Produit semi-direct de groupes 1 – Suites exactes et extensions de

Agrégation externe
Produit semi-direct de groupes
2015-2016
1 – Suites exactes et extensions de groupes
1.1
Suites exactes de groupes
Une chaîne d’homomorphismes de groupes
fn−2
fn−1
fn
fn+1
· · · −→ Gn−1 −→ Gn −→ Gn+1 −→ · · ·
est appelée suite exacte si, pour tout entier n, on a la relation Im(fn ) = ker(fn+1 ). Cette notion,
qui revêt une importance particulière en mathématique, est initialement apparue dans le contexte
de la topologie algébrique mais a très vite trouvé sa place dans de nombreuses autres disciplines.
C’est aujourd’hui un ingrédient essentiel de l’algèbre (co-)homologique. Une suite exacte du type
f
g
1 → A −→ B −→ C → 1
(1)
est dite courte. C’est une manière compacte d’affirmer que
— l’homomorphisme f est injectif et indentifie A avec le noyau de g,
— l’homomorphisme g est surjectif et identifie C avec le quotient B/ Im(f ).
Exemple. Pour tout sous-groupe distingué H d’un groupe G, on a une suite exacte
ι
π
1 → H −→ G −→ G/H → 1,
où ι est l’inclusion de H dans G et π est la projection canonique.
Une section de la suite exacte 1 est un homomorphisme s : C → B tel que g ◦ s = idC . Si un tel
homomorphisme existe, on dit que la suite exacte est scindée.
Exercice. Vérifier que la suite
e
1 → Z → C −→ C× → 1,
avec e(z) = e2iπz , est exacte mais qu’elle n’est pas scindée.
1.2
Extensions de groupes
Dans le contexte de la théorie des groupes, la suite exacte courte 1 est une extension de groupes.
De manière plus précise, on dit que le groupe B est une extension du groupe C par le groupe A.
Deux extensions B et D de C par A sont isomorphes s’il existe un homomorphisme f : B → D
tel que le diagramme
5B
)
f
A
5C
)
D
soit commutatif.
1
Exercice. Montrer que s’il existe, l’homomorphisme f ci-dessus est un isomorphisme.
Remarque. Il est possible que deux extensions soient isomorphes en tant que groupes sans l’être
en tant qu’extensions de groupes.
La classification des extensions d’un groupe C par un groupe A fixé est une question centrale
dans la théorie des groupes. Son étude nécessite l’utilisation systématique de la coomologie des
groupes, une théorie qui dépasse largement le niveau requis pour l’agrégation.
Exemple. Pour tout entier n > 1, le groupe Z est extension de Z/nZ par Z.
2 – Produit semi-direct
2.1
Produit direct
Nous allons commencer par traiter le cas du produit direct de groupes, qui sera un cas particulier du produit semi-direct. Comme nous le ferons par la suite, il est possible de définir deux
notions de produit direct. Tout d’abord, le produit direct interne, qui est une propriété : un groupe
G est le produit direct (interne) de deux sous-groupes H et K si les conditions suivantes sont
vérifiées :
1. H et K sont distingués,
2. H ∩ K = 1,
3. G = HK.
Le produit direct externe, par contre est une construction : étant donnés deux groupes H et K, on
définit une structure de groupe sur le produit cartésien G = H × K en posant
(g, h) · (g 0 , h0 ) = (gg 0 , hh0 ).
On a alors clairement deux suites exactes scindées
1 → H → G → K → 1 et 1 → K → G → H → 1.
Au premier abord, les deux définitions de produit direct paraissent différentes ; la proposition
ci-dessus montre qu’il n’en est pas ainsi.
Proposition 1
Si un groupe G est le produit direct interne des sous-groupes K et H alors il est (canoniquement) isomorphe à leur produit direct externe. Réciproquement, étant donnés deux
groupes H et K, leur produit direct externe H × K est le produit direct interne de deux
sous-groupes H ∗ etK ∗ s’identifiant (canoniquement) avec H et K.
