THESE DOCTEUR DE L

THESE
POUR LæOBTENTION DU GRADE DE
DOCTEUR DE LæUNIVERSITE DE POITIERS
(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)
(Diplôme National – Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Energétique et
Aéronautique
Secteur de Recherche : Génie électrique / Mécanique des milieux fluides
Présentée par :
Jean-Charles LAURENTIE
CONTRIBUTION A LA MODELISATION NUMERIQUE
DæECOULEMENTS ELECTRO-FLUIDO-DYNAMIQUES
DIPHASIQUES TRIDIMENSIONNELS
Directeur de Thèse : Lucian Dascalescu
Co-Directeur : Philippe Traoré
Soutenue le 12 décembre 2011 devant la Commission dæExamen
Jury
P. NOTINGHER
L. OGER
Maître de Conférences, Université de Montpellier
Directeur de recherche (CNRS), Université de Rennes
Rapporteur
Rapporteur
J.L. REBOUD
E. MOREAU
H. AURADOU
P. TRAORE
L. DASCALESCU
Professeur, Université Joseph Fourier, Grenoble
Professeur, Université de Poitiers
Chargé de recherche (CNRS), Université de Paris 11
Maître de conférences, Université de Poitiers
Professeur, Université de Poitiers
Président
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
ii
REMERCIEMENTS
Ces trois années de travail passées au sein de Læinstitut PPRIME (ex Laboratoire dæEtudes
Aérodynamique) furent pour moi une expérience enrichissante.
Je tiens dæabord à remercier messieurs Notingher et Oger pour avoir accepter dæexaminer cette
thèse.
Je remercie également læensemble des membres du jury qui mæont fait læhonneur de venir juger
mon travail.
Je remercie particulièrement le professeur Dascalescu, directeur de thèse, et Mr Traoré, coencadrant, pour leur implication dans mon travail. Le professeur Dascalescuà su dirigé cette
thèse depuis son lieu de travail à Angoulême, malgré la distance il mæa fait bénéficier de sa
très grande expérience dans le domaine de læélectrostatique tant du point de vue expérimental
que du point de vue numérique. Il a su faire preuve dæune grande patience et dæune grande
réactivité lorsque cela était nécessaire. De son côté, Mr Traoré, co-directeur de thèse, était
mon référant au laboratoire. Il mæa fournit les bases nécessaires au calcul et à læinterprétation
de læensemble de la partie numérique, que ce soit pour la partie traitant de la mécanique ou
pour celle traitant de læaspect électrostatique. Il mæa laissé une très grande autonomie dans mes
recherches.
Durant ces années, jæai eu læoccasion dæéchanger des idées avec de nombreuses personnes du
laboratoire. Ils ont su mæapporter des réponses, rectifier mes erreurs ou encore me donner des
pistes auxquelles je ne pensais pas. Je pense notamment aux professeurs L.David, et
S.Huberson, à Mr Beaudoin et tous ceux que je næai pas cités mais qui se reconnaîtront.
Ces trois ans ont également été læoccasion dæenseigner au sein de læUniversité de Poitiers. Pour
cela, je remercie beaucoup Thierry Paillat pour tous les conseils quæil mæa donnés dans ce
domaine. Je le remercie également pour avoir suivi du coin de læoeil læensemble de mes
travaux et ainsi veiller au bon déroulement de cette thèse.
Les travaux numériques sont souvent synonymes de problèmes informatiques. Je remercie
grandement Francis, les deux Vincent et Pierre-François pour avoir toujours su résoudre les
nombreux problèmes que je leur ai posés. Quæils voient ici la grande reconnaissance que
jæapporte à leur travail, sans eux cette thèse næaurait pu aboutir. Je pense également à Christian
Refin et Laurent Dupuis ainsi que læensemble du personnel de læatelier de réalisation pour leur
soutien logistique et technique lors des essais expérimentaux. Je remercie Catherine, Chantal,
Karine, Serge ainsi que læensemble du personnel administratif pour tout les services quæils
mæont rendu.
Une thèse cæest également savoir sæouvrir aux travaux des autres. Cæest avec sincérité que je
remercie le Professeur Eric Moreau, ainsi que messieurs Bénard et Zouzou pour toutes les
discutions et débats que jæai pu avoir avec eux. Cæest avec grand plaisir que je remercie
læensemble des stagiaires et doctorants que jæai rencontrés durant ces années : Antoine,
Badreddine, Boni, Christophe, Ciprian, David, Guillaume, Hicham, Jérôme, Jian, Laurent,
Michel, Mohamed, Romain, Souria et tous ceux que jæoublie.
iii
Pour finir, je remercie mes parents et læensemble de ma famille pour mæavoir soutenu pendant
læensemble de mes études, et plus particulièrement sur la fin de cette thèse qui a été
particulièrement éprouvante. Ils ont su sæoccuper de mes affaires quand je ne pouvais pas le
faire. Je remercie sur ce point plus particulièrement ma mère qui a beaucoup contribué à la
correction de ce manuscrit.
iv
TABLE DES MATIERES
Introduction et contexte ................................................................................................... 1
CHAPITRE 1 ETAT DE L'ART
Nomenclature des principales variables..................................................................... 7
1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs ................................................. 9
1.1.1 Le modèle dit "hard sphere" ............................................................................. 10
1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts ....................................................... 11
1.1.3 Le modèle dit "soft sphere" ............................................................................... 11
1.1.4 Les applications des modèles granulaires ......................................................... 12
1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques .............................................. 13
1.2.1 Le contexte industriel ......................................................................................... 14
1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge ............................................................ 15
1.2.3. Modélisation du phénomène ............................................................................. 20
1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes .............. 21
1.3.1 Les modèles à deux fluides ................................................................................. 22
1.3.2 Les Modèles CFD-DEM ..................................................................................... 22
1.4. Parallélisation ............................................................................................................ 26
1.4.1 Les différentes librairies de parallélisation ...................................................... 27
1.4.2 Les méthodes de parallélisation......................................................................... 28
Conclusion........................................................................................................................... 29
BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................... 30
CHAPITRE 2 METHODE DES ELEMENTS DISTINCTS : THEORIE ET
RESULTATS
Nomenclature des principales variables................................................................... 39
2.1 Développement du modèle utilisé ........................................................................ 41
2.1.1 Les modèles viscoélastiques................................................................................ 43
2.1.2 Implantation du modèle dans le code................................................................ 49
2.2. Application aux lits vibrés ..................................................................................... 50
2.2.1 Validation du code et mise en place des outils dæanalyse................................. 51
2.2.2 Etude et amélioration du mélange au sein des lits vibrés................................. 61
2.2.3 Etude des structures en 3D et des surfaces libre ............................................... 69
Conclusion............................................................................................................................ 79
BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................ 80
v
CHAPITRE 3 MODELISATION DES PHENOMENES
TRIBOELECTRIQUES
Nomenclature des principales variables................................................................... 87
3.1. Etudes expérimentales ............................................................................................ 89
3.1.1. Installation expérimentale................................................................................. 89
3.1.2. Charge triboélectrique par vibration............................................................... 92
3.2. Modèle de transfert de charge électrique dû à la collision entre deux
particules ............................................................................................................................. 95
3.2.1. Equations de base............................................................................................... 96
3.2.2. Prise en compte de la réversibilité de la charge .............................................. 98
3.2.3. Calibration du modèle ....................................................................................... 99
3.3. Calcul du champ électrique ................................................................................ 101
3.3.1. Méthode de Coulomb....................................................................................... 101
3.3.2. Equation de Poisson......................................................................................... 106
3.4. Etude de quelques cas simples .......................................................................... 113
3.4.1. Premier test en vibration avec un mélange à 50%........................................ 113
3.4.2. Etude de l’effet du remplissage de la boite ..................................................... 114
Conclusion......................................................................................................................... 119
BIBLIOGRAPHIE.......................................................................................................... 120
CHAPITRE 4 SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS GAZ
SOLIDE
Nomenclature des principales variables................................................................. 125
4.1. Développement du modèle utilisé ..................................................................... 128
4.1.1 Les équations de Navier-Stokes moyennées en volume .................................
4.1.2. Les forces de couplages....................................................................................
4.2. Discrétisation ...........................................................................................................
4.2.1 Discrétisation des flux et des termes sources..................................................
4.2.2 Couplage vitesse pression : algorithme SIMPLE...........................................
4.2.3 Correction de Rhie et Chow............................................................................
4.2.4 Evaluation du taux de fluide ...........................................................................
4.3. Etude numérique tridimensionnelle dæun écoulement de lit fluidisé ...
4.3.1. La vitesse de fluidisation .................................................................................
4.3.2. Formation et dynamique dæune bulle rapide.................................................
4.2.3. Le régime bouillonnant ...................................................................................
128
131
133
133
138
141
143
147
147
152
160
Conclusion......................................................................................................................... 165
BIBLIOGRAPHIE.......................................................................................................... 166
vi
CHAPITRE 5 STRUCTURES DES ALGORITHMES, PARALLELISATION
5.1. La phase granulaire : algorithmes séquentiels ............................................ 173
5.1.1 La fonction de repérage....................................................................................
5.1.2 La recherche des contacts.................................................................................
5.2. La phase granulaire, parallélisation ................................................................
5.2.1. Parallélisation, concepts de base.....................................................................
5.2.2. La répartition des tâches .................................................................................
5.2.3 Læalgorithme de recherche des contacts .........................................................
5.2.4 Le traitement de la contribution des charges électrostatiques .....................
5.2.5 Optimisation ......................................................................................................
5.3 La structure du code couplé ................................................................................
174
175
178
178
179
182
185
185
195
Conclusion......................................................................................................................... 199
BIBLIOGRAPHIE......................................................................................................... 200
Conclusion générale et perspectives ........................................................................ 201
vii
viii
Introduction et contexte
Les matériaux granulaires sont très présents dans notre environnement. Cela va de la
plus petite poussière, jusqu’aux roches, en passant par le sable et toutes les poudres de
l’industrie chimique et alimentaire. Depuis toujours, les ensembles granulaires ont été traités
comme un état particulier de la matière. En les regardant à l’échelle de la taille des particules,
leurs mouvements obéissent aux lois de la mécanique des solides. A des échelles plus grandes,
un ensemble de particules peut s’apparenter à un fluide assez visqueux. Et si les particules
sont de tailles submicroniques, un ensemble de forces qui agissent à faible distance s’ajoutent
aux forces mécaniques.
La modélisation numérique se développe de plus en plus pour l’étude des matériaux
granulaires. Cela est dû notamment au coût des expériences et à l’évolution des techniques de
calcul. Un avantage non négligeable des simulations numériques est la possibilité de connaître
l’ensemble des grandeurs physiques en tout point du domaine occupé par les grains et à tout
instant. En effet, visualiser les mouvements de particules au sein d’un écoulement
tridimensionnel n’est pas chose aisée lorsque les matériaux ne sont pas transparents. Bien
qu’il existe aujourd’hui des méthodes expérimentales pouvant distinguer des particules au
sein d’un écoulement 3D, soit en plaçant des traceurs sur les particules, soit par des méthodes
de mesure d’imagerie à résonance magnétique, ces techniques restent limitées à de faibles
épaisseurs de lits de particules et les conditions d’expériences sont assez contraignantes.
La méthode numérique permettant de calculer les mouvements des particules est le modèle
DEM, basé sur celui développé par Cundall et Straks. Ce modèle est encore très largement
utilisé aujourd'hui. Ainsi des études ont été réalisées sur des lits de particules soumis à des
vibrations verticales et/ou horizontales, pour des applications comme l’homogénéisation ou la
ségrégation de mélanges de matériaux granulaires ou pulvérulents.
Dans ce type d’applications, mais aussi pendant le transport pneumatique, lors du tri par
criblage ou du séchage de poudres par fluidisation, la présence de matériaux non conducteurs
provoque des phénomènes électrostatiques liés à la charge des particules par effet
triboélectrique. Des études poussées ont été réalisées sur ce sujet par le Prof. G. Touchard et
ses collaborateurs, à partir des années 80. Ces recherches présentent un intérêt car dans
certaines situations, notamment en présence de particules fines telles que des farines ou du
cacao, la génération et l’accumulation d’électricité statique peuvent conduire à des accidents
graves. C’est le cas lorsque le champ électrique lié à la charge des particules atteint la valeur
disruptive du gaz environnant. Si les taux de concentration oxygène/matériaux pulvérulents y
sont critiques, une décharge électrique assez énergétique peut causer un incendie ou une
explosion (figure 1).
1
Fig. 1. Explosion du silo de Blaye le 20 août
1997. Une des causes possible est un incident
électrostatique lié à la charge par frottement des
poussières d’orge lors d’un transfert sur un
convoyeur en caoutchouc.
Bien que la triboélectrification des matériaux pulvérulents ait tout d’abord été considérée
comme un inconvénient, nombreuses sont les applications industrielles qui l’utilisent. L’un
des premiers procédés s’appuyant sur les propriétés électrostatiques des poudres est
l’impression laser. Une autre application majeure concerne le tri électrostatique des matériaux.
C’est cette application, étudiée notamment par l’équipe du Prof. L. Dascalescu, à Angoulême,
qui nous intéresse plus particulièrement dans le cadre de ce travail (figure 2). Si les
expériences sont incontournables dans l’étude des phénomènes triboélectriques, les modèles
numériques pourraient apporter un éclairage supplémentaire sur les mécanismes physiques
mis en jeu.
Dans de nombreux cas les forces liant le gaz environnant et le lit de particules sont faibles en
devant les forces induites par les collisions. Cependant, des processus comme la fluidisation
des poudres ou le transport pneumatique des matériaux granulaires utilisent des forces
aérauliques qui sont au moins égales aux autres forces mécaniques ou électriques en présence.
Ainsi, en plus des forces liées aux collisions, la modélisation d’un système complet requiert
l’ajout de plusieurs forces aéroliques en fonction des cas traité : forces de traînée, forces de
portance…
2
DISPOSITIF
DæALIMENTATION
PORTE
ELECTRODE
SUPERIEURE
RACCORD HAUTE
TENSION
ELECTRODES
PLANES
PORTE
ELECTRODE
INFERIEURE
COLLECTEUR
Fig. 2 : Séparateur triboelectrostatique a chute libre développé au sein du Laboratoire
d'Electrostatique d'Angoulême, pour l'étude de la séparation des matériaux plastiques granulaires.
L’analyse des problèmes présentés dans les paragraphes précédents à permis de dégager
comme objectif de cette thèse la modélisation des écoulements diphasiques
tridimensionnels, avec la prise en compte des phénomènes tribo-électrostatiques et des
forces d’interaction entre fluides et matériaux granulaires.
La démarche choisie a été de traiter les divers aspects de la modélisation par paliers de
difficultés : élaborer d’abord un code de calcul tridimensionnel pour la simulation des
mouvements des ensembles de particules, inclure dans celui-ci des équations exprimant le
transfert de charge et les forces électrostatiques associées, pour arriver à la fin au couplage
avec le modèle Navier-Stokes décrivant le mouvement du fluide. La structure du manuscrit
suit cette démarche scientifique, en détaillant l’ensemble des étapes numériques et
expérimentales ayant conduit à la réalisation d’un modèle électro-fluido-dynamique mettant
en œuvre des calculs de dynamique granulaire, avec la prise en compte des effets
triboélectriques, ainsi que de la dynamique de la phase fluide.
En s’appuyant sur l’étude de l’état de l’art, présentée dans le chapitre 1, nous avons abordé
séparément les problèmes de simulation numérique de chacun des phénomènes liés aux
écoulements éléctro-fluido-dynamiques incluant une phase solide et une phase gazeuse. Nous
nous sommes ensuite concentrés sur le couplage des différents modèles. Dans cette logique, la
construction du code numérique a commencé par la programmation de la partie granulaire,
celle-ci étant à la base de tout le développement logiciel. Cette partie du code, bâtie sur une
version 2D simple, fait l’objet du chapitre 2. L’extension en 3D de ce noyau logiciel a été
suivie de la réalisation du modèle de charge triboélectrique des ensembles granulaires. Le
3
couplage ente les deux modèles a conduit à des résultats encourageants présentés dans le
chapitre 3. L’application principale de ce modèle complexe a été la simulation des lits vibrés
utilisés pour la charge triboélectrique des polymères granulaires. La simulation de la charge
des particules en lit fluidisé imposait la modélisation de la phase fluide. En associant la phase
fluide à la partie granulaire, il a été possible d’effectuer des simulations d’écoulements
diphasiques. La démarche numérique et les résultats obtenus sont décrits dans le chapitre 4.
Les applications industrielles concernent des écoulements diphasiques comportant un grand
nombre de particules. D’un point de vue numérique cela signifie qu’il sera nécessaire de
réaliser un très grand nombre d’opérations très coûteuses en terme de temps de calcul. La
réduction de ce temps de calcul passe par la parallélisation des algorithmes les plus
chronophages, comme montré dans le chapitre 5. Le manuscrit sera terminé par une
conclusion sur l’élaboration d’un code de calcul 3D, prenant en compte les aspects triboélectrostatiques et les interactions fluide-particules, permettant la modélisation d’une large
gamme de procédés industriels faisant intervenir des écoulements diphasiques. Cette
conclusion générale, qui clôture le mémoire, présente une synthèse des principales
contributions apportées dans les différents domaines étudiés, ainsi que de l’énoncé des
perspectives ouvertes par ce travail.
4
&KDSLWUH
(WDWGHO·DUW
Nomenclature des principales variables..................................................................... 7
1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs ................................................. 9
1.1.1 Le modèle dit "hard sphere" ............................................................................. 10
1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts ....................................................... 11
1.1.3 Le modèle dit "soft sphere" ............................................................................... 11
1.1.4 Les applications des modèles granulaires ......................................................... 12
1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques .............................................. 13
1.2.1 Le contexte industriel ......................................................................................... 14
1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge ............................................................ 15
1.2.3. Modélisation du phénomène ............................................................................. 20
1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes .............. 21
1.3.1 Les modèles à deux fluides ................................................................................. 22
1.3.2 Les Modèles CFD-DEM ..................................................................................... 22
1.4. Parallélisation ............................................................................................................ 26
1.4.1 Les différentes librairies de parallélisation ...................................................... 27
1.4.2 Les méthodes de parallélisation......................................................................... 28
Conclusion........................................................................................................................... 29
BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................... 30
5
6
Nomenclature des principales variables
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Densité dæétat de surface
Charge dæun électron
Forces dues aux collisions interparticulaires
Forces fluides agissant sur la particule i
Forces des particules sur le fluide
Accélération de la pesanteur
Moment dæinertie de la particule i
Masse de la particule i
Couple de la particule i
Pression du fluide
Charge dæune particule
Charge électrique transférée lors dæun contact
Surface de contact
Temps
Temps dæexécution du programme
Vitesse du fluide
Vitesse dæune particule
Potentiel
Mesure de læaccélération du programme
Distance de séparation durant un contact
Taux de fluide dans un volume de contrôle
Permittivité du vide
Viscosité du fluide
Masse volumique du fluide
Densité surfacique de charge
Fonction de travail
Vitesse de rotation de la particule i
7
8
Chapitre
1
ETAT DE L'ART
L’étude numérique des écoulements granulaires passe par l’élaboration de modèles
efficaces. Le sous-chapitre 1.1 introduit les modèles les plus utilisés pour l’étude des milieux
granulaires, en faisant appel à la méthode des éléments distincts. Les collisions entre les
particules en mouvement s’accompagnent de la génération de charge par effet tribo-électrique.
C’est un phénomène qui fait l’objet d’un volume important de recherches. Le sous-chapitre
1.2 introduit les concepts de base et décrit brièvement les modèles de transfert de charge
existants. Les interactions entre les particules et les fluides ont également été étudiées.
Plusieurs modèles sont proposés pour la simulation numérique de diverses situations d’intérêt
pratique. Le sous-chapitre 1.3 sera focalisé sur la présentation des modèles couramment
utilisés. Par la suite nous utiliserons l’approche CFD/DEM pour l’élaboration du code de
calcul adapté aux besoins de cette thèse. Le choix des méthodes numériques utilisées pour ce
travail doit se faire en adéquation avec la complexité des modèles mathématiques capables de
refléter convenablement le couplage des phénomènes tribo-électriques et fluido-dynamiques.
Sans avoir la prétention de l’exclusivité, le sous-chapitre 1.4 synthétise une partie des
recherches qui se poursuivent dans ce domaine, notamment sur la parallélisation des
programmes.
1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs
Par définition les milieux granulaires sont composés dæéléments distincts. Il semble
donc naturel de modéliser les écoulements granulaires par des méthodes dæéléments distincts.
Cependant, en regardant de loin le déplacement d’un ensemble de particules, le mouvement
global peut être assimilé à une sorte de fluide. C’est l’hypothèse sur laquelle la plupart des
chercheurs se sont basés pendant les années 70 [1,2]. En effet, à cette époque, la puissance de
calcul n’était pas encore suffisante pour arriver à modéliser un grand nombre de particules
indépendantes. Alors que les méthodes classiques de la mécanique des fluides sont utilisées
pour définir une loi de comportement généralisée en assimilant les milieux granulaire à un
milieu continu, il existe une seconde approche plus représentative des phénomènes locaux et
tenant compte de la discontinuité du milieu. Cette seconde stratégie appelée méthode des
éléments distincts (DEM), consiste à prendre en compte l’ensemble des contraintes
appliquées localement à chaque particule. Ces contraintes peuvent se résumer en l’application
de forces normales et tangentielles aux points de contact ou au centre de masse de la particule.
9
Ces forces seront alors utilisées pour calculer la trajectoire des particules. C’est donc par une
approche purement Lagrangienne que seront traités les écoulements granulaires.
Parmi l’ensemble des contraintes subies par les particules, en l’absence d’environnement
spécifique et en dehors de la gravité, la première contrainte subie par des particules sera les
forces résultant des chocs. Le tout premier modèle de calcul de chocs, à la base des méthodes
DEM, a été introduit par Cundall et Strack [3] en 1979. Ce modèle est basé sur la mécanique
des contacts dont la théorie a été développée par Hertz [4].
La méthode des éléments distincts consiste à calculer la position des différentes particules par
la résolution de la seconde loi de Newton. Les forces et les moments agissant sur les
particules sont obtenus par des lois de modélisations appliquées aux points de contact lors
d’une collision. Ces lois peuvent être linéaires ou non. Le glissement ou frottement entre les
particules est calculé par la méthode du cône de frottement dont les paramètres sont dérivés de
la loi de Coulomb [3]. Par læutilisation dæun modèle DEM, nous sommes donc en mesure de
calculer la trajectoire de chacune des particules, tout en tenant compte de leurs particularités
physiques et de leur histoire au sein de leur environnement. Dans la catégorie des modèles
granulaires, nous pouvons distinguer plusieurs approches différentes.
En dehors des premières méthodes de simulation basées sur des statistiques telles que les
simulations dites Monte-Carlo [5], il existe aujourd’hui trois autres approches très largement
utilisées. La première, dont les grandes lignes sont données dans le paragraphe 1.1.1, est
appelée "hard sphere model". Le modèle qui lui est associé, basé sur la dynamique des
contacts, est expliqué succinctement dans le paragraphe 1.1.2. La troisième approche appelée
"soft sphere model", par opposition à la première est, introduite dans la partie 1.1.3. Les
détails de cette dernière méthode, qui est la base du modèle utilisé dans ce manuscrit, sont
l’objet de la première partie du chapitre2.
1.1.1 Le modèle dit "hard sphere"
Ce type de modélisation est dérivé des méthodes collisionnelles [6-10], et considère
donc à chaque instant des collisions binaires et non durables dans le temps pour chaque
particule. Dans les écoulements fortement dilués, les interactions entre les particules sont
relativement faibles, et les chocs rares. Partant de cette hypothèse il est raisonnable de penser
que deux collisions ont peu de chances d’arriver en même temps. De cette façon les chocs
peuvent être traités de façon binaire. Aussi connues sous le nom de "event driven" ces
méthodes utilisent un tri des évènements en fonction du temps de vol des particules. En
utilisant des compacités suffisamment faibles, cette méthode fonctionne très bien. Dans ce
modèle trois paramètres suffisent à déterminer la vitesse et la position des particules après un
10
choc. Ce sont le coefficient de restitution normal, le coefficient de restitution tangentiel et le
coefficient de frottement.
En cas de multiple collisions, les auteurs ont formulé différentes méthodes d’ordonnancement
pour classifier l’ordre d’apparition des chocs le plus probable, et ainsi les traiter séparément
[11-13]. Les collisions sont détectées au début du pas de temps, selon les auteurs, soit en
fonction de la position des particules, soit en fonction de leur vitesse et trajectoire. Le
principal désavantage de cette méthode concerne la partie ordonnancement de la prise en
compte des chocs, puisque la solution obtenue dépendra de l’ordre choisi. Ainsi, la gestion de
contacts multiples et durables devient quasiment impossible à traiter de façon réaliste en cas
d’écoulement dense, ou quasi statique. Pour pallier ce problème, Stratton [13] utilise une
méthode améliorée appelée "Averaged hard sphere model". Malgré cette amélioration, le
nombre de particules prises en compte dépasse rarement 100000.
1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts
Sans changer de point de vue sur la rigidité des particules, mais en élargissant le
modèle à de multiples contact simultanés, nous pouvons à chaque instant établir un réseau de
connexions entre les particules. Une fois le réseau établi, la méthode consiste à résoudre en
une seule fois l’ensemble du système d’équations formées par la loi de Newton appliquée à
chaque point de contact. L’équilibre du système se résume à un système dæéquations linéaires
dont la solution peut être obtenu par une méthode itérative de type Gauss-Seidel par exemple
[14]. Cette méthode, développée par Moreau [15-18] et Jean dans les années 80 et 90 [19-21]
et [22], est appelée dynamique des contacts. De nombreux problèmes statiques [23], quasistatiques [24], et dynamiques [16,18,25] ont montré la précision de ce modèle. La simulation
du "berceau de Newton" est une configuration particulièrement démonstrative de la puissance
de cette méthode. Aujourd’hui encore, seul ce type de méthode est en mesure de tenir compte
des effets distants propagés par les réseaux de connexions interparticulaires.
Malgré ces indéniables avantages, cette seconde méthode ne semble pas adéquate pour les
applications que nous voulons résoudre. En effet les systèmes d’équations formés peuvent vite
devenir très imposants dès que le nombre de particules augmente, et surtout lorsque que le
nuage de particules atteint une compacité maximum, ce qui est le cas dans les lits vibrés ou
certains types de lits fluidisés. Nous ferons donc l’hypothèse que les effets de chocs distants
ne sont pas prépondérants pour ce type d’écoulement.
11
1.1.3 Le modèle dit "soft sphere"
C’est un modèle appartenant à la catégorie des simulations de dynamique moléculaire.
Cæest en étendant la physique microscopique représentée par la modélisation des molécules à
la physique macroscopique des tas de sables, que la première méthode DEM "soft sphere" fait
son apparition dans un article de Cundall [3] en 1979. Encore aujourd'hui, cette méthode reste
l’une des plus répandues [26], notamment pour simuler un grand nombre de particules dans
des configurations compactes [27]. Le qualificatif de sphères molles est lié à la représentation
de la déformation des particules sous l’effet des chocs et du poids des autres particules. Le
grand avantage de cette méthode réside dans le fait qu’elle permet de gérer les multi contacts
tout en conservant une bonne approximation des positions et trajectoires des particules. De
plus l’ordre de traitement des chocs n’affectera en rien la solution finale. Cependant, il existe
un inconvénient non négligeable concernant les pas de temps à utiliser en simulation. En effet,
si pour la méthode des sphères dures les pas de temps doivent être choisis de façon à ce qu’un
contact ne dure pas plus d’un ou deux pas de temps, il n’en est pas de même lorsque l’on
utilise des sphères molles, puisque la durée d’un contact dans ce cas se doit d’approcher la
dizaine de pas de temps. Dans la majorité des cas, les méthodes de "sphères molles" sont
couplées à une représentation ressort-amortisseur de type kelvin-Voigt modélisant les contacts
dus à des forces normales et tangentielles. Ainsi, l’énergie transmise aux particules lors d’un
choc est calculée suivant les deux composantes. Du point de vue numérique, la convergence
des algorithmes est assurée par deux paramètres très importants. Le premier est relatif au pas
de temps utilisé pour l’intégration temporelle, le choix de ce paramètre doit être fait de telle
sorte que les déplacements liés à l’inertie des particules soit suffisamment petits devant les
déplacements dues aux forces engendrées par les collisions [28]. Le second paramètre
assurant la convergence des algorithmes est la dissipation de l’énergie cinétique. Cette énergie
est dissipée par l’intermédiaire d’un coefficient d’amortissement propre à chaque matériau.
1.1.4 Les applications des modèles granulaires
Une fois les algorithmes de base mis en place, les modèles de simulation granulaire sont
capables de reproduire de nombreuses applications. Selon les spécificités des systèmes à
modéliser, il peut être nécessaire dæajouter des forces et des intéractions supplémentaires au
modèle de base.
De nombreux modèles rhéologiques utilisent les méthodes DEM comme base [29-31]. Ces
modèles requièrent alors généralement la modélisation des forces cohésives [32,33] ainsi que
les forces de capillarité [34-36]. La percolation de particules fines au travers dæempilements
12
désordonnés de particules de grosses tailles a également été étudiée, notamment par Oger et
Lominé [37,38]. Les écoulements de silos, et les phénomènes de voûtages sont étudiés, pour
læindustrie agroalimentaire [40,41]. Des études sur les agrégats et la disposition naturelle des
grains à læintérieur dæun amas de particules ont été menées pour comprendre comment sont
structurées les chaînes de forces dans ces amas [42,43]. La vibration sert à faire des mélanges,
ou à læinverse trier des matériaux par ségrégation [44,45]. Elle est également utilisée pour
transporter des poudres et autres granulés dans læindustrie chimique et pharmaceutique. Pour
finir, nous pouvons citer tous les domaines qui utilisent des combinaisons particules-fluide.
Cæest le cas du transport pneumatique [46,47], de la fluidisation [27,48], mais également du
transport de dunes ou encore le transport sédimentaire. Parmi toutes ces applications, nous
nous intéresserons à celles qui sont régulièrement rencontrées pour charger les particules par
effet triboélectrique. Il sæagit dæune part de la vibration verticale, et dæautre part de la
fluidisation.
1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques
L’effet triboélectrique se définit comme l’échange de charges électriques entre deux
matériaux, qu’ils soient initialement neutres ou non, lors de leur mise en contact ; une fois
transférées, ces charges restent piégées dans leur nouvelle position, même après la séparation
des matériaux. Typiquement, la triboélectricité est générée en frottant deux matériaux
ensemble. Cependant, l’échange de charges se produit aussi dans les cas où deux matériaux
entrent en collision, sans contrainte de cisaillement au point d’impact. C’est ce qui est appelé
parfois électrification par contact.
La polarité des surfaces ainsi chargées après séparation dépend principalement des propriétés
électriques des matériaux mis en contact, mais aussi de la présence d’impuretés, du taux
d’absorption d’humidité, ou de l’état des surfaces. Des classements des matériaux en fonction
de leurs propriétés triboélectriques ont été établis de façon empirique (Fig. 1.1), L’ordre des
matériaux dans une telle liste est très sensible aux facteurs cités ci-dessus, ce qui fait
apparaître certaines différences entre les séries trouvées dans la littérature.
La charge par effet triboélectrique des matériaux granulaires est étudiée en rapport avec
certaines applications industrielles, brièvement décrites dans le § 1.2.1. Plusieurs mécanismes
physiques peuvent expliquer le transfert de charge ; ils sont exposés dans le § 1.2.2. Des
modèles mathématiques qui facilitent la compréhension des phénomènes physiques en jeu
sont présentés dans le § 1.2.3.
13
Fig. 1.1 Séries tribologiques de plusieurs matériaux isolants (PA = Polyamide, CA = Acétate de cellulose,
PMMA = Polyméthacrylate de méthyle, PETP = Polyéthylène téréphtalate, PVC = Polychlorure de vinyle,
ABS = Acrylonitrile-butadiène-styrène, PAN = Polyacrylonitrile, PS = polystyrène, PP = Polypropène,
PTFE = Polytetrafluoroethylene
1.2.1 Le contexte industriel
Les phénomènes tribo-électriques ont été largement étudiés au sein de l’institut
PPRIME depuis une quinzaine d’années. Les motivations de ce travail ont tout d’abord été
stimulées par l’industrie du recyclage des matériaux plastiques. De ces études sont nés
plusieurs concepts de séparateurs électrostatiques initiés par Dascalescu [49-51]. Chaque
séparateur étant couplé à un dispositif de charge auxiliaire ou intégré. Le premier séparateur
de ce type a été un séparateur à chute libre [49]. La charge des matériaux étant assurée par une
goulotte vibrante. Fort de cette première expérience, des dispositifs incluant dans le même
module le dispositif de charge et le dispositif de tri ont été réalisés. Plusieurs améliorations
ont été apportées, pour aboutir à un processus industriel de tri par lit fluidisé et séparation
automatique [51]. Cette dernière version a fait l’objet d’un brevet intitulé « Procédé de
séparation électrostatique d’un mélange de granules de matériaux différents et dispositif de
mise en œuvre ». Il a été déposé le 23 mars 2009, aux noms conjoints de la société APR2 et de
l’Université de Poitiers, citant le Professeur Lucian DASCALESCU et le Dr. Ing. Laur
CALIN comme inventeurs. Les applications industrielles de ce brevet sont le tri à flux continu
de matériaux granulaires.
D’autres études ont également été menées pour la prévention des risques liés à la
triboélectrification de matériaux pulvérulents par transport pneumatique [52,53].
14
Toutes les études ci-dessus utilisent comme principe de base l’étude du chargement des
particules par effet triboélectrique. La triboélectrification, tout comme la charge par contact
est le processus qui décrit le transfert physico-chimique de charge qui arrive lorsque deux
surfaces sont mises en contact. Comme nous l’avons précisé précédemment, la charge par
effet triboélectrique apparaît dans de nombreuses situations et est utilisée dans un grand
nombre d’applications industrielles. Plusieurs théories permettent d’expliquer ce phénomène.
En fonctions de la nature, conducteur / isolant / polymère, des matériaux mis en contact, les
théories sont plus ou moins abouties.
1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge
Le contact entre deux conducteurs est expliqué par un transfert électronique de
surface, ce mécanisme de transfert de charge est aujourd’hui accepté par l’ensemble de la
communauté scientifique. Nous ne pouvons pas en dire autant lorsque l’un des deux
matériaux qui entre en collision est un isolant. En effet, la théorie concernant cette catégorie
de matériaux n’a pas été encore totalement explorée et certains effets restent encore
inexpliqués. Une dernière catégorie de transfert de charge existe également lors de la mise en
contact de deux particules du même matériau, ce qui remet en cause les théories précédentes.
Les trois sous parties suivantes donnent un ensemble représentatif des théories élaborées pour
chacun des cas.
a) Le contact entre deux conducteurs :
Le mécanisme d’électrisation par contact entre deux conducteurs est bien connu et
assez bien compris. D’une manière générale il est accepté par l’ensemble de la communauté
scientifique. Bien que l’électrisation entre deux conducteurs arrive rarement car les excès de
charges ont tendance à fuir vers la terre, le phénomène reste cependant observable lorsque les
deux matériaux sont isolés électriquement de la terre. Par leur nature offrant très peu de
résistance à la libre circulation des électrons, les métaux, et d’une manière plus générale les
conducteurs, permettent d’assurer une égalisation des niveaux d’énergie électronique des deux
matériaux.
A l’intérieur des métaux, les électrons sont libres et forment un "nuage" électronique.
Cependant il existe à la surface une force qui empêche ces électrons de sortir du conducteur,
formant ainsi une barrière qui repousse les électrons vers l’intérieur. Ainsi, dans un métal, les
électrons sont dans un puits de potentiel, et l’énergie des électrons est inférieure à la valeur
énergétique du niveau de Fermi qui leur permettrait de sortir du matériau. La différence
d’énergie entre le niveau de Fermi et l’énergie maximum des électrons est appelée fonction de
15
travail, ou énergie d’extraction. Cette énergie est de quelques électronvolts (eV)
(1eV=1,6.10-19 joules).
Ainsi, pour faire sortir les électrons du conducteur, il faut leur fournir l’énergie nécessaire
pour franchir la barrière du niveau de Fermi. Pour un métal, cette énergie est située autour de
4 ou 5 eV. La mise en contact des deux matériaux provoquera à leur surface une égalisation
des niveaux de Fermi (figure 1.2). En effet, la faible distance entre les deux surfaces
(quelques Angströms) permet, par effet tunnel, une circulation des électrons qui ont tendance
à égaliser les niveaux d’énergie. Le mécanisme de transfert par effet tunnel a été très
largement étudié par Harper [54]. Dans une telle configuration, le transfert d’électrons se fait
toujours d’un niveau d’énergie élevé vers un niveau d’énergie faible. Ainsi, le matériau ayant
initialement le niveau de Fermi le plus élevé perdra des électrons, se chargeant ainsi
positivement par déficit d’électrons, et le matériau ayant le niveau de Fermi le plus faible se
chargera négativement par gain d’électrons. Finalement, tout en conservant une interface
globalement neutre, une différence de potentiel s’établira entre les deux surfaces des
matériaux. Cette différence de potentiel s’exprime tel que :
ǻV =
ij1−ij2
e
(1.1)
e étant la charge d’un électron et iji la fonction de travail des matériaux mis en contact.
