Fonctions de classe C n par morceaux 1) Dé…nitions a) Dé…nition générique pour les fonctions dé…nies sur un segment Def : Soit n 2 N . On dit que Le pas de est dé…ni par = (x0 ; x1 ; :::xn ) est une subdivision de [a; b] ssi a = x0 < x1 < ::: < xn = b: ( ) = max1 k n (xk xk 1 ): Def : Soit f : [a; b] ! R. On dit que f est de type X par morceaux ssi il existe une subdivision (x0 ; x1 ; :::xn ) de [a; b] telle que pour tout k 2 f1; 2; :::; ng; la restriction de f à l’intervalle ouvert ]xk fonction de type X sur le segment [xk 1 ; xk ]. On dit alors que la subdivision 1 ; xk [ se prolonge en une est adpatée à f (il en est de même de toute subdivision plus …ne). Ainsi, les fonctions en escaliers sont les fonctions constantes par morceaux. Important : Pour des subdivisions et 0 adaptées à f et g, la subdivision [ 0 est adaptée à la fois à f et à g. b) Fonctions continues par morceaux sur un segment Def équivalente : f : [a; b] ! R est continue par morceaux ssi il existe une subdivision (x0 ; x1 ; :::xn ) de [a; b] telle que f est continue sur les intervalles ]xk 1 ; xk [ et admet aux points xk une limite à gauche et une limite à droite (excepté en a et en b où il existe une seule de ces deux limites). Autre caractérisation : Une fonction f dé…nie sur un segment est continue par morceaux ssi elle peut s’écrire comme la somme d’une fonction en escaliers et d’une fonction continue. Important : Deux fonctions f et g : [a; b] ! R continues par morceaux qui coïncident excepté en un nombre …ni Rb Rb de points ont même intégrale : a f (t) dt = a g(t) dt: Rb Important : Si f est continue par morceaux et positive sur le segment [a; b], alors, a f (t) dt = 0 ssi f est nulle en tout point de continuité, donc est nulle excepté en un nombre …ni de points. En e¤et, on considère une subdivision = (x0 ; x1 ; :::xn ) adaptée à f . Rb Rx P On a a f (t) dt = nk=1 xkk 1 fk (t) dt, où fk : [xk 1 ; xk ] est le prolongement continu de la restriction f à ]xk Rb Rx Rx Comme a f (t) dt = 0 et xkk 1 fk (t) dt 0, alors xkk 1 fk (t) dt = 0, d’où on déduit fk = 0: 1 ; xk [. 0 ([a; b]; R) des fonctions f : [a; b] ! R continues par morceaux est une sous-algèbre de Remarque : L’ensemble Cmx B([a; b]; R), l’algèbre des fonctions bornées de [a; b] dans R. De plus, si f et g sont continues par morceaux, alors jf j et sup(f; g) sont continues par morceaux (on a sup(f; g) = 1 2 jf + gj 1 2 jf gj). c) Cas des fonctions dé…nies sur un intervalle quelconque Def : Une fonction f : I ! R est de classe C n par morceaux ssi ses restrictions à tout segment (inclus dans I) sont de classe C n par morceaux. Exemples : (|) Les fonctions signe sgn et partie entière E sont des fonctions en escaliers sur R. La fonction frac : R ! [0; 1[ x 7 ! x E(x) est une fonction continue par morceaux. La fonction d : R ! [0; 21 ] x 7 ! d(x; Z) est continue sur R et de classe C 1 par morceaux. Remarque : On considère parfois les fonctions en escaliers sur R : il s’agit alors des fonctions nulles à support borné, c’est-à-dire nulles en dehors d’un segment [a; b], et dont la restriction à [a; b] est en escaliers. 2) Fonctions continues et de classe C 1 par morceaux a) Caractérisation des fonctions continues et de classe C 1 par morceaux Remarque : Une fonction de classe C 1 par morceaux n’est pas nécessairement continue. Prop : f : [a; b] ! R est continue et de classe C 1 par morceaux ssi il existe une subdivision telle que pour tout i 2 f1; 2; :::; ng, fj[xi 1 ;xi ] = (x0 ; :::; xn ) de [a; b] est de classe C 1 : Remarque : Ainsi, f est dérivable à gauche et à doite en tout point. c) Pseudo-dérivées d’une fonction continue et de classe C 1 par morceaux et théormèe fondamantal Prop : Soit f : [a; b] ! R continue et de classe C 1 par morceaux. La fonction f 0 , qui est dé…nie sauf éventuellement en un nombre …ni de points, se prolonge en des fonctions continues par morceaux qu’on note aussi f 0 par abus: Rb Alors on a a f 0 (t) dt = [f (t)]ba : Rb Remarque : La valeur de a f 0 (t) dt ne dépend pas du choix des valeurs qui prolongent f 0 sur [a; b]. Preuve : On considère une subdivision = (x0 ; x1 ; :::; xn ) de [a; b] adaptée à f . Rx On a alors, pour tout k 2 f1; 2; :::; ng, f (xk ) f (xk 1 ) = xkk 1 f 0 (t) dt: En sommant pour k 2 f1; 2; :::; ng, on obtient par télescopage : f (xn ) Remarque : Si f est seulement de classe C 1 par morceaux, on a R xk xk f (x0 ) = 1 R xn x0 f 0 (t) dt: f 0 (t) dt = lim(xk 1) + f lim(xk 1) f , mais les termes ne se télescopent pas nécessairement en les sommant. c) Intégration par parties Prop : Soient u et v : [a; b] ! R deux fonctions continues et de classe C 1 par morceaux. Rb 0 Rb Alors a u0 v = [uv]ba a vu : Preuve : La fonction uv est continue et de classe C 1 par morceaux. Rb Rb Rb Par b), on obtient donc [uv]ba = a (uv)0 = a u0 v + a vu0 : En pratique : Soient f continue par morceaux et g continue et de classe C 1 par morceaux sur [a; b]. Rb Rb Rx 0 En considérant F (x) = k + a f (t) dt, on a a f (t)g(t) dt = [F (t)g(t)]ba a F (t)g (t) dt. d) Intégrale d’une fonction continue par morceaux Prop : Soit f : I ! R une application continue par morceaux et a 2 I: Rx Alors F : x 7 ! a f (t) dt est continue et de classe C 1 par morceaux. De plus, F 0 et f coïncident en tout point où f est continue. Preuve : F est lipschitzienne sur [a; b] de rapport k = sup[a;b] jf j, car jF (x) F (y)j jx yj sup[a;b] jf j : D’autre part, F est dérivable en tout point x où f est continue, et on a alors F 0 (x) = f (x): Exemple : (|) On a Rx 0 sgn(t) dt = jxj : Remarque : Plus généralement, avec k 1, si g : I ! R est de classe C k Rx G : x 7 ! a g(t) dt est de classe C k et de classe C k+1 par morceaux. 1 et de classe C k par morceaux, alors