MECANIQUE : ENERGIE 1. Travail d’une force, d’un moment

MECANIQUE : ENERGIE
Prérequis : Ppc6-2a crs E mécanique et Tpc5.1-1a crs Forces & Moments
1. Travail d’une force, d’un moment
Écrire et exploiter l'expression du travail d'une force constante ou d'un couple de
moment constant.
Sens du mouvement
a. Mouvement de translation
On appelle travail d’une action mécanique l’énergie
échangée par cette action avec le corps lors de son
déplacement de A à B.
Ou travail d’une force l’énergie échangée par la force
avec le corps lors du déplacement de A à B.
𝑅⃗⃗
𝐹⃗
180°
𝑓⃗
α
270°
A
𝑃⃗⃗
B
 Travail de la force 𝐹⃗ : WAB(𝐹⃗ ) = 𝑙𝐴𝐵 × 𝐹 × 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹⃗ est dans le sens du mouvement
cosα > 0 : WAB(𝐹⃗ ) > 0 le travail est moteur.
Unité WAB(𝐹⃗ ) (J) ; 𝑙𝐴𝐵 longueur du déplacement (m) ; F force qui agit sur le corps (N) et
α angle de 𝐹⃗ par rapport à la direction du mouvement.
 Travail de la force 𝑓⃗ : WAB(𝑓⃗) = 𝑙𝐴𝐵 × 𝑓 × 𝑐𝑜𝑠180° 𝑓⃗ est opposé au mouvement
cos180° < 0 : WAB(𝑓⃗ < 0 le travail est résistant.
 Travail de la force 𝑃⃗⃗ : WAB(𝑃⃗⃗) = 0 car 𝑃⃗⃗ est perpendiculaire au mouvement
cos270°= 0.
 Travail de la force 𝑅⃗⃗ : WAB(𝑅⃗⃗) = 0 car 𝑅⃗⃗ est perpendiculaire au mouvement
cos90°= 0.
Remarque : le travail du poids est indépendant du chemin suivi et vaut d’une manière
générale : WAB(𝑃⃗⃗) = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
WAB(𝑃⃗⃗) (J), m la masse du corps (kg), g l’intensité de la pesanteur (N/kg), h la hauteur (m).
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Résumé :
⃗⃗) = 𝒍𝑨𝑩 × 𝑭
 Si 𝜶 = 𝟎° 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 WAB(𝑭
⃗⃗) = 𝟎 J
 Si 𝜶 = 𝟗𝟎° 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 WAB(𝑭
⃗⃗) = −𝒍𝑨𝑩 × 𝑭
 Si 𝜶 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 WAB(𝑭
b. Mouvement de rotation
Écrire et exploiter l'expression du travail d'un couple de moment constant.
Le travail du moment d’une force 𝐹⃗ ou d’un couple de force
agissant sur un corps en rotation d’un angle 𝜃 a pour
expression :
⃗⃗)) = MO(𝑭
⃗⃗)× 𝜃
Wθ(MO(𝑭
𝐹⃗
R θ
O
𝐹⃗
Wθ(MO(𝐹⃗ )) (J) ; MO(𝐹⃗ ) (N∙m) ; 𝜃 (rad)
2. Puissance moyenne
La puissance P moyenne développée lors d’un travail est égale au rapport de ce travail
par la durée à l’effectuer.
𝑷=
𝑾
𝒕
avec P (W), W (J) et t (s)
vous reconnaissez l’expression de première 𝑷 =
𝑬
𝒕
En remplaçant W par ses expressions vous devez être capable d’écrire les relations
suivantes (elles ne sont pas à connaître)
a. Mouvement de translation
En divisant par t on a
𝑙𝐴𝐵
𝑡
= 𝑣 d’où 𝑃 = 𝑣 ∙ 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 v étant en m/s
b. Mouvement de rotation
En divisant par t on a
𝜃
𝑡
= 𝑣 d’où
P = MO(𝐹⃗ )× 𝜔
𝜔 étant en rad/s
3. Théorème de l’énergie cinétique
Associer une variation d'énergie cinétique au travail d'une force ou d'un couple.
Dans un repère galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide se déplaçant de
A vers B est égale à la somme algébrique des travaux des forces extérieures et des
couples appliqués au système lors de ce déplacement.