Si la rupture de contact est simultanée sur l’ensemble de la surface, et que les deux matériaux
sont bien isolés de la terre, chaque conducteur conservera son excès ou déficit d’électrons, et
donc sa charge acquise lors du contact. Ainsi, Harper [54] a montré une proportionnalité entre
la charge transférée et la différence de potentiel entre les deux surfaces après séparation
(figure 1.3). Cependant la charge mesurée après séparation est plus faible que celle attendue.
Cette différence étant certainement due aux états de surface, et à une annulation partielle des
charges lors de la séparation liée à un effet tunnel ou à une relaxation des charges. Le nombre
de charges transférées après séparation est donné par la formule :
Q=k
ij1−ij2
e
(1.2)
Où k est un facteur qui tient compte de la forme, de l’état de surface et des conditions
expérimentales.
16
Avant contact
1
Niveau dæénergie
à1
Après contact
2
1
2
à2
Niveau
de Fermi
Charge initiale
nulle
Charge
positive
Charge
négative
Fig. 1.2. Mécanisme de tribo électrification issue de la théorie des bandes pour des matériaux conducteurs.
Fig. 1.3. Courbe de charge (Q) en fonction de la différence de potentiel ·V (Selon Harper)
b) Les contacts conducteur/semi-conducteur
Ce type de contact a été étudié par Coste qui a donné une expression de la densité
surfacique de charge transférée lors de la mise en contact d’un métal et d’un semi conducteur.
Ainsi, pour des semi-conducteurs à faible densité d’états de surface (Ds), la densité surfacique
de charge Ý peut s’exprimer de la façon suivante :
ı=eDs ( ijm −ijsc )
(1.3)
La densité dæétats étant définie comme le nombre dæétats disponibles pour les électrons. Si le
17
semi conducteur concerné par la collision a une grande densité d’états de surface, alors
l’expression de la densité surfacique de charge transférée s’exprime tel que :
ı
İ0/(e*Ï) * ( ijm −ijsc )
(1.4)
Ò0 étant la permittivité du vide, Ï la distance de séparation pendant le contact (typiquement
1.107 m)
Tout comme pour les contacts conducteur/conducteur, nous retrouvons une proportionnalité
entre la charge échangée et la différence des travaux d’extraction des matériaux mis en
contact (figure 1.4).
àPàVF
àPàVF
Fig. 1.4. Densité surfacique pour deux types de semi-conducteurs (Selon Coste)
c) Le chocs isolants / polymères :
Alors que la triboélectrification entre deux polymères ou même entre un polymère et
un métal ne fait aucun doute, la théorie concernant leur mécanisme de charge n’est toujours
pas totalement comprise. A première vue, il est assez absurde de considérer une charge par
effet triboélectrique dans des polymères puisque les bandes de conduction et la bande de
valence sont séparées par de forts niveaux d’énergie. Selon la théorie des bandes, aucun
électron ne peut se situer dans la bande interdite entre la bande de valence et la bande
conduction. De plus, même si des électrons arrivaient à traverser la bande interdite, la charge
transférée lors d’un contact devrait donc être fonction de l’épaisseur de la bande interdite, ce
qui n’est pas le cas comme le montrent les séries triboélectriques.
Il est cependant indéniable qu’un transfert de charges s’effectue en présence de polymères,
comme il a déjà été dit en introduction. Pour expliquer cette charge électrostatique, plusieurs
théories ont été avancées. Afin de calquer la théorie utilisée pour les conducteurs et semi
conducteurs, certains auteurs, Coste [55], mais également Lowel [56] ont tout simplement
étendu l’utilisation des formules utilisées pour les semi conducteurs aux polymères. Ainsi un
18
transfert électronique entre les matériaux a été identifié comme étant responsable de la charge
des polymères. Cependant la relation liant la densité de charge et le travail d’extraction n’est
pas toujours linéaire. Des études ont montré que la charge produite par la mise en contact de
matériaux ayant des différences de travaux d’extractions ne dépassant pas 5ev donne des
courbes linéaires alors que quand la différence des travaux d’extractions est supérieur à 5ev,
la courbe semble plutôt exponentielle (figure 1.5).
Fig. 1.5. Comparaison des courbes de charge pour des contacts métal-polymère et pour des contacts polymèrepolymère
Dès 1902, une observation de Knoblauch a montré que les matériaux organiques acides
avaient tendance à se charger négativement alors que les matériaux organiques basiques se
chargeaient plutôt positivement. C’est donc en relation avec l’acidité / basicité qu’il a établi
une relation de transfert de protons pour expliquer la charge des matériaux solides organiques.
Le même phénomène a été observé par Medley en 1953. Ainsi, dans les années 60, Harper
[54], puis plus récemment Diaz [57] puis McCarty et Whitesides [58] ont montré que dans
certains cas, un transfert ionique pouvait expliquer la charge des polymères. Alors que Harper
[58] conclut, au sujet du débat sur le mécanisme transfert électronique ou transfert ionique,
que " la réponse définitive ne peut maintenant être donnée ", Diaz [57,59] a proposé qu'un
mécanisme de transfert de protons puisse expliquer la triboélectrisation de plusieurs matériaux
isolants.
Un des points faibles de la théorie du transfert ionique lors d’une collision de deux isolants
réside dans l’explication de la tribocharge en présence de polymères non ioniques. Comment
expliquer la présence d’ions mobiles à la surface de tels matériaux ? C’est ainsi que Lowell et
Rose-Innes [56], malgré un travail basé sur le livre de Harper [54], arrivent à des conclusions
complètement contradictoires affirmant læexistence dæun transfert électronique pour les
matériaux qu’ils ont étudiés.
Encore aujourd’hui, malgré des preuves formelles de son existence, la triboélectricité reste un
phénomène inexpliqué lorsqu’elle met en cause des matériaux complexes tels que les
polymères.
19
1.2.3. Modélisation du phénomène
La complexité des phénomènes physiques et les rapports d’échelles spatiales et
temporelles mis en jeux ont conduit les auteurs à mettre en place des modèles de charge
triboélectrique. Suivant les applications étudiées, nous pouvons distinguer presque autant de
modèles que d’auteurs. Nous les avons cependant regroupés en quatre catégories. Le plus
simple a été initié en 1983 par Masui et Murata [60], puis appliqué en 2003 au calcul de
charge générée par le transport pneumatique de poudres [61]. Dans ce modèle simple, les
échanges de charges sont considérés linéaires et proportionnels à la surface selon la formule :
Q=Sq
(1.5)
Où Q est la charge échangée durant la collision, S la surface de contact entre les particules et
q une constante correspondant à une densité surfacique de charge maximum déterminée
expérimentalement. En pratique, ce modèle ne peut être utilisé que pour des simulations non
résolues en temps, permettant d’avoir une idée de la charge globale en fin de simulation.
Un second modèle plus élaboré est basé sur la représentation des contacts sous forme de
circuit résistance/capacité (RC) et a été utilisé dès les années 70 et jusqu’à aujourd’hui
[62,63]. Ses précurseurs sont Cheng et Soo [64], mais on peut également citer Matsusyama
[62] qui a effectué de nombreuses recherches basées sur ce modèle. Il est notamment l’auteur
de la théorie sur la relaxation de charge utilisée dans notre étude sur la charge triboélectrique
par impact [65].
Parallèlement, un autre modèle a été introduit par Lowell et Truskott [66] en 1986. Egalement
utilisé plus récemment par Lacks et Duff [67,68] pour calculer de façon plus précise
l’évolution de la charge d’un nuage de particules au cours du temps. La particularité, de ce
modèle est qu’il considère la distribution surfacique des charges sur les particules ainsi que le
niveau d’énergie de ces charges. Ce modèle, qui doit être l’un des mieux résolu dans le temps
et dans l’espace doit également être l’un des plus coûteux du point de vue du temps de calcul.
Parmi tout les modèles présentés ici, nous retiendrons que ce qui a été privilégié par les
auteurs est : soit une grande simplicité permettant des calculs rapides, soit des modèles très
précis, mais compliqués et donc difficiles à mettre en œuvre pour effectuer des calculs à
grande échelle comprenant de nombreuses particules.
Dans le but de trouver un compromis, une autre catégorie de modèle a été proposée.
Développé en 1995 par Castle [69], et appliqué en 1998 dans une étude sur la charge de
matériaux dispersés [70], ce modèle tente d’allier les paramètres physiques, l’environnement
et la géométrie des matériaux. La seule limitation concerne son utilisation puisque la
formulation du problème a été développée pour des milieux homogènes et pour une phase
20
granulaire dispersée. Partant de ces hypothèses, les équations sont simplifiées par une étude
statistique sur les collisions supprimant ainsi du champ d’application la modélisation du
transfert de charges dans des lits de particules compacts. C’est en se basant sur les théories
développées par Castle que nous avons étendu ce modèle à des cas plus généraux incluant à la
fois des milieux homogènes ou hétérogènes par une résolution du problème à l’échelle de la
particule.
1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes
L'approche consistant à combiner la simulation numérique de la phase fluide continue
avec la méthode des éléments distincts pour la phase discrète a été très utilisée pour étudier
l’aspect fondamental du couplage particules fluide. Différents modèles de couplages fluideparticules ont été utilisés. Il apparaît dans la littérature que trois sortes de formulations
coexistent [71]. D’une manière générale le couplage entre les phases apparaît toujours comme
une approche multi- échelle, tant en terme d’échelle de temps que d’échelle spatiale [72-74].
Tout comme la partie granulaire, la partie fluide peut elle aussi être discrétisée suivant
plusieurs échelles : simulation de dynamique moléculaire (SPH), méthode Lattice-Boltzman,
ou alors les méthodes plus conventionnelles comme les volumes finis, éléments finis ou
différences finies.
Deux approches majeures existent : une première est appelée eulérienne-eulérienne avec les
modèles à deux fluides et læautre est appelée eulérienne lagrangienne avec les modèles
CFD/DEM. Dans les modèles à deux fluides, initiés par Anderson et Jackson [75] en 1967, les
deux phases sont considérées comme des milieux continus qui sæinterpénètrent. La résolution
du problème se fait sur une grille dont la taille des mailles doit être supérieure à la taille des
particules. Les performances de cette approche sont intimement liées aux modèles de
transferts entre la phase solide et la phase fluide, notamment l’échange d’énergie et de la
quantité de mouvement entre ces phases. Ceci est particulièrement critique dans le cas de la
prise en compte dæune phase solide polydisperse. Dans les couplages CFD-DEM, la
dynamique du fluide est obtenue par résolution des équations de Navier-Stokes modifiées par
des moyennes dæensemble, tandis que le mouvement des particules est calculé à partir de la
seconde loi de Newton. Le couplage entre les deux phases est pris en compte au travers des
forces d’interactions particules- fluide. L’utilisation de læapproche CFD-DEM constitue un
avantage important pour comprendre les écoulements relativement complexes puisquæil donne
accès à toutes les grandeurs à l’échelle de la particule telles que : les vitesses, positions,
trajectoires, forces… [76,77]. Les équations de la phase fluide des modèles CFD-DEM sont
directement tirées de celles utilisées pour les modèles à deux fluides.
21
1.3.1 Les modèles à deux fluides
Les modèles à deux fluides pour traiter un couplage gaz-solide ont été proposés dès l’aube des
années 70. On peut citer par exemple Anderson et Jackson [75] en 1967 et Ishii [78] en 1975.
Plus récemment, entre le milieu des années 90 et le début des années 2000, Gidaspow [79],
Enwald [80] et Jackson [81] ont repris ces travaux. Parmi tout les travaux effectués plusieurs
variantes ont été apportées, notamment par Arastoopour et Gidaspow [82], Lee et Lyczkowski
[83], ou encore van Wachem [84]. Le lecteur trouvera un résumé très complet dans le livre de
Prospertti et Tryggvason [85].
De façon générale, dans toutes les variantes, le fluide, comme la phase solide sont traités
comme des milieux continus. Pour arriver aux équations finales, les équations de NavierStokes sont écrites et moyennées dans læespace pour les deux phases. La pression solide et la
viscosité de la phase solide sont deux paramètres importants dans la modélisation de la phase
solide [78,86-90].
Deux variantes existent et sont couramment appelées model A et modèle B. Les équations du
modèle A sont celles utilisées dans les codes de calculs industriels tel que Fluent® ou CFX®.
Le Modèle B, ainsi que le Modèle B simplifié sont basés sur le tout premier modèle formulé
par Anderson et Jackson [75]. Ce second modèle ne distribue pas la pression suivant les deux
phases, seule la phase continue faisant apparaître le terme de pression, ce qui est
compréhensible à partir du moment où la phase dispersée est un milieu granulaire. Des tests
menés d’abord par Arastoopour & Gidaspow [82] en 1979 sur le transport pneumatique, puis
ensuite en 1989 par Bouillard [91] sur des lits fluidisés montrent des différences insignifiantes
entre les deux modèles. Cependant, Bouillard [91] précisera tout de même que "La présence
du gradient de pression dans la phase fluide et dans la phase solide du modèle A résulte d’un
problème mal posé initialement, ce qui conduit à de possibles instabilités dans certaines
conditions, le modèle B étant lui bien posé puisqu’il ne fait appel qu’à des caractéristiques
physiques propres à chaque phases". Enwald [80] précisera plus tard que l’unicité et la
stabilité du modèle B n’avait été prouvée que dans sa version unidimensionnelle, et ce par
Lyckowski en 1978 [94]. Le modèle A est alors resté le plus populaire.
1.3.2 Les Modèles CFD-DEM
La principale différence entre les modèles à deux fluides et l’approche eulériennelagrangienne se situe dans les échelles de résolution spatiale. Tandis que dans les modèles à
deux fluides, les deux phases sont calculées aux mêmes échelles spatiales (taille des mailles),
les modèles utilisant les méthodes particulaires utilisent deux échelles propres à chaque phase.
La phase fluide est calculée à l’échelle des mailles, alors que la phase solide est résolue à
l’échelle des particules. Ainsi, sans changer de façon significative les équations utilisées pour
22
la phase fluide, les modèles CFD-DEM utilisent les modèles particulaires décrits
précédemment pour le calcul du mouvement des particules.
Les équations concernant la dynamique moléculaire ont été très étudiées et sont détaillées
dans le chapitre 2. Les interactions fluide-particules sont basées sur la somme de toutes les
forces appliquées individuellement par le fluide sur les particules.
Les équations générales régissant ces modèles sont les suivantes :
Pour les particules,
nv
mi dv = ¦f ijc +mi g+ffi
dt j 1
Ii
(1.6)
dȦi nv
= Mij
dt ¦
j=1
(1.7)
Les f ijc représentent les forces dues aux collisions interparticulaires et les collisions particules parois tandis que les ffi représentent les forces du fluide agissant sur les particules. mi est la
masse de la particule i, g læaccélération de la pesanteur, Mij est le couple engendré par les
forces de contacts. v et åi sont respectivement la vitesse de translation et la vitesse de
rotation de la particule i, Ii est le moment dæinertie de la particule i.
Pour la phase continue, les équations directement tirées du modèle à deux fluides donnent :
&
∂ ( ρεu )
& &
&
&
+ ∇ ⋅ ( ρεu ⊗ u ) = −ε∇p + ∇ ⋅ ( µε (∇u t + ∇u )) − f pf
∂t
(1.8)
et
&
&
∂ ( ρεu )
+ ∇ ⋅ ( ρεu ) = 0
∂t
(1.9)
où fpf est la somme des contributions des forces ffi des particules sur le fluide se trouvant dans
le volume de contrôle. Dans cette écriture, İ représente la fraction volumique de la phase
continue dans le volume de contrôle considéré. Ü et × sont respéctivement la masse
u est sa vitesse et p la pression.
volumique et la viscosité du fluide, ~
Parmi les forces d’interactions entre le fluide et les particules, nous pouvons citer les plus
courantes que sont les forces de traînées, les forces dues au gradient de pression, les forces
visqueuses, les forces de masse ajoutée, forces dæhistoire (forces de Basset), ainsi que les
23
forces de portance telles que les forces de Saffman et Magnus.
Dans les modèles CFD-DEM, le couplage entre les phases est principalement dû aux forces
d’interactions entre les particules et le fluide. Ces forces sont résolues à l’échelle des
particules pour la phase dispersée et à l’échelle des mailles pour la phase fluide. On trouve
dans la littérature trois formes de résolution de ces forces [93]. :
-
Méthode 1 : elle consiste à calculer l’action des particules sur le fluide par une moyenne
locale exactement comme dans les modèles à deux fluides. Les forces du fluide sur les
particules sont calculées individuellement particule par particule en fonction de la vitesse
relative entre la particule et le fluide.
-
Méthode 2 : les forces des particules sur le fluide sont calculées de la même façon que
dans le premier schéma, cependant les forces de rétroaction ne sont plus calculées de
façon locale, mais sont issues d’une moyenne pondérée des forces des particules sur le
fluide par le nombre de particules présentes dans le volume de contrôle.
-
Méthode 3 : elle consiste à calculer d’abord les forces d’action du fluide sur les particules
à leur échelle, pour ensuite les sommer et avoir les forces à l’échelle d’une maille [76].
L’utilisation de la première méthode amène à se poser des questions sur le respect de la
troisième loi de Newton. En effet, à cause de la décorrélation du calcul des forces fluide sur
particules avec le calcul des forces particules sur fluide, sans précautions particulières, rien ne
garanti à priori l’équilibre de forces. Ce problème n’apparaît pas dans les deux autres
méthodes. Cependant les artéfacts numériques et les hypothèses nécessaires au calcul des
forces des particules sur le fluide à l’échelle des mailles fluides dans le second modèle ont
conduit à l’utilisation du troisième modèle. Les différentes formulations de ces modèles ont
été résumées par Zhou [71] et ont toutes été comparées sur différentes configurations.
La fluidisation est l’un des tests majeurs pour un modèle diphasique fluide/particule. Selon
Zhou [71], dans l’ensemble des tests effectués, les trois modèles se comportent de façon très
similaire, introduisant des différences très mineures d’un modèle à l’autre sur des grandeurs
macroscopiques mesurées à l’échelle du fluide tel que la pression, ou les forces d’interactions.
Des résultats probants ont également été obtenus pour du transport pneumatique. Encore une
fois, les différences observées sont mineures. Cependant, læutilisation de la troisième méthode
conduit à surestimer les gradients de pression dans les écoulements pistonnants. Ce
phénomène avait d’ailleurs déjà été observé, mais avec une amplitude très faible pour les lits
fluidisés. Un dernier cas test a été effectué à l’aide du logiciel Fluent. Il s’agit de la simulation
d’un cyclone de séparation et de tri par densité des matériaux granulaires [71]. Seuls les
modèles 1 et 3 ont été comparés et des différences majeures ont été observées. Ces différences
concernent tant le mouvement des particules que les grandeurs macroscopiques telles que la
pression et les forces d’interactions. Les auteurs concluront que le modèle n°3 n’est pas en
mesure de représenter l’écoulement dans un cyclone car certaines conditions nécessaires à la
24
validité du modèle ne sont pas respectées.
Parmi toutes les forces de couplage, il en est certaines qui peuvent parfois être négligées selon
les conditions et paramètres dæécoulement. En outre, certaines configurations d’écoulements
diphasiques permettent également de ne pas tenir compte de l’ensemble des couplages
particules-particules ou particules-fluide. Ainsi, dans l’ensemble des écoulements incluant
une phase dispersée, plusieurs degrés de couplage peuvent être distingués. Le choix du
couplage est principalement dicté par le taux de concentration de la phase dispersée dans la
phase continue. On trouve alors quatre niveaux de couplage allant du "one way coupling",
pour une phase solide très dispersée, au "four way coupling" pour les écoulements denses
[94].
Le premier couplage est utilisé pour des écoulements très dilués, et dont la taille et la masse
volumique des particules ne laissent présager aucune chance de collision interparticulaires,
mais également aucune influence des particules sur l’écoulement. C’est l’hypothèse qui est
faite notamment lors de l’utilisation de traceurs pour des méthodes de visualisations tels que
la PIV (visualisation par imagerie de particules). Certaines méthodes numériques basées sur
des méthodes Monté-Carlo utilisent également de tels traceurs [95,96]. Dans ce cas là, les
forces des particules exercées sur le fluide étant très faibles devant les gradients de pression,
elles peuvent donc être négligées, seule les forces exercées par le fluide sur les particules est
pris en compte.
Dans le couplage "two way", la densité de particules ou la vitesse relative entre les particules
et le fluide, requiert la modélisation des efforts des particules sur le fluide. Ce couplage tient
compte simultanément des forces dæinteraction du fluide sur les particules, mais également des
forces de rétroaction des particules sur le fluide. On peut citer comme exemple l’entraînement
d’un fluide par l’injection de particules ou l’interaction entre un panache de bulles et un
liquide.
La modélisation "three way" est un peu plus subtile, elle doit permettre de tenir compte de
l’effet de la turbulence produite par des particules sur d’autres particules. L’une des
conséquences de ce couplage serait l’entraînement d’une particule par un effet d’aspiration
due à une particule la précédant. Dans les codes numériques, ce troisième couplage se traduit
généralement par une modification du coefficient de traînée en fonction du taux de particules
présentes dans la maille [94,97].
Dans tout les cas précédemment cités, les forces fluides sont dominantes par rapport aux
forces engendrées par le mouvement des particules, ce sont des régimes d’écoulements
dispersés. Les écoulements denses quant à eux sont dominés par les collisions
interparticulaires. Dans des cas quasi statiques, les collisions peuvent être ramenées à des
contacts. Dans des écoulements à collisions dominantes, les forces interparticulaires
deviennent comparables, voir supérieures, aux forces fluides. Dans ce type dæécoulement, tout
les types de couplages doivent être pris en compte : les forces liées aux chocs particules25
particules, les forces de collisions avec les parois, mais également les forces particules-fluide
et fluide-particules sont calculées. On obtient alors le couplage "four way".
Une augmentation de la concentration de particules dans le domaine peut conduire à des
temps de suspension très faibles devant les temps de contacts. Si la masse volumique des
matériaux granulaires est très grande devant celle du milieu fluide environnant, on peut
ramener le système à un écoulement à contact dominant, réduisant ainsi la dynamique de
l’ensemble. Les lits vibrés sont un cas particulier d’écoulement granulaire puisque la
dynamique des particules est majoritairement dominée par des contacts au sein du lit, ainsi
que les chocs à la surface du lit. De tels écoulements sont généralement traités comme des
écoulements granulaires purs, en négligeant les effets du fluide sur les particules, on parle
alors dæécoulements granulaires secs. Des écoulements clairement diphasiques peuvent
également faire cœxister des écoulements dispersés et des écoulements denses, c’est
typiquement le cas du transport de sédiments (dunes…) par un écoulement cisaillant,
provoquant un écoulement chargé à proximité du lit de particules, et un écoulement dispersé
dans le sillage.
1.4. Parallélisation
Quæils soient utilisés pour modéliser une phase solide ou une phase fluide, il est notoire que
les modèles particulaires prenant en compte une grande quantité de particules sont de gros
consommateurs de temps CPU. La principale source de consommation du temps se situe dans
la recherche des particules voisines avec lesquelles il va être nécessaire de calculer des forces
dæinteractions. Læune des solutions qui a été largement adoptée ces dernières années pour
remédier à ce problème consiste à distribuer les taches sur de multiples processeurs. On parle
alors de multitâche et de parallélisation. Plusieurs types de parallélisation peuvent être
rencontrés. La plus simple à mettre en œuvre est utilisée lorsquæil est nécessaire de faire une
étude paramétrique. Cette méthode consiste à exécuter le même code sur différents
processeurs en utilisant des jeux de paramètres différents. La gestion de la distribution des
tâches est laissée à læinitiative du programmeur, par des scripts BASH, PYTHON ou autres
langages de programmation bas niveau. Deux autres types de programmation, qui relèvent
plus à proprement parler du domaine de la parallélisation, peuvent être envisagés. Cæest le
type de machine utilisé pour les calculs qui va déterminer le type de parallélisation quæil faut
envisager. Avant dæaborder les méthodes de parallélisation, le paragraphe suivant donne un
bref aperçu des possibilités offertes en fonction du type de machine disponible.
1.4.1 Les différentes librairies de parallélisation
26
Les machines de type "multiple instructions, multiple datas" (MIMD) ont une architecture
parallèle, utilisant de multiples processeurs reliés par un réseau de communication rapide. Ces
machines appartiennent à deux sous catégories :
- Les machines à mémoire partagée. Ces clusters ont la particularité de fournir à
læensemble des processeurs un accès à une mémoire commune. La parallélisation
sæeffectue par des directives de compilations de type OpenMP [98] ou TBB (Threading
Building Blocks) [99].
-
Les machines à mémoire distribuée. Dans le cas de machines à mémoire distribuée, les
processeurs ont chacun une mémoire qui leur est propre, il næont pas accès à la zone
mémoire qui est réservée pour les autres processeurs qui sont affectés aux calculs. Le seul
moyen dæy accéder consiste à instaurer un dialogue entre chaque processeur. On parle
alors de parallélisation par passage de messages (MPI : Message Passing Interface). La
norme de ce type de parallélisation a été rédigée par læ8niversité du Tennessee [100]. Les
librairies couramment employées sont OpenMPI ainsi que MPICH et ses dérivées.
Depuis læavènement des processeurs multi-coeurs, des machines hybrides ont vu le jour et il
næest pas rare de rencontrer des codes hybrides OpenMP/OpenMPI. Dæune manière générale,
les clusters de type MIMD sont fabriqués à partir de cartes contenant plusieurs processeurs
formant un nœud. Læassemblage de ces cartes via des réseaux à haute bande passante forme le
cluster. Chaque processeur appartenant à un nœud peut contenir de 1 à 8 cœurs. Le
programme qui est chargé sur les nœuds est appelé processus. Un ordonnancement "normal"
distribue un processus par nœud. Il est généralement possible de contrôler le nombre de
processus qui sera affecté à chaque nœud. Pour bénéficier de plus de mémoire vive,
læutilisateur peut par exemple utiliser 4 cœurs pour ne gérer quæun processus.
La portabilité des codes est læun des points importants dans le cas dæun travail sur de multiples
machines. OpenMPI et MPICH sont deux librairies qui sont compatibles et installées sur la
majorité des clusters. Leurs instructions sont les mêmes, seules quelques différences sur la
mise en œuvre sont à déplorer. Dæaprès læexpérience qui a été acquise au cours de cette thèse,
il semble que la librairie MPICH soit plus proche de la norme que OpenMPI. OpenMPI peut
parfois être plus restrictif que MPICH.
Une seconde catégorie de machine doit être citée, il sæagit des machines vectorielles. Elles
sont de type SIMD : "single instruction, multiple datas". Les centres de calculs ont dæabord
privilégiés ce type dæarchitecture pour ensuite laisser majoritairement la place aux machines
de type MIMD. Cependant læapparition, ces dernières années, de cartes GPU dédiées au calcul
scientifique, a redonné un nouveau souffle à la programmation de type vectoriel. Les
27
performances de ces cartes ont décidé un grand nombre de programmeurs à les utiliser
[101,102]. Cæest notamment Nvidia qui a lancé la programmation sur carte graphique GPU
par la création du langage CUDA [103].
Læensemble des simulations présentées dans ce manuscrit a été réalisé à partir dæinstructions
programmées en Fortran. Au moment de commencer la parallélisation du code, il næexistait
pas encore de compilateur Fortran gratuit en mesure dæinterpréter les instructions CUDA, ce
qui explique le recours à une programmation de type MPI.
1.4.2 Les méthodes de parallélisation
Les applications traitées dans cette thèse nécessitent læutilisation dæun grand nombre de
particules. Dans ces conditions, le temps de calcul de la phase solide peut être beaucoup plus
important que le temps de calcul de la phase fluide. Nous avons donc focalisé nos efforts sur
la parallélisation de cette partie du programme.
La norme MPI a été construite de façon à optimiser la communication entre les différents
processus. Cependant comme pour toutes les communications, l’instauration du dialogue
nécessite dæaménager des temps dæattente pour sæassurer de la synchronisation entre les deux
processus qui doivent sæéchanger des données. Ces temps dæattente peuvent être relativement
longs. Afin de les limiter lors de læexécution, il est donc nécessaire de réduire au maximum le
nombre dæappels aux routines de communication. Cæest pour cette raison que plusieurs
stratégies de parallélisation ont été envisagées par les auteurs.
La mesure des performances des codes est donnée par læaccélération Ì :
Î
T(1)
T(p)
(1.10)
T(n) étant le temps dæexécution du programme parallélisé sur n processeurs.
Historiquement, cæest Schroder [104] qui a construit, en 1995, læun des premiers codes
diphasiques utilisant un couplage CFD/DEM. Le principe quæil a utilisé consiste à découper
régulièrement læensemble du domaine en une multitude de sous- domaines identiques. Chaque
processus gère un sous- domaine, mais tous les processus contiennent une copie des tableaux
globaux. La mémoire utilisée par chaque processus est donc considérable. En 1996, puis en
2003, Washington et Meegoda [105, 106] modifient la méthode de répartition des particules
sur les processeurs. Ils utilisent les réseaux de contacts de particules pour déterminer les
28
groupes de particules qui seront traités par chaque cœur de calcul. Ils obtiennent avec cette
méthode des réductions importantes du temps de communication. Encore une fois, ce système
requiert une mémoire importante pour chaque cœur de calcul, chaque processeur devant
connaître à tout moment la position de toutes les particules du domaine. Ils obtiennent une
accélération de 8,73 en utilisant une machine comportant 512 cœurs. En 2006 Maknickas
arrive à obtenir une accélération de 11 en utilisant 16 cœurs pour la simulation dæun système
comportant 10000 particules, ce type de performance est déjà très honorable. La méthode
employée consistait à découper le domaine en sous- domaines contenant chacun autant de
particules. Chaque processus utilise des structures de données locales, ce qui permet de
réduire dæune part la quantité de RAM nécessaire, mais également le nombre de
communications à effectuer.
En 2011, Kafui et al. [117] ont publié une méthode couplée CFD/DEM reprenant une
distribution conditionnée par les chaînes de contacts. En améliorant la gestion de mémoire
utilisée par Washington et Meegoda [105, 106], ils obtiennent une accélération des
algorithmes DEM égale à 25 pour une utilisation de 32 processeurs. Læaccélération inhérente
au calcul de la phase fluide étant limitée à 10 pour le même calcul.
Conclusion
La simulation numérique des phénomènes triboélectriques apparaissant dans des
écoulements granulaires nécessitent de mettre en place plusieurs modèles:
-
Il faut tout dæabord modéliser la phase granulaire à læéchelle des particules. Cæest ce qui
sera fait par la réalisation dæun programme à læaide dæune méthode DEM de type soft
sphere. Læapplication principale de ce modèle sera consacrée aux lits vibrants.
-
La charge des particules par effet triboélectrique sera calculée par un modèle déterministe
dæéchange de charge aux points dæimpacts des particules
-
Un couplage de type eulérien-lagrangien entre un code de calcul pour la résolution des
équations de Navier-Stokes et la phase granulaire sera réalisé pour permettre la
simulation des lits fluidisés.
-
La parallélisation du programme sæest avérée nécessaire pour pouvoir mener à bien les
simulations tridimensionnelles comportant un grand nombre de particules.
29
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36
&KDSLWUH
0pWKRGHGHVpOpPHQWVGLVWLQFWVWKpRULHHWUpVXOWDWV
Nomenclature des principales variables.................................................................... 39
2.1 Développement du modèle utilisé ........................................................................ 41
2.1.1 Les modèles viscoélastiques................................................................................ 43
2.1.2 Implantation du modèle dans le code ................................................................ 49
2.2. Application aux lits vibrés ..................................................................................... 50
2.2.1 Validation du code et mise en place des outils dæanalyse ................................. 51
2.2.2 Etude et amélioration du mélange au sein des lits vibrés ................................. 61
2.2.3 Etude des structures en 3D et des surfaces libre ............................................... 69
Conclusion............................................................................................................................ 79
BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................ 80
37
38
Nomenclature des principales variables
A
d
dn
e
E
fph
f0
n
F
t
F
el
Fn
el
Ft
diss
Fn
diss
Ft
G
~
J
J
kn
kt
m*
mi
M
p
P0
rc
R*
t
tn
v0
v1
vr
vs
¶
Ï
Ñn
Ñt
Ð
Ðn
Ðt
×
Ø
Ü
Ê0
ã
å2
Ë
Amplitude de vibration
Distance séparant le centre de deux particules
Déplacement normal dæune particule lors dæun contact
Cœfficient de restitution
Module dæYoung
Fréquence des moyennes de phase
Fréquence de vibration
Forces normales appliquée à une particule
Forces tangentiel appliquée à une particule
Forces normales élastiques
Forces tangentielles élastiques
Forces normales dissipatives
Forces tangentielles dissipatives
Module dæélasticité en cisaillement
Vitesse moyennée en phase
Critère de mesure de convection
Coefficient de raideur normal
Coefficient de raideur tangentiel
Masse réduite de deux particules en contact
Masse de la particule i
Taux de mélange normalisé
Pression sur la surface de contact
Pression maximum sur la surface de contact
Rayon de la surface de contact
Rayon équivalent des deux sphères en contact
Temps
Temps de contact de deux particules
Vitesse relative avant impact
Vitesse relative après impact
Vitesse relative entre deux particules
Vitesse de glissement
Accélération maximum adimensionnée
Overlap entre deux particules
Overlap normal
Overlap tangentiel
taux de présence de particule
Coefficient dæamortissement normal
Coefficient dæamortissement tangentiel
Coefficient de frottement
Coefficient de Poisson
Densité des particules
Phase de référence
Pulsation de vibration
Fréquence de modulation
Vitesse de rotation des particules
39
40
Chapitre
2
METHODE DES ELEMENTS DISTINCTS : THEORIE ET
RESULTATS
La modélisation des écoulements granulaires par la méthode des éléments distincts
(distinct element method = DEM) avec un modèle de particules molles, dit "soft sphere
model", est basée sur la mécanique des contacts, et plus particulièrement sur la déformation
des particules lors dæune collision. Le modèle utilisé sera détaillé dans le sous chapitre 2.1.
Tout un ensemble de tests a été réalisé en 2D puis en 3D pour vérifier la validité du code. En
liaison avec les applications impliquant la charge de particules par effet triboélectrique, des
études ont été menées sur les structures prenant naissance à læintérieur des lits vibrés, ainsi que
sur les surfaces libres des lits vibrés. Le taux de mélange et la quantité de mouvement ont
également été étudiés. Ces résultats sont consignés dans la seconde partie de ce chapitre.
2.1 Développement du modèle utilisé
La déformation des matériaux, fait que pendant la durée d’un impact la distance d
entre les centres de deux particules peut être plus petite que la somme des rayons de celles-ci.
Dans ce cas, il est possible de définir l’overlap, ou l’interpénétration (į), comme la distance
normale au point d’impact entre les deux particules si elles ne s’étaient pas déformées (figure
2.1). Un simple calcul géométrique permet de relier ces deux grandeurs d et δ à la taille r de
la particule.
Distance d
Ï
Fig. 2.1 Représentation géométrique de la collision de deux particules sphériques. La distance d est mesurée
entre le centre des deux particules et Ï est læinterpénétration des deux particules au cours de la collision.
Des mesures de forces, et des théories reliant la force et la surface ont été élaborées, basées
41
sur le simple constat suivant : lorsque l’on presse une sphère sur un plan élastique, la surface
de contact entre la sphère et le plan augmente. En ne considérant que la composante normale,
le mouvement des particules obéit à la seconde loi de Newton exprimée par :
F
ò Ñ m*
òt2
2
n
(2.1)
n
Où F est la force normale, ò Ñ2 l’accélération relative des particules et m*, la masse réduite,
òt
2
calculée selon la formule :
m*=
mi mj
,
mi +mj
(2.2)
mi et mj étant respectivement la masse des deux particules en contact. On considèrera
qu’avant impact les particules ont une vitesse relative òÑ
òt
aurons également un overlap nul : Ñ
v0 constante. Par définition, nous
0
En fonction des vitesses, des particules entrant en contact, de leurs formes et de la nature des
matériaux qui les composent, quatre mécanismes de collision se distinguent:
- Les collisions purement élastiques : Dans ce cas, aucune dissipation d’énergie ne vient
amortir le système, il y a donc conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie
cinétique du système global. Cæest le cas des molécules formant un gaz.
-
Les chocs viscoélastiques : ceux-ci conservent la réversibilité des déformations,
cependant le déplacement des particules dépend cette fois, linéairement ou non, de leur
déformation et d’un coefficient d’amortissement.
-
Les déformations plastiques : permanentes et non réversibles, leur modélisation ne fera
intervenir que la vitesse avant impact, et non pas le déplacement au cours du choc.
-
Les modèles viscoplastiques : ils sont non réversibles, totalement non linéaires et font
intervenir les vitesses relatives des particules, des coefficients d’amortissement, et des
coefficients de déformation plastique.
