Théorie algébrique des nombres Gaëtan Chenevier

Théorie algébrique des nombres
Cours de Master 1 à l’École Polytechnique 2016/2017
Gaëtan Chenevier

Table des matières
Chapitre 1. La loi de réciprocité quadratique 1
1. Carrés modulo un entier 1
2. Digression : l’anneau des entiers algébriques 6
3. Congruences dans Z8
4. Sommes de Gauss 9
5. Une démonstration de la loi de réciprocité quadratique 10
6. Symbole de Jacobi 11
7. Complément : la structure de (Z/NZ)×13
8. Exercices 15
Chapitre 2. Géométrie des nombres 21
1. Réseaux de Rn21
2. Lemme du corps convexe de Minkowski 25
3. Quelques applications arithmétiques 28
4. Les nombres premiers de la forme a2+db230
5. Exercices 34
Chapitre 3. Formes quadratiques binaires entières 39
1. Vocabulaire des formes 39
2. Notions d’équivalence entre deux formes 41
3. Entiers représentés par une forme, d’après Lagrange 43
4. L’ensemble des classes de formes de discriminant donné 45
5. Détermination de Cl(D)lorsque le discriminant Dest négatif, d’après
Gauss 47
6. Classes ambiguës de discriminant négatif 50
7. Exercices 52
Chapitre 4. Arithmétique des entiers quadratiques imaginaires 57
1. Vocabulaire de l’arithmétique des anneaux 57
2. Anneaux d’entiers quadratiques imaginaires euclidiens 62
3. Digression : application aux équations diophantiennes 64
4. Anneaux d’entiers quadratiques imaginaires factoriels 65
5. Exercices 68
Chapitre 5. L’anneau des entiers d’un corps de nombres 73
1. Les corps de nombres et leurs plongements 73
2. Trace, norme et discriminant : préliminaires algébriques 76
3. Entiers d’un corps de nombres 79
4. Structure additive de OKet discriminant de K82
5. Entiers des corps cyclotomiques 83
6. Exercices 85
Chapitre 6. Finitude du nombre des classes d’idéaux d’un anneau de nombres 89
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4 TABLE DES MATIÈRES
1. L’ensemble des classes d’idéaux d’un anneau intègre 89
2. Finitude du nombre des classes d’idéaux 90
3. Digression : idéaux contenant un nombre premier 91
4. Réalisation géométrique de OK: le plongement canonique 93
5. Exercices 98
Chapitre 7. Factorisation unique des idéaux 103
1. Le groupe des classes d’ideaux d’un corps de nombres 103
2. Idéaux premiers des ordres des corps de nombres 106
3. L’anneau OKest de Dedekind. 108
4. De l’utilité de la décomposition des idéaux 111
5. Application à la détermination de Cl(OK)sur un exemple 114
6. Exercices 115
Chapitre 8. Formes binaires II : composition et genres 117
1. Idéaux des entiers quadratiques imaginaires et formes binaires 117
2. Supplément : identification des classes primitives et des classes opposées 120
3. Composition de Gauss des formes 121
4. Application : cas des nombres de classes impairs 125
5. Genre d’une forme binaire 126
6. Exercices 130
Chapitre 9. Formule du nombre de classes de Dirichlet 133
1. Fonctions Lde Dirichlet 134
2. La fonction zêta des corps quadratiques imaginaires 137
3. Produits eulériens 139
4. Factorisation de la fonction ζd’un corps quadratique imaginaire 141
5. La formule analytique du nombres de classes de Dedekind 144
6. Exercices 144
Annexe A. Problèmes de révisions et examens 147
1. Problèmes de révisions 147
2. Examen 2011-2012 149
3. Examen 2012-2013 151
4. Examen 2013-2014 153
5. Examen 2014-2015 155
6. Examen 2015-2016 158
Annexe B. Quelques nombres premiers 161
Bibliographie 163

CHAPITRE 1
La loi de réciprocité quadratique
L’objectif principal de ce premier chapitre est de rappeler la théorie des carrés de
Z/NZdéveloppée par Fermat, Euler, Lagrange, Legendre et Gauss et notamment
de démontrer la loi de réciprocité quadratique, le "theorema aureum" de Gauss, qui
en est le résulat central. Nous introduirons au passage le symbole de Legendre, outil
indispensable autant à l’élégance des énoncés qu’aux calculs pratiques de résidus
quadratiques. Gauss a donné six démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.
Celle que nous présentons est la dernière, basée sur ce que l’on appelle depuis la
somme de Gauss. Il sera commode d’introduire l’anneau des entiers algébriques, un
outil dont on aurait pu se passer pour ce chapitre mais d’une grande importance
pour la suite du cours. Enfin, nous terminerons par un théorème de Gauss sur la
structure du groupe (Z/NZ)×des inversibles de l’anneau Z/NZ.
Les résultats de ce chapitre joueront un rôle essentiel dans la théorie des formes
quadratiques binaires, par exemple pour les questions de représentation des entiers
sous la forme x2+dy2, ainsi que dans l’arithmétique des corps quadratiques.
Références : — C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae. Un grand classique
traduit en français aux éditions Jacques Gabay. On y trouvera dans les chapitres I,
II, III et IV les démonstrations (pour la plupart originales) de tous les résultats de
ce chapitre, et bien plus encore.
— K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory,
Springer Verlag GTM 84. Une excellente présentation, dans le language d’aujour-
d’hui, avec de multiples notes historiques. Notre présentation de la sixième preuve
de Gauss est notamment issue du chapitre 6 de ce livre. De nombreuses autres
démonstrations de la loi de réciprocité quadratique y sont exposées.
— Nous utiliserons librement le language de base de la théorie des groupes, pour
lequel le lecteur pourra se reporter au livre Algebra de Serge Lang aux éditions
Addison Wesley.
1. Carrés modulo un entier
Définition 1.1. Soient Nun entier ≥1et a∈Z. On dit que aest un carré
modulo N, ou encore un résidu quadratique modulo N, s’il existe b∈Zvérifiant
a≡b2mod N.
Cette propriété ne dépend bien sûr que de la classe de adans Z/NZ, et il revient
au même de demander que cette classe est le carré d’un élément de l’anneau Z/NZ,
c’est-à-dire de la forme x2avec x∈Z/NZ. Par exemple, les carrés modulo 5sont
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