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Ce théorème est intéressant car il permet de faire facilement des calculs d’une vitesse
ou d’une force. Il est en effet possible d’éliminer les travaux des forces
perpendiculaire au mouvement et l’énergie cinétique quand v = 0 m/s
∆𝑬𝒄 = 𝑾 soit 𝑬𝒄𝑩 − 𝑬𝒄𝑨 = 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 + 𝑾𝟑 + ⋯
a. Mouvement de translation :
b. Mouvement de rotation : :
1
2
1
2
1
⃗⃗⃗⃗1 ) + 𝑊𝐴𝐵 (𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗2 ) …
∙ 𝑚 ∙ 𝑣𝐵2 − ∙ 𝑚 ∙ 𝑣𝐴2 = 𝑊𝐴𝐵 (𝐹
2
1
∙ 𝐽∆ ∙ 𝜔𝐵2 − ∙ 𝐽∆ ∙ 𝜔𝐴2 = 𝑊𝐴𝐵 (M1) + 𝑊𝐴𝐵 (M2) + …
2
4. Conservation et non conservation de l’énergie mécanique
Rappel de première : l’énergie mécanique (𝐸𝑚 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 ) d’un solide se conserve
lorsqu’il passe d’un état 1 à un état 2 si il n’est soumis qu’à son poids (chute libre en
négligeant les forces de frottement et la poussée d’Archimède) ou uniquement à des
mouvements sans frottements (on les néglige)
a. Frottements de contact entre solide
On a vu (1ier schéma) que les forces agissant sur un solide se déplaçant sur un support
était au nombre de 4 : la force 𝐹⃗ de traction responsable du mouvement, le poids 𝑃⃗⃗ du
solide, la réaction du support 𝑅⃗⃗ et la force de frottement 𝑓⃗.
Remarque : dans le livre (p157) ils considèrent seulement 3 forces car ils décomposent la
⃗⃗ perpendiculaire au support (en fait notre 𝑅⃗⃗) et
réaction du support en 2 composantes : 𝑁
⃗⃗ tangentielle au support qui correspond à la force de frottement 𝑓⃗ pour nous.
𝑇
Pas de traction
adhérence pas de déplacement
𝑅⃗⃗
𝑅⃗⃗
𝑅⃗⃗
𝐹⃗
𝐹⃗
𝑓⃗
𝑃⃗⃗
⃗⃗
𝑃⃗⃗ + 𝑅⃗⃗ = 0
𝑓⃗
𝑃⃗⃗
⃗⃗
𝑃⃗⃗ + 𝐹⃗ + 𝑓⃗ + 𝑅⃗⃗ = 0
Tant que 𝑓 ≤ µ𝑠 × 𝑅
Le solide adhère au sol
µ𝑠 coefficient d’adhérence ou de
frottement statique
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𝑃⃗⃗
⃗⃗
𝑃⃗⃗ + 𝐹⃗ + 𝑓⃗ + 𝑅⃗⃗ ≠ 0
Tant que 𝑓 = µ × 𝑅
Le solide adhère au sol
µ𝑠 coefficient de glissement ou de
frottement dynamique
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Cône d’adhérence
Cône d’adhérence
𝜑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑅⃗⃗
𝑓⃗
𝜑𝑠
tan𝜑 = µ et tan𝜑s = µs
Il y a adhérence si la résultante reste dans le cône
d’adhérence
Il y a glissement dès que la résultante est tangente au
cône de glissement
b. Interaction fluide
Associer la force de résistance aérodynamique à une force de frottement fluide
proportionnelle à la vitesse au carré et aux paramètres géométriques d'un objet en
déplacement.
Il existe 2 composantes :
o Une composante statique (car elle existe même si le solide ne se déplace pas),
la poussée d’Archimède, elle est égale au poids du fluide déplacé.
𝑷𝑨 = 𝒎𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 × 𝒈
𝑃𝐴 en N, 𝑚𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 en kg 𝑒𝑡 𝑔 en m/s²
o Une composante dynamique (liée à la vitesse de déplacement), la trainée ou
force de poussée du fluide.
𝟏
𝑭𝒕𝒓𝒂𝒊𝒏é𝒆 = × 𝑪𝒙 ∙ 𝝆 ∙ 𝑺 ∙ 𝒗²
𝟐
𝐶𝑥 le coefficient de trainée sans unité, 𝜌 la masse volumique du fluide en
kg/m3, S est le maître couple, c’est l’aire de la surface obtenue en projetant le
solide sur un plan perpendiculaire à l’écoulement en m², 𝑣² est la vitesse du
fluide en m/s.
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