Les contacts viscoélastiques peuvent se représenter sous deux formes régulièrement
rencontrées en mécanique des contacts ou en rhéologie. Il sæagit de l’assemblage d’éléments
mécaniques standards tels que des ressorts représentant l’élasticité, des amortisseurs, ou
encore des glissières. Ces éléments représentent l’interaction qu’il peut y avoir entre deux
particules au moment d’un impact. Lorsqu’ils sont associés en parallèle, ils sont appelés
solides de Kelvin-Voigt (figure 2.2), alors que leur mise en série forme des solides de
42
Maxwell. Pour plus de précisions sur ce type de représentation, le lecteur peut se reporter au
livre de Lemaitre et Chaboche [1] où la viscoélasticité avec les différents modèles tels que
Kelvin-Voigt et Maxwell, simple et généralisé, sont présentés.
kt
În
k
×
n
Ît
Fig. 2.2 Représentation d’un contact viscoélastique par des éléments de type Kelvin-Voigt. k n et k t sont
respectivement les coefficients de raideur normal et tangentiels. Ȗ n et Ð t sont les coefficients d’amortissement
normaux et tangentiels, × est le coefficient de frottement.
Pour vérifier le bon fonctionnement des modèles, plusieurs variables caractérisant les impacts,
sont comparées aux expériences. C’est le cas pour certaines grandeurs microscopiques : les
forces, les positions et les vitesses... Zeebroeck [2] a mesuré ces valeurs pour certains
matériaux biologiques alors que Zhang et Whiten [3] ont étudiés les matériaux de
constructions. D’autres grandeurs, macroscopiques, telles que le temps de contact t n , ou le
coefficient de restitution normal e ont été assez largement étudiées et mesurées.
Le coefficient de restitution e est défini comme étant le ratio entre la vitesse relative v0 des
particules avant impact et la vitesse relative v1 des particules après impact. La perte d’énergie
cinétique durant la collision se traduit par un coefficient de restitution inférieur à 1 :
e
v0
v1
(2.3)
2.1.1 Les modèles viscoélastiques
Couramment utilisés pour la simulation DEM grâce à leur relative simplicité, ces
modèles représentent les forces normales et tangentielles comme la combinaison linéaire
el
d’une force de répulsion élastique F associée à une force de dissipation visqueuse F
fonction de la vitesse relative des particules.
43
diss
, en
L’expression des forces normales et tangentielles en fonction des coefficients d’élasticité et
d’amortissement qui découle de la représentation de Kelvin-Voigt peut être donnée tel que [47] :
­F
®
¯F
n
t
el
diss
el
t
diss
t
Fn Fn
F F
k n Ñ n óÐ n òÑ
n
òt
t
òÑ
k t Ñ t óÐ t
òt
(2.4)
où k n et k t sont respectivement les coefficients de raideur normal et tangentiels. Ȗ n et Ð t sont
les coefficients d’amortissement normaux et tangentiels.
On trouve dans la littérature de nombreux développements conduisant, en fonction des
hypothèses choisies, à des modèles linéaires ou non et pouvant également contenir une part de
plasticité. La démonstration ci-dessous, basée sur les éléments de la littérature met en lumière
les bases du modèle utilisé dans le code.
Ce modèle simple conduit à un coefficient de restitution e constant, ainsi qu’à un temps de
contact constant et indépendant de la vitesse relative initiale v0 des particules avant le choc. Le
coefficient de restitution est donné par la formule :
2 -2·
n
n
§ n
e=exp¨- Ȗ ʌ §¨ k −§ Ȗ · ·¸ ¸
© 2m* © m* © 2m* ¹ ¹ ¹
1
(2.5)
et le temps de contact :
2 -
1
n
n
2
t n = ʌ §¨ k −§ Ȗ · ·¸
m*
2m*
©
¹¹
©
(2.6)
Dans l’étude sur la mécanique des contacts, Heinrich Hertz [8] a joué un rôle clé en trouvant
le profil de pression qui est le lien reliant la force normale pour un contact impliquant une
surface, et le profil de la déflexion de Boussinesq pour des contacts ponctuels. Cette étude fut
la base de nombreux modèles viscoélastiques linéaires et non linéaires.
Le modèle de Hertz a initialement été élaboré à partir de l’étude de la distribution de la
pression sur la surface de contact de rauyon rc au cours du choc (figure 2.3) [9].
44
2rc
-rc
0
rc
2rc
Fig. 2.3 (a) Représentation 3D de la collision de 2 sphères et (b) Distribution de pression sur la surface de
contact formée lors de la collision. P0 est la pression au centre de la surface de contact. Mishra [10].
Afin de bien poser le problème, il est utile d’effectuer un petit rappel concernant les
hypothèses nécessaires pour se placer dans les conditions d’un contact Hertzien utilisé dans
les modèles DEM. Tout d'abord, l’utilisation du modèle de Hertz suppose que l’on se place
dans le cas de collisions parfaitement élastiques. D’une manière générale, cela signifie que les
déformations des solides dues aux impacts seront suffisamment faibles et surtout qu’elles ne
sont pas durables au point d’être conservées après la collision. Les particules retrouveront
donc leur forme initiale après la collision. Les matériaux ne sont jamais parfaitement
élastiques, ce qui veut dire que les études qui suivent sont faites dans læ hypothèse que les
contraintes appliquées seront toujours en dessous de la limite élastique des matériaux utilisés.
Il est également nécessaire que les surfaces de contact soient très petites devant la taille
caractéristique des corps étudiés. Ce qui sera toujours le cas puisque les matériaux étudiés
seront assez rigides et donc, conformément à la première hypothèse, les déformations seront
très faibles. Il faut également que les surfaces de contacts soient continues. En plus de la
continuité, la surface de contact ne doit se développer qu’à partir d’un seul point, pour
s’étendre au fur et à mesure que la contrainte augmente. La dernière hypothèse suppose
qu’aucune contrainte de friction n’est appliquée aux surfaces.
Dans le cas des multi-contacts générés par des empilements de particules statiques ou quasistatiques, il est assez difficile de dire que l’ensemble des contraintes appliquées aux particules
le sont en un seul point. Cependant, considérant la taille et la forme des particules utilisées, il
est possible dæutiliser l’hypothèse suivante : les contraintes dues à un choc n’affectent pas la
solution d’un second impact, leur localisation étant relativement éloignée par rapport à la
taille des particules et aux surfaces de contacts produites. Le modèle ne prendra pas non plus
compte de la rugosité de surface pouvant engendrer localement des discontinuités dans la
45
surface de contact.
Si les deux particules entrant en contact sont des sphères, on peut montrer que le déplacement
normal des particules d n en tout point r de la surface de contact s’exprime en fonction du
rayon de la surface de contact rc tel que :
d n1 +d 2n = į −
1 2
r
2R*
pour –rc<r<rc
(2.7)
où R* est le rayon équivalent aux deux sphères, définit comme le double de la moyenne
harmonique des rayons des deux particules :
1 1 1
= +
R* R1 R2
(2.8)
La pression de Hertz sur la surface est de la forme :
2 Į
p(r)=P0§¨1−§ r · ·¸
© © rc ¹ ¹
Pour un contact hertzien, on a Į =
(2.9)
1
.
2
La solution du problème de Boussinesq et Cerruti [11-15] pour une particule sphérique donne
le déplacement normal suivant :
d n=
1− Ȟ 2 ʌ P0
(2rc 2−r 2) pour –rc<r<rc
E 4rc
(2.10)
E étant le module d’Young et Ȟ le coefficient de Poisson de la particule.
En combinant (2.7) et (2.10) pour une pression égale et opposée sur la surface de deux
sphères (1) et (2) en contact, on obtient :
1 ʌ P0
(2rc 2−r 2)= į − 1 r 2
E* 4rc
2R*
avec E*
(2.11)
1óÚ 21 1óÚ 22
E1
E2
(2.12)
Par intégration de (2.9) sur la surface de contact, on obtient la force de répulsion normale F
entre les deux particules en contact :
46
n
rc
2
n
F = ´ p(r)2ʌ rdr = P0ʌ rc 2
¶0
3
(2.13)
Avec (2.9), calculé pour r=0 et r=rc , le rayon rc de la surface de contact est:
rc=
ʌ P0R*
2E*
(2.14)
et l’overlap interparticulaire :
2
į = rc
R*
(2.15)
Ce qui donne par combinaison entre (2.13), (2.14) et (2.15) la relation liant la force de
répulsion et l’overlap entre les particules :
1
3
n 4
F = E*R* 2 į 2
3
(2.16)
A ce modèle de contact hertzien, il convient de rajouter la partie visqueuse jouant le rôle
d’amortisseur d’énergie. Ce travail a tout d’abord été effectué par Pao [12], puis poursuivi
par Ting et Corkum [16] . Dans leur travail, ils ont repris les calculs précédents en remplaçant
les constantes élastiques par leurs équivalents visqueux selon le principe de Lee et Radok
[13]. De cette façon, Ramirez [17] a généralisé l’équation (2.4) en l’écrivant sous la forme :
n
F =k n į Į − Ȗ n į ș v Ïr
(2.17)
où vr est la vitesse relative des particules.
Dans son travail, Ramirez a montré que les conditions sur Į, ȕ, ș permettent de choisir le type
de modèle appliqué. Le choix de ȕ=1 conduit au modèle viscoélastique linéaire. Pour obtenir
une indépendance du coefficient de restitution par rapport à la vitesse d’impact, il a montré
que l’équation suivante doit être satisfaite :
2( ș − Į )+ ȕ (1+ Į )=0
(2.18)
Ainsi en choisissant ȕ=1, une modélisation linéaire des forces élastiques en fonction de
l’overlap į conduira à une force dissipative linéaire et directement proportionnelle à la vitesse
d’impact (ș=0).
47
Pour un contact hertzien, on trouve ș=1/4 ; dans ce cas la force dissipative sera donc non
linéaire en fonction de l’overlap normal entre les particules, c’est l’option qui a été choisie
dans le code de calcul élaboré dans le cadre de cette thèse.
Læexpression finale de la force normale entre deux sphères est:
F
3
n
1
k n Ñ 2 Ð n Ñ 4 vr
(2.19)
1
avec k n
4
E*R* 2
3
(2.20)
et le coefficient dæamortissement Ð n donné par Ting et Corkum [16] :
Ðn
2ln(e)
k n m*
ln2(e)Ý 2
(2.21)
où m* est la masse définie tel que
1
m*
1
1 et e le coefficient de restitution.
m1 m2
Pour les forces tangentielles, nous utilisons un raisonnement similaire, mais en se basant sur
les études menées dans les années 50 par Mindlin [5]. Dans son étude, il a exprimé le
coefficient de raideur tangentielle k t lors dæun choc entre deux particules sphériques 1 et 2 tel
que :
1
kt
8G*R* 2
(2.22)
avec le module dæélasticité effectif en cisaillement G* :
1
G*
1
1 et G
G1 G2
E
2(1óÚ )
et un coefficient dæamortissement tangentiel Ð t de la forme :
Ðt
2ln(e)
k t m*
ln2(e)Ý 2
(2.23)
Ces coefficients de raideur et dæamortissement sont utilisés dans læéquation générale des
forces tangentielles :
48
F
t
k t Ñ t óÐ t vs
(2.24)
où la vitesse de glissement vs peut sæexprimer comme étant la différence entre la vitesse
relative des particules moins sa composante normale, plus la vitesse de glissement induite par
la vitesse de rotation des particules. La vitesse vs sæexprime comme suit :
€ 1 R2 Í
€ 2)^~
vr ó( vrn€
n )€
n ( R1 Í
n
vs
(2.25)
~ est la vitesse de rotation des particules.
où Í
Selon Coulomb, il convient de prendre en compte un seuil de glissement. Ainsi, il y a
glissement lorsque la contrainte tangentielle est supérieure où égale au produit de la contrainte
normale par le coefficient de frottement ×.
En cas de glissement, la force tangentielle sera réduite à :
F
t
n
Ù | F~ | ~
t
|
|
(2.26)
Plusieurs études [18-20], et notamment celle faite par Schwager [21], ont montré les limites
de ce type de modèle. Alors que dans le cas de particules non cohésives il est évident que
seules des forces répulsives peuvent apparaître lors d’un contact, ils ont montré que pour
certains couples coefficient de raideur / coefficient d’amortissement, les forces calculées par
l’équation (2.17) deviennent négatives lors de la phase d’éloignement des particules et tendent
donc à attirer les particules entre elles. Pour pallier ce problème, certains auteurs [19-22] ne
tiennent compte que de la partie positive des forces de répulsion. L’annulation de la force
alors qu’il existe encore un overlap entre les particules revient à introduire une plasticité
numérique. Malgré ce petit inconvénient, c’est l’option qui a été choisie dans le code puisque
l’introduction d’une faible déformation plastique lors des chocs semble beaucoup plus
cohérente que des forces cohésives lors de la phase d’éloignement des particules.
2.1.2 Implantation du modèle dans le code :
Cette partie décrit quelques détails utilisés pour læimplémentation des équations présentées cidessus. Concernant la partie algorithmique, le lecteur se reportera au chapitre 5.
Mishra [23] a démontré que l'histoire de la force et du déplacement lors d’une collision
pourrait être correctement prédite par le modèle non linéaire. Toutefois, il a également
observé que les paramètres du modèle numériques qui déterminent la réponse du contact sont
49
importants. Les valeurs typiques de la raideur k n sont de læordre de 1.10
10
N.m 1. C'est
l'inconvénient le plus important du modèle de contact non linéaire car cette méthode emploie
une discrétisation temporelle explicite conditionnellement stable. Pour un système non amorti,
la condition de stabilité sur le pas de temps est inversement proportionnelle à la racine carrée
de la raideur k n tel que :
ǻ t=C
m
kn
(2.27)
où m est la masse du plus petit élément et C une constante numérique qui est habituellement
fixée à 0.2. Cette relation donne typiquement des valeurs de pas de temps situées dans une
10
8
gamme 1.10 < ǻ t<1.10 . Pour palier cet inconvénient, et assurer la stabilité du code pour
6
des pas de temps raisonnables (1.10 s) les auteurs, même sæils ne le disent pas explicitement,
utilisent des cœfficients de raideurs diminués de plusieurs ordres de grandeurs [18,23]. Pour
cela la valeur du coefficient de Poisson des matériaux utilisés doit être modifiée, ce qui
"ramolli" artificiellement les particules. Le principal effet de cette méthode se situe dans une
augmentation de la surface de contact ainsi que dans une augmentation du temps de contact.
Les hauteurs de rebond ainsi que les vitesses sont conservées.
Le modèle de ces forces est calqué sur celui des forces normales, il nécessite alors de calculer
un overlap tangentiel Ñ t . Pour estimer cette grandeur qui n’est pas accessible de façon
géométrique, il est nécessaire de calculer vitesse de glissement tangentiel qui est intégrée au
cours du temps de contact, puis remise à zéro lorsque le contact est perdu.
2.2. Application aux lits vibrés
Dans les processus industriels, plusieurs applications typiques mettent en œuvre des
matériaux granulaires ou pulvérulents. Parmi ces applications, il y a les lits vibrés, mais
également les mélangeurs rotatifs, ou tout simplement la vidange de trémies [24, 25]. Dans les
procédés tribo-électriques, deux méthodes sont couramment utilisées pour charger les
particules. Il s’agit de la vibration et de la fluidisation. Si dans le premier cas, il est possible
de s’affranchir des forces fluides agissant sur les particules, il n’en n’est rien pour la
fluidisation, c’est pourquoi cette partie restera focalisée sur les lits vibrés. La fluidisation fera
læobjet du chapitre 4.
Les lits vibrants sont utilisés dans plusieurs buts. Un exemple typique sont les goulottes
vibrantes pour l’acheminement de poudres, de gravats ou autres granulés. Certains processus
50
de mélange utilisent également la vibration. D’une manière générale les lits vibrés,
verticalement et horizontalement, ont été très largement étudiés et la littérature fournit une
multitude de résultats expérimentaux et numériques [26-38]. Dans le cadre de ce travail, les
applications sont restreintes aux lits vibrés verticalement. Les expériences décrites dans la
littérature seront reproduites de façon numérique afin de valider le bon fonctionnement du
programme. Pour commencer, la version 2D du code a été utilisée pour comparer les résultats
des simulations aux études trouvées dans la littérature. Plusieurs outils de visualisation 2D et
3D nécessaires à l’étude des lits vibrés ont été développés et utilisés par la suite. Cette partie
sera læobjet du paragraphe 2.2.1. L’étude de ces lits est importante pour bien comprendre quels
sont les paramètres qui peuvent influencer la charge triboélectrique produite par vibration.
Ainsi, le paragraphe 2.2.2 présente une étude sur le mélange au sein des lits vibrés. Enfin, le
paragraphe 2.2.3 sera consacré à læétude des surfaces libres.
2.2.1 Validation du code et mise en place des outils dæanalyse
Historiquement, cæest Faraday qui, en 1831, a fait l’une des premières observations dans les
lits vibrés. Il a découvert que la vibration verticale de particules placées dans une colonne
induisait un mouvement circulaire sous forme de rouleaux convectifs contrarotatifs. Pour cette
étude, les vibrations imposées à la boite contenant les particules seront sinusoïdales.
Savage [28], a noté que le sens les cellules convectives induites par la vibration verticale
provoquait un maximum de vitesse au centre du lit et des vitesses plus faibles le long des
parois. Ces cellules convectives apparentées à des vortex induisent un mouvement ascendant
des particules par le milieu du lit et une descente le long des murs. Plus tard, Wassgren [39] a
étudié en profondeur toutes les formes de vibrations en fonctions des paramètres tels que la
fréquence et læamplitude de vibration de la boite. La figure 2.4 montre læensemble de son
étude.
51
Fig. 2.4 Illustrations des différents modes de vibration : (a) convection, (b) vagues de surfaces arrondies, (c)
vagues de surfaces pointues et (d) lit oscillant.
Wassgren [39].
La distinction entre deux modes de vibration différents pourrait se faire par un classement
suivant l’amplitude et la fréquence. Cependant, pris indépendamment læun de læautre, ces deux
paramètres ne sont pas toujours représentatifs d’un mode de vibration donné. Pour palier ce
problème, le critère adimensionnel ī, reliant les deux paramètres, est très largement utilisé
pour classer les différents cas. Ce critère ī est calculé comme étant le rapport entre
l’accélération maximum de la boite et l’accélération de la pesanteur. L’expression de la courbe
de vibration de la boite y(t) et du paramètre ī en fonction de læamplitude A et de la pulsation
å est donné tel que :
y(t)=A-Acos( Ȧ t)
(2.28)
52
·
max § d y(t)
dt 2 ¹ A Ȧ 2
©
ī=
=
g
9,81
2
(2.29)
Les expériences et les études théoriques menées par Wassgren [39] pour expliquer le
phénomène de convection ont montrées que pour obtenir ces résultats, ī doit être compris
entre 1,2 et 2,0 (figure 2.4(a)). Un rapport entre la hauteur et la longueur du lit de particules
proche de 1 est également requis. Pour un rapport longueur/hauteur égale à 10, des vagues de
surfaces sont obtenues pour une étendue de ¸ allant de 2,2 à 4,2 (figure 2.4(b)). Au delà de
cette valeur, on observe des oscillations de læensemble du lit, formant ainsi simultanément des
vagues à la surface supérieur et sur la face inférieur du lit (figure 2.4(d)). Après ¸
5,8, les
vagues deviennent pointues et leur longueur dæonde est divisée par 2 (figure 2.4(c)).
La figure 2.5 montre l’évolution de la position des particules dans un lit vibré. Le cas
présenté ici a été obtenu pour ī=1,8 et une amplitude de vibration de 2mm, soit une fréquence
de vibration de 15Hz. Les particules ont une taille de 0,9mm ± 0,1mm. Les couleurs sont
utilisées pour pouvoir suivre la position des particules au cours du temps. Les paramètres
concernant les matériaux utilisés pour les particules et les murs sont donnés dans le tableau
2.1. Les facteurs les plus importants influençant ce type de structure sont la friction entre les
particules et la paroi ainsi que la friction entre les particules [39-41]. Toutes les études
présentées dans ce manuscrit utiliseront ces paramètres.
Tableau 2.1 : Paramètres des matériaux utilisés pour les simulations
Paramètre
Symbole
Valeur
Unité
Particules de verre
9
Module dæYoung
E
Coefficient de Poisson
Ø
Coefficient de friction
0,3
Coefficient de Restitution
×
e
Densité
Ü
2500
Pa
69.10
0,25
0,9
kg.m -3
Parois
Module dæYoung
Ew
Coefficient de Poisson
Ú\ 210.10
0,25
Coefficient de Restitution
ew
0,7
Coefficient de friction
Ùw
0,25
53
9
Pa
(b)
(a)
(m)
(m)
(c)
(d)
(m)
(m)
Fig. 2.5 Position des particules pour (a) la position initiale, après (b) 1,5 s, (c) 3,0 s et (d) 8,0 s
Pour observer de manière plus quantitative les structures cohérentes au sein des lits vibrés, il a
été nécessaire de mettre en place des outils spécifiques comme la représentation du champ de
vitesse. Le programme calcule la vitesse lagrangienne des particules. Pour obtenir une
représentation eulérienne du mouvement des particules, il est nécessaire de choisir un repère
qui servira de point de référence pour le calcul des positions et des vitesses ainsi quæun
maillage fixé sur ce repère. Trois cas peuvent être envisagés. Pour chacun des cas la vitesse
eulérienne sera calculée dans chaque maille comme la moyenne des vitesses lagrangiennes
instantanées des particules se trouvant dans la maille. Le premier référentiel envisagé est fixé
en un point à læextérieur de la boite vibrée. Il en résulte une visualisation de læensemble des
mouvements du lit de particules, y compris les déplacements liés à ceux de la paroi. En
traçant les vitesses eulériennes obtenues de ce point de vue pour une vibration avec ¸1, ce
qui ne doit pas générer de mouvement, on constate que les vitesses observées sont non nulles.
Elles son égales à la vitesse instantanée de la paroi. Le choix de ce repère næest donc pas
satisfaisant. Choisir un repère positionné sur une des parois de la boite est une solution au
54
problème. On observe bien, alors, des vitesses nulles pour des valeur de ¸1. Une
augmentation de ¶ assez conséquente provoquera indéniablement un décollement du lit par
rapport à la paroi. Si ce décollement est situé sur toute læenvergure de la boite, le lit de
particules sera alors en vol libre.
Pour pouvoir calculer le champ de vitesse représentant les mouvements internes du lit, il
convient de sæaffranchir du mouvement relatif entre le lit de particule et la paroi. Pour cela,
l’amas de particules est considéré comme un bloc extensible et compressible, mais restant
relativement uni. Dans ces conditions, il est possible de fixer le point de référence comme
étant le point d’intersection entre la partie la plus basse du lit et la partie la plus à gauche.
Ceci nous permet de nous affranchir des vitesses de tous les éléments extérieurs au lit de
particules. Le même type de repère a été utilisé par Tagushi [42]. Ce repère est représenté sur
la figure 2.6.
y
y
0
0
x
x
Fig. 2.6 Définition du repère pour différentes positions du lit de particules
Pour la suite, tous les calculs seront faits dans ce repère.
Dans notre étude sur les lits vibrés, le choix fait dans cette thèse est de visualiser les
mouvements internes et les mouvements de surface relatifs du lit de particules. Pour pouvoir
comparer les résultats avec ce qui est fait dans la littérature, il faut utiliser les mêmes outils.
Seul les mouvements d’ensemble, qui sont des mouvements relativement lents nous
intéressent dans cette étude. La visualisation des vitesses et positions instantanées n'est donc
pas appropriée aux cas traités.
Pour visualiser les mouvements d’ensemble, il est possible par exemple de comparer la
position des particules entre deux instants t et t+ ǻ t où ǻ t doit être choisi judicieusement. Il
en est de même pour les vitesses. Deux méthodes de visualisations sont régulièrement
rencontrées dans la littérature. La première est intitulée "long-term average velocity" et a tout
dæabord été utilisée par Wasgreen [39]. Il calcule pour cela la moyenne des vitesses
eulériennes au cours du temps, effectuée sur un important nombre de pas de temps. Ce type de
55
visualisation permet une visualisation du mouvement global à læintérieur du lit de particules
Dans un article, Tagushi [42] introduit une seconde méthode de visualisation. Il sæagit de
calculer le déplacement moyen des particules. Contrairement à la première méthode, ce
déplacement moyen næest pas calculé sur des pas de temps consécutifs. Le calcul du
déplacement moyen est effectué pour des instants particuliers, régulièrement espacés dans le
J:
temps. Tagushi [42] donne pour cela la formule de ~
Jx(k)=< | ni (k,t)−ni (k,t− ǻ t)| (xi (t)−xi (t− ǻ t))>
Jy (k)=< | ni (k,t)−ni (k,t− ǻ t)| (yi (t)−yi (t− ǻ t))>
§Jx (k)·
~
J (k)= ¨J (k)¸
© y ¹
(2.30)
où l’indice i représente la i eme particule, la fonction ni(k,t) vaut 1 si la particule i est dans la
maille k à l’instant t, sinon elle vaut 0. xi et yi sont les coordonnées de la particule i.
Dæune manière générale, ce critère représente le déplacement des particules appartenant à une
maille entre les instants t-·t et t. Pour que ce type de visualisation soit homogène à une
J sera divisée par ·t. Dorénavant, ~
J peut être apparenté à une
vitesse, chaque composante de ~
vitesse. Puisque ~
J est calculé comme la moyenne des déplacements entre plusieurs pas de
J est défini comme étant le champ de vitesse moyenné en
temps régulièrement espacés, ~
phase. Une remarque peut être faite : contrairement aux vitesses Eulériennes, les particules
J . Seules les
faisant des aller et retour dans une maille ne contribuent pas au calcul de ~
particules traversant effectivement les mailles sont comptabilisées. Nous préfèrerons pour la
suite ce type de représentations plutôt que la représentation des vitesses eulériennes.
Pour vérifier le bon fonctionnement de cet outil, il a été appliqué sur le cas précédemment
étudié. Le champ ~
J est donné sur la figure 2.7.
56
Fig. 2.7 Champ de vitesses calculé selon la méthode de Tagushi [42]. Ce champ a été calculé à partir dæun lit de
particules vibrées à 15Hz pour ¶=1,8
Dans le calcul de ~
J , le choix de ǻ t est très important. En effet, ce critère a été créé pour
visualiser des mouvements d’ensemble et de dynamique faible. Le choix d’un trop petit pas de
temps, conduit à calculer la moyenne temporelle des déplacements instantanés. L’autre
extrême étant un pas de temps trop élevé provoquant un recouvrement fréquentiel à cause du
non respect du théorème de Shannon. D’une manière générale, les auteurs [42,43] utilisent un
pas de temps de référence basé sur la fréquence de vibration imposée à la boite contenant les
1
1
particules. Ainsi, ǻ t= , f0 étant la fréquence de vibration des parois. Pour la suite, fph =
se
ǻt
f0
définie comme la fréquence des moyennes de phase. De même, l’instant de référence des
moyennes de phase t0 est défini comme le premier instant auquel les moyennes de phases sont
calculées (figure 2.8). Cet instant de référence peut indifféremment s’exprimer en seconde ou
en degré. Lorsque la référence sera donnée en degré elle sera notée ĭ0 et appelée de phase de
référence.
57
È
È
È
Fig. 2.8 Courbe définissant les paramètres des moyennes de phases ~
J . La figure présente les phases de référence
f0
È= 90° et È = 270° pour une moyenne de phase effectuée à fph
2
Pour bien visualiser l’effet du choix du pas de temps ǻt et de la phase de référence Ê0, le
champ ~
J a été appliqué à un cas test. Ce cas test consiste à faire vibrer 8000 particules de
verre de diamètre 0,95mm ±0,05mm à une fréquence de 5Hz pour ī=2. La figure 2.9
représente la position des particules à différents instants. On observe que les particules se
déplacent alternativement entre la droite et la gauche du domaine.
Une première expérience consiste à calculer le champ ~
J en choisissant des moyennes de
phases calquées sur la fréquence de vibration de la paroi, soit fph =f0 et la phase de référence
ĭ0=0°. La figure 2.10 montre le champ ~
J calculé de cette manière.
58
a)
b)
c)
Fig. 2.9 Position des particules après (a) 2,4s, (b) 2,475 s, (c) 2,6 s. Le lit contient 8000 particules, il est vibré à
5Hz pour ¸
2
Fig. 2.10 Champ ~
J calculé à 5Hz et È
59
n
Il semble que le résultat de ce calcul soit la superposition des trois instants particuliers
montrés à la figure 2.9. Cette visualisation démontre læerreur qui peut être faite par une
J . Pour le cas étudié, une fréquence
mauvaise calibration des paramètres de calcul du champ ~
f
de visualisation correcte se situe autour de fph = 0 . Les trois phases du mouvement des
2
particules correspondant aux positions instantanées de la figure 2.9 sont montrées sur la figure
2.11. En plus de démontrer l’importance du choix de la fréquence des moyennes de phases,
læexpérience montre également la nécessité de calculer plusieurs phases différentes puisque les
mouvements des particules peuvent être radicalement différents d’une phase à l’autre.
(a)
Fig. 2.11 Champ J calculé à f
(b)
(c)
f0
et pour trois phases : (a) È=0°, (b) È=67,5° et (c) È=180°
2
Les trois phases choisies montrent que pour cette gamme d’accélération, le mouvement des
particules se décompose en quatre cellules convectives. Ces cellules fonctionnent par paires
contrarotatives, ce qui provoque une zone de cisaillement très élevé entre la paire supérieure
et la paire inférieure. D’une manière générale, la paire de cellules inférieures englobent
environ 80% des particules du domaine dans un bloc dont la forme reste plus ou moins carrée.
Les fortes contraintes dans la zone de cisaillement permettent un transport des cellules
f0
. Ces
supérieures alternativement vers la droite et la gauche du domaine à une fréquence f
2
cellules convectives viennent frapper les parois et se déforment pour former une vague. Dans
ce cas, si la cellule positionnée sur la face interne de la vague monte assez haut, elle tend à
60
replier la vague sur elle-même pour former un rouleau.
2.2.2 Etude et amélioration du mélange au sein des lits vibrés
Le mouvement moyen des particules n’est pas toujours aussi rapide que celui imposé par les
parois. Pour le vérifier, nous avons calculé la transformée de Fourier de la composante
verticale de la vitesse eulérienne instantanée mesurée en un point à l’intérieur du lit ; elle est
représentée sur la figure 2.12. Le point de mesure est situé au centre du lit de particules. Le
cas étudié ici est la vibration 2D de 8000 particules placées dans une boite et vibrée à une
fréquence f0=20 Hz et pour ī =2 pendant 16s. Le rapport hauteur/longueur du lit de particules
vaut 1. Trois sous-harmoniques sont présentes dans le signal fréquentiel. La première est
f
2f
f0
située en f
, la seconde à 0 et la dernière à 0 .
3
2
3
Fig. 2.12 Spectre de Vy normalisé par la vitesse maximum de la paroi. Ce graphique est obtenu après une
vibration de 8000 particules pendant 16s à la fréquence f=20Hz et ¸
2
Avant de commencer l’étude de ces fréquences, nous avons observé que l’apparence des
mouvements était modifiée entre la 8eme et la 16eme seconde. Durant cette période, le lit
semble rebondir plus fort, les cellules convectives diminuent et tournent plus rapidement. Ces
observations justifient une étude plus approfondie de cette partie de l’écoulement. La figure
2.13 montre la transformée de Fourier d’un point de mesure pour (a) les 8 premières secondes,
f
2f
et (b) les 8 secondes suivantes. On observe que les harmoniques en 0 et 0 n’existent que
3
3
61
pendant la première période alors que la fréquence
f0
n’apparaît que dans la seconde période.
2
Fig. 2.13 Spectre de Vy normalisé par la vitesse maximum de la paroi. Ce graphique est le résultat obtenu après
une vibration de 8000 particules à la fréquence f0=20Hz et ¸
2 pour les périodes (a) 0<t<8 s, et (b) 8<t<16 s
Ces résultats montrent que pour le cas étudié, la vibration dérive d’un mode à l’autre au cours
J pour les deux périodes
du temps. Il a alors été considéré utile de calculer le champ ~
concernées. Pour les 8 premières secondes, le calcul a été effectué pour une fréquence des
f
2f
moyennes de phase fph = 0 (figure 2.14) mais également pour fph = 0 (figure 2.15). Le champ
3
3
~
J a alors été calculé pour plusieurs phases de référence.
f
A la fréquence fph = 0 , pour une différence de phase de 180°, l’épaisseur du lit passe d’un
3
minimum à un maximum. Cela signifie que l’expansion du lit lié à la vibration oscille à une
fréquence égale au tiers de la fréquence d’excitation du lit.
62
Expansion
du lit
(a)
Fig. 2.14 Champ ~
J calculé à la fréquence f
(b)
f0
. Deux phases différentes sont représentées : (a) È=0° et
3
(b) È=180°
Sur la figure 2.15, le champ ~
J représente les deux cellules de convections. Sur chaque phase
J suivant y.
représentée, le plan a été coloré en fonction de læamplitude de la composante de ~
2f
Pour une moyenne de phase réalisé à fph = 0 , l’amplitude de la composante verticale de ~
J au
3
centre du domaine est accentuée pour ĭ=0 alors qu’elle est minimum pour ĭ=180°. Ceci
montre que la vitesse de rotation des cellules convectives est modulée à une fréquence égale à
2f0
.
3
Le même travail a été effectué pour l’harmonique
f0
sur la période 8-16s. Nous avons tracé
2
sur la figure 2.16 la direction principale de l’écoulement pour deux phases séparées de 180°.
La différence entre les deux parties de la figure se trouve dans le changement de direction de
l’écoulement d’une phase à l’autre. On observe également que les cellules convectives sont
beaucoup moins prononcées. Ces observations amènent à la conclusion que durant la période
f
8-16 s, les sous harmoniques en 0 indiquent la présence d’un battement horizontal de
2
l’écoulement à une fréquence égale à la moitié de la fréquence de vibration. Ce résultat a été
observé expérimentalement par Wassgren [44] dans son étude sur les mouvements de surfaces
des lits vibrés.
63
(a)
(b)
Fig. 2.15 Champ ~
J calculé à la fréquence f
f0
. Deux phases différentes sont représentées : (a) È=0° et
3
(b) È=180°
(a)
Fig. 2.16 Champ ~
J calculé à la fréquence f
(b)
f0
. Deux phases différentes sont représentées : (a) È=0° et
2
(b) È=180°
Pour les cas où les lits vibrés restent compacts, la quantité de mouvement pourrait d’une
certaine manière quantifier l’efficacité de la convection. En calculant une grandeur scalaire à
partir des vitesses moyennes représentées par le champ ~
J , il sera possible de quantifier la
convection liée aux grandeurs moyennes. Pour cela, Klongboonjit et Campbell [43] ont défini
alors le scalaire J relatif à la convection au sein d’un lit vibré tel que :
64
J
ª
«
«
¬
¦
k
º
~
J .~
J»
»
¼
0.5
(2.31)
où k représente læensemble des mailles du domaine
Dans ce contexte, et pour ne pas perdre certaines informations, le champ de vecteur ~
J sera
toujours calculé pour une fréquence de moyenne de phase égale à la fréquence de vibration de
la paroi et la phase de référence sera égale à 0°. Pour des valeurs élevées de ī l’analogie entre
la convection et la quantité J est délicate en raison des mouvements plus ou moins chaotiques
qui apparaissent alors. Cependant, cæest cette grandeur qui sera utilisée pour caractériser
l’importance des mouvements au sein du lit.
La valeur de J obtenue suite à la vibration pendant 30 s de 8000 particules formant un lit dont
le ratio hauteur/longueur est égal à 1 est représenté sur la figure 2.17 . Læévolution de J a été
tracée pour différentes fréquences de vibration en fonction de ī.
Fig. 2.17 Evolution de J en fonction de ¶ pour différentes valeurs de fréquence de vibration
On constate que la convection, ou d’une manière plus générale les mouvements internes au lit,
commencent à augmenter à partir d’une valeur seuil jusqu'à atteindre une valeur de saturation,
puis décroître. Le seuil de déclenchement se trouve en théorie autour de ī=1,2. Les calculs
que nous avons menés montrent quant à eux un seuil compris entre 1,1 et 1,3. Dans son étude
sur læimportance des coefficients de friction, Klongboonjit [43] a observé les mêmes
tendances en traçant J en fonction de ¶ pour différentes valeurs des coefficients de friction. Le
point f=10 Hz et ī=4,5 représente un cas spécifique pour lequel le lit et la paroi entrent en
résonance en amplitude et en phase, annulant alors les mouvements internes du lit.
Pour comprendre la relation entre les fréquences et les mouvements globaux, la figure 2.18
65
montre la contribution de chaque sous-harmonique en fonction de ¶. Les sous-harmoniques
représentées ici correspondent à celles qui ont été calculées à partir de la transformée de
Fourrier des vitesses eulériennes mesurées sur un point de référence situé au milieu du lit de
particules. Seule la composante verticale du signal a été prise en compte. On défini Þ comme
læintégrale du spectre des vitesse entre 0 et 25 Hz. La figure 2.19 représente la contribution
des sous-harmoniques pour chaque valeur de ¶ en pourcentage de Þ. Les mesures ont été
effectuées pour deux fréquences de vibrations : 15 Hz et 20 Hz.
