Série 11 - Oscillateurs et résonance

PhysiqueavancéeI 28octobre2016 Prof.J.-Ph.Ansermet
S´erie 11 - Oscillateurs et r´esonance
1. Projet´e d’une balan¸coire
Une enfant se jette d’une balan¸coire en mouvement. Son papa se demande `a quelle po-
sition du mouvement d’amplitude donn´ee est-ce qu’elle devrait se laisser aller hors du si`ege
pour aller le plus loin. Pour analyser la situation, on mod´elise l’enfant sur sa balan¸coire
par un pendule math´ematique : un point mat´eriel pesant au bout d’un fil. Un dispositif
sans masse lib`ere le point mat´eriel sans interf´erer autrement sur le mouvement du pendule.
a) Si le pendule a une amplitude maximum θmax,
trouver la vitesse v0=kv0kau point θ0< θmax
quelconque.
b) Quel est l’angle αque fait la vitesse v0en θ0
par rapport `a l’horizontale ? Quelle est la hau-
teur Hdu point mat´eriel par rapport au sol
quand le pendule est `a l’angle θ0, compar´ee `a
H0, la hauteur du point d’attache du pendule ?
c) Quelle est l’´energie cin´etique de l’enfant au ni-
veau du sol ?
2. Jokari vertical
Un Jokari est constitu´e d’un bloc de masse Mpos´e sur le sol
et d’une balle de masse mreli´ee `a ce bloc par un ´elastique de
constante de rappel k. Le syst`eme subit l’action de la pesanteur.
La longueur au repos et la masse de l’´elastique sont suppos´ees
nulles.
a) Etablir le bilan des forces pour la balle.
b) D´eterminer l’´equation du mouvement de la balle.
c) Etablir le bilan des forces pour le bloc.
d) Exprimer la condition d’´equilibre du bloc.
e) D´eterminer la hauteur hde la balle `a laquelle le bloc d´ecolle.
f) La balle est initialement lˆach´ee de cette hauteur h. D´eterminer l’´equation horaire de la balle
avant le premier rebond sur le bloc.
3. Gotham City
Le Joker a r´eussi `a pi´eger Batman ! Ce dernier se retrouve suspendu au bout d’une corde de
longueur lentre deux h´elices g´eantes tranchantes comme des lames de rasoir. Ces deux h´elices
tournent `a des vitesses variables, de telle mani`ere que le souffle qui en r´esulte exerce une force
totale Fh=F0sin(Ωt)eθ(perpendiculaire `a la corde) sur Batman. On assimile Batman `a un
point mat´eriel de masse mqui oscille dans un plan contenant les axes de rotation des h´elices
et on consid`ere la corde comme ´etant rigide. On n´eglige de plus les frottements.
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a) Donnez l’´equation du mouvement de Batman dans l’approximation des petites oscillations.
b) Exprimez l’amplitude des oscillations de Batman ainsi que la pulsation de r´esonnance Ωr.
c) La rotation des h´elices est contrˆol´ee par le Joker, de telle sorte que ce dernier puisse ajus-
ter la pulsation Ω de la force s’exer¸cant sur Batman. Par ailleurs, les h´elices sont assez
´eloign´ees pour que l’approximation des petits angles ne soit plus vraie quand Batman
s’en approche. Le Joker ´etant joueur, il propose au h´eros de choisir entre une pulsation
l´eg`erement sup´erieure ou inf´erieure `a la pulsation de r´esonnance Ωr(calcul´ee au point b).
Lequel de ces choix sauvera Batman ? Justifiez sans calcul.
Indication : Dans l’approximation des petits angles sin θ≈θ. De plus, la solution d’une
´equation diff´erentielle du type A¨ θ+Bθ =Csin(ωt +φ) est de la forme θ(t) = θ0sin(ωt +φ).
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