Agrégation interne : séance du 22/09/2010

Agr´egation interne : s´eance du 22/09/2010 - anneaux et corps
Cette s´eance est consacr´ee aux anneaux et aux corps. On ne reviendra donc pas sur les notions relatives
aux groupes qu’il est toutefois conseill´e de revoir. Cette fiche d’exercices n’est ni une fiche d’exercices sur
les groupes , ni sur les polynˆomes et fractions rationnelles , ni sur l’arithm´etique. Mais ces notions sont
´egalement `a revoir et pourront ˆetre utiles.
Premi`ere partie : anneaux
1) Soit A un anneau et I un id´eal `a gauche de A. Montrer que si I contient un ´el´ement inversible de A,
alors I=A. Donner tous les id´eaux de l’anneau (R,+,×).
2) Montrer que l’ensemble des ´el´ements inversibles d’un anneau (A,+,·) forme un groupe pour la loi ·.
Donner l’ensemble des ´el´ements inversibles des anneaux (R,+,×), (Z,+,×), (Z/6Z,+,×)
3) Soit A un anneau, aun ´el´ement nilpotent de A (i.e. il existe ndans N∗tel que an=0). Montrer que
1-aest inversible et calculer son inverse.
4) Soit A un anneau et a, b deux ´el´ements de A. Montrer que si a·best nilpotent, alors b·al’est aussi
5) Soit Aun anneau tel que pour tout (x, y) dans A2, (xy)2=x2y2.
a) Montrer que pour tout (x, y) dans A2,xyx=x2y=yx2. b) En d´eduire que Aest commutatif.
6) Soit Aun anneau principal (i.e. un anneau int`egre tel que pour tout id´eal I de A, il existe xdans A
tel que I=x·A={x·a, a ∈A}). Soit (In)n∈Nune suite croissante (pour l’inclusion) d’id´eaux de A. Montrer
que la suite (In)n∈Nest stationnaire (i.e. constante `a partir d’un certain rang).
7) Soit Iun id´eal d’un anneau commutatif (A,+,·). On appelle radical de I, l’ensemble not´e R(I)={x∈
A| ∃n∈N, xn∈I}.
a) Montrer que le radical d’un id´eal est un id´eal.
b) Montrer que pour Iet Jid´eaux de A, on a R(I∩J)=R(I)∩R(J).
c) Montrer que si Iest un id´eal de A, alors R(R(I))=R(I).
d) D´eterminer le radical d’un id´eal de Z.
8) Soient (A, +,·) un anneau commutatif et eun ´el´ement idempotent de Aid est un ´el´ement de Atel
que e2=e.
a) Montrer que J={x∈A|x·e= 0}est un id´eal de A.
b) On note I=A·el’id´eal principal engendr´e par e. D´eterminer I+Jet I∩J.
c) Etablir que pour tout id´eal Kde A: (K∩I)+(K∩J) = K.
9) Soit ddans N. On note Ao=Z2et pour ddans N∗,Ad={(x, y)∈Z2|x≡y modulo d}.
a) Montrer que Adest un sous-anneau de (Z2,+,×).
b) Soit Aun sous-anneau de (Z2,+,×). Montrer que H={x∈Z|(x, 0) ∈A}est un sous-groupe de
(Z,+). En d´eduire qu’il existe ddans Ntel que A=Ad.
10) Soit Aun anneau tel que : pour tout xdans A,x3=x.
a) Montrer que : pour tout xdans A, 6x= 0.
b) Soient B={x∈A|2x= 0},C={x∈A|3x= 0}. Montrer que : A=B+C.
11)a) Z[X] est-il principal ? b) Soit Aun anneau commutatif. Montrer que A[X] est principal si et
seulement Aest un corps.
12) Anneau noeth´erien : Soit (A,+,·) un anneau commutatif suppos´e noeth´erien , c’est-`a-dire tel que
pour tout id´eal Ide A, il existe kdans IN∗et (x1, x2, ..., xk) dans Aktels que :

I=x1·A+... +xk·A={Pk
i=1 xi·ai,(a1, a2, ..., ak)∈Ak}
On dit alors que tout id´eal de Aest engendr´e par un nombre fini d’´el´ements.
a) On suppose ici (A,+,·) noeth´erien.
i) Soit (In)n∈IN une suite croissante (pour l’inclusion) d’id´eaux de A. Montrer que ∪n∈IN Inest un id´eal
de A.
ii) Montrer que cette suite d’id´eaux ne peut-ˆetre strictement croissante.
b) On suppose qu’il n’existe pas de suite strictement croissante d’id´eaux de A. Soit Iun id´eal de A.
Montrer que Iest engendr´e par un nombre fini d’´el´ements. c) Conclure.