F0=15Hz
F0=20Hz
(a)
(b)
Fig. 2.18 Amplitude des sous harmoniques 1/3, 1/2 et 2/3 en fonction de ¶ pour deux fréquences de vibration :
(a) 15Hz et (b) 20 Hz
F0=15Hz
%(Þ)
%(Þ)
F0=20Hz
(a)
(b)
Fig. 2.19 Contribution des sous harmoniques 1/3, 1/2 et 2/3 en fonction de ¶ par rapport au signal total pour
deux fréquences de vibration : (a) 15Hz et (b) 20 Hz
Alors que pour ī <2 la contribution de la sous-harmonique
f0
représente une part non
2
négligeable du signal total, le dépassement de ce seuil inverse les tendances. Ainsi, pour ¶>2,
la contribution des sous-harmoniques impaires domine largement la contribution fournie par
66
la fréquence
f0
. On observe pour ce même seuil une augmentation conséquente de la
2
convection au sein du lit vibré. On remarque que læévolution des contributions des sousharmoniques impaires se calque exactement sur la tendance suivie par la quantité J. On peut
alors conclure que les harmoniques impaires jouent un rôle fondamental dans cet écoulement.
Pour confirmer cette conclusion, les mouvements de la boite ont été modifiés de manière à
augmenter de façon significative ces deux sous harmoniques et ainsi favoriser le mélange.
En supposant que le taux de mélange est directement lié à la quantité J, représentative des
mouvements au sein du lit, des essais ont été réalisés à des taux élevés de sous harmoniques
impaires. Le taux de mélange sera calculé selon l’indice de Lacey. Cette quantité représente la
variance ı 2 de la différence de concentration de chaque espèce présente dans une maille :
k
ı 2=
¦
( Ci −Cm )
2
(2.32)
k
i=1
où k est le nombre de maille contenant au moins une particule. Ci est la concentration de
référence d’un matériau dans la cellule i et Cm est la concentration total du matériau de
référence dans l’ensemble du domaine. On définit alors le taux de concentration normalisé M
tel que :
M=
ı 20− ı 2
ı 20− ı 2r
(2.33)
où ı 20 et ı 2r sont respectivement les valeurs théoriques maximum et minimum de la variance
du taux de mélange d’un lit de particules parfaitement mélangé :
ı 20=Cm ( 1−Cm )
et
ı 2r =
Cm ( 1−Cm )
n
avec n est le nombre de particules maximum contenues dans une maille.
La nouvelle équation de vibration de la boite, modulée par un signal de fréquence
f0
est
3
donnée ci après :
ywall = ( 1−cos ( Ȧ2 t ) ) ×(A−Acos( Ȧ t))
(2.34)
67
avec Ȧ2=
Ȧ
.
3
La figure 2.20 représente : a) la nouvelle fonction de vibration, b) le spectre de cette nouvelle
fonction.
(a)
(b)
Fig. 2.20 (a) évolution de la paroi au cours du temps, (b) spectre de la nouvelle loi de vibration.
Maintenant que la vibration de la boite n’est plus une fonction simple, un nouveau
critère doit être établi afin de permettre de comparer l’efficacité entre l’ancienne et la nouvelle
loi de vibration. Pour cela, le critère adimensionnel īRMS a été calculé de la façon suivante :
1
1
2 ·2
1
f
īRMS =§¨f0´
µ Ȗ (t) dt ¸ 9,81
© ¶0
¹
0
où Î(t) est læaccélération de la boite au cours du temps
(2.35)
Pour l’étude ci-après, 3 cas sont comparés :
3
- (1) Le cas de référence déjà étudié précédemment, soit f0=20 Hz et ī =2, A=1,24.10 mm,
ce qui donne īRMS =1,41.
- (2) L’utilisation des mêmes paramètres que le cas de référence, soit f0=20 Hz, f2=
f0
=6,6 Hz
3
3
et A=1,24.10 mm, soit īRMS =1,8, mais avec l’équation de mouvement modifiée.
- (3) La vibration sinusoïdale standard mais pour īRMS =1,8, équivalent à celui de la nouvelle
3
vibration. Ce qui donne pour une fréquence de 20 Hz une amplitude A=1,6.10 mm, soit
ī =2,6. La figure 2.21 montre pour ces trois cas l’évolution du taux de mélange dans la boite
en fonction du temps.
68
Vibration spéciale ¶RMS=1,8
Vibration standard ¶=2, ¶RMS=1,4
Vibration standard ¶=2,6, ¶RMS=1,8
Fig. 2.21 Evolution du taux de mélange au cours du temps pour
différents modes de vibrations
Le résultat principal est une augmentation très significative du taux de mélange entre
les cas (1) et (2) alors que l’on conserve les mêmes paramètres amplitude et fréquence. A īRMS
constant et égale à 1,8, la nouvelle loi de vibration permet de diminuer dæenviron 20% le
temps pour obtenir la valeur de saturation du taux de mélange tout en bénéficiant d’une faible
augmentation d’environ 6% de la valeur finale du taux de mélange. Ce type de comportement
est exactement le résultat escompté pour faire de la tribo-charge car une augmentation du taux
de mélange favorise l’échange de charges entre les particules. Læaugmentation de la
dynamique du mélange permettra quant à elle de réduire les temps de vibration nécessaires
pour charger les particules.
2.2.3 Etude des structures en 3D et des surfaces libre
Dans cette étude, nous définirons comme surface libre læinterface entre le dessus dæun
lit de particule compact et le milieu environnant. Les études de surfaces libres permettent
d’identifier des modes de vibrations particuliers [35-37,39,40]. Selon les auteurs, une valeur
de l’accélération ī inférieure à 1,2 ne génère aucun mouvement. Ceci est dû au fait que la
paroi ne se décolle jamais du lit de particule. La figure 2.22 montre l’ensemble des modes de
vibrations recensés dans la littérature. Ces résultats ont été obtenus pour une vibration de
10000 particules de verre de diamètre 1mm à une fréquence de 20 Hz, dans une boite de
longueur 200 mm. Le rapport longueur/hauteur du lit de particules est de 4. Le paramètre ī
régissant le mode de vibration est indiqué sur chaque cas présenté sur la figure.
69
(a)
(b)
(c)
Fig. 2.22 Position des particules pour différents modes de vibration. Dans chaque cas la vibration est de 20 Hz,
avec pour (a) ¶=2,8, (b) ¶=5,0 et (c) ¶=5,8.
Toutes ces figures, réalisées en 2D peuvent également être retrouvées en 3D. Le principal
chalenge pour une représentation 3D se trouve dans l’utilisation d’un nombre de particules
assez élevé pour permettre une bonne résolution spatiale du problème. Les simulations 3D ont
été réalisées avec un nombre de particules supérieur à 106, il est impossible de toutes les
représenter. Pour obtenir une représentation tridimensionnelle, le taux de présence de
particules İ a été calculé sur un maillage cartésien. Deux études différentes ont été menées. La
première concerne les mouvements dans un lit cubique vibré verticalement. La seconde
concerne læétude des structures de surface libre pour un lit rectangulaire.
a) Etude des mouvements dans le lit cubique
6
La figure 2.23 montre la répartition de İ sur 4 plans successifs pour 3.10 particules
contenues dans une boite de dimensions 14mm×14mm×40mm vibrée verticalement à une
fréquence de 15 Hz et pour ī=2,5. Le lit de particules au repos forme un cube dont les
rapports hauteur/largeur et largeur/profondeur valent 1. La résolution de la grille utilisée pour
le calcul de Ð est deux fois plus petite que la taille des particules dans chaque direction.
70
6
Fig. 2.23 Visualisation du taux de particules Ð dans une boite contenant 3.10 particules vibrées à 15 Hz et pour
¶=2,5.
Après avoir vérifié de façon qualitative le fonctionnement en 3D, nous avons appliqué les
mêmes outils de traitement qu’aux cas 2D. Toujours dans un souci de visualisation, le champ
~
J a été calculé sur une grille de faible résolution par rapport à la taille des particules. La
figure 2.24 montre plusieurs coupes 2D des vecteurs ~
J pour la même configuration que
précédemment. La fréquence de vibration a été élevée à 20 Hz et ī à 3,5.
Il semble que, similairement aux résultats en 2D, la convection des particules se fasse en
montant depuis le centre du lit pour redescendre dans les coins du domaine. Pour confirmer
cette hypothèse, il a été décidé de représenter læévolution de la surface S¸ . Cette surface est
définie à læinstant initiale comme étant la surface située à mi-hauteur du lit. Læévolution de
cette surface est tracée sur la figure 2.25.
71
(b) plan (y,z) en proche paroi
(a) plans (x,y) en proche paroi
(c) plan (y,z) intermédiaire
(e) vue de dessous
(d) plan (x,z) à mi-hauteur du lit de particules
(f) vue de dessus du plan proche de la surface libre
6
Fig. 2.24 Différents plans de coupe du champ ~
J libre. Le lit est composé de 3.10 particules vibrées à 15 Hz,
pour ¶=2,5
72
(a) S¸ en t=0 s
(b) S¸ en t=2,6 s
(c) S¸ en t=4,6 s
(d) S¸ en t=6,6 s
Fig. 2.25 Evolution de la surface S¸ en fonction du temps.
La structure 3D ainsi formée ressemble à une sorte de champignon s’enroulant autour d’un
tore. Le même résultat à été obtenu par Li-Shin et Hsiau [41]. Nous définirons une ligne de
courant 3D comme étant une ligne pour laquelle tous les vecteurs vitesse sont tangents. En
traçant ces lignes de courants passant par les coins du domaine, on peut voir que ce næest pas
un tore qui forme le champignon, mais quatre rouleaux disposés horizontalement à 45° dans
chacun des coins du lit de particules. On remarque également que ces rouleaux ont tendance à
se déformer à leurs extrémités pour venir se placer tangentiellement aux parois. Les lignes de
courant formant les rouleaux convectifs placés à 45° dans un plan horizontal sont tracées sur
la figure 2.26. Le plan est coloré selon la valeur de la composante verticale de ~
J.
73
Fig. 2.26 Lignes de courant formant des rouleaux horizontaux, placés à 45° dans chaque coin du domaine.
b) Etude de la surface libre dæun lit rectangulaire
Cette seconde étude à pour objectif la caractérisation de la surface libre dæun lit de
section rectangulaire pour différentes valeurs de ¶. Au repos, le lit composé de 3,2.10
6
particules forme un pavé rectangulaire dont le rapport largeur/longueur est égal à 4. Le
rapport hauteur/profondeur est égal à 1
La figure 2.27 montre une représentation en 3D de la surface libre de ce lit de particules.
74
(a)
Fig. 2.27 Représentation de la
surface libre pour un lit vibré à
20Hz. En (a) ¶=1,8, en (b) ¶=2,3
et en (c) ¶=2,5.
(b)
(c)
75
On constate que la surface libre est relativement agitée, tout en formant des structures
relativement organisées. La vue de dessus présentée sur la figure 2.28 permet de mieux
apprécier le type de structures de surface formées par ces simulations.
(a)
(b)
(c)
Fig. 2.28 Vue de dessus de la surface libre pour trois valeur de ¶ différentes : (a) ¶=1,8, (b) ¶=2,3 et (c) ¶=2,5.
Différentes structures sont formées en fonction de la valeur de ¶.
Comme il à été montré expérimentalement par Melo (figure 2.29) [36], on constate que pour
la gamme d’accélération étudiée, les structures de surfaces sont bien organisées. Ceci est
particulièrement visible pour les cas ¸
2,1 et ¸
2,5 qui montrent respectivement des
structures hexagonales et des structures carrées. Le cas ¸
2,3, constitue un état intermédiaire
faisant la transition entre les structures hexagonales et les structures carrées. Dæautre part, le
changement de type de structure sæaccompagne dæune réduction de la longueur dæonde.
76
Fig. 2.29 Formes obtenues par Melo [36] sur la surface libre dæun lit à base ronde de diamètre 127mm. Le lit est
formé de particules de 170 ×m de diamètre pour une épaisseur de 7 particules. La fréquence de vibration est de
67 Hz. La figure montre : (a) une organisation en bandes pour ¶=3,3, (b) des formes hexagonales (¶=4,0), (c)
une surface plate avec une seule vague (¶=5,8), (d) une transition entre des structures carrées et des bandes
(¶=6,0), (e) des hexagones de longueur dæonde 2 fois supérieure au cas (b) (¶=7,4), et (f) des structures
désordonnées (¶=8,5).
Il aurait été intéressant de faire des simulation avec une boite cubique en juxtaposant 4
domaines équivalent au domaine étudié. Outre le fait que cela nécessite de traiter 13.10
6
particules, il faut également multiplier par 4 le nombre d’heures de calcul pour obtenir chaque
résultat, soit environ 10000 heures par cas. En regard des heures accordées sur les différents
centres de calculs (CINES, CCRT ), 60000 h au total , qui ont été utilisées pour les
simulations présentées dans cette thèse, il næa malheureusement pas été possible dæeffectuer
6
toutes les simulations voulues. Un résultat de la surface libre obtenu avec 13.10 particules
dans la configuration cubique pour ¸
2,5 et pour un temps de vibration de 1,14 secondes est
77
montré sur la figure 2.30. A cet instant, læécoulement næest pas encore totalement initialisé, on
commence cependant à voir la mise en place des structures sur la surface libre.
6
Fig. 2.30 Surface libre dæun lit à base carrée formé par 13.10 particules. Le rapport hauteur/longueur est égal à
1. La fréquence de vibration est de 20 Hz et ¶=2,5. Cet instantané est pris après 1,14 s de vibration.
78
Conclusion
- Les simulations numériques réalisées ont permis tout dæabord de valider le code, tant sur des
petites simulations en 2D que sur des simulations en 3D comportant un nombre conséquent de
particules. Pour les simulations 3D, cæest la version du code parallélisée qui a été utilisée.
- La mise en place dæoutils dæanalyse nous a permis de visualiser et comprendre les structures
à læintérieur dæun lit vibré en 2D et en 3D.
- Læanalyse FFT a révélé læexistence des fréquences caractéristiques des différentes structures
au sein des lits vibrés. En favorisant les bonnes fréquences il est possible dæaugmenter
significativement le taux de mélange au sein du lit vibré
- Læélaboration dæun modèle de charge par effet triboélectrique est la prochaine étape pour
pouvoir calculer la charge électrique produite dans les lits vibrés. Le prochain chapitre aborde
ce sujet.
- Læétude des surfaces libres a donné des résultats préliminaires corroborés par les résultats
expérimentaux de Melo. Un nombre dæheures de calcul plus conséquent est nécessaire pour
approfondir cette étude et ainsi pouvoir quantifier les effets de la charge électrique des
particules sur les structures de surfaces.
79
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83
84
&KDSLWUH
0RGpOLVDWLRQGHVSKpQRPqQHVWULERpOHFWULTXHV
Nomenclature des principales variables................................................................... 87
3.1. Etudes expérimentales ............................................................................................ 89
3.1.1. Installation expérimentale ................................................................................. 89
3.1.2. Charge triboélectrique par vibration ............................................................... 92
3.2. Modèle de transfert de charge électrique dû à la collision entre deux
particules ............................................................................................................................. 95
3.2.1. Equations de base............................................................................................... 96
3.2.2. Prise en compte de la réversibilité de la charge .............................................. 98
3.2.3. Calibration du modèle ....................................................................................... 99
3.3. Calcul du champ électrique ................................................................................ 101
3.3.1. Méthode de Coulomb ....................................................................................... 101
3.3.2. Equation de Poisson ......................................................................................... 106
3.4. Etude de quelques cas simples .......................................................................... 113
3.4.1. Premier test en vibration avec un mélange à 50% ........................................ 113
3.4.2. Etude de l’effet du remplissage de la boite ..................................................... 114
Conclusion......................................................................................................................... 119
BIBLIOGRAPHIE.......................................................................................................... 120
85
86
Nomenclature des principales variables
A
Aire de contact
d
Diamètre dæune particule
~
d ij
Distance entre les particules i et j
E
Module dæYoung
~
E
Champ électrique
fo
Fréquence de vibration
Lx, Ly, Lz Taille du domaine de calcul dans les direction x, y et z
Q
Charge dæune particule
V
Potentiel
Ï
Overlap entre deux particules
Ò0
Permittivité de vide
Ñ
Distance de coupure
Ø
Coefficient de Poisson
Ü
Densité
Þq
Densité volumique de charge
Ý
Densité surfacique de charge
à
Fonction de travail
87
88
Chapitre
3
MODELISATION DES PHENOMENES TRIBOELECTRIQUES
Les écoulements diphasiques sont souvent accompagnés de la génération de charge par
effet triboélectrique [1]. La prise en compte de ce phénomène dans le modèle numérique
décrit au chapitre précédent comporte deux volets. Le premier, détaillé dans le sous-chapitre
3.2, concerne le calcul de la charge électrique échangée entre les différentes particules et
parois du domaine. Le second volet faisant l’objet du sous-chapitre 3.3, consiste à évaluer les
effets de ce transfert de charge électrique : calculer le champ électrique créé par la répartition
des charges dans l’ensemble du domaine et exprimer les forces électriques s’exerçant sur les
particules chargées.
Des expériences simples, décrites dans le sous-chapitre 3.1, ont été réalisées afin de permettre
dans un premier temps la calibration du modèle et par la suite la validation des résultats des
simulations numériques, exposées dans le sous-chapitre 3.4.
3.1. Etudes expérimentales
Le phénomène de charge des particules par effet triboélectrique a pu être mis en
évidence et quantifié par des expériences réalisées avec un dispositif à vibrations verticales et
un séparateur électrostatique à chute libre, décrits dans le § 3.1.1. Les résultats expérimentaux
présentés dans le § 3.1.2 montrent que la charge électrique acquise par les particules dépend
de la durée pendant laquelle elles sont soumises aux vibrations, ainsi que de la nature des
parois du dispositif vibrant. Les courbes de variation de la charge en fonction de la durée de
vibrations seront utilisées pour déterminer les valeurs des paramètres physiques intervenant
dans le modèle numérique du processus de charge établi dans le sous-chapitre suivant. Les
données expérimentales permettront aussi de valider les résultats de calculs numériques.
3.1.1. Installation expérimentale
La procédure
opérations distinctes :
-
expérimentale
comporte,
La charge des particules par effet triboélectrique
89
d’une
manière
générale,
deux
-
La mesure de la quantité de charge présente sur les particules à la fin de l’opération de
tribo-charge.
Dans le cas de mélange de matériaux granulaires, une troisième opération s’interpose entre les
deux : la séparation des particules en fonction du signe de leur charge.
Un dispositif à vibrations (figure. 3.1) a été utilisé pour générer de l’électricité statique par
chocs. Les particules à charger sont introduites dans une boites en inox (dimensions : 150 mm
x 100 mm x 100 mm). La fréquence des vibrations est constante (50 Hz) mais l’amplitude
verticale de celles-ci peut être variée de 0 à 3 mm.
Dans le cas des mélanges de deux matériaux différents, quatre types de collisions peuvent se
produire. Le premier type est celui qui est utile à la séparation électrostatique, parce qu’il se
produit entre une particule de matériau 1 et une particule de matériau 2. Les autres collisions,
considérées comme "parasites", comprennent : les chocs entre les particules de matériau 1 et
la paroi, les chocs matériau 2 et la paroi ainsi, que les chocs entre deux particules de même
matériau.
1
2
3
5
4
Fig. 3.1. Banc expérimental pour l’étude du processus de charge triboélectrique des particules. 1 : dispositif à
vibrations réalisé à partir d’une tamiseuse Retsch, AS 200; 2 : balance électronique ; 3, 4 : récipients contenant
les particules à charger ; 5 : chronomètre.
Une fois que les particules ont été chargées par vibration dans la boite, il est nécessaire de les
séparer matière par matière avant de pouvoir mesurer leur charge. Pour cela, un petit
séparateur électrostatique à chute libre a été conçu et réalisé au laboratoire (Fig. 3.2). Il est
constitué de deux électrodes verticales (longueur : 240 mm ; largeur : 230 mm) alimentées par
de la haute tension – 30 kV (modèle SL300, SPELLMAN). Les deux électrodes sont
90
surplombées par une trémie contenant les particules chargées à séparer. Lorsque les particules
sont libérées et passent dans le champ électrique créé entre les électrodes, leur trajectoire est
déviée sous l’action de la force de Coulomb. Ainsi les particules chargées se dirigent vers les
électrodes de polarités opposées. En dessous du dispositif, deux tiroirs sont disposés pour
collecter les particules séparées.
PC (Rouge)
PA (Bleu)
(a)
(b)
Fig. 3.2. Photographie (a) et représentation schématique du principe de fonctionnement (b)
du séparateur électrostatique à chute libre. Les dimensions sont : hauteur totale 40 cm, largeur 35cm et
profondeur 30 cm.
Pour être efficace, ce type de séparateur doit respecter plusieurs règles. La première est une
longueur suffisante des électrodes pour que les particules soient suffisamment longtemps dans
le champ électrique pour être déviées. Il faut également que le champ électrique ne soit pas
trop important car les forces en présence peuvent attirer les particules de façon brutale vers les
électrodes et les faire rebondir. Après un rebond, il peut arriver qu’elles arrivent dans le
mauvais collecteur.
Un autre point important concerne les agglomérats de particules. En effet, lorsque deux
particules de matériaux différents sont très chargées, l’une portant une charge positive, l’autre
une charge négative, la force d’attraction mutuelle peut être bien supérieure à la force exercée
par le champ électrique créé par les électrodes. Il en résulte une chute libre sans séparation.
Une fois que les particules sont séparées, la procédure de mesure peut être réalisée. La
technique de mesure employée est la mesure par charge image [2]. Pour cela, les particules
91
sont introduites dans une cellule de mesure métallique, connectée à un électromètre (modèle
6514, Keithley Instruments). Sa sensibilité permet de mesurer des valeurs de charge de l’ordre
de 10-9 C. Cette grande sensibilité impose la prise de grandes précautions lors des mesures
[3,4]. Pour éviter les interférences électromagnétiques, une cage de Faraday est placée autour
de la cellule de mesure. La figure 3.3 représente un schéma du dispositif de mesure.
Cellule de Mesure
métallique reliée à
læélectromètre
Cage de
Faraday
Support
isolant
Fig.3.3 Schéma du dispositif de mesure de charge triboéléctriques réalisé au laboratoire. Læappareil de mesure
étant très sensible, il est important que la cage de Faraday soit entièrement fermée avant de commencer la
mesure.
3.1.2. Charge triboélectrique par vibration
Les essais ont été réalisés avec des particules de Polyamide (PA) et de Polycarbonate
(PC), dont l’aspect peut être examiné sur la figure 3.4. Leurs caractéristiques sont données
dans le Tableau 3.1, qui contient aussi celles des deux types de boites utilisées pour cette
étude expérimentale, l’une en Aluminium, l’autre en Inox.
Fig. 3.4. Aspect des particules utilisées dans les expériences de triboélectrisation. En bleu : le Polyamide ; en
orange : le Polycarbonate.
92
Tableau 3.1. Caractéristiques des particules en Polyamide (PA) et Polycarbonate (PC) , ainsi que de la boite en
inox utilisées dans les expériences de triboélectrisation.
Symbole Quantité
Matériaux
PA
PC
Inox
E
Module d’Young
2,5 GPa
2,3 GPa
69 GPa
Ú
Coefficient de Poisson
0,39
0,37
0,33
Þ
Densité
1,13 g/cm3
1,2 g/cm3
2,7 g/cm3
â
Fonction de travail
3,9 ev
4,2 ev
4,0 ev
Forme des particules
cylindrique
Cylindrique
Diamètre des particules
2 mm
2,5mm
Longueur des particules
3 mm
3 mm
d
Une première expérience a été effectuée pour vérifier que les matériaux utilisés répondent
bien au besoin de l’étude. En effet, à cause des multiples types de collisions présents dans le
dispositif de charge (figure. 3.5), il faut s’assurer que la place des matériaux dans la série
tribologique respecte un ordre qui favorise le processus de charge. Pour cela il est nécessaire
que dans la série tribologique, le matériau de la boite soit situé entre ceux des particules. Dans
ce cas, la collision d’une particule avec une paroi tendra à augmenter sa charge, il en est de
même pour la collision avec une particule de matériau différent.
(a)
(b)
Fig. 3.5. Charge triboélectrique en lit vibré ; (a) particules de même nature (PC) ; (b) mélange de particules (PC
et PA). Tout les types de collisions sont représentés, seuls les impact entre deux matériaux différents produise des
charges
Dans cette première expérience, des échantillons d’une masse de 10 g de particules de même
matériaux ont été soumis à des vibrations dans la boite en Inox. Les expériences ont été
répétées plusieurs fois et les résultats présentés sont des moyennes de plusieurs essais. De
façon générale, læétendue des mesures autour de la moyenne est inférieure à 20%. Dans cette
configuration, le seul mécanisme de charge qui apparaît est une charge des particules par
93
collision avec les parois. Les collisions interparticulaires ne sont pas génératrice de charge
puisque les particules présentes dans la boite à un instant donné sont toutes du même
matériau. Les résultats sont donnés sur la figure 3.6. La charge du PA est positive alors que
celle du PC est négative, ce qui confirme bien que l’Inox est bien un matériau se trouvant
entre les deux, dans la série triboélectrique.
Fig. 3.6. Charge des échantillons de 10 g de particules de PA et de PC, soumis pour des durées variables à des
vibrations dans une boite en Inox. Læamplitude de vibration est de 2mm et sa fréquence de 50 Hz. Pour chaque
point de mesure, des particules vierges ont été employées.
La seconde expérience a été réalisée avec des mélanges composés de 10 g de PA et de 10 g de
PC. Après avoir été soumis aux vibrations pendant des durées allant de 5 à 130 s, les
échantillons ont été transférés dans le séparateur électrostatique. Les charges des produits
collectés après la séparation sont données sur la figure 3.7. Ces courbes ressemblent fortement
à celles qui ont été obtenues lors de la première expérience, portant sur des matériaux non
mélangés. Cependant, la vitesse à laquelle la charge augmente est plus élevée. Dans cette
expérience, les choses sont différentes puisque les deux types de particules ont été vibrées
ensembles dans la même boite. Deux mécanismes de charge apparaissent : celui provoqué par
les collisions particules / paroi et celui provoqué par les collisions entre deux particules de
matériaux différents.
94
Fig. 3.7. Charge des produits collectés après la séparation électrostatique d’un mélange de particules composé de
10 g PA et 10 g PC, soumis pour des durées variables à des vibrations dans une boite en Inox.
La charge de saturation est atteinte beaucoup plus rapidement lorsque les deux matériaux sont
vibrés ensemble. Ceci s’explique par le fait que les collisions entre les particules sont plus
efficaces que celles entre les particules et les parois du dispositif, les deux matériaux étant
plus éloignés dans la série triboélectrique. Une autre remarque importante : la charge de
saturation semble avoir une valeur intrinsèque à chaque type de particules : elle, est
pratiquement la même dans les deux séries d’expériences.
3.2. Modèle de transfert de charge électrique dû à la collision entre deux
particules
Dans les lits vibrés qui font l’objet de cette étude, le transfert de charge se produit au
contact entre deux particules ou entre une particule et une paroi (métallique ou isolante). La
charge totale d’une particule se modifie à chaque contact, selon une formule introduite dans le
§ 3.2.1. Le modèle complet du processus de charge, détaillé dans le § 3.2.2, tient compte du
fait que cette charge est limitée par la rigidité diélectrique de l’air et les caractéristiques
physiques et géométriques des particules. C’est en faisant appel aux données expérimentales
présentées dans le sous-chapitre précédent que ce modèle a pu être calibré, comme il est
montré dans le § 3.2.3, et ensuite utilisé pour réaliser les simulations numériques décrites dans
le § 3.2.4.
95
3.2.1. Equations de base
Le modèle de charge par effet triboélectrique a été élaboré dans l’objectif de simuler le
comportement des lits vibrés comportant un grand nombre de particules ( >106). L’échange de
charge entre particules est calculé localement en fonction des propriétés physiques de celles-ci
et de l’environnement. Contrairement aux modèles basés sur des simulations de type MonteCarlo, en utilisant cette approche il est possible de représenter à tout instant et en tout point
les phénomènes électrostatiques liés à des variations spatiales et temporelles des charges
générées par effet triboélectrique. Il s’agit donc d’un modèle de transfert de charge résolu
dans le temps et dans l’espace. L’utilisation de ce modèle doit permettre de calculer des
écoulements homogènes ou hétérogènes, concernant des particules formant des nuages
compacts ou dispersés.
Plusieurs modèles ont déjà été proposés pour calculer localement des échanges de charge par
effet triboélectrique [5,9]. Tous expriment la charge échangée par unité de surface (c'est-àdire, la densité surfacique de charge (σ) lors de la collision de deux particules isolantes (i et j)
en fonction des propriétés des deux matériaux :
ß
K ( âi óâj )
(3.1)
La constante K regroupe des paramètres liés à la géométrie des corps en contact et au milieu
ambiant, tandis que âi et âj sont les fonctions de travail exprimant l’énergie nécessaire pour
extraire ou placer un électron à la surface de chaque particule.
L’équation précédente a été écrite pour le cas d’un impact unique entre deux particules se
trouvant à grande distance de tout autre corps et en absence d’un champ électrique extérieur
[10]. Pour prendre en compte la variation de la charge échangée entre les particules pendant la
durée du contact, ainsi que l’influence de l’environnement dans lequel ce processus a lieu, le
modèle de base a dû être modifié, en ajoutant d’une part le calcul de la surface de contact à
chaque instant du calcul, mais également l’effet d’un éventuel champ électrique environnant.
En effet, la présence d’un champ électrique, qu’il soit produit par la propre charge des
particules ou par des électrodes connectées à des potentiels différents, tendra à faciliter ou au
contraire à s’opposer au transfert de charge.
Selon la théorie de Hertz [11], il est possible de calculer la surface de contact lors d’une
collision entre deux particules par une formule dans laquelle interviennent la vitesse d’impact
ainsi que des constantes de matériaux, tels que le module d’Young ou encore le coefficient de
Poisson. Dans le modèle DEM décrit au chapitre 2, les pas de temps utilisés sont de l’ordre de
96
10-6 s, très inférieurs à la durée de contact lors d’une collision. Ainsi, durant une collision, la
surface de contact est nulle avant l’impact, puis augmente progressivement à cause de la
déformation des particules pour enfin diminuer durant la phase d’éloignement. Si pour une
raison extérieure le contact reste maintenu, la surface de contact ne se modifie plus. Etant
donné que toutes les équations sont résolues en temps à petite échelle, nous pouvons en faire
de même pour le transfert de charge. En partant du principe que c’est l’aire de la surface de
contact qui conditionne le nombre de charges transférées, dans la formule de la charge
échangée il faut prendre en compte uniquement l’augmentation de celle-ci entre deux pas de
temps (figure 3.8).
PA
PC
PA
PC
PA
PC
PA
PC
PA
PC
Surface de
contact
t
·t
Fig. 3.8. Evolution de la surface de contact lors de la collision entre deux particules.
Dans le modèle proposé, dès que les deux particules commencent à s’éloigner
(diminution de la surface de contact), le calcul du transfert de charge ¹ qi,j est annulé. Cet
artefact permet en outre de ne pas inverser le processus de charge durant l’éloignement des
particules. Ainsi, (3.1) résolue dans le temps et dans l’espace devient :
n +1
∆qin, +j 1 = ∆Ain, →
j
& d ij
ε0
(ϕ i − ϕ j − E
ζe)
ζe
d ij
(3.2)
avec :
Ò0 la permittivité du vide
Ñ une distance de coupure, typiquement fixée à 1.10
e la charge dæun électron
à la fonction de travail des particules
~ le champ électrique au point de contact
E
97
7
d~
i,j le vecteur distance calculé entre le centre des deux particules
n ñ n 1
et ¹ A ij
est læaugmentation de la surface de contact entre læinstant n et n+1 calculé tel
que :
n → n +1
ij
∆A
­° Aijn +1 − Aijn si Aijn +1 > Aijn
=®
si Aijn+1 ≤ Aijn
°̄ 0
(3.3)
Lorsque læoverlap interparticulaire est petit, læaire Aij peut se calculer en fonction de læoverlap
Ñij et du rayon équivalent R* selon læexpression :
Aij
Ý R*Ñij
avec R*
(3.4)
Ri Rj
Ri Rj
(3.5)
3.2.2. Prise en compte de la réversibilité de la charge
Des expériences menées par Matsusyama [12] ont montré que l’éloignement de deux
particules chargées par effet triboélectrique s’accompagne parfois d’une inversion du
processus de charge, un phénomène qui n’est pas pris en compte dans le modèle décrit cidessus. Il semble que cette inversion provienne d’un transfert de charges provoqué par
l’apparition de micro-décharges électriques dues à des intensifications locales du champ
électrique. Ces intensifications s’expliquent par l’existence des zones de forte densité de
charge à la surface des particules situées à de petites distances les unes par rapport aux autres.
Le champ électrique peut ainsi atteindre la valeur disruptive du gaz environnant et provoquer
une décharge qui va réduire la charge des particules.
Le « modèle de relaxation de charge » utilisé par Matsusyama [12] pour décrire ce
phénomène est basé sur la courbe de Pashen, qui définit la valeur limite du champ électrique
de claquage en fonction de la distance entre deux électrodes (figure 3.9.a). La prise en compte
des micro-décharges dans le code de calcul nécessiterait la résolution du champ électrique à
une échelle spatiale plus fine que la taille des particules, ainsi qu’une échelle temporelle
réduite d’environ 4 ordres de grandeur. Seuls des modèles de plasmas permettent ce type de
résolution, ce qui n’est pas l’objet de cette étude. Cependant, afin de prendre en compte ce
phénomène, un paramètre limitant la charge des particules a été introduit dans l’équation
98
initiale pour rester en dessous de la courbe de Pashen (figure 3.9.b). Ainsi, la différence de
charge entre les deux particules ne peut pas dépasser une valeur critique. Cette valeur doit être
réglée de façon à rester en dessous de la courbe de potentiel maximum (en pointillé sur la
figure 3.9.b). Dans le code, cette vérification n’est effectuée qu’à la suite d’un choc.
Selon le modèle de Matsusyama [12], le potentiel d’une particule ayant la charge q1 et qui
s’approche d’une autre particule diminue selon la courbe (1) sur la figure 3.9.a. Après le
contact, pendant lequel elle acquiert une charge supplémentaire ∆q, la particule a une charge
q2 = q1 + ∆q. Cette charge étant supérieure à la charge initiale, quand la particule s’éloigne,
son potentiel évolue selon la courbe (2) sur la figure 3.9.a, jusqu’au croisement avec la courbe
de Pashen. A partir de là, la charge doit diminuer (« relaxation de charge »), de telle sorte que
le potentiel de la particule suive cette courbe. Au moment où le potentiel devient inférieur au
potentiel de Paschen, la « relaxation de charge » cesse. Ensuite, le potentiel augmente selon la
courbe (3), correspondant à la charge maximale admissible qM < q2
3
2
1
(a)
(b)
Fig. 3.9. « Modèle de relaxation de charge » élaboré par Matsusyama [12] (a) et sa prise en compte dans le
modèle de transfert de charge par effet triboélectrique (b). Læintensité de la coloration des particule correspond à
læintensité de leur charge. La courbe 1 est la phase dæapproche des particules, les courbes 2 et 3 les phases
dæéloignement. Le passage de 2 à 3 se fait par une décharge électrostatique.
3.2.3. Calibration du modèle
Le concept de fonction de travail à (« working function ») a été introduit par Helmoltz
[13] en 1879. Des expériences menées par Cross [14] et Schubert [15] ont confirmé la théorie
d’Helmoltz : La charge transférée durant une collision est proportionnelle à la différence entre
99
les travaux d’extraction des deux particules en contact.
La difficulté principale dans le cas des contacts entre matériaux isolants est de définir la
valeur de ces fonctions de travail. En effet, de nombreux paramètres peuvent influencer leurs
valeurs effectives. Ainsi il est suggéré que la forme des surfaces de contact joue un rôle dans
la valeur des fonctions de travail. Dans son étude sur le sujet, Ali [16] a proposé une
expression de la fonction de travail d’un matériau granulaire en fonction des diamètres des
particules. Concernant les polymères, la valeur de la fonction de travail dépendra
principalement de la nature et du taux d’impuretés présentes dans le matériau, donc des
conditions de fabrication, mais aussi de l’exposition des particules aux divers facteurs
ambiants.
Dans les cas étudiés par la suite, la variation de taille des particules n’excédera pas 5% de leur
diamètre moyen, et les matériaux se trouvant ensemble dans les lits vibrés auront des
fonctions de travail très différentes l’une de l’autre. Il n’est donc pas nécessaire de tenir
compte de la variation de à en fonction de la taille des particules. Des valeurs constantes
seront donc adoptées pour ce paramètre.
La calibration du modèle a été faite en fonction des résultats obtenus expérimentalement et en
se basant sur des séries triboélectriques fournie par la littérature. En adoptant une valeur de
travail d’extraction autour de 4 eV pour les métaux tels que l’aluminium ou l’inox, les valeurs
de à pour les matériaux isolants granulaires considérés dans cette étude ont pu être déduites
d’après la dynamique de charge obtenue lors de la charge des particules de PA et de PC
vibrées séparément. Pour établir la valeur des fonctions de travail, nous avons procédé à
plusieurs petits tests numériques. Nous avons commencé par fixer la valeur de la fonction de
travail de la boite à 4 eV. Pour obtenir la valeur des fonctions de travail, nous avons réalisé
des expériences avec des conditions initiales de charge nulle. En effet, pour de très faibles
niveaux de charge, le champ électrique induit ne sera pas prépondérant dans l’expérience, et
pourra être négligé. L’observation des courbes de charge des matériaux séparés (figure 3.6)
montre une dynamique de charge initiale environ deux fois plus rapide pour le PC que pour le
PA, on peut en déduire que la différence des fonctions de travail entre le PA et la boite est
environ deux fois plus faible que la différence entre celle du PC et celle de la boite. Des
valeurs fournies dans la littérature permettent d’avoir un ordre de grandeur de ces fonctions de
travail. Ainsi, après plusieurs tentatives, nous avons trouvé des valeurs qui permettent
d’obtenir une dynamique de charge qui se rapproche de celle obtenue par expérience. Le
tableau 3.2 résume la procédure utilisée pour choisir les valeurs des fonctions de travail du
Polyamide et du Polycarbonate. La dynamique de charge obtenue numériquement y est
comparée avec celle obtenue expérimentalement.
