énoncé

Psi 945 2016/2017
DS 2 - le 01/10/2016
http://blog.psi945.fr
1
Un peu de cours
1. Énoncer et prouver le théorème de continuité croissante en probabilité (le machin qui parle de la
probabilité d'une certaine réunion dénombrable 1 ).
2. Montrer que u ∈ L(E, F ) est injective si et seulement si son noyau est réduit à {0E }.
3. Montrer que si u ∈ L(E, F ) est injective, alors l'image par u d'une famille libre de E est toujours
une famille libre de F .
2
Un système linéaire stochastique
On s'intéresse au système linéaire
x −
ax −
2y
by
=
=
3
c
avec a, b et c trois entiers de [[1, 6]] issus de trois lancers de dés indépendants.
1. Donner une/des condition(s) nécessaire(s) et susante(s) simple(s) portant (éventuellement !) sur
a, b et c pour que le système possède une unique solution.
On justiera soigneusement, en s'interdisant de parler de déterminant de système (comme en
terminale).
2. En déduire la probabilité pour que, après lancer de dés, le système possède eectivement une
unique solution.
3. Même chose (caractérisation puis probabilité) pour que le système possède une innité de solution.
4. Même chose pour que le système ne possède pas de solution.
Arrivé ici, on peut peut-être faire une petite vérication...
5. Et enn, même chose pour que (x, y) = (3, 0) soit solution du système.
3
Des approximations de
π
(d'après CCP TSI 2015)
On se propose d'exprimer π comme somme de diérentes séries, puis d'estimer la vitesse de convergence
des sommes partielles vers π .
1. Soient x ∈ R et n ∈ N. Montrer :
Arctanx =
n
X
(−1)k x2k+1
2k + 1
k=0
On pourra travailler, pour t ∈ R, sur
2. Prouver que pour x ∈ [0, 1],
3. Prouver :
Z
0
x
n
P
+ (−1)n+1
(−1)k t2k ...
k=0
2n+2
t
dt −→ 0.
1 + t2 n→+∞
+∞
X
(−1)k
π
= ·
2k + 1
4
k=0
OUI, il y a bien deux choses à faire...
1. Mais qui est un théorème, pas qui est dans la dénition des probabilités...
1
Z
0
x
t2n+2
dt.
1 + t2
4. Expliciter (en justiant !) un entier N1 tel que
N1
X
1
(−1)k ·
6
π − 4
2k + 1 107
k=0
π
αn de somme ·
6
(
π
si
n
=0
4 (−1)n
On évitera les petites blagues du type αn =
ou encore αn = 6
6 2n + 1
0 sinon
5. À l'aide des deux premières questions, déterminer une série
6. Expliciter N2 tel que
P
N2
X
1
αk 6 7 ·
π − 6
10
k=0
Comparer N2 à N1 .
7. Donner, en utilisant ce qui précède (et votre calculatrice !), une valeur approchée de π à 10−7 près.
4
Problème des trois interrupteurs
Arrivé dans une pièce avec trois interrupteurs initialement en position 0, le petit Kévin va essayer de les
mettre tous les trois en position 1. Tout comme dans la vraie vie, on ne sait pas en regardant l'interrupteur
s'il est en position 0 ou en position 1. Par contre, quand tous les interrupteurs sont en position 1, on le
sait (toutes les lumières sont allumées). Chaque bascule d'interrupteur le fait passer de 0 à 1 ou l'inverse.
Malheureusement, le petit Kévin oublie instantanément quel interrupteur il a basculé, donc à chaque
étape, il bascule un interrupteur pris au hasard parmi les trois (et sans savoir s'il va passer de 0 à 1 ou
l'inverse).
Avec un peu de chance, après trois bascules, les trois interrupteurs seront en position 1 et c'est gagné.
Mais peut-être que la deuxième ou troisième bascule va faire passer de 1 à 0 l'un des interrupteurs,
et il faudra donc continuer... Pour simplier la modélisation, on imagine une suite innie de bascules
aléatoires (Kévin, pris dans ses pensées, va continuer indéniment de commuter des interrupteurs au
hasard).
On va d'une part montrer qu'avec probabilité 1, les trois interrupteurs vont passer en position 1 simultanément au bout d'un certain temps. Puis on va estimer l'espérance du temps pour atteindre cette
position.
4.1
À l'arme blanche
1. Après un nombre pair de bascules, combien d'interrupteurs peuvent-ils être à 1 ? Et après un
nombre impair ?
Dans la suite, on note Ek l'événement :
Après 2k + 1 bascules, il n'y a jamais eu simultanément les trois interrupteurs en position 1.
On note par ailleurs : pk = P(Ek )
2. Que vaut p0 ?
3. Soit k ∈ N. En conditionnant sur la situation après 2k + 2 bascules, calculer P(Ek+1 |Ek ).
4. En déduire, pour k ∈ N, une relation de récurrence entre pk et pk+1 , puis la valeur de pk .
5. Que représente l'événement
\
Ek ? Que peut-on conclure ?
k∈N
6. Que représente l'événement Ek ∩ Ek+1 ? Quelle est sa probabilité ?
Dans la suite on note Fk l'événement :
C'est après 2k + 1 bascules que les interrupteurs sont pour la première fois en position (1, 1, 1).
P
7. Montrer que la série (2k + 1)P(Fk ) est convergente.
La somme M de cette série est l'espérance de Fk : concrètement, ça correspond à notre intuition
de temps moyen de succès pour notre brave Kévin
2
8. Calculer, pour x ∈] − 1, 1[ et n ∈ N :
n
X
xk
n
X
puis
k=0
kxk−1
k=0
puis
∞
X
kxk−1 .
k=0
En déduire la valeur du temps moyen M .
On note maintenant qk la probabilité de l'événement :
Après 2k + 1 bascules, les trois interrupteurs sont en position 1.
2
1
9. Prouver que pour tout k ∈ N, qk+1 = qk + · En déduire la valeur de qk . Que dire lorsque k
9
9
tend vers +∞ ?
10. Évaluer, pour k ∈ N, la probabilité rk pour qu'après 2k bascules tous les interrupteurs soient à 0.
4.2
Avec de l'algèbre linéaire
On dénit, pour n ∈ N, αn , βn , γn et δn les probabilités pour qu'après n bascules, le nombre d'interrupteurs en position 1 soit égal respectivement à 0, 1, 2 et 3.
On a donc δ2k+1 = qk et α2k = rk avec les notations de la partie précédente.
1. Pour n ∈ N, exprimer βn+1 à l'aide de αn et γn .
2. Établir des relations
  de même nature pour les autres suites, puis expliciter A ∈ M4 (R) telle qu'en
αn
 βn 