13) Le probl`eme du cuisinier chinois
Une bande de dix-sept pirates s’est empar´ee d’un butin compos´e de pi`eces d’or d’´egale valeur. Ils d´ecident
de se les partager ´equitablement et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors trois pi`eces.
Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tu´es. Le cuisinier recevrait alors quatre pi`eces. Dans
un naufrage ult´erieur , seuls le butin , six pirates et le cuisinier chinois sont sauv´es et le partage laisserait
cinq pi`eces d’or `a ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier lorsqu’il d´ecide
d’empoisonner le reste des pirates ?
14) Le corps des quaternions
On d´efinit l’ensemble des quaternions par : H= M(a, b, c, d) = 
a−b−c−d
b a −d c
c d a −b
d−c b a
|(a, b, c, d)∈R4
.
a) Montrer que Hest un espace vectoriel r´eel dont on donnera la dimension.
b) On pose I=M(0,1,0,0), J=M(0,0,1,0) et K=M(0,0,0,1). Calculer les produits X·Ypour X
et Ydans {I, J, K}2.
c) Montrer que (H,+,·) est un corps non commutatif.
d) D´eterminer le centre du corps Hi.e l’ensemble des Mdans Htels que : pour tout Ndans H,
M·N=N·M.
e)i) D´eterminer un isomorphisme entre le corps (R,+,·) et un sous-corps de H.
ii) D´eterminer un isomorphisme entre le corps (C,+,·) et un sous-corps de H.
iii) Montrer que le polynˆome X2+I4de H[X] admet au moins 6 racines dans le corps H. Ceci vous
semble-t-il possible ?
iv) Montrer que le corps Hest aussi isomorphe `a A(u, v) = u v
−¯v¯u|(u, v)∈C2.
f) On d´efinit le conjugu´e de M(a, b, c, d) par M(a, b, c, d) = M(a, −b, −c, −d).
i) Montrer que pour tout (A, B) dans H2,AB =B·A.
ii) On d´efinit pour Adans H,N(A) = AA. Etablir que pour tout (A, B) dans H2,N(AB) = N(A)N(B).
g) On pose S4={n∈N| ∃(a, b, c, d)∈Z4, n =a2+b2+c2+d2}. Montrer que S4est stable par produit.
15) Soit (A, +,·) un anneau tel que : pour tout (x, y) de A2, (xy −yx)2=xy −yx
( N.B. xy d´esigne x·y).
a) Montrer que : pour tout (x, y) de A2,yx = 0 =⇒xy = 0.
b) Montrer que : pour tout xde A,x2=x=⇒(∀y∈A,xy =yx).
c) Montrer que : pour tout (x, y) de A2,xy −yx =yx −xy.
d) Montrer que : pour tout (x, y) de A2,x2y=yx2.
e) Soit (x, y) dans A2, calculer (xy −y)2. En d´eduire que : pour tout (x, y) de A2, (xy)2=(yx)2.
f) Montrer que : pour tout (x, y) de A2,xy −yx =xy(xy −yx)−yx(yx −xy).
g) En d´eduire que l’anneau Aest commutatif.
16) Un anneau Aest dit r´egulier si : pour tout adans A, il existe udans Atel que : a·u·a=a.
a) Un corps est-il r´egulier ? Zest-il r´egulier ?
b) Trouver une CNS pour que Z/nZsoit r´egulier.
c) Montrer que si Eest un K-espace vectoriel de dimension finie , L(E) est r´egulier.

d) Soit Adans Mn(K) telle que ai,i+1=1 pour 1 6i6n−1 et ai,j =0 sinon. Trouver une matrice U
dans Mn(K) telle que AUA = 0.
e) Montrer que le centre d’un anneau r´egulier est r´egulier.
17) Entiers de Gauss
Pr´eliminaires : Soit (A,+,·) un anneau int`egre.
1) Soit I l’ensemble des ´el´ements inversibles de l’anneau A. Montrer que (I,·) est un groupe.
2) Soit adans A. On dit que aest irr´eductible s’il n’est pas inversible et s’il v´erifie la propri´et´e (P) :
pour tout (b, c) dans A2, ( a=b·c=⇒b∈I ou c∈I ).
Quels sont les ´el´ements irr´eductibles de l’anneau (Z, +, ·) ?
Dans la suite du probl`eme, G d´esigne l’ensemble des entiers de Gauss d´efini par
G={z∈C,∃(m, n)∈Z2tel que z=m+i·n}.
A.1) On munit G de l’addition + et de la multiplication ·des complexes.
Montrer que (G, +, ·) est un anneau int`egre.