Démonstration. Commençons par supposer quer G est produit direct interne de H et K. L’application
f
H × K −→ G
(h, k) 7→ hk
est surjective, car son image coïncide avec le sous-groupe HK = G. Montrons que c’est un homomorphisme de groupes. Pour ce faire, il suffit de vérifier que H et K commutent. En effet, dans ce
cas, on obtient les relations
f ((h, k) · (h0 , k 0 )) = f (hh0 , kk 0 ) = hh0 kk 0 = hkh0 k 0 = f (h, k) · f (h0 k 0 ).
2
Les sous-groupes H et K étant distingués, pour tout h ∈ H et k ∈ K, on a les relations
H 3 h(kh−1 k −1 ) = hkh−1 k −1 = (hkh−1 )k −1 ∈ K
d’où hkh−1 k −1 = 1 ; en d’autres termes, les sous-groupes H et K commutent. Le noyau de f étant
le sous-groupe formé par les éléments du type (h, h−1 ), avec h ∈ H ∩ K, on en déduit que f est
injectif, et que G est donc isomorphe au produit direct externe de H et K.
Réciproquement, étant donnés deux groupes H et K, on vérifie facilement que H ∗ = H × 1 et
∗
K = 1 × K sont des sous-groupes distingués de H × K s’identifiant naturellement avec H et K
et vérifiant les relations H ∗ K ∗ = H × K et H ∗ ∩ K ∗ = 1, ce qui conclut la démonstration.
2.2
Produit semi-direct interne
Un groupe G est le produit semi-direct interne de deux sous-groupes K et H si les conditions
suivantes sont vérifiées :
1. H ou K est distingué,
2. H ∩ K = 1
3. HK = G.
Comme on le voit, cette définition est très proche de celles du produit direct interne. En
particulier, c’est une propriété : le groupe G étant donné, on se demande s’il existe deux sousgroupes H et K vérifiant les conditions ci-dessus. Concernant la terminologie, si H est distingué
alors on dit que G est le produit semi-direct (interne) de H par K, noté H o K. Le sous-groupe
H est alors appelé complément de K.
Exemple. Pour tout entier n > 0, le groupe symétrique Sn est le produit semi-direct interne du
groupe alterné An et du sous-groupe H engendré par une quelconque transposition.
Considérons maintenant une extension de groupes
π
1 → H → G −→ Q → 1.
(2)
Dans la suite, on identifiera H avec son image dans G.
Proposition 2
Avec les notations et hypothèses ci-dessus, les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Il existe un sous-groupe K de G tel que G = H o K,
2. la suite exacte 2 est scindée,
Démonstration. (1)⇒(2) La relation H ∩K = 1 implique que la restriction τ de π à K est injective.
Elle est également surjective : en effet si q = π(g), la relation HK = G implique qu’il existe h ∈ H
et k ∈ K tels que g = hk, auquel cas on obtient les identités
q = π(g) = π(hk) = π(h)π(k) = π(k).
L’inverse de τ est alors une section de la suite exacte 2.
(2)⇒(1) L’image K = s(Q) d’une section s : Q → G de la suite exacte 2 est un sous-groupe.
Si g est un élément de H ∩ K, on a les relations g = s(q) et π(g) = 1, avec q ∈ Q. On en déduit
en particulier les relations
g = s(q) = s ◦ π ◦ s(q) = s ◦ π(g) = s(1) = 1.
De plus, pour tout g ∈ G, en posant
k = s ◦ π(g) ∈ K
3
et h = gk −1
on a l’identité g = hk avec
−1
−1
π(h) = π gk −1 = π(g)π(k)−1 = π(g)π (s ◦ π(g)) = π(g)π ◦ s (π(g)) = π(g)π(g)−1 = 1,
ce qui montre que l’élément h appartient au sous-groupe H.
Le résultat ci-dessus affirme que le produit semi-direct est la solution au problème d’extension
scindées de groupes. Le cas général est bien plus difficile et n’admet à ce jour aucune solution
complète. Il est cependant possible d’obtenir des résultats partiels, tels que le célèbre théorème
de Schur-Zassenhaus, qui affirme que si les groupes H et Q de l’extension 2 sont finis d’ordres
premiers entre eux alors la suite exacte est scindée (voir la section 3.2 pour un cas particulier).
