest un corps non commutatif.