Agrégation interne : séance du 22/09/2010

Agrégation interne : séance du 22/09/2010 - anneaux et corps
Cette séance est consacrée aux anneaux et aux corps. On ne reviendra donc pas sur les notions relatives
aux groupes qu’il est toutefois conseillé de revoir. Cette fiche d’exercices n’est ni une fiche d’exercices sur
les groupes , ni sur les polynômes et fractions rationnelles , ni sur l’arithmétique. Mais ces notions sont
également à revoir et pourront être utiles.
Première partie : anneaux
1) Soit A un anneau et I un idéal à gauche de A. Montrer que si I contient un élément inversible de A,
alors I=A. Donner tous les idéaux de l’anneau (R,+,×).
2) Montrer que l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau (A,+,·) forme un groupe pour la loi ·.
Donner l’ensemble des éléments inversibles des anneaux (R,+,×), (Z,+,×), (Z/6Z,+,×)
3) Soit A un anneau, a un élément nilpotent de A (i.e. il existe n dans N∗ tel que an =0). Montrer que
1-a est inversible et calculer son inverse.
4) Soit A un anneau et a, b deux éléments de A. Montrer que si a · b est nilpotent, alors b · a l’est aussi
5) Soit A un anneau tel que pour tout (x, y) dans A2 , (xy)2 =x2 y 2 .
a) Montrer que pour tout (x, y) dans A2 , xyx=x2 y=yx2 . b) En déduire que A est commutatif.
6) Soit A un anneau principal (i.e. un anneau intègre tel que pour tout idéal I de A, il existe x dans A
tel que I=x·A={x · a, a ∈ A} ). Soit (In )n∈N une suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de A. Montrer
que la suite (In )n∈N est stationnaire (i.e. constante à partir d’un certain rang).
7) Soit I un idéal d’un anneau commutatif (A,+,·). On appelle radical de I, l’ensemble noté R(I)={x ∈
A | ∃n ∈ N, xn ∈ I}.
a) Montrer que le radical d’un idéal est un idéal.
b) Montrer que pour I et J idéaux de A, on a R(I∩J)=R(I)∩R(J).
c) Montrer que si I est un idéal de A , alors R(R(I))=R(I).
d) Déterminer le radical d’un idéal de Z.
8) Soient (A, +, ·) un anneau commutatif et e un élément idempotent de A id est un élément de A tel
que e2 =e.
a) Montrer que J = {x ∈ A | x · e = 0} est un idéal de A.
b) On note I = A · e l’idéal principal engendré par e. Déterminer I + J et I ∩ J.
c) Etablir que pour tout idéal K de A : (K ∩ I) + (K ∩ J) = K.
9) Soit d dans N. On note Ao =Z2 et pour d dans N∗ , Ad ={(x, y) ∈ Z2 | x ≡ y modulo d}.
a) Montrer que Ad est un sous-anneau de (Z2 , +, ×).
b) Soit A un sous-anneau de (Z2 , +, ×). Montrer que H = {x ∈ Z | (x, 0) ∈ A} est un sous-groupe de
(Z, +). En déduire qu’il existe d dans N tel que A = Ad .
10) Soit A un anneau tel que : pour tout x dans A , x3 = x.
a) Montrer que : pour tout x dans A , 6x = 0.
b) Soient B = {x ∈ A | 2x = 0} , C = {x ∈ A | 3x = 0}. Montrer que : A = B + C.
11)a) Z[X] est-il principal ? b) Soit A un anneau commutatif. Montrer que A[X] est principal si et
seulement A est un corps.
12) Anneau noethérien : Soit (A,+,·) un anneau commutatif supposé noethérien , c’est-à-dire tel que
pour tout idéal I de A , il existe k dans IN∗ et (x1 , x2 , ..., xk ) dans Ak tels que :
P
I = x1 · A + ... + xk · A = { ki=1 xi · ai , (a1 , a2 , ..., ak ) ∈ Ak }
On dit alors que tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments.
a) On suppose ici (A,+,·) noethérien.
i) Soit (In )n∈IN une suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de A. Montrer que ∪n∈IN In est un idéal
de A.
ii) Montrer que cette suite d’idéaux ne peut-être strictement croissante.
b) On suppose qu’il n’existe pas de suite strictement croissante d’idéaux de A. Soit I un idéal de A.
Montrer que I est engendré par un nombre fini d’éléments. c) Conclure.
13) Le problème du cuisinier chinois
Une bande de dix-sept pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils décident
de se les partager équitablement et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors trois pièces.
Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièces. Dans
un naufrage ultérieur , seuls le butin , six pirates et le cuisinier chinois sont sauvés et le partage laisserait
cinq pièces d’or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide
d’empoisonner le reste des pirates ?
14) Le corps des quaternions




a −b −c −d






 b a −d c 
4


On définit l’ensemble des quaternions par : H = M (a, b, c, d) = 
|
(a,
b,
c,
d)
∈
R
.
c d
a −b 






d −c b
a
a) Montrer que H est un espace vectoriel réel dont on donnera la dimension.
b) On pose I = M (0, 1, 0, 0), J = M (0, 0, 1, 0) et K = M (0, 0, 0, 1). Calculer les produits X · Y pour X
et Y dans {I, J, K}2 .
c) Montrer que (H, +, ·) est un corps non commutatif.
d) Déterminer le centre du corps H i.e l’ensemble des M dans H tels que : pour tout N dans H ,
M · N = N · M.
e)i) Déterminer un isomorphisme entre le corps (R, +, ·) et un sous-corps de H.
ii) Déterminer un isomorphisme entre le corps (C, +, ·) et un sous-corps de H.
iii) Montrer que le polynôme X 2 +I4 de H[X] admet au moins 6 racines dans le corps H. Ceci vous
semble-t-il possible ?
u v
2
| (u, v) ∈ C .
iv) Montrer que le corps H est aussi isomorphe à A(u, v) =
−v̄ ū
f) On définit le conjugué de M (a, b, c, d) par M (a, b, c, d) = M (a, −b, −c, −d).
i) Montrer que pour tout (A, B) dans H2 , AB = B · A.
ii) On définit pour A dans H , N (A) = AA. Etablir que pour tout (A, B) dans H2 , N (AB) = N (A)N (B).
g) On pose S4 ={n ∈ N | ∃(a, b, c, d) ∈ Z4 , n = a2 + b2 + c2 + d2 }. Montrer que S4 est stable par produit.
15) Soit (A, +, ·) un anneau tel que : pour tout (x, y) de A2 , (xy − yx)2 = xy − yx
( N.B. xy désigne x · y).
a) Montrer que : pour tout (x, y) de A2 , yx = 0 =⇒ xy = 0.
b) Montrer que : pour tout x de A , x2 =x =⇒ ( ∀y ∈ A , xy = yx).
c) Montrer que : pour tout (x, y) de A2 , xy − yx = yx − xy.
d) Montrer que : pour tout (x, y) de A2 , x2 y = yx2 .
e) Soit (x, y) dans A2 , calculer (xy − y)2 . En déduire que : pour tout (x, y) de A2 , (xy)2 =(yx)2 .
f) Montrer que : pour tout (x, y) de A2 , xy − yx = xy(xy − yx) − yx(yx − xy).
g) En déduire que l’anneau A est commutatif.
16) Un anneau A est dit régulier si : pour tout a dans A , il existe u dans A tel que : a · u · a = a.
a) Un corps est-il régulier ? Z est-il régulier ?
b) Trouver une CNS pour que Z/nZ soit régulier.
c) Montrer que si E est un K-espace vectoriel de dimension finie , L(E) est régulier.
d) Soit A dans Mn (K) telle que ai,i+1 =1 pour 1 6 i 6 n − 1 et ai,j =0 sinon. Trouver une matrice U
dans Mn (K) telle que AU A = 0.
e) Montrer que le centre d’un anneau régulier est régulier.
17) Entiers de Gauss
Préliminaires : Soit (A,+,·) un anneau intègre.
1) Soit I l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau A. Montrer que (I,·) est un groupe.
2) Soit a dans A. On dit que a est irréductible s’il n’est pas inversible et s’il vérifie la propriété (P) :
pour tout (b, c) dans A2 , ( a = b·c =⇒ b ∈I ou c ∈I ).
Quels sont les éléments irréductibles de l’anneau (Z, +, ·) ?
Dans la suite du problème, G désigne l’ensemble des entiers de Gauss défini par
G={z∈ C , ∃(m, n) ∈ Z2 tel que z = m + i · n }.
A.1) On munit G de l’addition + et de la multiplication · des complexes.
Montrer que (G, +, ·) est un anneau intègre.
2) Soit ϕ : G −→ Z
z 7−→ | z |2
a) α) Montrer que ϕ est à valeurs dans N.
β) Montrer que pour tout (z, z 0 ) dans G2 , ϕ(z·z 0 )= ϕ(z)·ϕ(z 0 ).
γ) ϕ est-il un morphisme de groupes de (G,+) dans (Z,+) ?
δ) Déterminer ϕ−1 ({0}).
b) Soit I l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau (G, +, ·).