Exercice. Soit G un groupe d’ordre nm avec n et m premiers entre eux. Montrer que si H et K
sont deux sous-groupes de G d’ordres respectifs n et m et que H est distingué alors G = H o K.
2.3
Produit semi-direct externe
Supposons d’avoir un produit semi-direct interne G = H o K. L’action de conjugaison induit
un homomorphisme θ : K → Aut(H). Pour simplifier, nous écrirons θk plutôt que θ(k). Il est
alors important de remarquer que la donnée de H, K et θ permet de reconstruire complètement
G, ainsi que sa structure de groupe. En effet, tout élément g ∈ G s’écrit de manière unique comme
g = hk avec h ∈ H et k ∈ K. En particulier, pour deux éléments g = hk et g 0 = h0 k 0 de G, on a
les relations
gg 0 = hkh0 k 0 = hkh0 k −1 kk 0 = hθk (h0 )kk 0 = h00 k 00 ,
avec h00 = hθk (h0 ) ∈ H et k 00 = kk 0 ∈ K. Ceci permet de d’introduire le produit semi-direct externe
G = H oθ K de deux groupes H et K munis d’un homomorphisme θ de K dans Aut(H) : en tant
qu’ensemble, G est le produit cartésien H × K, la structure de groupe étant définie par la relation
(h, k) × (h0 , k 0 ) = (hθk (h0 ), kk 0 ).
Il est important de remarquer qu’à l’instar du produit direct externe, le produit semi-direct externe
est une construction : on se donne deux groupes et on en construit un troisième.
Exercice. Vérifier que la loi de composition ci-dessus définit effectivement une structure de groupe
sur H × K et que l’on obtient une extension scindée
1 → H → H oθ K → K → 1.
Remarque. Si θ est l’homomorphisme trivial, on retrouve le produit direct usuel.
Proposition 3
Si un groupe G est le produit semi-direct interne de deux sous-groupes, alors il est
(canoniquement) isomorphe à leur produit semi-direct externe. Réciproquement, si
G = H oθ K est le produit semi-direct externe de H par K, il est également le produit
semi-direct interne de deux sous-groupes H ∗ et K ∗ s’identifiant (canoniquement) avec
H et K.
Démonstration. On procède comme pour la proposition 1.
Exercice. Soit k un corps. Montrer que la suite exacte
det
1 → SLn (k) → GLn (k) −→ k × → 1
est scindée et en déduire que GLn (k) ∼
= SLn (k) o k × . Montrer que GLn (k) est isomorphe au
×
produit direct de SLn (k) et k si et seulement si l’application x 7→ xn est un isomorphisme de
k× .
4
Exemple. Pour tout groupe G on peut considérer le produit semi-direct
Hol(G) = G o Aut(G),
appelé holomorphe de G. Il satisfait la propriété universelle suivante : pour tout produit semi-direct
Γ = G oθ H, il existe un homomorphisme canonique Γ → Hol(G).
Exemple. Soient K un corps, V un K-espace vectoriel et GL(V ) le groupe des automorphismes
de V (endomorphismes bijectifs d’espace vectoriel). On peut alors considérer le produit semi-direct
V oGL(V ), qui n’est autre que le groupe des transformation affines de V , le sous-groupe distingué
V ∗ = V × 1 s’identifiant avec le groupe des translations.
3 – Exemples et applications
3.1
Groupes d’ordre p3 .
Il est très facile de montrer que tout groupe d’ordre premier p est cyclique, donc abélien.
De même, avec un peu plus d’efforts, on montre qu’un groupe d’ordre p2 est abélien, cyclique
ou produit de deux groupes cycliques d’ordre p. La démonstration usuelle de ce dernier résultat
s’appuie sur la non-trivialité du centre d’un p-groupe. Nous proposons ici une seconde approche,
liée aux lemmes ci-dessous, qui sera également utile dans la suite du paragraphe.
Lemme 4
Un sous-groupe propre H d’un p-groupe G est strictement contenu dans son normalisateur.