2) Soit ϕ: G −→ Z
z7−→ | z|2
a) α) Montrer que ϕest `a valeurs dans N.
β) Montrer que pour tout (z, z0) dans G2,ϕ(z·z0)= ϕ(z)·ϕ(z0).
γ)ϕest-il un morphisme de groupes de (G,+) dans (Z,+) ?
δ) D´eterminer ϕ−1({0}).
b) Soit I l’ensemble des ´el´ements inversibles de l’anneau (G, +, ·).
α) D´eterminer ϕ(I). β) D´eterminer I.
3)a)α) Montrer que si zdivise xdans G, alors |z|2divise |x|2dans Z.
β) Les ´el´ements suivants sont-ils irr´eductibles dans G : 2, 3, 3+2i, 3+i?
b) Soit zdans G.
α) Montrer que si |z|2est un nombre premier, alors zest irr´eductible dans G.
β) La r´eciproque est-elle vraie ?
c) Soit pun nombre premier. Montrer que : pest non irr´eductible dans G si et seulement il existe deux
entiers naturels non nuls aet btels que p=a2+b2.
d) Montrer que si pest un nombre premier congru `a 3 modulo 4, alors pest irr´eductible dans G.
B.1)a) Soient uet vdeux r´eels.
α) Montrer qu’il existe deux entiers αet βtels que |u-α|61/2 et |v-β|61/2.
β) En d´eduire que si zest dans C, il existe γdans G tel que |z−γ|261/2.
b)α) Soient aet bdeux ´el´ements de G avec bnon nul. Prouver l’existence de qet rdans G tels que
a=b·q+ret |r|2<|b|2.
β) Le couple (q, r) trouv´e `a la question pr´ec´edente est-il unique ?
2) Soit J un id´eal non nul de G.
a) Montrer que ϕ(J\{0}) admet un plus petit ´el´ement not´e m.
b) Montrer qu’il existe bdans J tel que J=b·G o`u par d´efinition b·G={b·g,g∈G}.
On dit alors que l’anneau G est principal.
18) Soit A un anneau dans lequel pour tout ade A, a2=a.
1) Montrer que pour tout ade A, 2a=0.
2) En d´eduire que A est commutatif.
3) Montrer que pour tout (x, y, z) de A3,
(x+y)z= 0 ´equivaut `a ( x(y+ 1)z= 0 et (x+ 1)yz = 0 ).
19) R´esolution d ’une ´equation diophantienne `a l’aide d’un anneau
Soit nun entier naturel non nul tel que nne soit pas un carr´e parfait.
On s’int´eresse `a la recherche de tous les couples d’entiers naturels non nuls (a,b) tels que
a2-n b2=1. On note (E) cette ´equation.

A. Soit Z[√n]={z∈R,∃(a, b)∈Z2z=a+b√n}. On munit cette ensemble de l’addition et de la
multiplication des r´eels.
1) Montrer que si a, b, c, d sont des rationnels tels que a+b√n=c+d√nalors a=cet b=d.
2) Montrer que Z[√n] est un anneau.
3) Pour tout ´el´ement zde Z[√n], on d´efinit ¯z=a−b√net N(z)=z·¯z.
Montrer que si zest dans Z[√n], N(z) est un entier.
Montrer que l’application qui `a zassocie ¯zest un automorphisme de l’anneau Z[√n] pour les lois d´efinies
auparavant et que N(z·z0)= N(z)·N(z0) pour tout couple (z, z0) d’´el´ements de Z[√n].
B. Soit G l’ensemble des ´el´ements inversibles de l’anneau Z[√n].
1) Montrer que G est un groupe pour la multiplication.
2) Montrer qu’un ´el´ement zde Z[√n] est dans G si et seulement si ( N(z)=1 ou N(z)=-1 ).
3) Soit aet bdeux entiers et z=a+b√n. On suppose zdans G. Montrer :
a) Si aet bsont positifs alors z>1.
b) Si aet bsont n´egatifs alors z6-1.
c) Si a·best n´egatif alors |z|61.
Soit H l’ensemble des ´el´ements zde G tels que z>1. On suppose dans la suite de la partie B que H est
non vide.
4) Soit a, b, c, d quatre entiers, z=a+b√n,z0=c+d√n. On suppose zet z0´el´ements de H. Montrer
que a<c si et seulement si b<d.
En d´eduire l’existence d’un plus petit ´el´ement pour H not´e µ.
Calculer µpour n= 2.
5) Montrer que pour tout ´el´ement hde H, il existe un entier naturel ptel que µp6h<µp+1 puis montrer
que h=µp.
En d´eduire H={µp, p ∈N∗}.
6) En d´eduire toutes les solutions de (E) en fonction de µ.