α) Déterminer ϕ(I). β) Déterminer I.
3)a)α) Montrer que si z divise x dans G, alors | z |2 divise | x |2 dans Z.
β) Les éléments suivants sont-ils irréductibles dans G : 2, 3, 3+2i, 3+i ?
b) Soit z dans G.
α) Montrer que si | z |2 est un nombre premier, alors z est irréductible dans G.
β) La réciproque est-elle vraie ?
c) Soit p un nombre premier. Montrer que : p est non irréductible dans G si et seulement il existe deux
entiers naturels non nuls a et b tels que p=a2 +b2 .
d) Montrer que si p est un nombre premier congru à 3 modulo 4, alors p est irréductible dans G.
B.1)a) Soient u et v deux réels.
α) Montrer qu’il existe deux entiers α et β tels que |u-α|61/2 et |v-β|61/2.
β) En déduire que si z est dans C , il existe γ dans G tel que | z − γ |2 61/2.
b)α) Soient a et b deux éléments de G avec b non nul. Prouver l’existence de q et r dans G tels que
a = b · q + r et | r |2 <| b |2 .
β) Le couple (q, r) trouvé à la question précédente est-il unique ?
2) Soit J un idéal non nul de G.
a) Montrer que ϕ(J\{0}) admet un plus petit élément noté m.
b) Montrer qu’il existe b dans J tel que J=b·G où par définition b·G={b·g, g ∈G }.
On dit alors que l’anneau G est principal.
18) Soit A un anneau dans lequel pour tout a de A, a2 = a.
1) Montrer que pour tout a de A, 2a=0.
2) En déduire que A est commutatif.
3) Montrer que pour tout (x, y, z) de A3 ,
(x + y)z = 0
équivaut à
( x(y + 1)z = 0 et (x + 1)yz = 0 ).
19) Résolution d ’une équation diophantienne à l’aide d’un anneau
Soit n un entier naturel non nul tel que n ne soit pas un carré parfait.
On s’intéresse à la recherche de tous les couples d’entiers naturels non nuls (a,b) tels que
a2 -n b2 =1. On note (E) cette équation.
√
√
A. Soit Z[ n]={z∈ R, ∃(a, b)∈ Z2
z = a + b n }. On munit cette ensemble de l’addition et de la
multiplication des réels.
√
√
1) Montrer que si a, b, c, d sont des rationnels tels que a + b n= c + d n alors a = c et b = d.
√
2) Montrer que Z[ n] est un anneau.
√
√
3) Pour tout élément z de Z[ n], on définit z̄=a − b n et N(z)=z·z̄.
√
Montrer que si z est dans Z[ n], N(z) est un entier.
√
Montrer que l’application qui à z associe z̄ est un automorphisme de l’anneau Z[ n] pour les lois définies
√
auparavant et que N(z·z 0 )= N(z)·N(z 0 ) pour tout couple (z, z 0 ) d’éléments de Z[ n].
√
B. Soit G l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau Z[ n].
1) Montrer que G est un groupe pour la multiplication.
√
2) Montrer qu’un élément z de Z[ n] est dans G si et seulement si ( N(z)=1 ou N(z)=-1 ).
√
3) Soit a et b deux entiers et z = a + b n. On suppose z dans G. Montrer :
a) Si a et b sont positifs alors z>1.
b) Si a et b sont négatifs alors z6-1.
c) Si a·b est négatif alors |z|61.
Soit H l’ensemble des éléments z de G tels que z>1. On suppose dans la suite de la partie B que H est
non vide.
√
√
4) Soit a, b, c, d quatre entiers, z = a + b n, z 0 = c + d n. On suppose z et z 0 éléments de H. Montrer
que a<c si et seulement si b<d.
En déduire l’existence d’un plus petit élément pour H noté µ.
Calculer µ pour n = 2.
5) Montrer que pour tout élément h de H, il existe un entier naturel p tel que µp 6h<µp+1 puis montrer
que h=µp .
En déduire H={ µp , p ∈ N∗ }.
6) En déduire toutes les solutions de (E) en fonction de µ.
Si n = 2 déterminer toutes les solutions de (E) telles que a6100 et b6100.
√
C. 1)a) Soit m un entier naturel non nul. Montrer qu’il existe m + 1 réels distincts du type b n-a dans
√
√
Z[ n] avec 06b 6m et 06b n-a<1.
√
√
√
b) En déduire l’existence d’un élément a − b n de Z[ n] vérifiant |a − b n|<1/m et 0<b6m.
√
c) Montrer que pour cet élément |a2 -n b2 |<1+2 n.
