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Mines 2 2002 MP 1
(version dimanche 19 mai 2002 : 6h46)
CONCOURS COMMUN MINES 23 avril 2002 8h-12h : Math´ematiques deuxi`eme ´epreuve Fili`ere MP
Il est conseill´e aux candidats de lire le probl`eme en entier. Les deuxi`eme et quatri`eme parties peuvent ˆetre
abord´eeS ind´ependamment des parties pr´ec´edentes.
Le crible d’´
Eratosth`ene donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou non. Il est par suite
possible d’indexer la suite des nombres premiers pi, i = 1,2, ... :p1= 2, p2= 3, p3= 5; ...
Dans tout le probl`eme le lettre pest r´eserv´ee aux nombres premiers. ´
Etant donn´e un r´eel x, sa partie enti`ere [x]
est l’entier nqui v´erifie la double in´egalit´e suivante : [x] = n≤x < n + 1.
´
Etant donn´e un r´eel x, sup´erieur ou ´egal `a 2, (x≥2), il existe un entier N´egal au rang de plus grand nombre
premier pNinf´erieur ou ´egal `a x,pN= sup{p|p≤x}
Premi`ere partie
Le but de cette partie est de d´emontrer que la suite des nombres premiers est illimit´ee et d’´etudier la nature de
ls s´erie de terme g´en´eral 1
pi, i = 1,2, ...
(I-1)
La suite des nombres premiers est illimit´ee : D´emontrer que la suite des nombres premiers est illimit´ee
en consid´erant, par exemple, pour nnombres premiers p1, p2, ..., pndonn´es, l’entier Qd´efini `a partir de ces n
nombres premiers par la relation suivante : Q=p1.p2....pn+ 1 =
n
Y
i=1
pi+ 1.
Dans toute la suite nest un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 (n≥2), sun r´eel donn´e strictement positif (s > 0=.
(I-2
Ensemble Mn:
(I-2-a)
Justifier la relation suivante 1−1
ns−1=
∞
X
k=0
1
nks .
(I-2-b)
Soient aet bdeux entiers diff´erents l’un de l’autre, tous les deux sup´erieurs ou ´egaux `a 2 (a6=b, a ≥2, b ≥2)
; d´emontrer que la s´erie double de terme g´en´eral ui,j , i = 0,1,2, ..., j = 0,1,2, ..., d´efini par la relation
suivante ui,j =1
aisbjs , i = 0,1,2, ..., j = 0,1,2, ... est sommable. D´eterminer sa somme S.
Soient p1, p2, ..., pnles npremiers nombres premiers, Mnl’ensemble des r´eels obtenus en consid´erant tous les
produits des r´eels (p1)s,(p2)s, ..., (pn)s´elev´es `a des exposants αi, 1 ≤ileqn, entiers positifs ou nuls. Mn={m|m=
(p1)sα1.(p2)sα2...(pn)sαn, αi∈N}.
(I-2-c)
D´emontrer que l’application (α1, α2, ..., αn)7→ (p1)sα1.(p2)sα2...(pn)sαn, de Nndans Mnest injective. En
d´eduire qu’il est possible d’indexer les r´eels mdans l’ordre croissant : l’application i7→ miest strictement
croissante de N∗sur Mn.
Exemple : ´ecrire la suite des 12 premiers termes de la suite (mi)iinN∗lorsque le r´eel sest ´egal `a 1 et l’entier n
´egal `a 2 puis `a 3.
Il est admis que la s´erie de terme g´en´eral νi=1
mi,⊂∈ N∗est convergente ; sa somme est d´esign´ee par le symbole
X
m∈Mn
m−1. Comme le laisse pr´esager l’anin´eA b, le r´esultat plus g´en´eral ci-apr`es est vrai et admis :
n
Y
i=1 1−1
(pi)s−1=
X
m∈Mn
m−1=
∞
X
i=1
1
mi
.
Soit fnla fonction d´efinie sur la demi-droite ouverte ]0,+∞[ par la relation suivante fn(s) =
n
Y
i=1 1−1
(pi)s−1.
Soit Nle rang du plus grand nombre premier inf´erieur `a n(N= sup{i|pi≤n}.
(I-2-d)
D´emontrer la relation suivante :
n
X
k=1
1
ks≤
N
Y
i=1 1−1
(pi)s−1.
Retrouver, en donnant une valeur particuli`ere au r´eel s, le r´esultat : la suite des entiers premiers est illimit´ee.
D´eterminer en supposant le r´eel sinf´erieur ou ´egal `a 1 (0 < s ≤1), la limite lorsque l’entier ntend vers l’infini,
de l’expression fn(s) introduite ci-dessus.
Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimit´ee, qu’`a tout r´eel xsup´erieur ou ´egal `a 2 (x≥2),
peut-ˆetre associ´e un entier Ntel que le r´eel xsoit encadr´e par les nombres premiers pNet pN+1 :pN≤x < pN+1.
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