100
Tableau 3.2. Choix des valeurs de la fonction de travail à pour les particules de PC et PA.
â5(
4,5 eV
â5(
4,2 eV
âPC
4,1 eV
â5&
3,75 eV
â5&
3,9 eV
â5&
3,95 eV
Dynamique de charge 8,1
du PA (pC/s)
5,14
2,4
Dynamique de charge -9,4
-6,8
-2,58
PA : 28,5 %
PA : 38,4 %
PC : 4,6 %
PC : 60,3 %
du PC (pC/s)
Erreur
relative
par PA : 107.6 %
rapport aux expériences PC :44.6 %
Après de multiples tests, ce sont les valeurs âPC
4,2 ev et âPA
3,9 ev qui ont été choisies.
3.3. Calcul du champ électrique
Un point très important du modèle concerne le calcul du champ électrique. En effet,
celui-ci intervient dans l’équation (3.2) du modèle de transfert de charge, mais également dans
le calcul de la trajectoire des particules par l’intermédiaire de la force de Coulomb. La
précision avec laquelle il est estimé est donc doublement importante. Il est primordial de
trouver une méthode de calcul appropriée à la modélisation du processus de charge par effet
triboélectrique, tant en terme de temps de calcul quæen terme de précision. Deux méthodes
seront évaluées, l’une basée sur la formule de Coulomb pour le calcul du champ électrique
créé par une distribution de charges discrètes (§ 3.3.1), l’autre faisant appel à l’équation de
Poisson (§ 3.3.2). L’apport de la parallélisation des calculs sera brièvement discuté pour
chacune des deux méthodes. Pour plus de détails concernant ce point, le lecteur se reportera
au chapitre 5.
3.3.1. Méthode de Coulomb
Le calcul du champ électrique sera fait dans l’hypothèse d’une distribution homogène
des charges à la surface des particules. Cette hypothèse permet de reporter la charge totale au
centre de masse de chaque particule. Bien quæà première vue cela semble être une hypothèse
très forte concernant des matériaux isolants comme des polymères, il est possible de
considérer que dans le cas d’un très bon taux de mélange des particules dans le lit vibré, la
probabilité de chocs sera égale en tout point de la surface.
101
Avec cette hypothèse et en utilisant le principe de superposition, le champ électrique au centre
d’une particule i peut être exprimé par :
M
&
&
qk &
1
Ei = Eext + ¦
& 3 d ik
4
πε
k =1
0 d
ik
(3.6)
k ≠i
~ext est un éventuel champ électrique extérieur, et M est l’ensemble des particules du
où E
d ik le vecteur distance entre les deux particules
domaine. qk étant la charge de la particule k et ~
i et k.
~ et le potentiel V sont deux grandeurs qui sont intimement liés par la
Le champ électrique E
relation suivante :
&
E = −∇V
(3.7)
Le champ électrique étant une grandeur vectorielle, on préfèrera par la suite représenter le
potentiel qui est une grandeur scalaire. La formule utilisée pour le calcul du potentiel Vi au
centre de la particule i par la méthode de coulomb est donnée ci-dessous :
M
Vi = Vext + ¦
k =1
k ≠i
1
4πε 0
qk
&
d ik
(3.8)
2
Vext est un éventuel potentiel lié à des conditions extérieures.
En utilisant ce type de formule, la complexité algorithmique du calcul du champ électrique et
2
du potentiel au centre de chaque particule est en M . Ce type d’algorithme est inacceptable
lorsque la modélisation concerne un nombre important de particules. Des tests ont donné un
temps d’exécution d’environ 10 heures pour traiter 106 particules sur un processeur à 3 GHz.
Tout en conservant la même complexité algorithmique, il est possible de diviser par deux le
nombre d’opérations à effectuer en calculant simultanément la contribution de la charge de la
particule i sur la particule j et la contribution de la charge de la particule j sur la particule i.
Bien que l’on puisse obtenir un gain de temps d’un facteur 2, il n’est pas acceptable de passer
102
autant de temps sur le calcul du champ électrique.
Un autre point important de l’algorithme concerne la parallélisation du calcul du champ. Pour
des raisons expliquées dans le chapitre 5, le choix de la parallélisation a été basé sur une
décomposition de domaine, et les communications nécessaires aux calculs ne se font quæentre
des sous-domaines adjacents. Il est donc difficile de paralléliser le calcul puisque cela
nécessiterait d’effectuer des communications entre l’ensemble des sous-domaines à cause des
interactions à distance du champ électrique. Ceci augmenterait de façon exponentielle le
nombre de communications et diminuerait d’autant son efficacité.
Une première idée consiste à se poser la question de la nécessité de prendre en compte
l’ensemble des particules du domaine. En effet, le poids de la charge des particules dans la
formule du champ étant dégressif en 1/d², nous pouvons imaginer une distance de coupure à
partir de laquelle les particules n’influencent plus beaucoup la valeur du champ électrique.
Pour vérifier cette hypothèse, plusieurs cas ont été analysés. Dans un premier temps, le calcul
du potentiel a été réalisé pour un nuage de 343000 particules de diamètre 1mm réparties de
façon homogène dans l’espace dans un domaine cubique de taille LxŠLyŠLz =
85mmŠ85mmŠ85mm. La charge des particules n’a pas été choisie de façon homogène, mais
de façon à privilégier une direction du champ dans une direction donnée. Pour cela, toutes les
particules situées dans la première moitié de l’espace se sont vues attribuer une charge
aléatoire située entre -0,75.10-10 C et 0,25.10-10 C, alors qu’à celles situées dans la seconde
moitié du domaine la charge affectée a été comprise entre -0,25.10-10 C et 0,75.10-10 C.
Pour vérifier les effets de bord, la paroi inférieure a été considérée comme étant un métal
porté à un potentiel nul. La méthode des images électriques a été utilisée pour assurer la
bonne valeur du potentiel sur cette frontière du domaine. Toutes les autres parois ont été
considérées comme non chargées. Une vue 3D en coupe de la répartition des charges dans
l’espace est présentée sur la figure 3.10.
Le test proposé consiste à calculer le potentiel et le champ électrique en chaque point de
l’espace pour plusieurs valeurs de la distance de coupure. Lorsque celle-ci atteint la taille du
domaine, l’ensemble des charges est pris en compte. Les calculs étant effectués sur un
maillage, et parallélisés par domaines, l’augmentation du noyau de calcul en considérant un
nombre croissant de mailles n’est pas envisageable puisque cela modifierait également les
algorithmes de communication à utiliser. Pour simplifier le problème, la taille du noyau de
calcul sera toujours fixée à 2 mailles, c'est-à-dire une maille de chaque côté du point de calcul.
En 3D, cela forme un noyau cubique dont la taille du côté est égale à 2 fois la taille d’une
maille.
Pour augmenter la taille de ce noyau, c’est la taille des mailles qui sera augmentée, entraînant
par la même occasion une réduction du nombre de mailles dans le domaine. La figure 3.11
montre les noyaux utilisés pour le calcul du potentiel au centre d’une particule pour deux
103
résolutions différentes.
Les résultats des calculs du potentiel sont montrés sur la figure 3.12. Chaque cas montre une
coupe dans le plan z à mi-longueur du lit de particules.
Cette figure montre la grande sensibilité du calcul du potentiel, et donc du champ électrique
par rapport à la taille du noyau. Cette sensibilité s’accroît d’autant plus que le calcul est
effectué dans une zone proche d’une paroi.
Ly
q
Lz
Lx
Fig. 3.10. Répartition des charges prises en compte dans les tests numériques de calcul du potentiel. 343000
particules sont placées dans le domaine. De 0 à Lx/2 la charge q des particules est aléatoire entre -0,75.10-10 C et
0,25.10-10 C, de Lx/2 à Lx leur charge est comprise entre -0,25.10-10 C et 0,75.10-10 C. Lx=Ly=Lz=85mm
Fig. 3.11. Noyaux utilisés pour le calcul du champ électrique pour deux résolutions différentes. Les particules
hachurées sont utilisées pour calculer le potentiel et le champ au centre de la particule grisée
104
Ly
Ly
v
Lz
v
Lz
Lx
Lx
(a)
(b)
Ly
v
Lz
(c)
Lx
Fig. 3.12. Cartographie du potentiel pour une taille de noyau allant de (a) 28% du domaine, (b) 66% à (c) 100%
du domaine (coupe dans le plan z à z=Lz/2)
On peut en déduire que l’idée de ne pas prendre en compte l’ensemble des particules pour
calculer le champ électrique ne fonctionne pas, surtout si les particules utilisés dans le calcul
ne sont pas situées de façon homogène de part et d’autre du point de calcul, ce qui est le cas
lorsque l’on se rapproche des parois. Ainsi, en considérant que le calcul est exact pour une
taille de noyau maximum (contenant 100% des particules du domaine), on peut effectuer une
cartographie de l’erreur relative pour différentes tailles de celui-ci. Sur la figure 3.13 l’erreur
relative du potentiel a été calculée dans le plan y situé à mi hauteur de la boite pour différentes
tailles de noyau. Les valeurs sont données en pourcentage par rapport à la solution obtenue
avec une taille de noyau comprenant l’ensemble des particules du domaine.
105
Lx
Lx
Lz
Lz
(a)
(b)
(c)
Lx
Lz
Fig. 3.13. Erreur relative (en %) sur le potentiel pour différentes tailles du noyau : a) 18%, b) 28% et c) 66% du
domaine dans chaque direction.
L’erreur est très sensible à la taille du noyau, mais la proximité d’une paroi augmente d’autant
plus la valeur de l’erreur. L’hétérogénéité de la charge d’espace est également un facteur
important à prendre en compte dans le choix de la taille du noyau de calcul à utiliser pour
obtenir une bonne précision. Dans les configurations que nous étudions, il næest pas possible
dæutiliser une distance de coupure mais il est nécessaire de prendre en compte læensemble des
particules du domaine.
3.3.2. Equation de Poisson
Læobligation de prendre en compte læensemble du domaine et la complexité
2
algorithmique en M du calcul du champ électrique par la méthode de coulomb nous ont
conduit à envisager une autre solution. Cette seconde alternative consiste à utiliser læéquation
106
de poisson pour calculer le potentiel (3.9). Le champ électrique sera calculé par le gradient du
potentiel (3.7).
¹V
Þq
Ò0
(3.9)
L’équation de Poisson est discrétisée en volumes finis selon la méthode de Patankar [17] et le
système linéaire qui en découle est résolu par la méthode itérative de Stone [18]. La
discrétisation des dérivées utilise un schéma centré dæordre 2. Dans l’équation de Poisson, ȡq
est la densité volumique de charge locale, ce qui devient après discrétisation la densité
volumique de charge au centre du volume de contrôle concerné. Pour résoudre cette équation
il est donc nécessaire d’avoir un maillage ainsi qu’une méthode dæinterpolation de la charge
des particules sur ce maillage. Pour fermer le système d’équations, il est également nécessaire
d’exprimer les conditions aux frontières du domaine.
La grille utilisée pour la résolution de l’équation de Poisson est donnée sur la figure 3.14, où
les disques représentent les particules, les points rouges indiquent les volumes de contrôle sur
lesquels il est nécessaire d’interpoler la charge, et les étoiles désignent les endroits auxquels il
faut appliquer une condition limite.
Fig. 3.14 Grille d’interpolation utilisée pour résoudre l’équation de Poisson. La charge des particules est
interpolée sue les points. Les étoiles sont les lieux dæapplication des conditions limites.
107
Concernant la projection sur la grille, il est nécessaire de faire attention à quelques points
sensibles. Le premier concerne la conservation de la quantité interpolée, et le second la
symétrie radiale du noyau d’interpolation ÔÒ ..Dans cette notation, læindice Ò représente
læéchelle dæadimensionalisation du noyau. Ces deux conditions sont respectivement données
par les équations (3.11 et 3.12) Un grand travail sur les méthodes dæinterpolations appliquées
aux méthodes particulaires a été effectué par Cherfils [19]. Ainsi la méthode de projection
dans la direction x peut être résumée tels que :
N
(
Q x = ¦ η ε * Qi * ( x − xi )
i =1
³η ε ( x)dx = 1
)
(3.10)
(3.11) et
Ω
³ xηε ( x)dx = 0
(3.12)
Ω
Afin de répondre aux besoins liés à la parallélisation du problème, la taille r du noyau est
limitée à une cellule dans chaque direction. La dimension caractéristique du noyau Ð sera donc
2*·x si · x est la dimension d æ une maille dans la direction x. Les coefficients
d’interpolation respectant l’ensemble des critères peuvent former une courbe d’interpolation
se trouvant entre l’interpolation linéaire et læinterpolation dæordre 0. Ces courbes sont
respectivement représentées en rouge et en vert sur la figure 3.15. Les autres, présentées en
pointillés, sont les courbes d’interpolation intermédiaires respectant les critères formulés
précédemment.
Fig. 3.15. Courbes d’interpolation respectant à la fois la conservation de la charge et la symétrie du noyau. Les
courbes en vert et en rouge sont les deux limites au-delà desquelles les conditions de conservation ne sont pas
respectées
Pour le choix des conditions aux frontières, trois cas différents ont été considérés : (1) parois
conductrices portées à un potentiel constant ou non ; (2) surface ouverte à l’environnement
108
extérieur ; (3) parois non conductrices. Dans le premier cas, si le potentiel de la paroi est
connu, le problème est assez aisé puisqu’il s’agit d’utiliser une condition simple de type
Dirichlet. Concernant les surfaces ouvertes, on trouve dans la littérature des conditions limites
de type Neumann qui sont très souvent utilisés en électrostatique. Malheureusement,
l’application de celles-ci n’est possible que si les frontières se trouvent loin de tout point de
charge, ce qui est loin d’être vérifié dans les lits vibrés. L’exemple donné sur la figure 3.16
montre la différence entre un résultat exact (obtenu par la méthode de Coulomb) et un résultat
obtenu avec ce type de condition sur la face supérieure d’un nuage de particules
uniformément réparties mais chargées non uniformément .
(a)
Lz
Ly
(b)
Lx
Ly
Lz
Lx
Fig. 3.16. Comparaison entre le potentiel obtenu avec a) la méthode de coulomb, et b) la solution de Poisson
avec une condition de type Neumann sur la paroi supérieure (y=Ly).
La solution obtenue à proximité de la paroi supérieure est clairement éloignée de la solution
obtenue avec la méthode de Coulomb. Pour résoudre ce problème, un premier calcul a été fait
dans l’hypothèse d’une décroissance linéaire et constante du potentiel V à l’interface entre le
nuage de particules et l’environnement, ce qui conduit à la condition limite suivante :
ò2V
=0
ò\ 2
Un premier résultat sur le volume contenant 343000 particules donne de bons résultats avec
une erreur n’excédant pas quelques pourcents sauf dans la partie où le gradient de charge est
élevé, où l’erreur peut atteindre 40% par rapport à un calcul effectué avec la méthode de
Coulomb (Figure 3.17).
Cette forte erreur reste cependant très localisée et peut également être le résultat de
l’interpolation de la valeur des charges sur la grille de résolution de Poisson.
109
(a)
Ly
(b)
Ly
Lz
Lx
Lx
Lz
òV
de type dérivée
òy 2
2
Fig. 3.17. a) Champ de potentiel obtenu avec la solution de Poisson avec la condition
seconde nulle sur la paroi supérieure. b) erreur relative en % par rapport à la solution de Coulomb
Une deuxième étude a été réalisée avec une autre répartition de particules. 100000 particules
sont placées en tas formant une gaussienne. Toutes les particules ont été uniformément
chargées à une valeur de 10-10 C, et comme précédemment le potentiel de la paroi inférieure a
été fixé à 0. La figure 3.18 montre la répartition spatiale en 3D ainsi que la valeur du champ
obtenue par la méthode de Coulomb. La figure 3.19 montre une vue en coupe de la solution
du potentiel obtenue avec : a) la méthode de Coulomb et b) avec le solveur de Poisson. Les
conditions de paroi et leurs lieux d’application sont précisés sur la figure. On remarquera que
sur les parois verticales, les conditions limites ont été obtenues avec la méthode de Coulomb
comme expliqué dans le paragraphe suivant. Par comparaison avec la solution trouvée avec la
loi de Coulomb, on peut observer que l’application de la condition limite de la paroi
supérieure provoque un écrasement et une sous estimation du potentiel dans le nuage de
particules. Ce qui différencie ce test du précédent est que la condition de surface libre n’est
pas appliquée directement à l’interface entre les particules et l’environnement, mais un peu
plus loin, et pas dans la direction de la normale de la surface libre.
Il serait bien sûr possible de calculer cette condition limite au bon endroit, mais cela
impliquerait d’utiliser une code avec un maillage adaptatif qui devrait être redéfini à chaque
pas de temps en fonction de la position de la surface libre. Ce type de maillage n’a pas été
envisagé pour des raisons de temps de calcul beaucoup trop élevé.
110
Ly
V
Lx
Lz
Fig. 3.18. Répartition d’un nuage de particules en forme de gaussienne. Le potentiel V est calculé par la méthode
de Coulomb
Ly
Ly
(a)
(b)
Lx
Lx
V= V(Coulomb)
V=0
∂ 2V
=0
∂n 2
Fig. 3.19. Comparaison entre : a) le potentiel obtenu avec la méthode de Coulomb et b) le potentiel obtenu avec
le solveur de Poisson. Chaque figure est une coupe en z=Lz/2. Les conditions limites utilisées pour le solveur de
Poisson sont précisées sur la figure (b)
111
La solution du problème a été apportée par l’étude des parois isolantes. L’air ambiant peut être
considéré comme une paroi isolante non chargée. L’interpolation des charges portées par les
particules est faite sur les nœuds du maillage. Pour traiter des charges portées par une paroi,
une interpolation en 2D est faite dans le plan de la paroi sur les nœuds du maillage formant les
conditions limites. Apres læinterpolation il est aisé de calculer le potentiel de la paroi sur ces
mêmes points par la loi de Coulomb en tenant compte d’une part des charges volumiques à
l’intérieur du domaine portées par les particules, et d’autre part des charges surfaciques
portées par les parois. Ceci permet dæobtenir une solution exacte du potentiel des parois
isolantes chargées par contact. En considérant une charge surfacique nulle sur l’ensemble de
la paroi, il est possible de calculer la valeur du potentiel pour une surface libre, ou non
chargée.
Le calcul du champ pour le nuage de particules en imposant des conditions aux limites de
type Dirichlet dont les valeurs sont issues du calcul par la loi de Coulomb a conduit à des
résultats satisfaisants. La figure 3.20 montre la solution obtenue avec la nouvelle condition
limite pour la paroi supérieure.
Ly
Lx
ĭ= ĭ(Coulomb)
ĭ=0
Fig. 3.20. Potentiel obtenu avec le solveur de Poisson. Les conditions limites calculées par la méthode de
Coulomb favorisent la précision de la solution
Le calcul du champ électrique, dans le cas de particules formant un nuage de particules non
uniformément chargées, peut être effectué avec plusieurs méthodes dont les points forts sont
soit la précision, soit la rapidité. La méthode retenue est une solution hybride alliant la
112
rapidité de résolution de l’équation de Poisson et la précision des calculs grâce à des
conditions sur les frontières calculées avec la formule de Coulomb. Le gain de temps est
résumé dans le tableau 3.3. Le surcoût en terme de temps de calcul en utilisant la formule de
Coulomb n’est pas trop important puisque, contrairement à sa résolution à l’intérieur du
domaine, cette partie du calcul est facilement parallélisable et de façon efficace.
Tableau 3.3. Gain en temps de calcul pour le calcul du potentiel avec la méthode de coulomb et avet la méthode
hybride Poisson-Coulomb.
Temps CPU
N1 = 9260 particules
N2 = 106 particules
Méthode de Coulomb
1.8 s
10.45 h
Méthode hybride Poisson-Coulomb
1.07 s
34.3 s
Les résultats obtenus sont toutefois à prendre avec précaution car plusieurs approximations
ont été commises. En premier lieu, læéquation de Poisson utilisée pour le potentiel ne tient pas
compte de la modification de la permittivité du milieu liée à la présence des particules. Si la
résolution de læéquation de Poisson pour une permittivité variable ne pose pas de problèmes
particuliers, encore faut-il trouver la loi de variation de la permittivité Ð dans des milieux
discontinus hétérogènes. Ce défaut peut être résolu en appliquant la correction proposée par
Hogue [20]. Dæautre part, la discontinuité entre le milieu granulaire et læair ambiant devrait
également être prise en compte lorsque læon utilise la méthode de Coulomb pour calculer
læinfluence de la charge de chaque particule sur le potentiel des parois.
3.4. Etude de quelques cas simples
3.4.1. Premier test en vibration avec un mélange à 50%
Pour vérifier le bon fonctionnement du code de calcul, une première simulation a été
réalisée dans des conditions similaires aux expériences décrites au § 3.1.2. Une boite de taille
15×10×10 cm contenant un mélange de 10 g de particules de PA et 10 g de particules de PC a
été vibré durant 90 s avec une amplitude de 2 mm à une fréquence de 50 Hz. La courbe de
charge moyenne des particules en fonction du temps est tracée sur la figure 3.21.
Les résultats numériques semblent bien s’accorder aux données expérimentales. Cependant il
faut noter que la pente à l’origine de la courbe de charge du PA est un peu trop forte, ce qui
provoque une saturation prématurée de la charge des particules. Malgré plusieurs tentatives
d’ajustement des paramètres, aucune n’a abouti à une réduction de la dynamique de cette
courbe sans influencer la courbe de charge du PC.
113
Fig. 3.21. Courbe de charge obtenue numériquement et expérimentalement pour un mélange de 20g contenant
50% de PA et 50%de PC
L’examen des parties finales de ces courbes (30s-90s), montre une légère décroissance de la
charge du PA, accompagnée d’une augmentation de la charge du PC. Ce phénomène a
également été observé durant les expériences. D’après les simulations qui ont été effectuées,
cette décroissance serait liée au fait que les particules de PC n’ont pas atteint leur charge de
saturation. Lorsqu’elles se frottent à une paroi, cela a tendance à augmenter leur charge. Si
cette charge produit localement un champ électrique trop important, une micro-décharge peut
se produire entre les particules de PA et de PC.
3.4.2. Etude de l’effet du remplissage de la boite
Le taux de remplissage affecte le ratio entre le nombre de contacts interparticulaires et
le nombre de contacts entre les particules et les parois. En effet, le fait d’augmenter le nombre
de particules dans la boite vibrante aurait tendance à augmenter de façon très significative le
nombre de contacts entre les particules alors que le nombre de contacts avec les parois
augmenterait très peu. Pour bien visualiser cet effet, il suffit de placer dans la boite une seule
sorte de particules. De cette façon, la dynamique de la charge est due uniquement aux
collisions avec les parois, aucun échange de charge n’ayant lieu entre les particules.
Les mêmes effets ont été étudiés expérimentalement. La charge totale des particules
contenues dans la boite en fonction de la masse est tracée sur la figure 3.22. Cette courbe à été
obtenue pour une durée de vibration de 60 s et ce, quelque soit la masse de produit placé dans
la boite.
114
Fig. 3.22. Evolution de la charge totale en fonction de la masse de matière contenue dans la boite. Chaque point
est obtenu apres 60s de vibration.
Concernant le Polyamide, que ce soit numériquement ou expérimentalement, l’augmentation
initiale de la charge totale est suivie d’une saturation, voir dæune diminution. La masse
critique à partir de laquelle la saturation est obtenue, ainsi que la valeur de cette saturation
sont plus élevées dans le cas des résultats numériques que pour les mesures expérimentales,
mais la tendance reste cependant très proche en ce qui concerne la forme de la courbe. Le
même phénomène est observable sur la courbe de charge du Polycarbonate.
Deux observations mériteraient une analyse plus poussée : (1) contrairement aux mesures
expérimentales, la masse de saturation est la même pour les deux matériaux ; (2) la courbe de
charge du Polycarbonate contient une singularité aux alentours de 30 g. Pour mieux cerner les
phénomènes la charge totale des particules a été rapportée à la masse des particules, pour
obtenir la charge moyenne par gramme de matière. La courbe obtenue est tracée sur la figure
3.23.
Fig. 3.23. Evolution de la charge par
gramme en fonction de la masse de
matière contenue dans la boite.
115
Comme sur les courbes précédentes, un bon accord est constaté en terme de comportement
global entre la simulation et les expériences : d’une manière générale la charge par gramme
diminue alors que la masse augmente. Une première explication : seules les collisions avec les
parois génèrent des charges. Il semble donc que malgré le brassage des particules lié à la
vibration de la boite, dès que la masse dépasse 20 g, les particules n’ont pas le temps d’être
toutes chargées à leur valeur de saturation. Plusieurs études ont alors été menées pour
comprendre pourquoi la charge par particule diminue à partir dæune masse critique égale à
30g.
Les figures 3.24 et 3.25 représentent l’histogramme du taux de particules (en % de la masse
totale) en fonction de la valeur de la charge obtenue après 60 s. Ces figures confirment
l’hypothèse que certaines particules sont fortement chargées (à priori celles qui sont proches
de la paroi) alors que d’autres ne le sont quasiment pas lorsque la masse totale est grande. La
figure 3.26 illustre la position des particules de Polycarbonate après 60 secondes de
vibrations. On observe bien que les particules les plus chargées sont situées à proximités des
parois. La principale explication de ce phénomène est que les forces des charges images liées
à la charge des particules ont tendance à attirer les particules les plus chargées sur les bords de
la boite.
(a)
(b)
Fig. 3.24. Répartition de la charge pour a) les particules de PA et b) les particules de PC, pour une masse totale
de 30 g après 60 s de vibration.
116
(a)
(b)
Fig. 3.25. Répartition de la charge pour a) les particules de PA et b) les particules de PC, pour une masse totale
de 120g.
Fig. 3.26. Répartition de la charge pour a) 30 g de particules de PC et b) 120 g de particules de PC après 60 s de
vibration.
Le mouvement des particules au sein de la boite présenté sur la figure 3.27 montre des
trajectoires très chaotiques lorsque les particules sont en faible nombre. En augmentant un peu
la masse, des cellules de convection commencent à apparaître le long des parois verticales.
Ces structures, montrées sur la figure 3.27, entourent des particules qui restent piégées à
l’intérieur de ces cellules et ne vont pas rencontrer la paroi. Plus la masse de particules
augmente, plus les cellules de convection s’allongent le long de la paroi inférieure.
117
Masse = 10 g
Masse = 20 g
Masse = 30 g
Masse = 40 g
Masse = 80 g
Masse = 120 g
Fig. 3.27. Mouvements et structures cohérentes présentes dans les lits vibrés pour une masse allant de 10g à
120g.
118
A partir de 30 g deux cellules auxiliaires contra rotatives apparaissent dans la partie
supérieure des deux cellules principales. La taille des cellules auxiliaires a tendance à croître
avec l’augmentation de la masse de matériau, pour disparaître à nouveau lorsqu’il y a
beaucoup de particules. La valeur de la masse à laquelle apparaissent ces cellules correspond
exactement à la singularité présente sur les courbes de charge du PC présentées
précédemment (figures 3.22 et 3.24).
Si la présence de ces cellules explique cette singularité pour le PC, la question de l’absence de
cet effet sur le PA se pose. Contrairement au Polycarbonate, la charge du Polyamide est
quasiment à sa valeur de saturation pour une masse de matière inférieure à 30 g. De ce fait,
l’apparition de ces cellules convectives affectera très peu la valeur de la charge du PA. Il faut
remarquer tout de même que c’est à partir de cette masse critique que la masse moyenne par
gramme décroît.
Pour améliorer la charge des particules par les parois de la boite, nous avons appliqué à la
boite la loi de vibration, destinée à améliorer le mélange, définie dans le §2.2.2 du chapitre 2.
Cette loi de vibration consistait à moduler le signal de vibration par un signal sinusoïdal de
fréquence 3 fois plus faible.
La figure 3.28 montre læévolution de la charge moyenne par particule du Polyamide (a) et du
Polycarbonate (b) pour les deux types de loi de vibration. La masse de particules présente
dans la boite est de 120 g.
Loi de
vibration
modulée à
f0/3
Vibration
sinusoïdale
standard
Vibration
sinusoïdale
standard
Loi de
vibration
modulée à
f0/3
(a)
(b)
Fig. 3.28. Evolution de la charge moyenne par particule pour une masse 120g. Deux lois de vibration différentes
sont comparées pour a) le Polyamide et b) le Ploycarbonate.
119
Conclusion
Les différentes expériences et études présentées dans ce chapitre ont abouti à læélaboration
dæun modèle de charge dont les résultats montrent un très bon accord avec ceux obtenus
expérimentalement. Pour cela, différentes étapes ont été suivies.
-
Un volume important de données a été obtenu par la réalisation et læutilisation dæun
dispositif expérimental de charge par vibration. Ces données ont dæabord servi à calibrer
le modèle numérique. Ensuite les comportements obtenus expérimentalement ont
confirmés les résultats numériques.
-
Grâce aux différentes méthodes de calcul du champ électrique nous avons trouvé une
solution limitant læerreur relative tout en conservant un temps dæexécution raisonnable, y
compris en présence dæun grand nombre de particules. Une attention particulière sur la
validité des équations utilisées dans des milieux discontinus a été soulevée et soulignée.
-
Læeffet de la masse de particules présente dans le dispositif de charge a été étudié. Cela a
permis de montrer le rôle joué par les parois sur la charge des particules. Dans le même
temps, læutilisation dæune loi de vibration particulière a démontré quæil est possible
dæaugmenter de façon significative la charge produite par le contact avec les parois en
modifiant la structure du mouvement au sein du lit de particules induit par le mouvement
de la paroi en vibration.
120
BIBLIOGRAPHIE
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122
&KDSLWUH
6LPXODWLRQQXPpULTXHGHVpFRXOHPHQWVJD]VROLGH
Nomenclature des principales variables.................................................................. 125
4.1. Développement du modèle utilisé ..................................................................... 128
4.1.1 Les équations de Navier-Stokes moyennées en volume ................................. 128
4.1.2. Les forces de couplages .................................................................................... 131
4.2. Discrétisation ........................................................................................................... 133
4.2.1 Discrétisation des flux et des termes sources .................................................. 133
4.2.2 Couplage vitesse pression : algorithme SIMPLE ........................................... 138
4.2.3 Correction de Rhie et Chow ............................................................................ 141
4.2.4 Evaluation du taux de fluide ........................................................................... 143
4.3. Etude numérique tridimensionnelle dæun écoulement de lit fluidisé ... 147
4.3.1. La vitesse de fluidisation ................................................................................. 147
4.3.2. Formation et dynamique dæune bulle rapide................................................. 152
4.2.3. Le régime bouillonnant ................................................................................... 160
Conclusion......................................................................................................................... 165
BIBLIOGRAPHIE.......................................................................................................... 166
123
124
Nomenclature des principales variables
C
dp
D1, D2

fk
fc
~pļ f
F
~¹p
F
F~d
FC
~
g
I
p
pæ
P
t
~
u
~
up
&
u~
f
~
u
~
u fp
Terme convectif de læéquation de Navier-Stokes
Diamètre dæune particule
Termes diffusifs de læéquation de Navier-Stokes
Flux normal passant par la face k
Flux convectifs
Forces des particules sur le fluide
Forces de pression appliquées aux particules
Forces de traînées
Terme de couplage de læéquation de Navier-Stokes
Accélération de la pesanteur
Terme temporel de læéquation de Navier-Stokes
Pression du fluide
Correction de pression
Terme de pression de læéquation de Navier-Stokes
Temps
Vitesse du fluide
Vitesse dæune particule
Vitesse moyenne
Vitesse fluctuante
Vitesse du fluide interpolée au centre dæune particule
up
Vitesse moyenne dæun groupe de particules
~
u*
~
uí
uin
umf
vp
V
VP
Vitesse prédictive de læalgorithme SIMPLE
Correction de vitesse
Vitesse dæentrée dans la cavité
Vitesse minimum de fluidisation
Volume dæune particule
Volume de contrôle
Volume de la maille P
δ
σ
σ RE
Tenseur identité
Taux de fluide dans un volume de contrôle
Viscosité du fluide
Masse volumique du fluide
Tenseur des contraintes fluides
Tenseur de Reynolds
‰
Þ
Ȥk
Tenseur des contraintes visqueuses
Indicateur de phase
~
Í
Vorticité
Ð
×
Ü
125
126
Chapitre
4
SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS GAZ SOLIDE
Dans ce chapitre nous allons aborder la simulation des écoulements gaz-solide par une
approche eulérienne-lagrangienne. Il s'agit de coupler le code de calcul qui simule la
dynamique granulaire, avec un solver Navier-Stokes chargé de résoudre le champ de vitesse et
de pression dans la phase fluide. Comme nous l'avions évoqué dans le chapitre 1, plusieurs
niveaux de couplage existent. Pour des simulations réalistes dans un contexte d'écoulement
chargé en particule, il convient de faire en sorte que la phase fluide puisse ressentir la
présence des particules. La façon de procéder pour garantir ce couplage est expliquée dans le
paragraphe suivant. Le solver des équations de Navier-Stokes monophasiques a été développé
par Ph Traoré[1] et Y. Ahipo [2]. Il s'appuie sur la méthode des volumes finis [4,5]. Les
volumes de contrôles sont de topologie hexaédrique arbitraire dans le sens qu'il peuvent être
non orthogonaux. Le maillage est structuré par bloc et l’ensemble des grandeurs, vitesses,
pression, viscosité ou encore densité, est colocalisé au centre des mailles. Il est notoire qu'un
tel arrangement de variable peut induire des oscillations néfastes sur le champ de pression.
Afin de les corriger l'interpolation de Rhie and Chow [3] a été implémentée. Le couplage
entre la vitesse et la pression est assuré par l’algorithme SIMPLE [4]. D’une manière
générale, ce code suit assez bien l'approche développée par Peric [5]. Dans le sous-chapitre
4.1 nous commencerons par indiquer le modèle de couplage utilisé basé sur les équations de
Navier-Stokes moyennées. Puis nous donnerons quelques détails sur la technique de
discrétisation employées sur un maillage non-orthogonal (bien que les maillages utilisés dans
nos simulations le soient). Deux aspects fondamentaux de la méthode, car souvent éludés par
la majeure partie des auteurs concernent l'implémentation de l'algorithme SIMPLE et
l'interpolation de Rhie et Chow. Ces considérations seront détaillées dans le sous-chapitre 4.2.
Enfin la partie 4.3 concernera la simulation numérique d'écoulement dans les lits fluidisés.
Deux configurations seront étudiées:
1) la formation et la dynamique d'une bulle isolée
2) les phénomènes de bullage dans les lits fluidisés.
127
4.1. Développement du modèle utilisé
4.1.1 Les équations de Navier-Stokes moyennées en volume
De façon générale, les équations régissant la phase fluide dans les milieux diphasiques
sont formulées à partir des équations de Naviers-Stokes localement moyennées en volume.
Par la suite, nous utiliserons la notation de Drew [6], qui à été reprise par Kataoka [7] puis
Kataoka & Serizawa [8]. Dans cette notation l’indice k représente l’indice de la phase, Ȥk est
la fonction qui représente la distribution de la phase k dans le domaine de calcul. Ainsi Ȥk =1 si
la phase k est présente, 0 si non.
Localement, et pour une phase continue, les équations de conservation de la quantité de
mouvement et læéquation de conservation de la masse sæexpriment par :
&
& &
&
∂ ( ρu )
+ ∇ ⋅ ( ρu ⊗ u ) = ∇ ⋅ (σ ) + ρg
∂t
&
&
∂ ( ρu )
+ ∇ ⋅ ( ρu ) = 0
∂t
(4.1)
(4.2)
où ȡ est la masse volumique du fluide, ~
u est le vecteur vitesse, σ le tenseur des contraintes
g le vecteur de l’accélération gravitationnelle.
fluides, et ~
Pour un fluide Newtonien σ peut se décomposer tel que σ = − ρδ + τ avec le tenseur des
&
&
&
2
contraintes visqueuses τ = µ (∇(u ) + ∇(u ) T ) − µ (∇ ⋅ u )δ , ȝ étant la viscosité du fluide, p la
3
pression et δ le tenseur identité.
Lorsque plusieurs phases sont présentes, il convient de réécrire les équations (4.1) et (4.2) en
les multipliant par l’indicateur de phase local Ȥk et en les moyennant localement sur un
volume V donné.
On définit l'opérateur de moyenne:
< χ k φ >=
1
V
³³³ χ φdV
(4.3)
k
V
Par la suite:
< ĭk > représente la moyenne de φ sur le volume V
~
Φ k représente la moyenne intrinsèque de ĭk sur le volume Vk c'est à dire le volume de la
128
phase k dans le volume V.