Démonstration. Le sous-groupe H étant propre, l’ensemble
X = {Hg | g ∈
/ H}
de ses classes latérales qui lui sont distinctes est de cardinal [G : H] − 1, premier à p. De plus, H
opère naturellement sur X par multiplication à droite. En effet, étant donné g ∈
/ H et h ∈ H, la
relation Hgh = H se traduit par gh ∈ H, d’où g ∈ H, ce qui est exclu. On vérifie facilement que
le stabilisateur de Hg ∈ X est le sous-groupe H ∩ g −1 Hg. L’équation aux classes donne alors la
relation
X
[G : H] − 1 =
[H : H ∩ g −1 Hg].
[Hg]∈X/H
−1
Si, pour tout g ∈
/ H, le sous-groupe H ∩g Hg était distinct de H, le terme de droite dans l’égalité
ci-dessus serait divisible par p, une contradiction. On en déduit donc qu’il existe g ∈
/ H tel que
g −1 Hg = H, d’où l’inclusion stricte de H dans son normalisateur.
Lemme 5
Soit p un nombre premier. Un sous-groupe d’un p-groupe est maximal si et seulement
s’il est d’indice p, auquel cas il est distingué.
Démonstration. Soit H un sous-groupe propre d’un p-groupe G. Tout d’abord, le lemme 4 affirme
que si H est maximal alors il est distingué (sinon il serait strictement contenu dans son normalisateur, qui est également propre). Dans ce cas, le groupe G/H étant non trivial, le théorème de
5
Cauchy affirme qu’il possède un élément d’ordre p. Le groupe engendré par cet élément correspond
à un sous-groupe K de G contenant H. La maximalité de H implique alors que K coïncide avec
G et on a bien l’identité [G : H] = p. Réciproquement, si H est d’indice p alors il est clairement
maximal et ce qui précède affirme qu’il est distingué.
Proposition 6
Soit p un nombre premier. Un groupe G d’ordre p2 est soit cyclique soit le produit de
deux groupes cycliques d’ordre p.
Démonstration. Si G n’est pas cyclique, tous ses éléments sont d’ordre divisant p. Le sous-groupe
H engendré par un élément x 6= 1 étant d’ordre p, le lemme 5 affirme alors qu’il est maximal et
distingué. Il en est de même pour le sous-groupe K engendré par un élément y n’appartenant pas
à H. On a alors les relations HK = G et H ∩ K = 1, ce qui implique que G est le produit direct
(interne) de H et K.
Il est ensuite naturel de se demander ce qui se passe pour les groupes d’ordre p3 .
Théorème 7
Soit p un nombre premier impair. Un groupe G d’ordre p3 est soit cyclique, soit le produit
semi-direct d’un groupe d’ordre p2 par un groupe cyclique d’ordre p.
Démonstration. Commençons par supposer que G ne possède qu’un seul sous-groupe maximal H.
Si x ∈ G n’appartient pas à H, le sous-groupe qu’il engendre n’est contenu dans aucun sousgroupe maximal et coïncide donc avec G, qui est donc cyclique. Supposons maintenant que G
possède au moins deux sous-groupes maximaux, auquel cas il ne peut pas être cyclique (car un
groupe p-groupe cyclique possède un seul sous-groupe maximal). Nous rappelons que le lemme 5
affirme que les sous-groupes maximaux de G sont distingués et d’ordre p2 . Supposons de plus que
leur intersection Φ(G) – appelée sous-groupe de Frattini – contient tous les éléments d’ordre p de
G. Dans ce cas, Φ(G) est l’unique sous-groupe d’ordre p de G. En effet, le théorème de Cauchy
affirme que Φ(G) n’est pas réduit au seul élément neutre et, par définition, il contient tous les sousgroupes d’ordre p ; l’existence d’au moins deux sous-groupes maximaux implique qu’il ne peut pas
être d’ordre p2 , d’où l’assertion. En particulier, le centre de G étant non trivial, il contient Φ(G).
