Plus court chemin. - Université d`Orléans

Universit´e d’Orl´eans Licence STIC, Semestre 4
Facult´e des Science Graphes et Algorithmes
D´epartement Math´ematiques Ann´ee 2005-2006
Plus court chemin.
Exercice 1.
(1) Existe-t-il une arborescence A`a 8 sommets num´erot´es 1 `a 8 de fa¸cons `a ce que,
dans un parcours en profondeur, l’ordre de visite soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et
l’ordre de post-visite soit
(a) 5, 3, 2, 4, 7, 6, 8, 1 ?
(b) 4, 3, 5, 2, 7, 6, 8, 1 ?
S’il y a une solution, est-elle unique ?
(2) De fa¸con plus g´en´erale, si on se donne deux permutaions de 1 `a n, `a quelle
condition existe-t-il un arborescence de nsommets dont les permutations sont
les ordres de visites et de post-visite ? S’il y a une solution, est-elle unique ?
Exercice 2.
Trois couples au bod d’une rivi`ere disposent d’un bateau pouvant transporter 2 person-
nes au plus. Sachant que chacun des maris est trop jaloux pour accepter que sa femme
se trouve sans lui en compagnie d’un autre homme, est-il possible de faire traverser les
six personnes ?
Exercice 3.
Nantes
P aris −Montparnasse
m
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m
m
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m
m
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m
m
m
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m
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P aris −Lyon
Lyon Grenoble
555555555555555555555555555
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W
Marseille
2h
1h
7h
3,5h
1h
3h
4,5h
4,5h

(1) Indiquer l’ordre de visite lors d’un parcours en largeur du graphe (le d´ebut est
le sommet le plus haut et le plus `a gauche parmi les sommets les plus haut).
(2) Indiquer l’ordre de visite lors d’un parcours en profondeur du graphe (mˆeme
d´ebut) et l’ordre de postvisite.
(3) D´eterminer la longueur du plus court chemin de Nantes `a Grenoble en utilisant
l’algorithme de Floyd (On indiquera les diff´erentes ´etapes de l’algorithme).
(4) D´eterminer la longueur du plus court chemin de Nantes `a Grenoble en utilisant
l’algorithme de Dijkstra (On indiquera les diff´erentes ´etapes de l’algorithme).
Exercice 4.
Soit Gun graphe orient´e valu´e, s0un sommet de G. On cherche `a d´eterminer le poids
minimal des chemin reliant s0aux autres sommets en utilisant l’algorithme suivant :
on pose d(s0) = 0 et d(s) = +∞pour s6=s0. On visite alors le sommet s0au moyen
de la proc´edure suivante :
visiter un sommet s
si s n’a pas encore \’et\’e visit\’e
soit s’ le successeur de s le plus proche de s
d(s’)=d(s)+poids(s,s’)
visiter s’
fin si
Quelle est la complexit´e de l’algorithme ? Pourquoi est-il incorrect (il y a plusieurs
raison, trouver des contre-exemples pour chacune).