Si n= 2 d´eterminer toutes les solutions de (E) telles que a6100 et b6100.
C. 1)a) Soit mun entier naturel non nul. Montrer qu’il existe m+ 1 r´eels distincts du type b√n-adans
Z[√n] avec 06b6met 06b√n-a<1.
b) En d´eduire l’existence d’un ´el´ement a−b√nde Z[√n] v´erifiant |a−b√n|<1/met 0<b6m.
c) Montrer que pour cet ´el´ement |a2-n b2|<1+2√n.
2) Montrer que l’in´equation |a2-n b2|<1+2√nadmet une infinit´e de solutions dans Z2.
3)a) Montrer qu’il existe un entier ktel que l’´equation a2-n b2=kposs`ede une infinit´e de solutions.
b) En d´eduire l’existence d’entiers k, a, a0, b, b0tels que a2-nb¸2=a02-n b02=ket kdivise a−a0et b−b0.
c) Parmi les ´el´ements pr´ec´edents montrer que A=aa0−nbb0
ket B=ab0−ba0 ksont des entiers v´erifiant
A2-n B2=1.
4) En d´eduire que H est toujours non vide et que l’´equation (E) admet une infinit´e de solutions.
5) Montrer que l’´equation (E’) a2−11 b2=-1 n’admet pas de solution dans Z2.
20) Unit´es d’un anneau
On veut prouver qu’il n’existe pas d’anneau commutatif avec exactement cinq ´el´ements inversibles.
On suppose que (A, +,·) convient.
1) Prouver que (A×,·) est cyclique.
2) Montrer que dans A, 2=0.
3) Soit αun g´en´erateur de A×. On note x= 1 + α2+α3. Calculer x3.
4) Montrer que x= 1.
5) En d´eduire une contradiction.
21) De bons entiers
On cherche tous les entiers n,sup´erieurs ou ´egaux `a 2,tels que pour tout adans Z,an+1 ≡a[n]. Un tel
entier est appel´e bon.

a) Montrer que si nest un bon entier alors il n’existe pas de nombre premier ptel que p2divise n.
b) Prenons un entier nde la forme n=p1p2. . . pro`u les nombres premiers p1, ..., prsont tels que
p1< ... < pr.
i) Montrer que : nest bon si et seulement si ( pour tout idans {1, ..., r},pi−1|n).On admettra que
((Z/pZ)×,·)est cyclique.
ii) Montrer que : nest bon si et seulement si ( pour tout idans {1, ..., r},pi−1|p1p2. . . pi−1).
Dans la suite on suppose que nest bon.
iii) En d´eduire que p1=2.
iv) En d´eduire que p2=3 si r>2.
v) En d´eduire que p3=7 si r>3.
vi) En d´eduire que p4=43 si r>4.
vii) Montrer que r>5 est impossible.
c) Quels sont tous les bons entiers ?
Seconde partie : corps
22) On d´efinit dans Rdeux lois Let Npar : xLy=x+y−1
xNy=x+y−xy
Montrer que (R,L,N) est un corps commutatif. V´erifier que x7−→ 1−xest un isomorphisme de corps
de (R,+,×) sur (R,L,N).
23) Trouver tous les corps Ktels que pour tout anon nul dans K:a−1=a.
24) Soit A un anneau commutatif, montrer que :
( A est un corps ) ⇐⇒ ({0}et A sont les seuls id´eaux de A et 06=1 )
25) Prouver que tout anneau fini int`egre est un corps.
26) Montrer que le seul automorphisme du corps Qest l’identit´e.
27) D´eterminer tous les automorphismes du corps R.
28) Montrer que tout sous-anneau du corps Qest un anneau principal.
29) Soient Ket Ldeux corps, f:K−→ Lun morphisme de corps. Montrer que fest injectif.
30) Quels sont les id´eaux d’un corps ?
31) Soient Kun corps commutatif et fini. Calculer le produit des ´el´ements non nuls du corps.
32) Soient Fun sous-corps de Q. Montrer que : F=Q.
33)a) Soit pun nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 3. On consid`ere l’´equation (E) sur Z/pZ:
x2+ax +b= 0.
Montrer que (E) poss`ede des racines si et seulement si a2−4best un carr´e dans Z/pZ.
b)i) On suppose que ps’´ecrit 3u+ 1. Montrer qu’il existe adans Z/pZ∗tel que au6= 1.
ii) En d´eduire que -3 est un carr´e dans Z/pZ.
34) Soit Q(√2) l’ensemble des complexes de la forme a+b√2 avec aet brationnels. Montrer que c’est
un sous-corps de Cet en d´eterminer tous les automorphismes.
35) a) Montrer que X3−2 est irr´eductible dans Q[X].