Les règles de calculs mettant en relation les moyennes de dérivations et la dérivation des
moyennes sont définis par Drew [6].
En faisant une décomposition similaire à la décomposition de Reynolds, on exprime la vitesse
&
& & &
~
u par : u = u~ + u f où u~ est une vitesse moyenne et ~
u f une partie fluctuante.
Sous ces considérations et après quelques développements, les équations (4.1) et (4.2)
prennent la forme :
&
∂ ( ρ k ε k u~k )
& &
+ ∇ ⋅ ( ρ k ε k (u ⊗ u ) k
∂t
k
) = ∇ ⋅ (ε k (σ~k + σ kRE ) + M k
∂( ρ k ε k )
+ ∇ ⋅ ( ρ k ε k u~k ) = Γk
∂t
(4.4)
(4.5)
où Òk est la fraction volumique de la phase k dans le volume de contrôle. : ε k = ¢ χ k ²
σ kRE est le tenseur introduit par la décomposition de Reynolds, il sæexprime par :
&
&
σ kRE = − ρ k < (u f ⊗ u f ) k > k
(4.6)
Les termes ¸k et Mk représentent respectivement le transfert de masse à læinterface entre les
deux phases et le transfert de quantité de mouvement à cette même interface. Pour les
écoulements solide/liquide, il næexiste aucun transfert de masse entre les deux phases : ¸k
0
Læexpression du transfert de quantité de mouvement Mk est donnée par :
M k = σ k .∇( χ k )
(4.7)
Les équations ainsi formées composent la base des modèles à deux fluides. On peut y
distinguer trois parties :
-
La première concerne les grandeurs moyennes, ce sont les équations de Navier-Stokes
moyennées en espace et pondérées par la fraction volumique de la phase concernée.
-
Une partie fluctuante ( σ kRE )
-
La dernière partie représente la couplage en lui-même, en faisant intervenir les termes
à l’interface entre les deux phases ( ∇( χ k ) ).
Dans la plupart des cas, les auteurs tiennent pour acceptable les deux équations (4.4) et (4.5)
129
ci-dessus pour les modèles à deux fluides. Cependant, certaines parties de (4.4) sont sujettes à
~
discorde. Il s’agit de la modélisation des tenseurs σ kRE et σ k [7,9-11] ainsi que des termes
interfaciaux ∇( χ k ) .
Le gradient de pression est obtenu après décomposition du tenseur des contraintes fluides ı en
la trace − pδ et le déviateur τ . Si, comme beaucoup dæauteurs, nous négligeons le tenseur
lié à la turbulence, læéquation (4.4) devient :
&
&
&
&
∂(ρε k u~)
+ ∇ ⋅ (ρε k u~k ⊗ u~k ) = ∇ ⋅ (ε k (− ~
pk δ )) + pk δ ∇(χκ ) + ∇ ⋅ (ε κτ~k ) − τ k .∇(χ k ) + ρ k ε k g~ (4.8)
∂t
&
&
&
&
~
∂(ρε k u~k )
(4.9)
+ ∇ ⋅ (ρε k u~k ⊗ u~k ) = −∇(ε k ~
pk ) + pk δ ∇(χ κ ) + ∇ ⋅ (ε κ τ k ) − τ k .∇(χ k ) + ρ k ε k g~
∂t
où le terme de pression peut s’exprimer tel que :
~
~
~
− ∇(ε k Pk ) + Pk δ ∇( χ κ ) = −ε k ∇( Pk ) + ( Pk − Pk )δ ∇( χ κ )
(4.10)
Suivant les interprétations, dans les modèles à deux fluides, le dernier terme de (4.10) peut
être directement associé à la force de traînée, ou encore interprété de deux façons différentes
suivant que l’équation est appliquée à la phase continue ou à la phase dispersée [9,12-16] .
La principale différence entre les modèles eulérien-eulérien dont le modèle à deux fluides est
issu et l’approche eulérienne-lagrangienne se situe dans les échelles de résolution spatiale et
temporelle. Tandis que dans les modèles eulérien-eulérien, les deux phases sont calculées aux
mêmes échelles spatiales (taille des mailles) et temporelles, les modèles utilisant læapproche
eulérienne-lagrangienne utilisent des échelles propres à chaque phase. La phase fluide est
calculée à l’échelle des mailles, alors que la phase solide est résolue à l’échelle des particules.
Ainsi, sans changer de façon significative les équations utilisées pour la phase fluide, les
modèles CFD-DEM utilisent les modèles particulaires décrits dans le chapitre 2 pour le calcul
du mouvement des particules.
Les équations concernant la dynamique particulaire ont été très étudiées par la communauté
scientifique. Elles sont détaillées dans le chapitre 2. Les interactions particules-fluide sont
basées sur la somme de toutes les forces appliquées individuellement par les particules sur le
fluide.
Les équations (4.11) et (4.12) régissant la phase fluide dans une approche eulériennelagrangienne sont issue des équations (4.9) et (4.5) :
130
&
&
& &
&
&
&
∂(ρεu )
2
+ ∇ ⋅ (ρεu ⊗ u ) = ∇ ⋅ (µε (∇(u ) + ∇(u )T ) − µε∇.uδ − ε∇p − Fp↔ f
3
∂t
(4.11)
et
&
∂ ( ρε )
+ ∇ ⋅ ( ρεu ) = 0
∂t
(4.12)
~p ļ f est la somme des contributions des forces ~
f fi des particules i se trouvant dans le
où F
volume de contrôle. Dans cette écriture, İ représente la fraction volumique de la phase
continue dans le volume de contrôle considéré.
4.1.2. Les forces de couplages
De manière similaire aux modèles à deux fluides, les forces dæinteraction particulesfluide pour un couplage CFD/DEM correspondent à la somme des forces fluides agissant sur
chaque particule. Pour tenir compte de læeffet de groupe, une autre approche consiste à
modéliser les forces associées à un ensemble de particules.
Ces forces on notamment été référencées par Crowe, Sommerfeld et Tsuji [17]. Les auteurs
citent entre autre : les forces de traînées, les forces liées au gradient de pression, les forces
visqueuses, les forces liées au tenseur de pseudo turbulence σ
RE
, les forces de masse
virtuelle, la force de Basset et les forces de portance comme les forces de Magnus et les forces
de Saffman. A ces forces sæajoute la force de flottabilité qui est parfois incluse dans les forces
de gradient de pression. Les forces de capillarités principalement due à des interfaces
solide/liquide/gaz ont également été modélisées par Fisher [18] et Princen [19]. Tous les
auteurs sæaccordent pour dire que dans des lits fluidisés dont les grains sont de taille unique,
les forces les plus importantes sont la force de traînée et la force de pression [17,20,21]. Cæest
donc sur ces deux forces que sera basés le couplage.
Dans la formulation de læéquation de conservation de la quantité de mouvement qui a été
choisie (4.11), les forces de pressions apparaissent déjà implicitement à læéchelle du fluide. La
~¹ p qui lui est associée est calculée et appliquée localement à chaque
force de rétroaction F
particule i selon la formule :
&
F∆p = −∇( p )i v p
(4.13)
131
où le gradient de pression est interpolé au centre de la particule i et vp est le volume de la
particule.
On trouve dans la littérature deux méthodes pour obtenir læexpression de la force de traînée.
Historiquement, cæest par des expériences, quæErgun [22] a établi une corrélation entre la force
de traînée et la chute de pression dans un lit de particules. De nombreux auteurs utilisent cette
corrélation [17,20,21,23-25] que nous utiliserons aussi pour quantifier les forces de traînées
F~d :
F~d
Ï
~
u fó ~
up
Þ
(4.14)
u p et ~
u f sont respectivement la vitesse des particules et la vitesse du fluide.
où ~
Læexpression du coefficient Í dépend du taux de fluide Ð dans la maille dans laquelle la force
est calculée, deux cas sont alors distingués:
1) Ð<0.8 (fluide chargé en particules)
-
Ï
(1óÒ ) Ù
1óÒ ° ~
1.75
Þ u f ó up °°
2
dp °
Ò
dp
2
150
(4.15)
2) Ð>0.8 (particules dispersées dans le fluide)
-
Ï
3
1óÒ 2.65
Cd | ~
u fp ó ~
u p| Þ
Ò
4
dp
(4.16)
Le coefficient de traîné Cd est calculé en fonction de la valeur du Reynolds de particules :
Re
Þ| ~
u fp ó ~
u p | dp
Ù
(4.17)
Si Re !1000 : Cd
0.44
(4.18)
Si Re 1000 : Cd
24
(10.15Re 0.687)
Re
(4.19)
Dans le cas ou Ð <0.8, la vitesse up est la vitesse moyenne des particules exprimée au centre
du volume de contrôle. Lorsque Ð>0.8, la vitesse ~
u fp est la vitesse du fluide interpolée au
centre de chaque particules du volume de contrôle.
132
4.2. Discrétisation
4.2.1 Discrétisation des flux et des termes sources
Les équations de Navier Stokes moyennées en volume pour le couplage CFD/DEM
peuvent s’écrire de la manière suivante :
t
˜
2
~p ļ f
İȡ ~
u )+ ∇ . (İȡ ~
u ⊗~
u )= ∇ . ȝİ (∇ ( ~
u )+ ∇ ( ~
u )) ∇ • ( ÙÒ ∇ • ~
u‰
Ñ ) − İ ∇ (p)+ F
(
˜t
3
(4.20)
˜ȡİ + ∇ . ȡİ ~
( u)
˜t
(4.21)
(
)
0
où İ représente la fraction volumique du fluide présent dans une maille, il est donc toujours
compris entre 0 et 1. Dans la suite de la formulation, nous nous efforcerons de respecter le
code des couleurs de ce paramètre. Pour faciliter le suivi de cette variable, tous les
~p ñ f
coefficients faisant intervenir İ dans leurs calculs prendront la couleur du İ concerné. F
sont les forces d’interaction des particules sur le fluide, quelque soit le modèle utilisé, elles
peuvent être mises sous la forme :
~p ñ f
F
Ï(~
u ó u~p)
(4.22)
où u~p est la vitesse des particules dans le volume de contrôle.
L’équation de conservation de la masse peut habituellement être réduite en cas d’écoulements
u)
incompressible à une expression plus simple : ∇ . ( ~
0. Bien que l’hypothèse
dæincompressibilité de la phase fluide puisse être formulée, la présence du İ dans les équations
moyennées interdit cette simplification.
Une première intégration de (4.20) sur les volumes de contrôle donne :
d ´ ´ ´ ~
ÐÞ u dV ´ ´ ´ ∇ . ÐÞ ~
u ⊗~
u dV
¶
¶
¶
¶
¶
¶
dt
V
V
I
t
´ ´ ´ ∇ . ÙÐ (∇ ( ~
u ) ∇ ( ~
u )) dV
¶ ¶ ¶V
C
(
)
D1
Ñ )dV ó ´ ´ ´ Ð ∇ (p)dV ´ ´ ´ Ï ( ~
+ ´ ´ ´ 2 ∇ •(ÙÒ ∇ •( ~
u )‰
uó ~
u p ) dV
¶ ¶ ¶V 3
¶ ¶ ¶V
¶ ¶ ¶V
D2
P
133
FC
(4.23)
Où chaque partie peut être identifiée respectivement comme la partie temporelle (I), une
partie convective (C), et au second membre la partie diffusive (D1, D2), le terme de pression
et le terme de couplage (FC).
La définition des notations désignant les points sur les faces ainsi que les voisins d’une maille
est représentée sur la figure 4.1. Pour faciliter la compréhension, une représentation en 2D
précise la position des points spécifiques. Dans la suite des démonstrations, on utilisera par
convention la lettre P pour désigner le volume de contrôle ciblé, les lettres N, S, E, W, T, B
représenterons les 6 voisins cardinaux du volume de contrôle P. La lettre K est une variable
muette permettant de désigner sans distinction les nœuds centraux des volumes voisins. Les
lettres minuscules n, s, e, w, t, b désignent respectivement centres des faces entre deux
volumes de contrôle voisins. La lettre k sera la variable muette associée à ces centres de faces.
.t
.w
.n . e
T
.t
P
.s
W
.b
.w
.e E
P
.b
B
z
y
x
Fig. 4.1 : Conventions utilisée pour la discrétisation des équations de la phase fluide
Les conventions de discrétisation utilisées peuvent se résumer pour deux mailles consécutives
tels que : les points P et K représentent le centre de masse des deux mailles, k représente le
n est orientée vers l’extérieur de la
point situé sur la face entre P et K (figure 4.2). La normale ~
face et on définit le vecteur unitaire ~
Û également orienté vers l’extérieur de la face mais porté
par la droite passant par Pet K
134
n
k
P
Ù
K
Fig 4.2 : Conventions et notation utilisées pour déterminer les vecteurs ~
n et ~
Û
a) Le terme temporel :
Nous utiliserons ici la règle d’approximation "mid-point rule" pour les intégrales volumique.
Ainsi, la discrétisation spatiale du terme I au point P se traduit par :
§ ò ( ÞP Ò ~
u P ) ·¸VP
¨ òt
©
¹
où VP est le volume de la maille P.
IP
(4.24)
Le schéma de discrétisation temporelle utilisé pour évaluer ce terme est un schéma de Gear
d’ordre 2. La discrétisation temporelle de I au point P sæexprime telle que :
IP
ÞP Ð n 1VP ~ n 1 ÞP Ò n VP ~ n
uP ó
uP
¹t
¹t
(4.25)
b) La partie convective :
Le théorème de Green-Ostrogradski nous permet de transformer les intégrales de volumes en
u⊗ ~
u n’étant pas accessible au moment du calcul, une partie
intégrales de surfaces. Le terme ~
sera traitée de manière explicite et les flux massiques seront calculés selon la linéarisation de
Picard :
C
´ ´ ÞÐ ~
uŠ ~
u ~
n dS
¶ ¶S
On définit alors les flux convectifs : fc
(4.26)
Ð Þ u~n ~
S
Pour conserver une discrétisation spatiale d’ordre 2, le schéma utilisé pour discrétiser la partie
135
convective est un schéma centré (CD), cependant, pour éviter les oscillations qui peuvent
apparaître en présence de forts gradients, un schéma décentré amont (UD) sera également
employé. Cette discrétisation est appelée "blended scheme" [5].
On exprime alors le schéma centré tel que :
¦
C(CD)
fcK (u~K)
K
¦fc (Ø u~ (1óØ )u~ )
K
P
(4.27)
K
K
xk ó xP
xE ó x P
où Ø
Le schéma décentré amont s’exprime par :
¦
C(UD)
K
­°A1
A1fcP u~P A2fcK (u~K) avec ®
°̄A1
(
)
1, A2
0, A2
0 si fc !0
1 si fc 0
(4.28)
La combinaison entre le schéma centré et le schéma décentré est effectuée par le paramètre ¶
appelé "blending factor". Les termes convectifs sæexpriment alors en P tels que :
CP
CP (UD)¸ (CP (CD)ó CP (UD))
(4.29)
Dans cette expression, la seconde partie, ¸ (Cp (UD)ó Cp (CD)) est calculée de manière
explicite.
c) Les termes diffusifs :
Sur le même principe que pour les flux convectifs, la transformation de l’intégrale volumique
en intégrale sur la surface donne :
D1
t
´ ´ ´ ∇ . ÙÐ (∇ ( ~
u ) ∇ ( ~
u )) dV
¶ ¶ ¶V
(
)
t
´ ´ ÙÐ (∇ ( ~
u ) ∇ ( ~
u )) ~
n dS
¶ ¶S
(4.30)
n en fonction du vecteur ~
Û colinéaire à }
PK , ont peut écrire :
Et en décomposant la normale ~
D1
t
´ ´ ÙÐ ∇ ( ~
u )~
Û ds ´ ´ ÙÐ (∇ ( ~
u ) ∇ ( ~
u )) ~
n dS ó ´ ´ ÙÐ ∇ ( ~
u )~
Û ds
¶ ¶S
¶ ¶S
¶ ¶S
A
B
136
(4.31)
D2=´ ´ ´ 2 ∇•(ÙÒ ∇ •( ~
u )‰
Ñ )dV
¶ ¶ ¶V 3
´ ´ 2 ÙÒ ∇ •( ~
u )‰
Ñ dV
¶ ¶S 3
(4.32)
L’évaluation des deux derniers termes de (4.31), A et B ainsi que D2 (4.32) est effectuée de
façon explicite.
On peut alors résumer cette expression sous la forme :
D
¦A ( ~u ó ~u ) A B+D2
K
K
(4.33 )
P
K
Òk Ùk ~
ÛS
KP
Avec AK
c) Les termes de couplage :
Dans les écoulements diphasiques où la phase solide est relativement compacte, les termes de
couplages représentent une part non négligeable des forces au sein de la phase fluide. Pour
assurer la convergence de la solution, une partie des ces termes sera traitée de façon implicite.
La seconde partie, faisant intervenir la vitesse des particules sera traitée explicitement.
Le terme de couplage (4.20) implicite exprimé en P sæécrit :
FCPim
Ï~
u VP
(4.34)
Et la partie explicite :
FCPex
Ï~
u p VP
(4.35)
En regroupant l’ensemble des termes précédents (4.25), (4.29), (4.33), (4.34), (4.35), et en
exprimant le terme de pression en P, on obtient læexpression générique de l’équation de
Navier-Stokes discrète :
n 1
AP ~
uP ¦A
K
n 1
~
uK
n 1
SU P ó ∇ (p)P VP ÒP
n
(4.36)
K
où le terme SUP contient la somme des termes sources exprimés précédemment, AP et AK sont
les coefficients de læexpression générique.
137
L’équation de conservation de la masse sera quant à elle discrétisée de la façon suivante :
(ÞÒ n 1)ó( ÞÒ n ) ¹t
¦Þ Ò u~n~S
P P k k k
0
(4.37)
k
4.2.2 Couplage vitesse pression : algorithme SIMPLE
Un des aspects fondamentaux pour la résolution d'écoulement incompressible est la
détermination de la pression. Contrairement aux écoulements compressibles où l'on dispose
d'une loi d'état permettant de calculer la pression, pour les écoulements incompressibles il faut
définir un processus de calcul qui s'appuie sur la satisfaction de la contrainte
d'incompressibilité. Cette contrainte d'incompressibilité n'est autre que l'équation de
conservation de la masse dont on va se servir pour établir l'équation de pression qui nous
manque. Ce processus de calcul est appelé couplage vitesse-pression. Plusieurs approches ont
vu le jour:
y les algorithmes de la famille SIMPLE
y les méthodes dites de projection
y algorithme PISO
y méthode du lagrangien augmenté
L'algorithme de calcul est dans tous les cas basé sur un principe de "prédiction – correction".
A partir d'un champ de pression à l'instant n, on va calculer un premier champ prédictif pour
la vitesse, qui à priori ne vérifiera pas la conservation de la masse. On opère une correction
sur le champ de pression, de telle sorte que le nouveau champ de vitesse lui vérifiera la
contrainte d'incompressibilité.
L’utilisation d’une méthode de projection ou de l’algorithme PISO [26] permet d’obtenir la
solution en deux pas uniquement, alors que les algorithmes du type SIMPLE et ses dérivées
ou le Lagrangien augmenté sont basés sur un processus itératif qui parfois peut sæavérer tres
couteux. Parmi ce panel de méthodes, nous avons choisi d’utiliser l’algorithme SIMPLE,
développé par Patankar [4]. Ce qui a orienté notre choix est la robustesse de cet algorithme,
notamment pour les problèmes fortement couplés. De plus, si l’on regarde les équations de
Navier Stokes diphasiques d’un peut plus près, ont s’aperçoit que cela revient d’une certaine
manière à traiter des équations à masse volumique variable. Ce point est particulièrement
intéressant car il se trouve que, même si SIMPLE n’a pas été développé dans cette optique, il
a été utilisé avec succès pour résoudre des écoulements compressibles [27]. Sa mise en œuvre
138
est détaillée dans de nombreux articles [4,28]. Toutefois, en ce qui concerne les écoulements
diphasiques sa mise en œuvre est très délicate et, de façon surprenante, on ne trouve aucune
référence dans la littérature concernant l’implémentation de SIMPLE autre que dans le cas du
modèle à deux fluides.
En partant de l’équation générique (4.36) développée précédemment, la méthode consiste à
évaluer un champ de vitesse prédictif ~
u * à partir de la pression calculée au pas de temps
précédant. On obtient alors :
AP ~
u *P ¦AK ~
u *K
SU P ó ∇ (p)P VP ÒP
n
n
(4.38)
K
Le champ de vitesse prédictif ainsi obtenu ne respecte pas l’équation de conservation de la
masse (4.37). Il est donc nécessaire d’y apporter une correction. Pour cela, on définit la
vitesse corrigée et la pression au pas de temps suivant tel que :
~
u
n 1
p n 1
~
u * ~
uí
(4.39)
p n p í
(4.40)
Où u' et p' sont les corrections à apporter pour obtenir les champs à l’instant n+1
Ainsi, en introduisant ces nouvelles définitions dans (4.38), on peut écrire :
n 1
P
AP ( ~
u
ó~
u ' P )
¦A ( ~u
K
n 1
K
ó~
u 'K )
n
SU P (∇(p) ó ∇(p'))P VP ÒP
n+1
(4.41)
K
Soit
~
u 'P
1
1
¦AK ~
u 'K ó (∇(p'))p VP ÒP
AP K
AP
(4.42)
C’est cette expression qui nous permettra de relier la vitesse et la correction de pression. La
quantité 1
AK ~
u 'K n’est pas accessible au moment du calcul, l’approximation apportée par
AP ¦
K
139
SIMPLE consiste alors tout simplement à la négliger. Le lien entre la correction de vitesse et
la correction de pression devient alors :
1
(∇ (p'))P VP Ò5
AP
~
u 'P
au point P
(4.43)
~
u 'K
1 (∇ (p'))K VK Ò0 au point K
AK
(4.44)
Le point délicat de l’algorithme se trouve dans le calcul des coefficients de l’équation de
correction de pression (4.43). Ces coefficients sont issus de l’équation de conservation de la
masse (4.37) dans laquelle on a injecté la définition de la vitesse (4.39) en fonction de la
vitesse prédictive et la correction de vitesse. L’équation ainsi obtenue prend la forme :
(ÞÒ n 1)ó( ÞÒ n ) ¹t
¦
ÞP ÒP u'~kn~kSk
¦Þ Ò u*~ n~S
k
P P
(4.45)
k k k
k
En introduisant maintenant læexpression entre la correction de vitesse et la correction de
pression (4.43) dans (4.45) on obtient :
(ÞÒ n 1)ó( ÞÒ n ) ¹t
¦
ÞP ÒP §¨§¨ 1 ·¸ (∇ (p'))k Vk ÒP ·¸n~kSk
©© AK ¹k
¹
¦Þ Ò u*~ n~S
P P
k k k
(4.46)
k
k
Soit après avoir exprimé le gradient de pression au point k :
¦
pí ópíP ·
ÞP ÒP §¨§¨ 1 ·¸ §¨ K
Vk ÒP ·¸n~kSk
¸
A
PK | ¹k
¹
©© K ¹k © | }
¦Þ Ò u*~ n~S ó (ÞÒ
P P
k
k k k
n 1
)ó( ÞÒ n)
¹t
(4.47)
k
que l’on peut mettre sous sa forme générale
A P P í P ¦A K P í K
Pí
Pí
SU
Pí
(4.48)
K
140
Pí
où le coefficient A K prend la forme :
V
Sk
ÞP ÒP ÒP §¨ P ·¸
© AP ¹k | }
PK |
Pí
AK
(4.49)
pí
et le coefficient A P :
¦A K
Pí
AP
Pí
(4.50)
K
4.2.3 Correction de Rhie et Chow
Il est bien connu que la résolution des équations de Navier-Stokes avec des variables
colocalisées fait apparaître des oscillations de pression qui peuvent se propager sur le champ
de vitesse et induire des imprécisions sur le calcul, voir le faire diverger. Rhie et Chow [3] ont
montré que ces oscillations de pression étaient dues à une mauvaise interpolation des vitesses
prédictives utilisées pour calculer les flux massiques du second membre de l’équation de
correction de pression (4.47). Ils ont alors proposé d’apporter une correction à cette
interpolation. La démonstration qui suit propose d’adapter leur travail pour prendre en compte
la présence des particules dans le fluide.
En reprenant l’équation de Navier-Stokes sous sa forme discrète:
n 1
P
AP ~
u
¦A
n 1
K
~
uK
n
n
SU P ó ∇(p)P VP ÒP
(4.51)
K
Que l’on exprime :
n 1
~
uP
~
u
n 1
K
1
AP
1
AK
¦A
K
K
¦A
K
K
n 1
1
1
n
n
~
u K SU P ó ∇(p)P VP ÒP en P
AP
AP
(4.52)
n 1
n
n
1
1
~
u K SU E ó ∇(p)K VK ÒK en K
AK
AK
(4.53)
141
~
u
§
§ 1 · ¨
¨ A ¸
© K ¹k ©
n 1
k
¦A
K
K
n 1 ·
n
n
~
u K ¸ §¨ 1 ·¸ (SU K )k ó§¨ 1 ·¸ ∇(p)k Vk Òk
© AK ¹k
¹k © AK ¹k
en k entre P et K
(4.54)
où læopérateur (X)k indique que la quantité X doit être évaluée au point k entre P et K.
‰ k comme le signe de d’interpolation linéaire de la grandeur
On définit également l’opérateur X
X sur la face k, on obtiens alors :
~
u
n 1
K
1
AK
¦A
K
n 1
n
n
~
u K 1 SU K ó 1 ∇(p)K VK ÒK
AK
K
AK
(4.55)
en considérant :
1
AK
¦
n 1
AK ~
uK
1
AK
K
¦A
n 1
K
~
uK
(4.56)
K
n
n
1
SU K = 1 SU K
AK
AK
(4.57)
VK
Vk
(4.58)
AK
( AK ) k
(4.59)
ÒK
Òk
(4.60)
et en soustrayant la vitesse et la vitesse interpolée, on à :
n 1
n 1
~
uk ó ~
uK
n
n
V k ÒP ª
∇ (p)K ó ∇ (p)k º¼
¬
Ak
(4.61)
soit
n 1
~
uk
n
n
n 1
V k ÒP ª
∇ (p)K ó ∇ (p)k º¼ ~
uK
¬
Ak
(4.62)
On peut maintenant utiliser l'approximation aux vitesses prédictives :
142
n
n
V k ÒP ª
∇ (p)K ó ∇ (p)k º¼ ~
u *K
¬
Ak
~
u *k
(4.63)
Nous sommes maintenant en mesure d’évaluer le second membre de l’équation de pression
pour des variables colocalisées dans des écoulements diphasiques sur un maillage non
orthogonal :
SU
Pí
¦Þ Ò u*~ n~S ó (ÞÒ
P P
k k k
k
n 1
)ó( ÞÒ n )
(4.64)
¹t
En remplaçant les vitesses prédictives par leurs valeurs corrigées, (4.64) devient :
SU
Pí
¦
n
n
VÒ
(ÞÒ n 1)ó( ÞÒ n )
ÞP ÒP §¨ k P ª¬ ∇ (p)k ó ∇ (p)k º¼ u*k ·¸n~kSkó
¹t
© Ak
¹
(4.65)
k
4.2.4 Evaluation du taux de fluide
a) Au centre des mailles :
Le calcul du taux de fluide Ð dans les volumes de contrôle est le paramètre qui permet au
fluide de "ressentir" la présence des particules. D’une manière générale, son expression peut
se donner tel que :
Ò
V ó Vp
V
1ó
Vp
V
(4.66)
où V est le volume d’une maille et Vp le volume occupé par les particules dans cette maille.
Idéalement, nous devrions calculer maille par maille la fraction volumique de l’ensemble des
particules situées à l’intérieur de la maille et des particules situées à cheval sur les mailles
voisines (figure 4.3.a).
143
(a)
(b)
Fig. 4.3. Illustration des particules utilisées pour le calcul du taux de fluide Ð. la partie grisée correspond à la
fraction volumique des particules utilisée pour le calcul. En (a) méthode exacte, en (b) méthode COV
Si en 2D et pour des maillages cartésiens, la tâche est relativement aisée et assez peu coûteuse
en temps de calcul [29], il n’en n’est pas de même quand les mailles ne sont plus
orthogonales, et devient encore plus ardue lors que l’on se situe dans une configuration en 3D
[30]. On peut toutefois retrouver dans la littérature certaines approches souvent restrictives en
terme d’applications [31]. Concernant le calcul de İ dans des mailles 3D orthogonales, la
seule méthode exacte et entièrement détaillée a été publiée en 2010. Cette méthode n’est en
faite qu’une extension en 3D de la méthode 2D la plus basique. Elle consiste dans un premier
temps à tester la configuration (chevauchement avec une face, deux faces, une arrête...). Une
fois que la configuration est connue, la fraction volumique de chaque maille contenant une
part de la particule est calculée par des formules en fonction de la géométrie. Bien qu’exacte,
cette solution ne semble pas adapté au calcul avec un grand nombre de particules car les
multiples configurations possibles la rendent extrêmement coûteuse en terme de temps de
calcul. Pour s’affranchir du problème du coût de calcul des méthodes exactes, nous utilisons
l’approche COV "center of volume" qui consiste à ne calculer que des volumes entiers sans
considérer le chevauchement des particules avec les mailles voisines. Ainsi toutes les
particules dont le centre appartient à une maille sera considérée comme faisant entièrement
partie de la maille (figure 4.3.b). Dans certaines conditions, cette méthode permet de gagner
beaucoup de temps. La figure 4.4 extraite de Freireich [30], montrent une comparaison entre
un calcul exacte et un calcul approché par la méthode COV pour un arrangement de type
hexagonal compact. Dans la notation de Freireich, Ø est la fraction volumique du solide dans
la maille : Ú
(1óÒ )
144
(a)
(b)
Fig 4.4 : Fraction volumique (a) et erreur relative par rapport à la solution exacte (b) en fonction du rapport entre
la taille des mailles et la taille des particules pour un arrangement hexagonal compact (Freireich [30]).
Les mêmes études mais pour des arrangements aléatoires sont présentées ci-dessous (figure
4.5).
(a)
(b)
Fig 4.5 : Fraction volumique (a) et erreur relative par rapport à la solution exacte (b) en fonction du rapport entre
la taille des mailles et la taille des particules pour un arrangement aléatoire (Freireich [30]).
Pour conclure, nous pouvons dire que la méthode COV permet de limiter l’erreur si le ratio
entre la taille des mailles et la taille des particules est au moins égal à 5.
b) Evaluation du taux de fluide sur les faces des volumes de contrôle :
L’évaluation de İk correspondant à la valeur de Ð sur les faces des volumes de contrôles est
nécessaire dans l'évaluation des flux diffusifs et convectifs de l'équation de quantité de
P
mouvement, mais également pour évaluer le second membre SU de l’équation correction de
pression (4.48). On retrouve également Òk dans la correction de Rhie et Chow. Par nature,
cette quantité n'est pas une fonction continue dans l’espace. Malgré la robustesse de
l’algorithme SIMPLE, une interpolation linéaire du taux de fluide en présence d’un fort
145
gradient de İ conduit rapidement à des oscillations de pressions qui vont polluer l’ensemble
du calcul. Un raffinement du maillage dans ces zones n’a pas permis de solutionner ce
problème. Les symptômes ont même plutôt tendance à empirer en augmentant la valeur de
∇ ( İ ). Pour évaluer İ sur les faces, une idée consiste à vérifier à chaque instant que
l’interpolation permet une bonne estimation du débit massique passant par la face. Pour cela,
on se base sur un schéma amont, modifié pour le calcul des flux, en faisant l’hypothèse que le
flux normal passant par la face est égal au flux passant par le centre de la maille sur une même
surface et selon la même direction. Notre hypothèse consiste donc à considérer que le flux
passant dans un tube, ayant pour base la face k et dirigé selon la normale ~
n , est conservé entre
le centre de la maille situé en amont et la face k . Le schéma de la figure 4.6 représente le tube
virtuel utilisé pour le calcul des flux.
Surface Se
Flux massique
En P
n
e
P
Partie des
flux suivant
la normale
Ù
E
Flux massiques suivant la
normale, limités par la
surface Se
Fig 4.6 : Conventions utilisées pour læinterpolation du taux de fluide Ð sur les faces
En considérant dæune part les flux massiques 
fk passant par la surface Sk de la face k calculés
suivant la normale tels que :

fk
Þk Òk ~
uk~
n Sk
(4.67)
Et d’autre part les flux massiques amont 
fud calculés suivant la normale, et limités par la
surface Sk de la face k calculés de telle sorte que :
146

fud
uP~
n Sk si ~
uP~
n !0
­ÞP ÒP ~
®
uK~
n Sk si non
¯ÞK ÒK ~
(4.68)
Avec l'hypothèse d’égalité entre les flux amont et les flux en k, on obtient une approximation
réaliste de Òk :
Òk

fud
1
Þk ~
uk~
n Sk
(4.69)
En pratique, il peut arriver dans certains cas que, pour de très faible valeur de ~
uk~
n , l’erreur
machine conduise à une valeur de İk qui ne soit pas comprise entre İP et İK . Dans ce cas, il
convient de lui donner une valeur égale à celle du taux de fluide moyen.
4.3. Etude numérique tridimensionnelle dæun écoulement de lit fluidisé
Les applications susceptibles d'induire une quantité de charge significative par effet
triboélectrique sont les lits fluidisés et le transport pneumatique. Les forces de portance qui
sont très importantes dans cette dernière application næont pas été prises en compte dans les
simulations que nous avons faites dans ce contexte de lits fluidisés. On trouve dans la
littérature un grand nombre dæétudes, tant expérimentales [32-34] que numériques
[21,24,25,35] concernant cette thématique. La fluidisation dæun milieu granulaire par un gaz
est définie comme la mise en suspension de ce milieu granulaire sous læinfluence de la phase
gazeuse. Dans un premier temps nous validerons le code de calcul diphasiques en comparant
nos résultats numériques à des résultats expérimentaux disponibles dans la littérature. Nous
étudierons ensuite la formation des bulles au sein du lit fluidisé
4.3.1. La vitesse de fluidisation
Un lit fluidisé est composé dæun amas de particules placé dans une cavité dont la paroi
inférieure laisse passer un flux dæair. Dans ce type de configuration, plusieurs régimes peuvent
être distingués [36] : Les lits fixes, les lits au minimum de fluidisation, les lits à bulles, les lits
pistonnants et les lits dilués. La figure 4.7 illustre chacun de ces différents régimes. Pour
147
passer dæun régime à læautre il faut augmenter le débit dæair entrant dans la cellule de
fluidisation qui contient les particules. La vitesse nécessaire pour assurer le débit du minimum
de fluidisation est appelée vitesse minimum de fluidisation umf . A cette vitesse, les particules
sont en suspension dans læair mais elles ne bougent pas. En augmentant un peu la vitesse, le
régime obtenu est le lit à bulle. Vient ensuite le lit pistonnant lorsque la taille des bulles atteint
la taille de la cavité. Enfin, le lit dilué est obtenu pour de fortes valeurs de la vitesse dæentrée.
Dans cet état, la densité de particules est très réduite.
Fig. 4.7 : Les différents régimes de fluidisation. Chaque régime correspond à un débit dæentrée dæair particulier
Dans læindustrie, cæest læapplication qui va déterminer le régime de fonctionnement du lit
fluidisé à utiliser. Selon Calin [37-40], Dascalescu [41,42] et Dragan, [43] mais également
Escalante [44] et Touchard [45], les régime les plus efficaces pour générer des charge par effet
triboélectrique sont les lits à bulles et les lits pistonnants. Nous nous sommes intéressés à
reproduire numériquement les régimes fixes, et les lits à bulle.
6
La configuration étudiée est un lit est formé de 2,744.10 particules de diamètre 0,1mm placés
dans une boite de taille 14mm Š 40mm Š 14mm. La masse volumique des particules est fixée
à 2500 Kg.m 3 . La résolution des équations de la phase gazeuse se fait sur une grille de taille
70Š100Š70 mailles.
Les conditions limites appliquées sont : sur les parois latérales des conditions dæadhérence, sur
y sur
la paroi inférieure un profil de vitesse dæentrée carré uin est imposée dans la direction ~
læensemble de la paroi. Sur la paroi supérieure cæest une condition de sortie de type Neumann
148
qui est appliquée:
ò€
u
ò\
0. La figure 4.8 montre le lit de particules au repos.
Dans les processus de fluidisation, il est notoire que les propriétés physiques, et géométriques
des particules ont un effet significatif sur leur comportement au sein du lit. En 1973, Geldart
[36] propose un classement du comportement hydrodynamique des particules en fonction de
leur taille et de leur masse volumique. Le diagramme obtenu permet de supposer des régimes
de fluidisation. Dans le diagramme de Geldart, les particules que nous avons choisies pour
notre étude font partie du groupe B. La propriété principale de ce groupe est une fluidisation
facile des particules et la vitesse du gaz pour obtenir un lit à bulle est proche de la vitesse
minimum de fluidisation.
Fig 4.8. : Représentation de la cellule
de fluidisation. La cellule contient
2,744.106 particules de diamètre
0,1mm.
Plusieurs données peuvent être déterminées numériquement. La première concerne la vitesse
minimum de fluidisation umf .
La méthode de Richardson [46] consiste à tracer la courbe de perte de pression ¹ P à travers le
lit de particules en fonction de la vitesse dæentrée du gaz. Tant que la vitesse minimum de
fluidisation næest pas atteinte, la perte de pression croit linéairement avec la vitesse dæentrée.
