Des probabilités expérimentales

PCSI - informatique commune 2013-2014 : DM(/TP) 3
Des probabilités expérimentales
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On dispose en Python de la fonction randint dans la bibliothèque random. Elle prend deux arguments
entiers aet b, et renvoie un entier aléatoire entre aet b... inclus ! 1
1 Pile ou face
On considère ici à des lancers successifs d’une pièce « non biaisée » : elle retombe sur PILE avec
probabilité 1/2, et sur FACE avec la même probabilité (ouf).
1. Écrire une fonction toss ne prenant pas d’argument, mais rendant 0ou 1(disons 0pour PILE et
1pour FACE), chacun avec probabilité 1/2.
2. Écrire une fonction prenant en entrée un entier N, réalisant Ntirages, et renvoyant le nombre de
tirages égaux à FACE.
3. Écrire une fonction prenant en entrée un entier N > 0, réalisant Ntirages aléatoires x0, ..., xN−1,
et retournant la liste des moyennes mn=1
n+ 1
n
X
k=0
xkpour n∈[[0, N −1]].
Dans l’exemple présenté dans la dernière partie (n_toss_bis(5)), les tirages ont été : 0,1,1,1,0.
4. Avec N∈ {10k|16k66}, représenter le graphe des (n, mn)obtenus...
5. Qualitativement, est-ce que le résultat obtenu vous semble raisonnable ?
2 Un jeu de dés
On dispose cette fois de dés à six faces non biaisés : chaque x∈[[1,6]] est obtenu avec probabilité 1
6·
1. En s’inspirant de la première partie, regarder l’évolution de la moyenne de tirages successifs (avec
de zolis graphes).
On réalise maintenant le jeu suivant, en fixant un réel α>0: Alice et Bob lancent chacun un dé.
En notant aet bles tirages obtenus :
– si a>b, alors Bob donne a−bbrouzoufs 2à Alice ;
– si b>a, alors Alice donne α(b−a+ 1) brouzoufs à Bob.
Le but de l’exercice est d’évaluer le gain moyen d’Alice (éventuellement la perte !) selon les valeurs
de α.
2. Qualitativement (sans formaliser les choses), le jeu semble-t-il gagnant pour Alice lorsque α= 1 ?
Et lorsque α= 0 ?
3. Écrire une fonction prenant en entrée α, réalisant deux tirages de dés aet b, et renvoyant le gain
(algébrique) pour Alice correspondant dans le jeu (a−bou −α(b−a+ 1), selon le signe de a−b).
4. Écrire une fonction prenant en entrée αen N, appelant Nfois la fonction écrite dans la question
précédente, et renvoyant la moyenne des gains réalisés par Alice.
5. Tester la fonction précédente lorsque N= 106pour α∈ {0; 0,5; 0,625; 1}.
1. Belle unité avec les range ; bravo les gars...
2. Le brouzouf est une monnaie assez pratique : il existe des pièces de xbrouzoufs pour tout x∈R.
1

3 Encore plus fort
Prendre un exercice de probabilité dans un bouquin quelconque, simuler avec Python... et en faire un
sujet de DM !
L’auteur du meilleur sujet 3aura droit à ce que son sujet soit posé à ses petits camarades :-)
4 Bonus
4.1 Des maths
1. Après Ntirages d’une variable aléatoire, la loi des grands nombres dit à peu près ceci à la moyenne :
« Bon, tu es censée tendre vers µ». Son cousin le théorème central limite précise « En ne t’éloignant
pas trop ! Allez, je t’accorde un écart de σ
√N; ne va pas trop au delà ».
Les grandeurs µet σsont les moyennes et écart-types des variables aléatoires. Dans le cas du
pile/face, µ=σ=1
2·
Visualiser comme dans la question 4 l’évolution des moyennes mnpour N= 106, accompagné des
courbes représentant µ±σ
√n·
2. Pour les dés, on peut évaluer la variance, c’est-à-dire le carré de l’écart-type σde diverses façons :
(a) grâce à l’estimateur non biaisé (la moyenne µétant ici connue) 1
n
n
X
i=1
(xi−µ)2;
(b) grâce à l’estimateur biaisé 1
n
n
X
i=1
(xi−m)2avec m=1
n
n
X
i=1
xi;
(c) grâce enfin à l’estimateur non biaisé 1
n−1
n
X
i=1
(xi−m)2;
(d) en allant chercher dans un bouquin/cours ou sur le web ;
(e) en lisant la fin de cette ligne : r35
36·
Estimer σ...
3. Utiliser la valeur de σévaluée précédemment pour visualiser la loi des grands nombres pour des
jets successifs de dés.
4. Pour évaluer l’espérance des gains d’Alice, évaluer les différences probabilités pkd’obtenir des dif-
férences a−b=k, pour les différentes valeurs de k∈[[−5,5]]. L’espérance recherchée est alors :
E=
0
P
k=−5
pkα(1 −k) +
5
P
k=1
pkk. Comparer cette valeur aux différentes valeurs trouvées expérimen-
talement. Montrer qu’il existe une (unique) valeur de αpour laquelle l’espérance de gain est nulle :
le jeu est alors équitable.
4.2 Pile ou face
>>> toss()
1
>>> toss()
0
>>> toss()
1
>>> n_toss(1000)
514
>>> n_toss(10000)
3. après le mien, quand même...
2

4980
>>> n_toss_bis(5)
[0.0, 0.5, 0.6666666666666666, 0.75, 0.6]
3