Des probabilités expérimentales

PCSI - informatique commune
2013-2014 : DM(/TP) 3
Des probabilités expérimentales
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On dispose en Python de la fonction randint dans la bibliothèque random. Elle prend deux arguments
entiers a et b, et renvoie un entier aléatoire entre a et b... inclus ! 1
1
Pile ou face
On considère ici à des lancers successifs d’une pièce « non biaisée » : elle retombe sur PILE avec
probabilité 1/2, et sur FACE avec la même probabilité (ouf).
1. Écrire une fonction toss ne prenant pas d’argument, mais rendant 0 ou 1 (disons 0 pour PILE et
1 pour FACE), chacun avec probabilité 1/2.
2. Écrire une fonction prenant en entrée un entier N , réalisant N tirages, et renvoyant le nombre de
tirages égaux à FACE.
3. Écrire une fonction prenant en entrée un entier N > 0, réalisant N tirages aléatoires x0 , ..., xN −1 ,
n
1 X
xk pour n ∈ [[0, N − 1]].
et retournant la liste des moyennes mn =
n+1
k=0
Dans l’exemple présenté dans la dernière partie (n_toss_bis(5)), les tirages ont été : 0, 1, 1, 1, 0.
4. Avec N ∈ {10k | 1 6 k 6 6}, représenter le graphe des (n, mn ) obtenus...
5. Qualitativement, est-ce que le résultat obtenu vous semble raisonnable ?
2
Un jeu de dés
1
·
6
1. En s’inspirant de la première partie, regarder l’évolution de la moyenne de tirages successifs (avec
de zolis graphes).
On réalise maintenant le jeu suivant, en fixant un réel α > 0 : Alice et Bob lancent chacun un dé.
En notant a et b les tirages obtenus :
– si a > b, alors Bob donne a − b brouzoufs 2 à Alice ;
– si b > a, alors Alice donne α(b − a + 1) brouzoufs à Bob.
Le but de l’exercice est d’évaluer le gain moyen d’Alice (éventuellement la perte !) selon les valeurs
de α.
On dispose cette fois de dés à six faces non biaisés : chaque x ∈ [[1, 6]] est obtenu avec probabilité
2. Qualitativement (sans formaliser les choses), le jeu semble-t-il gagnant pour Alice lorsque α = 1 ?
Et lorsque α = 0 ?
3. Écrire une fonction prenant en entrée α, réalisant deux tirages de dés a et b, et renvoyant le gain
(algébrique) pour Alice correspondant dans le jeu (a − b ou −α(b − a + 1), selon le signe de a − b).
4. Écrire une fonction prenant en entrée α en N , appelant N fois la fonction écrite dans la question
précédente, et renvoyant la moyenne des gains réalisés par Alice.
5. Tester la fonction précédente lorsque N = 106 pour α ∈ {0; 0, 5; 0, 625; 1}.
1. Belle unité avec les range ; bravo les gars...
2. Le brouzouf est une monnaie assez pratique : il existe des pièces de x brouzoufs pour tout x ∈ R.
1
3
Encore plus fort
Prendre un exercice de probabilité dans un bouquin quelconque, simuler avec Python... et en faire un
sujet de DM !
L’auteur du meilleur sujet 3 aura droit à ce que son sujet soit posé à ses petits camarades :-)
4
Bonus
4.1
Des maths
1. Après N tirages d’une variable aléatoire, la loi des grands nombres dit à peu près ceci à la moyenne :
« Bon, tu es censée tendre vers µ ». Son cousin le théorème central limite précise « En ne t’éloignant
σ
pas trop ! Allez, je t’accorde un écart de √ ; ne va pas trop au delà ».
N
Les grandeurs µ et σ sont les moyennes et écart-types des variables aléatoires. Dans le cas du
1
pile/face, µ = σ = ·
2
Visualiser comme dans la question 4 l’évolution des moyennes mn pour N = 106 , accompagné des
σ
courbes représentant µ ± √ ·
n
2. Pour les dés, on peut évaluer la variance, c’est-à-dire le carré de l’écart-type σ de diverses façons :
n
1X
(a) grâce à l’estimateur non biaisé (la moyenne µ étant ici connue)
(xi − µ)2 ;
n i=1
n
n
1X
1X
(xi − m)2 avec m =
xi ;
(b) grâce à l’estimateur biaisé
n i=1
n i=1
n
(c) grâce enfin à l’estimateur non biaisé
1 X
(xi − m)2 ;
n − 1 i=1
(d) en allant chercher dans un bouquin/cours ou sur le web ;
r
35
(e) en lisant la fin de cette ligne :
·
36
Estimer σ...
3. Utiliser la valeur de σ évaluée précédemment pour visualiser la loi des grands nombres pour des
jets successifs de dés.
4. Pour évaluer l’espérance des gains d’Alice, évaluer les différences probabilités pk d’obtenir des différences a − b = k, pour les différentes valeurs de k ∈ [[−5, 5]]. L’espérance recherchée est alors :
0
5
P
P
E=
pk α(1 − k) +
pk k. Comparer cette valeur aux différentes valeurs trouvées expérimenk=−5
k=1
talement. Montrer qu’il existe une (unique) valeur de α pour laquelle l’espérance de gain est nulle :
le jeu est alors équitable.
4.2
>>>
1
>>>
0
>>>
1
>>>
514
>>>
Pile ou face
toss()
toss()
toss()
n_toss(1000)
n_toss(10000)
3. après le mien, quand même...
2
4980
>>> n_toss_bis(5)
[0.0, 0.5, 0.6666666666666666, 0.75, 0.6]
Pile-face : 100 tirages
1.0
Pile-face : 1000 tirages
1.0
0.9
0.8
0.8
0.6
0.7
0.6
0.4
0.5
0.2
0.4
0.30
20
40
60
100 0.00
80
200
400
600
Alice vs. Bob
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.50
200
400
600
3
800
1000
800
1000