Classification des surfaces cubiques projectives

Université de Nice-Sophia Antipolis
Mémoire de DEA
Spécialité : Mathématiques
Classification des surfaces cubiques projectives
singulières
Stéphane CHAU
Encadré par André Galligo et Mohamed Elkadi
Juin 2004

Table des matières
I. Introduction 1
II. Généralités
II.1. Formes quadratiques et lemme de Morse 2
II.2. Polynômes homogènes, quasi-homogènes et semi-quasi-homogènes 2
II.3. Multiplicité et inégalité de Bézout 4
II.4. Topologie de Zariski 5
III. Théorie des singularités
III.1. Généralités sur les singularités des hypersurfaces algébriques 7
III.2. Déformations et singularités simples 8
III.3. Principe de reconnaissance 10
III.4. Singularités des courbes cubiques planes 18
IV. Classification des surfaces cubiques projectives singulières
IV.1. Cadre de l’étude 22
IV.2. Cas irréductible à singularités isolées avec une forme quadratique de rang 3 23
IV.3. Cas irréductible à singularités isolées avec une forme quadratique de rang 2 32
IV.4. Cas irréductible à singularités isolées avec une forme quadratique de rang 1 40
IV.5. Cas irréductible à singularités isolées avec une forme quadratique de rang 0 43
IV.6. Cas irréductible à singularités non isolées 44
IV.7. Cas réductible 48
V. Vers les 27 droites 48
Bibliographie 50

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I. Introduction
Une première classification des surfaces cubiques projectives singulières a été faite en
1864 à travers les travaux de Schläfli dans l’article « On the distribution of surfaces of the
third order into species » (Phil. Trans. Roy. Soc. 153). Toutefois, la théorie qu’il y a derrière
est assez complexe et l’apparition de la terminologie et des techniques modernes en théorie
des singularités simplifie considérablement les choses. C’est dans cet optique que s’inscrivent
les travaux de J.W. Bruce et C.T.C. Wall en 1979 dans l’article « On the classification of
cubic surfaces » (J. London Math. Soc. 19). On se propose ici d’exposer cela de manière à
rendre le discours le plus accessible possible et pour ce faire on donnera tous les résultats
généraux et outils permettant d’aborder cette classification. De plus, pour rendre l’aspect
théorique plus tangible, nous avons explicité les calculs1et donné des illustrations2des
différents types de singularités rencontrées.
1Certains calculs fastidieux ont été fait grâce à Maple
2Certaines illustrations ont été prises sur le site http://www.cubicsurface.net et d’autres ont
été tracé grâce au logiciel Surf disponible à l’adresse http://surf.sourceforge.net