√
2) Montrer que l’inéquation |a2 -n b2 |<1+2 n admet une infinité de solutions dans Z2 .
3)a) Montrer qu’il existe un entier k tel que l’équation a2 -n b2 =k possède une infinité de solutions.
b) En déduire l’existence d’entiers k, a, a0 , b, b0 tels que a2 -nb̧2 =a0 2 -n b0 2 =k et k divise a − a0 et b − b0 .
aa0 − nbb0
ab0 − ba0
et B=
sont des entiers vérifiant
c) Parmi les éléments précédents montrer que A=
k
k
2
2
A -n B =1.
4) En déduire que H est toujours non vide et que l’équation (E) admet une infinité de solutions.
5) Montrer que l’équation (E’) a2 − 11 b2 =-1 n’admet pas de solution dans Z2 .
20) Unités d’un anneau
On veut prouver qu’il n’existe pas d’anneau commutatif avec exactement cinq éléments inversibles.
On suppose que (A, +, ·) convient.
1) Prouver que (A× , ·) est cyclique.
2) Montrer que dans A , 2=0.
3) Soit α un générateur de A× . On note x = 1 + α2 + α3 . Calculer x3 .
4) Montrer que x = 1.
5) En déduire une contradiction.
21) De bons entiers
On cherche tous les entiers n,supérieurs ou égaux à 2,tels que pour tout a dans Z, an+1 ≡ a [n]. Un tel
entier est appelé bon.
a) Montrer que si n est un bon entier alors il n’existe pas de nombre premier p tel que p2 divise n.
b) Prenons un entier n de la forme n = p1 p2 . . . pr où les nombres premiers p1 , ..., pr sont tels que
p1 < ... < pr .
i) Montrer que : n est bon si et seulement si ( pour tout i dans {1, ..., r} , pi − 1|n ).On admettra que
((Z/pZ)× ,·) est cyclique.
ii) Montrer que : n est bon si et seulement si ( pour tout i dans {1, ..., r} , pi − 1|p1 p2 . . . pi−1 ).
Dans la suite on suppose que n est bon.
iii) En déduire que p1 =2.
iv) En déduire que p2 =3 si r > 2.
v) En déduire que p3 =7 si r > 3.
vi) En déduire que p4 =43 si r > 4.
vii) Montrer que r > 5 est impossible.
c) Quels sont tous les bons entiers ?
Seconde partie : corps
L
xNy = x + y − 1
22) On définit dans R deux lois
et
par :
x y = x + y − xy
LN
Montrer que (R,L N
, ) est un corps commutatif. Vérifier que x 7−→ 1 − x est un isomorphisme de corps
de (R,+,×) sur (R, , ).
L
N
23) Trouver tous les corps K tels que pour tout a non nul dans K : a−1 =a.
24) Soit A un anneau commutatif, montrer que :
( A est un corps ) ⇐⇒ ( {0} et A sont les seuls idéaux de A et 06=1 )
25) Prouver que tout anneau fini intègre est un corps.
26) Montrer que le seul automorphisme du corps Q est l’identité.
27) Déterminer tous les automorphismes du corps R.
28) Montrer que tout sous-anneau du corps Q est un anneau principal.
29) Soient K et L deux corps, f : K −→ L un morphisme de corps. Montrer que f est injectif.
30) Quels sont les idéaux d’un corps ?
31) Soient K un corps commutatif et fini. Calculer le produit des éléments non nuls du corps.
32) Soient F un sous-corps de Q. Montrer que : F=Q.
33)a) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l’équation (E) sur Z/pZ :
x2 + ax + b = 0.
Montrer que (E) possède des racines si et seulement si a2 − 4b est un carré dans Z/pZ.
b)i) On suppose que p s’écrit 3u + 1. Montrer qu’il existe a dans Z/pZ∗ tel que au 6= 1.
ii) En déduire que -3 est un carré dans Z/pZ.
√
√
34) Soit Q( 2) l’ensemble des complexes de la forme a + b 2 avec a et b rationnels. Montrer que c’est
un sous-corps de C et en déterminer tous les automorphismes.
35) a) Montrer que X 3 −2 est irréductible dans Q[X].
b) On note α l’une de ses racines complexes et A = {a + bα + cα2 |(a, b, c) ∈ Q3 }. Montrer que A est un
sous-corps de C.
36) Soit K un corps commutatif.
a) Montrer que si K est fini, il n’est pas algébriquement clos.
b) Montrer que K(X) n’est pas algébriquement clos.
c) Montrer que K est un corps fini si et seulement si toute application de K dans K est polynomiale.
d) Montrer que cette équivalence reste vraie si l’on suppose simplement que K est un anneau intègre.