Dès que la vitesse minimale de fluidisation est atteinte, la perte de pression se stabilise à une
valeur équivalente au poids du lit.
Deux points de mesure ont permis de tracer la courbe de perte de pression pour différentes
149
valeurs de la vitesse d’entrée du gaz. Le premier point de mesure est situé à 1.4 mm du bas de
la cavité et le second à 7,8 mm, soit environ à 70% de la hauteur du lit de particule avant
fluidisation. Le point de référence du calcul de pression est situé à deux fois la hauteur du lit à
partir du bas de la cavité.
Sur les figures 4.9 et 4.10, sont tracé les courbes de pression prises à deux hauteurs différentes
dans le lit ainsi que le gradient de pression pris entre les deux points de mesure en fonction de
la vitesse d’entrée de l’air. Les mesures ont été obtenues en augmentant la vitesse d’entrée par
paliers progressifs. Pour chaque point de mesure, les valeurs de pression sont moyennées sur
300 pas de temps
umf
uin (m/s)
Fig. 4.9. : Evolution de la pression au sein du lit de particules en fonction de la vitesse d’entrée. Cette courbe a
été obtenue en augmentant progressivement la vitesse d’entrée du gaz par paliers successifs.
I
II
III
umf
uin (m/s)
Fig. 4.10. : Gradient de pression au sein du lit en fonction de la vitesse d’entrée. Trois zones sont représentées : I
augmentation linéaire de la chute de pression jusqu’à la vitesse minimum de fluidisation, II décroissance de la
chute de pression et III stabilisation de la chute de pression au sein du lit fluidisé
150
La pression dans le bas du lit de particules pour une vitesse supérieur à 0,011 m.s 1 se situe
autour de 162 Pa (figure 4.9). Le calcul du poids des particules appliqué sur la surface de la
paroi inférieur donne une pression théorique 183,26 Pa. Læerreur relative ente la valeur
théorique et la valeur obtenue est de 11,6%.
La lecture des courbes de pression donne une vitesse minimale de fluidisation umf
0,011
m.s 1. La courbe de la chute de pression au sein du lit (figure 4.10.) fait apparaître trois zones
distinctes. Dans la première partie de la courbe, læaugmentation de la chute de pression est
linéaire en fonction de la vitesse dæentrée du gaz : les particules sont à læétat de lit fixe.
Lorsque la vitesse minimum de fluidisation est atteinte, la chute de pression décroît (zone II)
jusquæà se stabiliser à sa valeur finale située autour de 13000 Pa.m 1 pour des vitesses
dæentrée du gaz plus importante (zone III). La surpression située dans la zone II næapparaît pas
lorsque la courbe est tracée en partant dæun état fluidisé et en diminuant la vitesse jusquæ à
atteindre læétat fixe [46].
Nous avons tracé sur la figure 4.11 la hauteur du lit fluidisé en fonction de la vitesse dæentrée
de læair. Cette courbe montre que conformément aux études trouvées dans la littérature [47], la
hauteur du lit fluidisé ne commence à augmenter quæà partir de la vitesse minimale de
fluidisation.
uin (m/s)
Fig. 4.11. : Hauteur du lit en fonction de la vitesse dæentrée du gaz
151
4.3.2. Formation et dynamique dæune bulle rapide
Les bulles rapides sont des bulles dont la vitesse de montée est supérieure à la vitesse du gaz
qui læentoure. Ces bulles sont formées par un jet dans un lit placé au minimum de fluidisation
[48]. Pour cela, un écoulement dæair à la limite de la vitesse minimum de fluidisation est
appliqué à læensemble du lit. Un jet plus important est appliqué au centre de la cavité. Lorsque
le jet est maintenu tout le temps de la fluidisation, on obtient alors un mécanisme de
fluidisation appelé "spouted bed". Certains auteurs ont également utilisé des jets pulsés. Il en
résulte alors la formation dæune bulle unique dont la taille et la vitesse dépendent à la fois des
caractéristiques du jet, des caractéristiques des particules formant le lit et, dans le cas des jets
pulsé, du temps de soufflage. Nous allons étudier la réponse du code à ce type de
configuration et surtout sa capacité à reproduire ce phénomène.
Le lit étudié est le même que celui qui a été présenté précédemment. Pour réaliser cette
expérience, nous appliquons une vitesse dæentrée égale à la vitesse minimum de fluidisation
umf
0,011 m.s-1 sur læensemble la face inférieure pendant 0,2 s afin de très légèrement
fluidiser le lit. Après ce temps dæinitialisation, un jet pulsé est appliqué au centre de la paroi
inférieure du lit. Ce jet a une vitesse ujet
0,08 m.s-1, il est appliqué pendant 0,04 s. La
surface du jet occupe 10% de la surface totale du lit fluidisé. Durant la phase pulsée du jet, la
vitesse minimum de fluidisation est maintenue sur le reste de la paroi inférieure. Une fois le
jet éteint, la vitesse minimum de fluidisation est à nouveau appliquée à læensemble du lit. La
figure 4.12 montre un schéma de ces différentes étapes.
u=ujet
u=umf
t=0
u=umf
u=umf
t=0,2
t=0,24
t (s)
Fig. 4.12. : Evolution de la vitesse appliquée au lit fluidisé par un jet pulsé. Les trois étapes sont : fluidisation au
minimum de fluidisation, application dæun jet au centre de la paroi inférieur de la cellule de fluidisation pendant
0,04 s puis extinction du jet et fluidisation à la vitesse minimum de fluidisation.
152
Nous avons tracé sur la figure 4.13 læévolution dans le temps de la bulle formée par le jet
pulsé. Pour représenter cette bulle, nous avons tracé læiso contour du taux de fluide (Ð=0,86).
La forme sphérique se déformant au cours du temps par un enfoncement de la partie inférieur
de la bulle correspond exactement à ce qui est observé expérimentalement [49,50].
Pour bien visualiser læécoulement, une vue en coupe des mêmes instants que ceux présentés
dans la figure 4.13 est tracée sur la figure 4.14. Nous avons également tracé sur cette figure la
vitesse de la phase gazeuse.
Fig. 4.13. : Evolution dæune bulle dans un lit à jet pulsé, depuis sa naissance jusquæau moment de son éclatement.
La bulle est matérialisée par læisocontour du taux de fluide pour Ð=0,86. La colonne de gauche montre une vue en
plongée et la colonne de gauche montre les mêmes instants en contre-plongée. (suite de la figure sur la page
suivante)
t=0,22 s
Ð
153
t=0,255 s
Ð
t=0,28 s
Ð
t=0,315 s
Ð
Fig.4.13. (suite)
154
t=0,22 s
t=0,255 s
Ð
t=0,315 s
t=0,28 s
Ð
Fig. 4.14. : Vue en coupe de læévolution dæune bulle dans un lit à jet pulsé. La couleur représente le taux de
fluide : en rouge, le gaz et en bleu les particule. Les vecteurs représentent la vitesse du gaz.
Nous avons comparé sur la figure 4.15 la forme de la bulle obtenue numériquement et une
bulle mesurée expérimentalement par Müler [49]. La visualisation expérimentale est effectuée
par Imagerie à Résonance Magnétique. On constate une grande similitude entre le résultat
expérimental et le résultat numérique.
155
Ð
(a)
(b)
Fig.4.15. Comparaison entre une bulle mesurée par Imagerie à Résonance Magnétique (Müler [49]) (a) et la
bulle obtenue numériquement (b)
La figure 4.16 précise le mouvement des particules à la surface lors de læéclatement de la
bulle. Des vues en coupe avec le champ de vitesse montrent le mouvement du gaz au moment
de læéclatement de la bulle. Dans un premier temps (t=0,33 s), les particules formant le dôme
supérieur sont projetées pour laisser le fluide sæéchapper, laissant apparaître le dôme inférieur.
Dans un second temps (t=0,335 s à t=0,355 s), la chute rapide des particules crée une zone
dæaspiration du gaz, formant ainsi des vortex autour du dôme inférieur. Lorsque toutes les
particules sont retombées, le lit reprend peu à peu sa forme et les zones de vortex sæestompent.
Les études que læon trouve dans la littérature, quæelles soient expérimentales ou numériques
évoquent la présence de ces vortex suite à læéclatement de la bulle. Ces vortex provoquent une
accélération du gaz le long des parois et une aspiration au dessus de la bulle qui a éclaté. Bien
que mentionné dans la littérature [48], ce phénomène a été sujet à des controverses [51,52].
Récemment, des mesures expérimentales ont confirmé cet effet dæaspiration [53,54]. La figure
4.17 montre quæil est également possible dæobtenir numériquement une vision incontestable de
cet effet. Le calcul de la vorticité y est reporté ainsi que différentes vues en coupe et en 3D
pour læinstant qui suit læéclatement de la bulle.
156
Fig. 4.16. : Eclatement dæune bulle à la
surface dæun lit fluidisé. (suite page suivante)
Ð
Ð
t=0,33 s
Ð
Ð
t=0,335 s
Ð
t=0,34 s
157
Ð
Ð
Ð
t=0,345 s
Ð
Ð
t=0,355 s
Ð
t=0,375 s
158
Ð
Sur la figure 4.17 sont représentés différentes vues de la fin de la bulle avec læapparition du
vortex au dôme inférieur (t=0,355 s). En plus du champ de vitesse et de la surface libre, nous
~ calculé à partir de la
avons représenté læisocontour du maximum du module de la vorticité Í
~
vitesse du gaz. Í
~ est calculé tel que : Í
~
Í
).
∇ ^~
u
~ 
Í
(a)
(b)
Fig. 4.17. : Représentation du champ de vitesse fluide (a) et (b) isosurface du maximum de vorticité du gaz
~
Í
). On observe la formation dæun vortex en forme de couronne entourant læendroit où la bulle a
éclaté. Ces instantanés sont pris à læinstant t=0,355 s
Ces différentes représentations permettent de bien visualiser læeffet de læéclatement de la bulle
à la surface du lit fluidisé. Un vortex se forme tout au tour de læendroit où la bulle a éclaté,
formant ainsi un anneau. Cet anneau est matérialise sur la figure 4.17.b par le maximum de
vorticité.
Après avoir étudié la formation dæune bulle unique ainsi que ses effets sur le gaz environnant
lors de son éclatement, nous nous sommes intéressés a la formation de bulles multiples dans
les lits fluidisés plus "standards", c'est-à-dire en læabsence de jet pulsé. Dans cette nouvelle
étude, ce sont surtout les interactions entre les bulles qui nous ont intéressé.
159
4.2.3. Le régime bouillonnant
Malgré des avancées en matière de mesures non intrusives comme læimagerie à résonance
magnétique ou par rayon-X [55,56], il est difficile de trouver des études 3D sur la formation
des bulles dans les lits fluidisés. Dæun point de vue numérique, le nombre de particules
nécessaire pour obtenir des simulations réalistes a longtemps été un frein à la simulation de
lits fluidisés en 3D. En 2008 Tsuji [24] a montré des résultats numériques sur les structures
6
tridimensionnelles formées dans un lit fluidisé comportant 4,5.10 particules.
La figure 4.18 montre un aperçu de læécoulement bouillonnant produit pour plusieurs vitesses
dæentrée différentes. Les bulles sont obtenues en traçant læisosurface du taux de fluide (Ð=0,6).
(b)
(a)
(c)
Fig. 4.18 : Instantanés
de læécoulement pour :
(a) uin=0,012 m.s-1,
(b) uin=0,015 m.s-1,
(c) uin=0,017 m.s-1.
Les couleurs
représentent
la
pression relative au
sein du lit.
Les vecteurs
représentent
la
vitesse du fluide
160
Dans son étude, Tsuji [24] à observé des bulles "en forme de vers" qu næapparaissent pas dans
des écoulements 2D. Selon son étude, cette forme næexiste que au moment de la formation de
la bulle pour ensuite se séparer en plusieurs bulles de forme sphérique. La figure 4.19 montre
un résultat obtenu par Tsuji [24] pour ce type dæécoulement.
Fig.4.19. Evolution dæune bulle "en forme de vers" (Tsuji [24])
Dans la configuration quæil a utilisée, la hauteur du lit næest pas suffisante pour que ces bulles
allongées aient le temps de prendre leur forme finale. Nous avons montré sur la figure 4.20
læévolution dæune bulle initialement de forme allongée jusquæà son éclatement à la surface du
lit de particules. La vitesse dæentrée est de 0,015 m.s-1. Læensemble du lit est fluidisé mais
læaffichage de læévolution dæune seule bulle à été conservée, les autres ayant été masquées. On
observe bien la séparation de la bulle initiale en cinq bulles sphériques qui sont ensuite
convectées par læécoulement pour finir par éclater à la surface du lit.
161
t=0,61 s
t=0,625 s
t=0,65 s
t=0,675 s
t=0,7 s
t=0,725 s
Fig. 4.20. : Evolution dæune bulle initialement allongée au cours du temps. Les bulles sont colorées en fonction
de leur hauteur au sein du lit. Une première bulle longue se forme, elle se sépare ensuite un plusieurs bulles de
forme sphérique.
162
uin=0,012m.s-1
uin=0,013m.s-1
uin=0,015m.s-1
Fig. 4.21. : Répartition des bulles dans le plan x,z en fonction de la vitesse dæentrée du gaz. Pour chaque vitesse
les deux images sont des instants séparées de 0,05 s
163
La répartition des bulles au sein du lit est assez intéressante à observer. Une vue de dessous du
lit fluidisé est présentée sur la figure 4.21. Plusieurs snapshots ont été réalisés pour différentes
vitesses du gaz. En colorant les bulles en fonction de leur hauteur au sein du lit, on sæaperçoit
quæelles se forment par couches successives. De plus, lorsque plusieurs couches de bulles sont
présentes au même instant (figure 4.18 b, c et d), les bulles formées sur la couche inférieure
ont une tendance naturelle à éviter de se placer dans le sillage des bulles de la couche
supérieure. Cette observation permet de supposer que les bulles "ressentent" les effets des
autres bulles qui sont passées avant elles. En regardant les bulles des images c) et d) de la
figure 4.18, on observe que la taille des bulles de la couche supérieure contraints les bulles qui
se forment dans le bas du lit à se déformer. Cette déformation est à læorigine des bulles
allongées qui ont été présentées précédemment. Si la contrainte exercée par les couches de
bulles supérieures est la cause de la forme allongée des bulles formées à proximité de la paroi
inférieure, il est normal que læon ne retrouve pas cet effet dans les lits en 2D. En effet, dans un
lit en 2D, il næy a pas de possibilité pour des éventuelles bulles de "contourner" le sillage des
bulles précédentes. Pour expliquer cette interaction entre les bulles dæune couche supérieure et
les bulles formées dans le bas du dispositif de fluidisation, nous pouvons penser que dans le
sillage dæune bulle, les particules sont agencées de telle sorte que le gaz ait tendance à les
contourner. Un agencement très compact pourrait provoquer ce type de comportement. La
faible précision de la méthode de calcul du taux de fluide utilisée (COV) ne nous permet
malheureusement pas de confirmer cette hypothèse.
Il aurait été intéressant dæétudier læeffet de ces bulles sur les particules, mais le nombre
particules nécessaire pour réaliser des simulations numériques avec une résolution spatiale
assez fine pour représenter ces écoulements complique grandement cette étude. Sans procéder
au traitement des données, les simulations présentées dans ce chapitre pour la fluidisation de
3.106 particules prennent entre 6 et 8 heures sur 246 processeurs pour 1 seconde de
simulation. En effet, un grand nombre de particules requiert læutilisation dæoutils de traitement
qui soient parallélisés et qui traitent les résultats au fur et à mesure de leur production. Ces
outils næétaient pas encore disponibles au moment ou les résultats présentés ci-dessus ont été
produits. Le faible nombre dæheures qui restait dans les centres de calcul ne nous a pas permis
dæexplorer cette voie.
164
Conclusion
-
Le couplage eulérien/lagrangien réalisé nous a permis de réaliser des simulations de lit
fluidisé représentatifs des écoulements qui peuvent être utilisés pour charger des
particules par effet triboélectrique. Les comportements qui ont été obtenus sont
proches de ceux qui sont observés expérimentalement.
-
Læétude menée sur la répartition des bulles au sein des lits fluidisés à permis de
montrer la présence dæinteractions entre des bulles qui se forment dans le bas du lit et
celles qui ont été formées quelques instants plus tôt. Le couplage entre ces bulles
pourrait provenir du mouvement des particules après le passage dæune bulle.
-
Un travail sur læeffet des bulles sur le mélange et sur le mouvement des particules au
sein des lits fluidisés reste à faire.
-
Une étude couplée avec la charge triboélectrique des particules est la prochaine étape à
réaliser. Un nombre dæheures de calculs conséquent est nécessaire pour cela.
165
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169
170
&KDSLWUH
6WUXFWXUHVGHVDOJRULWKPHVSDUDOOpOLVDWLRQ
5.1. La phase granulaire : algorithmes séquentiels ............................................ 173
5.1.1 La fonction de repérage ....................................................................................
5.1.2 La recherche des contacts.................................................................................
5.2. La phase granulaire, parallélisation ................................................................
5.2.1. Parallélisation, concepts de base.....................................................................
5.2.2. La répartition des tâches .................................................................................
5.2.3 Læalgorithme de recherche des contacts .........................................................
5.2.4 Le traitement de la contribution des charges électrostatiques .....................
5.2.5 Optimisation ......................................................................................................
5.3 La structure du code couplé ................................................................................
Conclusion.........................................................................................................................
BIBLIOGRAPHIE.........................................................................................................
171
174
175
178
178
179
182
185
185
195
199
200
172
Chapitre
5
STRUCTURES DES ALGORITHMES, PARALLELISATION
Nous présentons ici les bases qui ont été utilisées pour la construction du code dont les
résultats ont été montrés dans les chapitres précédents. Dans une première partie, nous
exposerons les algorithmes séquentiels utilisés pour le calcul de la phase granulaire. Ces
algorithmes sont présentés dans le sous chapitre 5.1. Dans un souci de réduction et
dæoptimisation des temps de calculs, la partie granulaire du code diphasique a été parallélisée.
L’analyse de performances est un point très important lorsque l’on construit un code parallèle.
Elle permet de connaître très précisément les algorithmes à améliorer, mais également
d’utiliser des paramètres de calculs optimaux. En effet, bien que la taille des clusters soit
toujours grandissante, le nombre d’utilisateurs l’est aussi. Cela contribue à une gestion des
heures de calculs de plus en plus difficile. Il est donc nécessaire pour un problème donné de
n’utiliser que les ressources nécessaires aux calculs et de les estimer au plus juste avant de se
lancer dans la production de résultats. Plusieurs tests de performances ont été effectués pour
obtenir la configuration optimale. Les méthodes utilisées sont détaillées dans le sous chapitre
5.2. Pour finir, læalgorithme complet du couplage entre la partie granulaire et la partie fluide
sera présenté dans le sous chapitre 5.3
5.1. La phase granulaire : algorithmes séquentiels
Lorsque la résolution de la phase granulaire est basée sur des modèles DEM, le rôle du
programme consiste à calculer les forces à appliquer à chaque particule. Pour cela, il est
nécessaire de détecter les collisions entre les différentes particules. Une fois que les forces ont
été calculées, le programme peut calculer la nouvelle position des particules.
Après l’initialisation, le programme de résolution de la phase granulaire est divisé en 4
grandes étapes effectuées à chaque pas de temps. La figure 5.1 donne l’ordre chronologique
d’exécution des ces différentes tâches. Parmi ces étapes, la détection des contacts est
particulièrement importante car cæest sur elle que repose læensemble du programme.
173
Détection des contacts
Fig. 5.1. Algorithme général du déroulement du programme de DEM
5.1.1 La fonction de repérage
Le repérage des particules est la base de l’algorithme utilisé pour la recherche des
contacts. Les explications concernant le choix de la méthode utilisée sont données dans le
paragraphe suivant. L’algorithme de repérage consiste déterminer pour chaque maille les
particules qui y sont présente. Une particule étant considérée comme appartenant à une cellule
si son centre y est situé (Figure 5.2).
Fig. 5.2. Grille utilisée pour repérer les particules appartenant à une maille,
les particules grisées sont considérées comme appartenant à la cellule 13
174
5.1.2 La recherche des contacts
La recherche des contacts est une partie importante du programme de calcul de la
phase granulaire. C’est en effet l’un des sous programme les plus chronophages. Lorsque la
mécanique des milieux granulaires est traitée par des méthodes d’éléments distincts de type
sphères molles, seuls les plus proches voisins, et uniquement les contacts directs collaborent à
la mise en mouvement des grains. Il est donc nécessaire de bien soigner cette partie du
programme. En partant du principe que les grains traités sont tous parfaitement sphériques,
parmi l’ensemble des méthodes de recherche des voisins, la plus simple consiste à calculer,
particule par particule, la distance entre chaque élément du lit de particules. Dès que la
distance qui sépare le centre de deux particules est inférieure à la somme de leur rayon
respectif, les particules sont en contact. Cet algorithme de complexité O (n 2) est extrêmement
lent. Pour l’améliorer, il est possible de ne chercher pour la particule i que les contacts avec
des particules ayant un rang j supérieur. Bien que deux fois plus rapide, cet algorithme
conserve une complexité en O (n 2). Il n’est pas raisonnable d’utiliser un tel algorithme en
présence d’un grand nombre de particules. Des algorithmes plus poussés tels que les Kd-Tree,
la triangularisation de Delaunay ou encore la division spatiale régulière sont plus intéressants.
Certains auteurs ont testés ces différentes méthodes [1], leurs conclusions quant à leur
efficacité, dépendent de l’utilisation qui en est faite. Pour résumer, dans le cadre de particules
de tailles homogènes, la complexité algorithmique de ces algorithmes dépend essentiellement
de l’utilisation que l’on veut en faire. Les Kd-tree et triangulations de Delaunay ont des
complexités algorithmiques d’ordre O(nlogm (n)), où la base m du logarithme change si le
calcul est en 2D ou en 3D. C'est-à-dire que pour trouver les voisins directs, la base
logarithmique sera m=4 pour un Quadtree, et m=8 pour un Octree. La méthode que nous
avons utilisée est une décomposition spatiale cartésienne régulière du domaine ; cette
méthode est également appelée méthode de chaînage [2]. Pour ce type d’algorithme, il a été
montré que la taille des mailles doit être égale à la taille de la plus grosse particule présente
dans le domaine. Pour être performant, il est également recommandé d’utiliser une
distribution de taille des particules la plus faible possible. Le mécanisme de recherche est le
suivant : Considérant une particule i au milieu d’un nuage d’autres particules, si toutes les
particules du domaine ont la même taille, tous ses voisins potentiels seront positionnés dans
une zone carrée de taille 3 mailles × 3 mailles (en rouge dans la figure 5.3). La fonction de
repérage ayant déjà listé les particules appartenant à chaque maille, il ne reste plus qu’à
calculer la distance entre la particule i et celles situées dans les 9 cases (27 en 3D) formant la
zone des voisins potentiels.
175
Fig. 5.3. Exemple de recherche des voisins de la particule 3, les particules 1, 2, 4 et 5 seront testées, mais seules
les particules 2, 4 et 5 seront retenues comme étant en contact avec la particule 3. Le carré rouge délimite la zone
de recherche des contacts des particules situées dans la maille 13.
Une seconde optimisation de la zone de recherche a été envisagée. Le principe consiste à
utiliser la propriété de dualité de l’ensemble des solutions trouvées. En effet, si pour chaque
particule nous faisons la liste de l’ensemble des voisins, alors, chaque solution trouvée sera
double. Si A est voisin de B, B est également voisin de A. Ayant trouvé une solution, il n’est
donc pas nécessaire de chercher la seconde. Pour cela, nous avons utilisé un algorithme de
recherche "vers l’avant", c'est-à-dire que nous ne recherchons les voisins que dans la moitié
"avant" de la zone de recherche définie précédemment, réduisant à 4 (13 en 3D) le nombre de
cases contenant des voisins possibles (figure 5.4) [2].
Fig. 5.4. Apres optimisation de l’algorithme, seul les particules 4 et 5 seront retenues comme étant en contact
avec la particule 3. La particule 3 fera partie de la liste des contacts de la particule 2. Læaire rouge délimite la
zone de recherche des contacts des particules situées dans la maille 13.
176
Cette optimisation permet de diviser par deux le nombre de voisins à rechercher, et donc
également le temps passé à les chercher. En 2D, la complexité algorithmique d’une telle
méthode est linéaire en O(n×4×m) où m est le nombre moyen de particules par maille. Si la
taille des mailles se rapproche de la taille des particules alors la complexité est en O(n×4), ce
qui est, de loin, la complexité algorithmique la plus faible de tous les algorithmes de
recherche de l’ensemble des voisins directs. Il faut cependant ajouter que l’utilisation d’une
seule particule beaucoup plus grosse que la moyenne réduira à néant les efforts fournis pour
réduire la complexité algorithmique, et les méthodes de type Kd-tree ou triangulation de
Delaunay peuvent devenir infiniment plus efficace que la méthode de chaînage. La
dégradation de læefficacité ce cet méthode est liée au fait que la taille des mailles doit être
égale à la taille de la plus grosse particule du domaine, ce qui multipliera automatiquement le
nombre de petite particule présente dans chaque maille. Cette augmentation se traduira par
une multiplication du nombre de tests à effectuer pour chaque particule voisine. La figure 5.5
présente une comparaison du temps d’exécution des trois algorithmes principaux : La
recherche en O (n 2), l’Octree et la méthode de chaînage (NBS) pour des particules de tailles
Temps (s)
identiques dans læensemble du domaine.
Nombre de particules
Fig. 5.5. Comparaison des méthode de recherche de voisin (Boyalakuntla [1])
177
5.2. La phase granulaire, parallélisation
5.2.1. Parallélisations, concepts de base
Aujourd’hui, et depuis quelques dizaines d’années déjà, la mise à disposition de
supercalculateurs par les centres nationaux de calculs français et européens ont permis
d’augmenter considérablement le nombre de configuration traitées par simulation numérique.
La méthode consiste à reformuler les algorithmes pour répartir les données à traiter sur un
nombre de processeurs donné. Par la suite, nous ferons la distinction entre le processeur
(matériel) et les processus (listes dæinstructions exécutées par les processeurs). Entre chaque
instruction, ou tout du moins de façon assez régulière, il est nécessaire d’instaurer une sorte de
dialogue entre les différents processus afin de synchroniser les tâches et les données à traiter.
Si les tâches sont bien réparties, ce type de parallélisation permet de réduire drastiquement le
temps d’exécution du programme pour un problème donné. Cependant, à nombre égal de
configurations traitées, il y a de forte probabilité pour qu’une méthode scalaire soit plus rapide
qu’un programme parallélisé. Ceci est dû au fait qu’en plus du temps d’exécution "normal"
liés aux instructions de calculs, il faut ajouter le temps d’exécution des opérations de dialogue
entre les différents processus associés à la tâche principale. La parallélisation "logicielle" est
donc à réserver pour des codes dont les temps d’exécution atteignent plusieurs jours.
Dans le cadre de cette thèse, c’est sur la parallélisation de la partie granulaire via des
bibliothèques dæéchange de messages de type MPI (Message Passing Interface) que repose les
performances de l’ensemble du code. La figure 5.6 montre le schéma de principe de la
parallélisation par échange de messages.
Données à
traiter
Résultats
Fig. 5.6. Schéma de principe d’une parallélisation par échange de message. Les données à traiter sont distribuées
sur plusieurs cœurs, un dialogue est instauré entre les processus pour obtenir le résultat.
178
5.2.2. La répartition des tâches
Pour traiter un volume important de données avec un programme parallélisé de type
MPI, la répartition des tâches est læoutil principal devant aider à réduire les temps de calcul.
Cette répartition doit être faite avec soin car il est important de répartit équitablement la
charge de chaque processeur. Une charge inégale provoquera indubitablement des temps
dæexécution différents dæun processeur à læautre. Les processeurs les moins chargés, devront
attendre le processeur le plus chargé dès quæune instruction de dialogue ou de synchronisation
sera rencontrée, ralentissant par la même occasion læexécution du programme. Parmi les
techniques de parallélisation par échange de messages, il en existe deux qui sont
régulièrement utilisées. Il s’agit de la répartition spatiale par décomposition en sous-domaines
réguliers (figure 5.7 a) ou, d’une répartition en nombre égal d’objets (figure 5.7 b). Ces deux
méthodes sont utilisées dans le but dæéquilibrer la charge de chaque processeur. La
décomposition en sous-domaines réguliers est généralement adoptée dans des milieux
continus et homogènes alors que la décomposition par objets est utilisée pour des milieux
discontinus ou hétérogènes. Il existe également des décompositions "en crayon" utilisées pour
privilégier les dialogues dans une direction donnée [3].
P1
P1
P2
P2
(a)
(b)
P3
P4
P3
Fig. 5.7. Répartition d’un calcul en sous domaines de tailles égales (a) ou par égalisation du nombre d’objet à
traiter (b). Dans chaque cas, la charge des processeurs doit être équilibrée.
La simulation d’un milieu granulaire et donc discontinu nous conduit à l’utilisation de la
seconde méthode, cependant, comme nous l’avons vu dans le chapitre 2, le modèle DEM
utilisé ne tient compte que des interactions proches, il est donc concevable d’essayer de
stocker dans chaque processus un nombre à peu près égal de particules mais respectant
également une certaine proximité. C’est donc une décomposition hybride, sousdomaine/nombre d’objets, qui a été envisagée.
Pour effectuer une répartition qui respecte les deux critères, nous avons décidé d’utiliser une
179
décomposition cartésienne non homogène du domaine de calcul. Bien qu’il existe
certainement des décompositions plus efficaces [4], nous avons choisi celle-ci pour la
simplicité de recherche des sous-domaines voisins. Une fois que l’utilisateur a choisi le
nombre de divisions qu’il désire dans chaque direction, il suffit de trouver la position des
interfaces de chaque sous-domaine.
Pour une répartition en n sous-domaines dans une direction donnée, l’opération consiste à
trouver les n−1 quantiles calculés à partir de la position des particules dans la direction
donnée. L’algorithme utilisé pour calculer les quantiles est basé sur un algorithme de tri rapide
(Qsort) récursif avec un pivot aléatoire [5]. La figure 5.8 (a) montre la répartition d’un nuage
de particules en 4 sous-domaines dans la direction x comprenant autant de particules, séparé
par les trois quartiles calculés à partir des coordonnées en x des particules.
Ce type de répartition mixte aboutit à des sous-domaines continus, de tailles différentes, mais
contenant tous autant de particules. Une fois qu’une répartition homogène en nombre de
particules a été effectuée, il est nécessaire de gérer les interfaces entre les sous-domaines de
façon à limiter les dialogues entre les différents processus. Pour faciliter les algorithmes, les
interfaces entre les sous-domaines sont ramenées à læinterface entre les deux mailles les plus
proche (figure 5.8 (b)).
(a)
(b)
Fig. 5.8. Répartition de 12 particules dans 4 sous-domaines. Les trais rouge représentent les quartiles délimitant
les sous domaines. En (a) répartition idéale, chaque sous-domaine contenant 3 particules. En (b) après avoir
ramené les interfaces des sous domaines sur les interfaces entre les mailles les plus proches.
Les librairies MPI fournissent deux modes de communications très différents. Le premier est
dit collectif, c'est-à-dire qu’il implique l’ensemble des processus appartenant à un même
communicateur alors que le second, de type point à point, ne permet que la communication de
processus deux à deux. Chaque mode ayant ses avantages et ses inconvénients. L’utilisation
de communications collectives est relativement aisée puisqu’elle ne nécessite pas de gérer la
180
synchronisation des processus, ceux-ci étant tous concernés à chaque appel. Le principal
défaut étant un envoi des données en impliquant l’ensemble des processus, chacun d’entre eux
devant faire le tri concernant la pertinence ou non des données reçues. Deux inconvénients
majeurs découlent de ce type de communication. Tout d’abord il peut engendrer un grand
nombre de transferts de données inutiles, mais il bloque également l’ensemble des processus à
chaque demande de dialogue. Pour éviter cela, le mode point à point est utilisé. Ce mode
nécessite que chaque processus soit en mesure de savoir à quel moment un autre processus
veut lui communiquer des données ainsi que le type et le nombre de données à recevoir.
D’une gestion beaucoup plus difficile ce mode de communication permet également de
minimiser les temps de communications ainsi que les volumes de données transférées. Par
ailleurs, la communication point à point entre deux processus n’oblige pas les autres à arrêter
leur tâche en cours. On perçoit donc tout læintérêt que læon a à adopter une telle approche.
Toute la difficulté réside dans la gestion des appels aux routines de communication. Chaque
appel doit être effectué au bon moment pour être sûr que le processus avec lequel il faut
instaurer le dialogue soit près à communiquer. Une mauvaise gestion des communications par
le programmeur peut à terme engendrer des temps d’attente de messages très longs, voir des
blocages du programme et du coup dégrader les performances espérées.
Bien que ce mode de dialogue soit un peut plus délicat à utiliser, c’est ce que nous avons mis
en œuvre puisque son utilisation à bon escient doit permettre d’optimiser les temps
d’exécution du programme. Cependant, pour faciliter la gestion de la synchronisation des
différents processus, nous nous sommes limités à des appels dits bloquants des routines de
communications. Dans leurs versions non bloquantes, les routines de communications
permettent de recouvrir par des calculs les temps dæattente liés à la synchronisation. Cet
avantage, souvent synonyme dæexécution plus rapide du programme, ajoute un niveau de
difficulté à la programmation. En effet, contrairement aux communication dites bloquantes, il
est nécessaire de vérifier si les données que læon veut traiter ont bien été reçues. Dans les
communications bloquantes, rien ne peut être exécuté tant que la communication næest pas
achevée, ce qui garantie le disponibilité des données au moment de leur traitement. Pour
sæassurer de la disponibilité des processus au moment dæune communication, il est possible de
placer des barrières de synchronisation. La barrière de synchronisation ne peut être franchie
que si læensemble des processus a atteint læinstruction barrière, obligeant alors les processus
les plus rapides à attendre les plus lents. Une fois que la répartition et le mode de
communication ont été choisis, nous avons regardé ce que cela impliquait en termes de
modification des algorithmes.
La majorité des algorithmes qui ont été mis en place jusqu’ici sont basés sur une boucle
parcourant soit les particules, soit les mailles du domaine. La seule modification qui doit leur
être apporté consiste donc à n’effectuer les boucles que sur les particules et les mailles
appartenant au sous-domaine. Pour cela, des tableaux locaux, propres à chaque sous-domaines
181
sont déclarés. Cela permet dæune part de travailler avec des tableaux de taille plus petite et
continus en mémoire. Dæautre part en limitant læespace nécessaire à chaque processus, les
temps dæaccès à la mémoire seront optimisés.
5.2.3 Læalgorithme de recherche des contacts
La parallélisation par répartition en sous domaines entraîne des modifications
importantes de l’algorithme de recherche des contacts. En effet, si à l’intérieur des sousdomaines il ne semble pas y avoir de différence majeur entre la version parallélisée et celle
qui ne l’est pas, il n’en est pas de même à proximité des interfaces entre les différents sousdomaines.
Comme nous l’avons vu précédemment l’algorithme de recherche des voisins dæune particule
i n’implique qu’une recherche "vers l’avant", et toujours d’une maille maximum en aval de la
maille contenant la particule i. Par soucis d’efficacité, nous avons souhaité conserver cette
méthode de recherche. Lorsque la recherche de contact doit se faire entre une particule i
appartenant à un sous-domainde d1 et une particule j du sous-domaine d2, il est nécessaire
que le processus qui gère le sous-domaine d1 soit également en mesure de connaître les
particules situées dans les mailles appartenant au sous-domaine d2.
Pour résoudre ce problème, deux solutions s’offrent à nous : La première consiste à instaurer
un dialogue avec le processus voisin dès que ce cas est rencontré, ce qui à de grandes chances
d’arriver souvent puisque nous utilisons des lits de particules compacts. De plus, la
synchronisation des dialogues semble relativement difficile, le processus appelé ne pouvant
présager du moment de l’appel. La seconde solution consiste à prévenir ce genre de situation
en envoyant en avance aux processus voisins toutes les particules appartenant aux mailles
proche des interfaces entre les sous-domaines. Cette opération s’effectue avant l’appel à la
routine de recherche des voisins. Bien que plus coûteuse en terme de tailles de messages
puisque des particules n’ayant pas besoin d’être transférées le seront nécessairement, cette
solution est beaucoup plus facile à mettre en œuvre d’un point de vue synchronisation des
dialogues. Cette synchronisation étant naturelle puisque c’est toujours avant la recherche des
contacts que le dialogue est instauré. La mise en place de cette solution consiste à créer une
"bande interface" de la taille d’une maille placée en aval de chaque sous-domaine pour y
placer les particules reçues de ces mêmes processus (Figure 5.9). Une "bande interface"
placée en arrière næest pas nécessaire puisque la recherche des contacts næest effectuée que
"vers læavant".