notant Xn = 
 γn  on ait : Xn+1 = AXn .
δn
3. Pour λ ∈ R, calculer sous forme factorisée le déterminant de A − λI4 .
4. On note u l'endomorphisme de R4 canoniquement associé à A. Montrer qu'il existe quatre

 valeurs
?
?

de λ pour lesquelles u − λId n'est pas injectif ; calculer alors son noyau sous la forme R 
?.
1
5.
6.
7.
8.
4.3
Montrer qu'il existe une base de R4 dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Expliciter P ∈ GL4 (R) telle que P −1 AP soit diagonale (on ne demande pas de calculer P −1 ).
Que vaut An ? Montrer que (A2n )n∈N et (A2n+1 )n∈N sont convergentes.
Montrer que (X2n )n∈N et (X2n+1 )n∈N sont convergentes ; déterminer leurs limites, qu'on calculera
avec la calculatrice (pour le calcul de P −1 ). Comparer avec les résultats de la première partie.
Un peu de Python
1. Écrire une fonction permettant de simuler le processus de bascules d'interrupteurs, et retournant
le nombre de bascules ayant permis d'atteindre pour la première fois la position tous à 1 en
étant parti de la conguration tous à 0 .
2. Comment estimer l'espérance du temps d'attente de cet événement ?
3. Modier le programme de simulation pour tenir compte du fait que le petit Kévin se souvient
toujours du dernier interrupteur basculé (et qu'il en bascule donc un autre !)
3