182
Fig. 5.9. Représentation d’un sous domaine (en bleu) avec sa bande interface "avant" (en pointillé)
nécessaire à læalgorithme parallélisé de détection des contacts
L’une des hypothèses de fonctionnement de la recherche des contacts était un calcul bijectif
des forces de répulsion lors d’une collision, c'est-à-dire qu’à chaque calcul de force agissant
sur une particule, une force de réaction de même valeur et de signe opposé doit être appliquée
à læautre particule en contact. Si chaque processus ne calcule que les forces des particules
appartenant à son sous-domaine, comment répercuter la force de réaction sur une particule en
contact appartenant à un processus voisin? Il serait bien entendu possible de refaire des
dialogues pour fournir la valeur des forces aux processus qui en ont besoin. Cela signifie qu’il
est nécessaire de recommencer l’ensemble de la procédure de dialogue après le calcul des
forces pour ensuite mettre à jour la valeur des forces sur les particules proches des interfaces.
Bien que relativement coûteuse, ceci est une solution à priori acceptable. Cependant une
seconde solution va être apportée par un autre aspect du problème : l’advection des particules.
Comme pour les autres algorithmes seuls les déplacements des particules appartenant
physiquement au sous-domaine géré par chaque processus sont calculés. Il est toutefois
nécessaire de pouvoir advecter une particule vers un sous-domaine voisins. Pour cela, il est
encore nécessaire de créer un dialogue entre chaque processus et ses voisins. Comme pour
l’algorithme de recherche des voisins, la synchronisation des dialogues point à point entre les
différents processus doit être effectuée de façon rigoureuse et optimale. Nous avons donc
apporté la même solution. Cependant l’advection ne peut être restreinte à une advection "vers
l’avant", il est donc nécessaire de créer une zone d’interface comprenant cette fois-ci
læensemble des sous domaines voisins. La figure 5.10 montre un exemple de découpage
cartésien irrégulier d’un domaine en 9 sous-domaines, les pointillés représentent les zones
d’interfaces nécessaires au dialogue entre chaque sous-domaine. Nous obtenons alors un
chevauchement des sous-domaines de deux mailles dans chaque direction.
183
Fig. 5.10. Représentation de 9 sous domaines (traits pleins) avec leurs zones de dialogue (pointillés)
C’est grâce au chevauchement partiel de 2 mailles des sous-domaines que l’on peut réduire et
synchroniser les dialogues entre les différents processus. Une fois que chaque processus a fini
d’advecter ses propres particules, les particules présentes dans les zones de voisinages sont
communiquées aux voisins concernés. Chaque processus est donc en mesure de connaître non
seulement l’ensemble des particules appartenant à son sous-domaine, mais également toutes
les particules appartenant à la zone dæinterface des processus voisins. La solution du problème
du calcul des forces de réaction s’offre maintenant à nous. En effet, pour un cas non
pathologique la recherche des contacts vers l’avant divise le nombre des opérations de calcul
des forces par deux, chaque force étant appliquée à une particule et à la particule avec qui elle
est en contact et qui a engendré la force. Plutôt que d’effectuer des dialogues supplémentaires
pour transmettre les forces de rétroaction, Nous n’utilisons plus l’algorithme de recherche
"vers l’avant" lorsque l’on se trouve à proximité d’une interface. Dans ce cas, cæest
l’algorithme "standard" qui est utilisé pour lister l’ensemble des voisins, qu’ils soient vers
l’avant ou vers l’arrière, c'est-à-dire dans la zone d’interface. Ainsi, les particules situées dans
une zone d’interface ressentiront l’effet de toutes les particules les entourant sans quæil y ait
besoin dæinstaurer des dialogues supplémentaires. La solution apportée ici correspondant à un
chevauchement partiel des sous domaines de deux mailles dans chaque direction est une
approche standard de la parallélisation par décomposition de domaine.
Pour faciliter la synchronisation et réduire les temps d’attente, les routines de dialogues
permettant de mettre à jour ces zones chevauchantes entre les processus sont toutes appelées
en même temps, qu’il s’agisse de la recherche des voisins ou de l’advection des particules. De
cette façon, les temps de latence immanquablement produit par l’instauration des dialogues
sont limités et l’exécution du programme est ainsi optimisée. Le nouvel algorithme général
184
régissant l’ensemble du programme parallélisé est donné en figure 5.11.
Fig. 5.11. Algorithme général du programme parallélisé
5.2.4 Le traitement de la contribution des charges électrostatiques
Cette partie du programme næest pas très affectée par la parallélisation du code. Encore
une fois, ce sont les interfaces entre les sous-domaines qui nécessitent un traitement
particulier. Ce traitement næest cependant pas difficile à réaliser puisque chaque processus est
en mesure de connaître les particules situées dans les bandes dæinterfaces. En plus des
variables liées à la mécanique des contacts et à la taille des particules, il faut également
transmettre la valeur de la charge des particules lors de leurs passages dæun sous domaine à un
autre. La contribution des particules aux conditions limites du champ électrique sont calculées
localement par chaque processus et envoyées à chaque processus ayant à gérer une paroi.
Chacun dæentre eux næayant plus quæa additionner localement la contribution envoyée par
læensemble des processus. Le solveur de Poisson utilisé pour le calcul du champ électrique a
également été parallélisé, mais il existe des bibliothèques spécialisées bien plus performantes.
Le travail qui a été effectué pour résoudre cette équation næapporte rien de nouveau dans ce
domaine.
5.2.5 Optimisation
Pour apporter un regard critique sur le travail effectué, il est nécessaire d’analyser les
185
performances et de les confronter aux performances attendues. Bien que la parallélisation du
module de dynamique moléculaire (DEM) ne soit pas le but premier de cette thèse, c’est un
travail qui à nécessité des développements très spécifiques et particulièrement pointus.
L’analyse des performances nous a permis de bien comprendre quels sont les aspects qui
restent encore à optimiser.
La stratégie mise en place pour gérer les communications est la suivante :
- Une première étape sert à compter le nombre de particules présentes dans chaque bande
d’interface.
- Un premier dialogue est instauré entre chaque processus et les processus voisins. Cette
étape permet à chaque processus de connaître le nombre exact de particules qu’il va recevoir
dans ses bandes d’interfaces.
- Toutes les particules qui vont être envoyées aux processus voisins sont placées dans un
tableau spécial, la liste des particules appartenant réellement aux sous-domaines gérés par les
processus est mise à jour.
- Un second dialogue réalise l’échange des particules situées dans les bandes d’interfaces.
- Une seconde mise à jour des particules appartenant à chaque sous-domaine est effectuée.
L’indice permettant de mesurer la performance d’un code est le coefficient d’accélération. Ce
coefficient Į est définit comme le ratio entre le temps d’exécution du programme sur un coeur
et le temps d’exécution de ce même programme sur n coeurs.
Į (n)=
T(1)
T(n)
(5.1)
T(n) étant le temps d’exécution du programme parallélisé sur n coeurs.
Læamélioration de læaccélération passe par une gestion efficace des communications par le
programmeur, mais également par l’évolution des liaisons inter-processeurs par les réseaux
Infiniband. Pour cette raison, bien que les bibliothèques de parallélisation telles que
OpenMPI, MPICH et leurs dérivées soient considérées comme portables, les configurations
matérielles et architecturales des différents clusters ont obligé les constructeurs à développer
leurs propres implémentations des bibliothèques parallèles, adaptées spécifiquement à chaque
machine. Ainsi, comme l’a montré Laizé [3] la scalabilité d’un programme dépendra
beaucoup de la machine sur laquelle on travaille. La scalabilité étant : "læaptitude dæune
application à maintenir son niveau de performance face à une augmentation de la charge grâce
à une augmentation des ressources utilisées."
186
Caractéristiques architecturales du cluster utilisé pour cette étude :
Pour cette étude, nous avons utilisé la machine appartenant au laboratoire. Le cluster HPC de
l'Institut PPRIME est un cluster de calcul fonctionnant sous Linux (Red Hat Enterprise Linux
ES release 4 (Nahant Update 7)). Il possède 108 noeuds de calcul bi-processeurs, soit 864
coeurs de calculs répartis en deux tranches (AMD Opteron 4 cores ; 2.3Ghz pour la première
tranche et 2.5Ghz pour la seconde). Chaque processeur dispose de 16 Go de RAM, la
puissance de calcul du cluster est d’environ 8.5 TFlops. La machine dispose d'un réseau
rapide basé sur le protocole Infiniband (réseau à 20Gb/s) et d'un système de stockage
LUSTRE avec 22To utile sur le système de fichiers. Nous pouvons noter une hétérogénéité
des cœurs de calculs d’une tranche à l’autre. L’ordonnanceur de travail PBS/Torque-Maui
privilégie pour chaque soumission de calculs, sans toutefois la garantir, une utilisation de
cœurs appartenant à la même tranche. L’utilisation d’un seul processeur appartenant à la
tranche la moins rapide aura donc un impact non négligeable sur les performances du code,
notamment en termes de délais d’attente entre deux instructions synchronisées. Sur cette
machine, nous avons utilisé la bibliothèque de parallélisation MVAPICH2-1.6 et le
compilateur Fortran Intel12. L’analyse de performances a été réalisée grâce à la bibliothèque
d’extension MPE. Cette bibliothèque exploite les particularités de la bibliothèque de
parallélisation utilisée pour fournir une analyse de toutes les fonctions MPI utilisées. Elle
fournit également des fonctions d’analyses de sous-programmes qui peuvent être positionnées
par le programmeur où bon lui semble. La visualisation des résultats se fait via le logiciel
Jumpshot-4. La figure 5.12 montre un aperçu typique du détail temporel des fonctions
utilisées durant un pas de temps DEM sur un cœur de calcul.
Fig. 5.12. Exemple de cartographie de consommation pour un pas de temps réalisée via la librairie MPE. Y sont
représentés : en gris, la durée dæun pas de temps ; en rouge la gestion des dialogues ; en turquoise la recherche
des contacts ; en bleu clair et vert clair les envoi et réceptions entre les sous-domaines ; en jaune les temps
dæattente et de synchronisation. Læéchelle de temps est indiquée sur le bas de la figure.
L’accélération a été mesurée pour plusieurs configurations différentes. Parce que certains
187
algorithmes ne sont pas prévus pour fonctionner sur moins de quatre cœurs, mais également
pour des raisons d’espace mémoire, le programme parallélisé ne peut pas être utilisé sur
moins de 4 cœurs lorsque plus de 106 particules sont utilisées. Pour les tests où plus de 106
particules sont utilisées, le temps d’exécution du programme sur un seul processeur a été
estimé. La figure 5.13 montre la scalabilité du code pour un nombre de particules allant de
6
39786 à 16.10 . L’efficacité de la parallélisation se mesure comme étant le ratio entre
l’accélération Į et le nombre de cœurs utilisés. La figure 5.14 présente la courbe d’efficacité
en fonction du nombre de processus utilisé pour le calcul.
Nombre de
particules :
Courbe idéale
Fig. 5.13. Accélération du code de calcul en fonction du nombre de processus pour différent nombre de
particules
Nombre de
particules :
Fig. 5.14. Efficacité du code parallélisé en fonction du nombre de processus pour différent nombre de particules
188
La figure 5.14 montre que l’efficacité du programme dépend très fortement du nombre de
processus utilisés. L’efficacité dépend également du nombre de particules par processus. Une
efficacité supérieure à 100% peut provenir dæune utilisation optimisée des mémoires cache.
Pour les trois cas impliquant un grand nombre de particules, la diminution de læefficacité pour
un nombre de processus entre 16 et 64 peut sæexpliquer par une utilisation désavantageuse de
la mémoire vive et des réseaux de communication entre les différents processeurs. En effet
læutilisation de nœuds multi processeurs et multi cœur implique une mémoire partagée pour
touts les cœurs dæun même nœud. De plus, le réseau dæinterconnexion næest utilisé que si plus
de 8 cœurs sont requis pour le calcul. Ceci explique en partie les bonnes performances du
code lors de læutilisation de 8 cœurs ou moins. Lorsque le nombre de processus utilisé
augmente encore, læefficacité de la parallélisation prend læavantage sur les temps de latence
liés à læutilisation du réseau.
En traçant læefficacité en fonction du nombre de particules par processus (figure5.15), on
remarque que la diminution du volume de particules par processus sæaccompagne tout dæabord
dæune diminution de læefficacité, suivie dæune ré-augmentation. Lorsque le nombre de
particules par processus devient très faible (<10000) læefficacité du programme diminue
fortement.
Nombre de
particules :
Fig. 5.15. Evolution de læefficacité en fonction du nombre de particules par processus. Plusieurs configurations
différentes sont présentées en fonction du nombre de particules traitées
Pour comprendre læorigine de la dégradation des performances en dessous de 10000 particules
par processus de calcul, nous avons analysé le comportement du code pour un faible nombre
de particules. Le domaine est rempli par 39786 particules de 1mm de diamètre réparties
aléatoirement dans un cube de taille 50×50×50 mm. Les particules subissent læeffet de la
gravité pendant un temps dæinitialisation de 2.5 s. A la fin de ce temps, les particules forment
189
un lit compact en forme de pavé de taille 50Œ50Œ16 mm. La mesure des performances est
effectuée sur les pas de temps qui suivent l’initialisation. La figure 5.16 montre le temps mis
pour exécuter 10 pas de temps en fonction du nombre de processus utilisés. Le temps de
calcul diminue lorsque le nombre de processus augmente jusqu'à atteindre un optimum autour
de 16 processus. Au-delà le temps d’exécution næévolue presque plus.
Fig. 5.16. Temps passé pour calculer 10 pas de temps en
fonction du nombre de processus utilisés
Pour comprendre pourquoi nous obtenons une saturation au delà de 16 processus, nous nous
sommes intéressé à la répartition spatiale des particules gérées par les processus pour les cas
16 et 32 processus. Chaque processus doit gérer toutes les particules qui appartiennent à son
sous domaine, ainsi que celles situées dans les mailles d’interface, soit environ 1250
particules lui appartenant et 898 particules appartenant aux bandes d’interface pour un calcul
sur 32 processus. Dans le cas de l’utilisation de 16 processus, chaque processus doit gérer
environ 2500 particules lui appartenant et 1170 particules appartenant aux processus voisins.
Ainsi, dans le cas de l’utilisation de 32 processus, chacun doit gérer quasiment autant de
particules qui lui sont propres que de particules situées dans les interfaces. En dehors du
problème de scalabilité, cette configuration nous montre bien les limites liées à l’utilisation
d’un trop petit nombre de particules par rapport au nombre de processus. D’une manière
générale, cet exemple montre l’importance d’une utilisation raisonnée de la parallélisation.
Partant du principe que le ratio r entre le nombre de particules effectivement situées à
l’intérieur du domaine alloué à ce processus et le nombre de particules situées en périphérie
de ce domaine est un facteur important permettant de présupposer des performances du code,
nous avons tracé sur la figure 5.17 le gain de temps de calcul entre la pire et la meilleure
configuration en fonction du nombre de processus utilisés. La meilleure performance est
obtenue dans la plupart des cas lorsque l’on a une compacité maximum des domaines alloués
aux processus, ce qui correspond à une maximisation du ratio r. Certaines configurations ne
190
répondent pas au critère de compacité des sous domaines. Il s’agit des configurations pour
lesquelles le nombre de particules appartenant à un processus voisins est réduit par la
présence dæune surface libre ou par les parois extérieures.
Fig. 5.17. Gain du temps de calcul après optimisation de la découpe en sous domaines
Pour optimiser un code de calcul, il est nécessaire de connaître la partie du programme où il
sera le plus efficace de concentrer ses efforts. Pour cela, nous avons réalisé une cartographie
représentant la consommation de temps de calcul des deux routines les plus importantes du
code. Ces routines concernent la recherche des voisins et la partie échange de données liées à
la parallélisation.
La figure 5.18 montre en terme de pourcentage, le temps passé dans chacune de ces routines
par rapport au temps passé dans l’ensemble des sous programmes durant un pas de temps. Ces
données sont des valeurs moyennes obtenues sur 10 pas de temps consécutifs dans le cas
d’une répartition optimale des processus.
Fig. 5.18. Temps passé dans les deux routines les plus consommatrices de
temps CPU en pourcentage du temps passé pour un pas de temps
191
A elles seules, ces deux routines utilisent la quasi-totalité du temps. Et plus encore, la fonction
gérant l’échange de données entre les processus introduit un surcoût allant de 50 à 90% de la
durée d’un pas de temps. En d’autres termes, la parallélisation "coûte cher " ! Le cas présenté
ici est un cas critique, mais il illustre bien la raison pour laquelle l’accélération diminue
lorsque le nombre de particules traitées par chaque processus n’est pas assez important.
D’autre part, un nombre de particules par processus trop important n’est pas non plus
souhaitable car les tableaux traités utilisent une grosse partie de la mémoire vive, ce qui limite
sa vitesse d’accès, surtout lorsque l’on utilise des processeurs multi cœurs. Dans la majorité
des cas, un volume compris entre 10000 et 30000 particules par sous-domaines compact
semble être un bon compromis permettant dæune part de ne pas gaspiller les ressources
informatiques disponibles, et dæautre part de minimiser le temps dæexécution du programme.
Une fois que les algorithmes les plus chronophages du programme ont été identifiés, il
convient de tenter de les améliorer. Etant donnée la place prise par la partie gestion des
communications, c’est sur cette partie du programme que nous avons concentré nos efforts.
Pour cela, nous avons réalisé la cartographie temporelle précise des algorithmes formant la
gestion des communications. D’une manière générale, cette partie du programme est divisée
en 3 sous-parties. La première consiste à chercher et compter le nombre de particules qui vont
être envoyées à chaque processus voisins. Une fois la liste établie, un premier dialogue avec
chaque voisin permet de connaître le nombre de particules que chacun doit recevoir, et ainsi
préparer les tableaux de réception. La seconde opération consiste à envoyer à tous les
processus voisins læensemble des particules qui ont été listées précédemment. Cette partie est
donc essentiellement constituée de communications, mais également de préparations des
buffers de départ et d’arrivée. La dernière partie consiste à remettre en forme les tableaux
contenant les particules reçues.
Une première cartographie (Figure 5.12) a montré qu’une grande partie du temps passé dans
la partie de gestion des communications était dépensé en attente et dans la partie d’envoi aux
processus voisins.
Le premier principe utilisé pour les communications dans la partie de transfert des particules
est le suivant :
Tout d’abord, une topologie est crée à l’initialisation du calcul, cette topologie permet de
connaître le numéro des processus voisins de chaque processus. Pour chaque direction (vers
l’amont et vers l’aval), les processus connaissent le nombre et la liste des particules à envoyer.
Il leur suffit donc d’envoyer toutes les particules ainsi que leurs attributs tel que leur taille,
leur vitesse, leur position et tout ce qui est nécessaire au calcul des forces. Plutôt que
d’envoyer chaque variables les unes après les autres, ce qui impliquerai un grand nombre
d’appel aux routines MPI de communications, et donc de très grands temps de latence
nécessaire au gestionnaire de communication, nous avons choisi d’envoyer pour chaque
192
direction l’ensemble de toutes les particules ainsi que leurs attributs dans un seul message.
A l’intérieur d’un processus, les particules des sous-domaines sont numérotées de façon
locale, mais une numérotation globale comprenant l’ensemble des particules du domaine est
également disponible. La numérotation locale permet de travailler sur des tableaux continus
en mémoire et donc plus rapide à traiter. La numérotation globale næintervient que pour
reconnaître les particules lors du passage d’une particule d’un sous domaine vers un autre. Les
types MPI de base fournis par la bibliothèque ne permettent pas d’envoyer des données
discontinues en mémoire. Pour cela, la bibliothèque MPI permet de créer des types non
homogènes comprenant un très grand nombre de variables différentes. Pour des données très
inhomogènes et dont la cartographie mémoire n’est pas continue, les mécanismes MPI
permettent de travailler directement avec les adresses mémoires, il reste alors à la charge de
l’utilisateur de créer ses propres types dérivés utilisés pour les communications. Etant donné
que les données à transférer aux processus voisins sont différentes d’un pas de temps à l’autre,
il est nécessaire de recréer les types à chaque nouvel envoi/réception.
La communication par elle même consiste à envoyer dans chaque direction, les particules
concernées. Pour éviter des surcharges et des blocages pendant les communications, les
envois entre processus sont effectués en deux temps :
- Pour une direction donnée, les processus de rang impair vont commencer à envoyer alors
-
que les processus de rang pair vont recevoir.
Une fois que tous ont fini leurs envois ou réceptions, ce sont les processus de rang pair
qui envoient et les processus de rang impair qui reçoivent (figure 5.19)
Les deux opérations sont répétées pour læenvoi et la réception dans læautre direction.
Fig. 5.19 Principe du déroulement des dialogues lors du passage des particules dæun sous domaine à læautre
193
10 ms
Fig. 5.20 Déroulement des opérations durant læétape de passage des particules dæun sous domaine à læautre. Les
flèches représentent les envois de données. Le bleu foncé représente læensemble de la durée de la partie
communication, cela comprend la préparation des tableaux pour læenvoi et la réception. Le bleu clair et le vert
clair sont respectivement les instructions dæenvoi et de réception des données. Le jaune représente les temps
dæattente entre deux dialogues.
La figure 5.20 montre le déroulement temporel de ces communications, ainsi que les temps de
préparation des types et les barrières de synchronisations des processus. Comme nous
pouvons le voir, les temps d’attentes liés à la synchronisation sont assez long, ceci étant du à
des tailles de messages inhomogènes entre les différents processus. Pour améliorer ce point
non négligeable, nous avons reformulé l’algorithme de transfert de particules. Plutôt que
d’envoyer dans une direction à un processus, puis dans un second temps de recevoir d’un
autre processus, nous avons instauré un dialogue envoi-reception par paire de processus. Ce
mode de communication est plus efficace puisqu’il réduit le temps de latence nécessaire à la
mise en place des communications. En effet, dès que le canal de communication entre deux
processus est ouvert, il devient plus rentable d’effectuer l’ensemble des communications
nécessaire entre ces processus. Pour cela, MPI propose des routines tel que
"MPI_SEND_RECV" qui gèrent ce mode de communication particulier. La difficulté étant ici
pour le programmeur de gérer les types et tailles de messages qui peuvent être différents entre
l’envoi et la réception. Tout comme précédemment, le dialogue est divisé en deux temps, mais
il næest exécuté quæune seule fois. Chaque processus de rang pair initie la communication avec
son voisin de rang impair, les données sont alors transmises dans les deux sens. Au second
temps, c’est le processus de rang impair qui initie le dialogue avec son voisin de rang pair
(figure 5.21). D’un point de vue algorithmique cette nouvelle version de la communication
entre les processus voisins nous a permis de supprimer les barrières de communications ainsi
que la moitié des temps de latence nécessaire à l’ouverture des canaux de communication
194
interprocessus. La figure 5.22 montre la nouvelle cartographie du programme de gestion des
communications entre les différents processus. En plus de la réduction du temps passé dans
cette partie du programme, nous observons une réduction, voir une annulation du temps passé
à "attendre" que les autres processus soient prêts à continuer pour avancer dans le programme.
Cette optimisation a permis un gain de temps compris entre 5 et 10 % suivant les
configurations.
Fig. 5.21 Principe du déroulement des dialogues après optimisation
10 ms
Fig. 5.22 Déroulement des opérations de dialogue après optimisation. Le vert foncé représente les moments de
dialogues en envoi et réception simultané.
5.3 La structure du code couplé
L’ensemble du code est écrit en Fortran, il mélange les versions 77, 90 et 95. Pour permettre
une bonne lisibilité et une maintenance relativement aisée, plusieurs sous-programmes sont
regroupés dans différents modules. Chaque module contient l’ensemble des routines
195
nécessaire pour effectuer une fonction bien précise. Un programme principal à pour fonction
de gérer l’ordonnancement de l’appel des différentes fonctions ainsi que les différents
modules à utiliser en fonction des fichiers de configurations. La parallélisation dæun code de
façon efficace est une étape qui prend beaucoup de temps. Pour cette raison, seule la partie la
plus chronophage (phase dispersée) a été parallélisée. La partie résolution de Navier-Stokes
est écrite en fortran 77 et non parallélisée, alors que le module de calcul de la dynamique
granulaire est écrit en fortran 90/95 parallélisée avec MPI. Des sous programme spécifique
obéissant à toutes les règles des trois normes sont chargés de faire le lien entre les deux parties
du programme. Lors de la répartition des processus, un seul est affecté au calcul de la phase
fluide, touts les autres sont utilisés pour le calcul de la phase granulaire.
Les sous programmes présents dans le module de couplage sont chargés :
-
Du dialogue entre la partie fluide et la partie granulaire,
-
de læinterpolation des grandeurs fluide calculées au centre des volumes de contrôle, sur le
centre de gravité des particules,
-
du calcul du taux de fluide dans chaque volume de contrôle,
du calcul des forces du fluide sur les particules, mais également des forces de rétroaction,
-
de la projection des forces calculées à l’échelle des particules sur les volumes de contrôle
du domaine de calcul pour la phase fluide.
La partie délicate de læalgorithme de couplage se situe dans les interpolations pour passer des
grandeurs fluide exprimées au centre des volumes de contrôle au centre de gravité des
particules. Pour simplifier le problème, nous avons réduit la complexité du maillage fluide à
un maillage cartésien orthogonal. Pour bénéficier de la parallélisation des algorithmes DEM,
nous avons également parallélisé les sous programmes de couplage entre le code de calcul
DEM et la partie de résolution de la phase fluide.
Pour calculer les forces fluides agissant sur les particules, la première chose à faire est de
calculer le taux de fluide présent dans chaque volume de contrôle fluide. Pour cela si læon
utilise la méthode COV présentée dans le chapitre 4, il est nécessaire de connaître le nombre
de particules présentes dans chaque volume de contrôle. Un premier repérage a déjà été
effectué par le programme DEM sur une grille durant la phase de détections des voisins. Pour
tirer parti de ce travail, nous avons imposé une contrainte sur le maillage de la phase fluide :
la taille des mailles fluide doit obligatoirement être un multiple de la taille des mailles
utilisées pour la détection des voisins. Cette contrainte réduit le nombre dæopérations de
comptage puisquæil suffit dæadditionner le nombre de particules présentes dans chaque maille
de détection de contact appartenant au volume de contrôle considéré. La gestion des interfaces
196
entre les sous-domaines est effectuée par les routines de communication MPI. La figure 5.23
montre la superposition du maillage fluide et du maillage DEM.
Fig. 5.23 Exemple de superposition du maillage de résolution de la phase dispersée (en noir) et de la phase fluide
(en vert). Le damier gris et blanc représente 9 sous domaines différents.
En fonction des configurations décrites dans le chapitre 4, plusieurs calculs sont nécessaires :
-
læinterpolation des vitesses du fluide au centre des particules
-
le calcul de la vitesse moyenne des particules situées dans chaque volume de contrôle
-
læinterpolation des gradients de pression au centre de chaque particule
Toutes ces opérations nécessitent de connaître la liste des particules présentes dans chaque
maille fluide. Cette liste étant disponible grâce à la fonction de repérage, l’ensemble de ces
opérations est réalisée en une seule fois.
Lorsque toutes les opérations de calcul des forces de couplage sont effectuées, chaque
processus envoie les valeurs correspondant à son sous-domaine au processus de calcul de la
phase fluide. Cette opération est réalisée par une fonction MPI de réduction permettant à un
processus (celui qui gère la phase fluide) de collecter toutes les données situées sur les autres
processus (ceux qui calculent la phase dispersée).
Toutes ces opérations de couplage, ainsi que les opérations de projection dæune grille à læautre
sont relativement longues. La dynamique de la phase solide impose des pas de temps très
197
faibles, dæautre part, la dynamique de læécoulement de la phase fluide est relativement lente
devant celle des particules. Pour ces raisons, les auteurs [1,6] ont læhabitude dæutiliser des pas
de temps différents entre la phase fluide et la phase granulaire. Cela se traduit par une boucle
de temps interne au programme de résolution de la phase dispersée. Durant les pas de temps
internes au calcul de la dynamique particulaire, læécoulement est considéré stationnaire. Le
rapport entre le pas de temps de la résolution fluide et le pas de temps du calcul granulaire se
situe généralement autour de 100. La figure 5.24 montre le déroulement des différentes étapes
dæun calcul diphasique eulérien/lagrangien en précisant les instants de communication
nécessaires au couplage entre la phase fluide et la phase dispersée.
Fig. 5.24. Algorithme du code incluant la résolution dæune phase fluide et une phase solide
198
Conclusion
Ce chapitre permet de comprendre le couplage entre le code de dynamique moléculaire et le
code de résolution des équations de Navier-Stokes.
-
Nous avons détaillé les éléments importants concernant les algorithmes de bases utilisés
pour résoudre la phase granulaire.
-
La parallélisation puis læoptimisation de ces algorithmes ont ensuite été réalisés. Ce
travail a notamment permis de déterminer et de comprendre les limites du code. Des
gains de læordre de 15 à 20% ont pu être obtenus grâce à une analyse poussée du code.
-
Le couplage avec la partie fluide a consisté à fusionner deux codes initialement
indépendants et de créer des sous programmes réalisant læinterface entre la partie
parallélisée de la phase granulaire et la partie séquentielle de la résolution de la phase
fluide.
199
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computational Physics, 228, 2009, pp. 1545-1561
200
Conclusion générale et perspectives
L’objectif de ce travail était la simulation numérique dæécoulements diphasiques
tridimensionnels comportant une phase granulaire et une phase fluide. Les aspects
électrostatiques liés à la charge triboélectrique des particules devaient également être pris en
compte. Dans un contexte plus général, ce travail sæinscrit dans la continuité des travaux qui
sont effectués depuis plusieurs années au sein du laboratoire, sur la charge par effet
triboélectrique et sur la séparation électrostatique des matériaux granulaires.
Dans cet optique, nous avons commencé par modéliser la phase granulaire par une méthode
DEM de type sphères molles. Après une validation du code de calcul, des études ont été
réalisées sur les lits vibrés grâce à la mise en place dæoutils dæanalyse et de visualisation des
résultats. Des analyses FFT ont permis de mettre en évidence la présence de fréquences
caractéristiques formant différentes structures dans les lits vibrés. Cæest grâce à cette analyse
fréquentielle que nous avons été en mesure dæaméliorer le taux de mélange en excitant les
fréquences naturelles qui ont été observées.
La seconde étape a été de réaliser un modèle de transfert de charge entre les particules. Ce
modèle a été développé pour représenter les échanges de charges qui ont lieu localement à
chaque point de contact durant une collision entre deux particules. Pour vérifier læexactitude
du modèle théorique proposé, des expériences ont été menées. Ces expériences ont consisté à
mesurer les charges accumulées sur des particules de Polyamide et de Polycarbonate soumises
à des vibrations verticales. Pour effectuer ces mesures, il a été nécessaire de concevoir et de
réaliser une cellule de mesure de grande précision, ainsi quæun séparateur électrostatique à
chute libre. Le principe utilisé pour la mesure des charges électrostatiques accumulées sur les
particules repose sur la mesure des charges images. Les observations qui ont été faites suite à
læanalyse des lits vibrés ont été utilisées pour augmenter la charge triboélectrique produite
dans un lit vibré. Les résultats obtenus numériquement ont été confirmés par ceux obtenus
expérimentalement.
Læune des méthodes industrielles pour charger les particules par effet triboélectrique consiste à
utiliser un lit fluidisé. Ce type dæapplication a fait læobjet dæintenses recherches au sein du
laboratoire ces dernières années. Læamélioration de ce procédé passe par la simulation
numérique des écoulements diphasiques. En partant dæun code de résolution des équations de
Navier-Stokes, nous avons procédé à un couplage avec la partie granulaire. Læensemble de la
discrétisation des équations du modèle diphasique a été développé pour un maillage structuré
par bloc non orthogonal. De multiples tests ont montré les capacités du code diphasique à
représenter des écoulements réalistes. La génération et læévolution dæune bulle ont été
étudiées. Les résultats se sont révélés très concluants et similaires aux observations obtenues
201
expérimentalement par Müler [chap 4, 49]. Nous avons mis en évidence la structure de bulles
allongées (bulle en forme de vers) dans un lit fluidisé. Une tentative dæexplication sur le
mécanisme de formation de ces bulles a été proposée. Les perspectives ouvertes par ce travail
sont des études des mouvements particulaires au sein des lits fluidisés ainsi que la simulation
des lits fluidisés prenant en compte les aspects tribo-électrostatiques.
La simulation de ces écoulements à des échelles proches de celles des processus industriels
requiert un code numérique performant capable de représenter un grand nombre de particules.
Pour obtenir des temps de calculs acceptables, nous avons utilisé des méthodes numériques et
des algorithmes optimisés, spécialement conçus pour les situations décrites précédemment.
Pour augmenter les performances du code, nous avons procédé à la parallélisation de la partie
granulaire. Un regard critique a été porté sur la méthode de parallélisation utilisée de façon à
améliorer la gestion des communications entre les différents cœurs de calculs utilisés.
Dæautres améliorations peuvent encore être apportées à cette partie. La plus importante étant
certainement une adaptation en temps réel de la charge des processeurs. Aujourdæhui, la
puissance de calcul næest plus le problème majeur en simulation numérique. La gestion et le
stockage des nombreux résultats obtenus représentent un chalenge qui est de plus en plus
compliqué à résoudre. Læaugmentation exponentielle du volume de données oblige à réaliser
des programmes de traitements des résultats en temps réel de façon à stocker un minimum de
résultats bruts. Nous avons commencé à réaliser ces programmes de traitements pour la partie
granulaire, mais de nombreux travaux restent encore à faire dans ce domaine. La difficulté
étant dans la prédiction des coefficients ou autres paramètres de réglages des outils de
traitements propres à chaque situation.
Pour obtenir les performances nécessaires pour simuler des écoulements comportant un grand
nombre de particules, des restrictions à des cas particuliers et des approximations ont été
commises. Il faut encore apporter au calcul du champ électrique des corrections tenant compte
de la discontinuité du milieu. Dans le code de résolution des équations de Navier-Stokes, le
calcul du taux de fluide, ainsi que les algorithmes de calculs des forces de couplage entre la
phase fluide et la phase granulaire sont basés sur des maillages cartésiens. La prise en compte
de mailles non orthogonales permettra dæétudier les phénomènes triboélectriques prenant
place dans des géométries complexes. En améliorant ces points, mais également en
parallélisant la résolution de la phase fluide, des études pourront être menées sur des systèmes
industriels complexes.
202
CONTRIBUTION A LA MODELISATION NUMERIQUE DæECOULEMENTS
ELECTRO-FLUIDO-DYNAMIQUES DIPHASIQUES TRIDIMENSIONNELS
Résumé : Les matériaux granulaires sont très divers : les farines, les grains dans
l’agroalimentaire, le sable et les roches dans l’industrie minière, les déchets broyés dans
l’industrie du recyclage, les poudres et granulés dans l’industrie chimique. Le stockage, le
transport et le traitement de ces matériaux font apparaître des phénomènes électrostatiques
liés à leur charge par effet triboélectrique. L’analyse de ces phénomènes requiert des modèles
numériques prenant en compte les trois aspects (collisions interparticulaires, écoulement du
fluide et échange de charges électriques) des écoulements granulaires. L'objectif de ce
mémoire est donc la modélisation des écoulements diphasiques 3D, avec la prise en compte
des phénomènes tribo-électrostatiques et des forces d’interaction entre le fluide et les
particules. Dans la première phase du travail, nous avons utilisé un modèle dæéléments
distincts (DEM) pour calculer la dynamique particulaire. Plusieurs études de lits vibrés y sont
traitées. La deuxième partie présente un modèle original de charge électrostatique. Ce modèle
permet d’étudier l’évolution de la charge des particules au cours du temps. La méthode
utilisée pour réaliser le code diphasique par un couplage eulérien-lagrangien est exposée dans
la troisième partie. Les études sur la fluidisation de particules qui y sont décrites ont abouties
à des pistes intéressantes sur la formation des bulles. Pour finir, nous présentons les
algorithmes utilisés pour les modélisations, ainsi que la méthode adoptée pour paralléliser le
programme, permettant ainsi de représenter un grand nombre de particules afin de mieux
simuler des situations dæintérêts industriels.
Mots clés : modélisation numérique, électrostatique, charge électrique, champ électrique,
écoulement granulaire, lits vibrés, DEM, parallélisation
CONTRIBUTION TO THE NUMERICAL MODELLING OF THREE DIMENSIONAL
ELECTRO-FLUIDO-DYNAMIC MULTIPHASE FLOWS
Abstract : Granular materials are very diverse: flour and grain in the food industry, sand and
rocks in the mining industry, ground industrial waste in the recycling industry, powders and
granules in the chemical industry. Storage, transport and processing of these materials lead to
electrostatic phenomena related to their charge by the triboelectric effect. The analysis of
these phenomena requires numerical models that take into account the three aspects (particle
collisions, fluid flow and electrostatics phenomena) of granular flows. The purpose of this
thesis is the modelling of 3D two-phase flows, including the tribo-electrostatic effects and the
interaction forces between the fluid and particles. At first, we used a distinct elements model
(DEM) to compute the motion of the particles. Several cases of vibrated beds have been
treated. The second part presents an original tribo-electrostatic charge exchange model. This
model is able to compute the evolution of the particle charge over time. The coupled EulerianLagrangian method used to solve the two-phase flow is described in the third part. Studies on
fluidized beds of particles described in this section have resulted in interesting explanations
on the formation of bubbles. Finally, the last section presents the algorithms, as well as the
method used to parallelize the program, thus allowing the representation of a large number of
particles in order to better simulate the industrial installations.
Keywords : numerical modelling, electrostatics, electric charge, electric field, granular flow,
vibrating beds, DEM, parallelization