De plus, le quotient G/Φ(G) étant d’ordre p2 , la proposition 6 affirme qu’il est abélien. Étant
donnés x, y ∈ G, il existe alors z ∈ Φ(G) tel que yx = zxy et on obtient la relation
(xy)n = xn y n z
n(n−1)
2
,
valable pour tout entier n ≥ 1. Le sous-groupe Φ(G) étant d’ordre p impair, on en déduit que
l’application x 7→ xp est un endomorphisme de G. Son image est contenue dans Φ(G) , car le
groupe G étant non cylcique, ses éléments sont d’ordre divisant p2 . Le théorème de factorisation
affirme que le noyau de cet endomorphisme est d’ordre p2 ou p3 . Ce dernier étant contenu dans
Φ(G), on obtient une contradiction. Il existe donc un élément x ∈ G d’ordre p qui n’est pas
contenu dans un sous-groupe maximal H. Si K désigne le sous-groupe engendré par x, on a alors
les relations H ∩ K = 1 et HK = G, ce qui donne finalement G = H o K.
Exercice. Montrer que le groupe des quaternions H est un groupe d’ordre 8 qui n’est ni cyclique,
ni produit semi-direct de deux de ses sous-groupes.
6
Proposition 8
Pour tout nombre premier p, il existe un groupe non abélien d’ordre p3 .
Démonstration. Nous allons considérer le prosuit semi-direct (externe) G = Z/p2 Zoθ Z/pZ associé
à un homomorphisme θ : Z/pZ → Aut(Z/p2 Z). Pour que G ne soit pas abélien il faut et il suffit que
θ ne soit pas trivial. L’homomorphisme θ est univoquement déterminé par l’image du générateur
1 de Z/pZ. Le groupe Aut(Z/p2 Z) étant canoniquement isomorphe à (Z/p2 Z)× , il suffit alors de
déterminer un élément de ce dernier qui soit d’ordre p. Tel est le cas par exemple pour l’élément
1 + p, ce qui donne l’homomorphisme
θ
Z/pZ −→ (Z/p2 Z)×
n 7→ (1 + p)n
qui est clairement non trivial. D’un point de vue explicite, la multiplication de G est définie par
la relation
(m, n) · (m0 , n0 ) = (m + (1 + p)n m0 , n + n0 ) .
Exercice. Montrer qu’il est également possible de construire un groupe non abélien d’ordre p3
en considérant le produit semi-direct de (Z/pZ)2 par Z/pZ (indication : identifier Aut (Z/pZ)2
avec GL2 (Fp )).
3.2
Groupes d’ordre pq
Le produit semi-direct permet de classifier tous les groupes d’ordre pq. Le résultat ci-dessous
est valable dans un contexte plus général, mais la démonstration nécessite des tecniques dépassant
le programme de l’agrégation.
Proposition 9
Soient p < q deux nombres premiers. Un groupe G d’ordre pq est produit semi-direct
d’un groupe d’ordre q par un groupe d’ordre p.
Démonstration. Le troisième théorème de Sylow (cf. le théorème 8 du cours sur les sous-groupes
de Sylow) affirme que le nombre nq de q-Sylow de G divise p et est congru à 1 modulo q. Dans
le cas présent, on obtient nq = 1. En d’autres termes, il existe un unique q-Sylow H, qui est
alors distingué (cf. le théorème 6 du cours sur les sous-groupes de Sylow). Soit maintenant K un
p-Sylow. L’intersection H ∩ K étant d’ordre divisant p et q, elle est réduite au simple élément
neutre. Le sous-groupe HK est alors d’ordre pq et coïncide avec G. On en déduit donc que G est
le produit semi-direct de H par K.
Exercice. Soient p < q deux nombres premiers. Montrer qu’il existe un groupe non abélien d’ordre
pq si et seulement si p divise q − 1.
3.3
Groupes diédraux
Il serait impossible d’aborder le produit semi-direct sans parler de groupes diédraux ; ce paragraphe leur est donc dédié. Nous allons commencer par une simple mais fondamentale remarque :
pour tout groupe abélien G (noté additivement) l’application x 7→ −x est un automorphisme qui
engendre un sous-groupe I d’ordre 2 de Aut(G). On peut alors considérer le produit semi-direct
D(G) = G o Z/2Z – appelé groupe diédral (généralisé) de G – obtenu en identifiant Z/2Z avec I.
7
Exercice. Montrer que la formation de D(G) est fonctorielle : étant donné un homomorphisme
f : G → H, on lui associe canoniquement un homomorphisme D(f ) : D(G) → D(H) tel que
D (IdG ) = IdD(G) et D(f ◦ g) = D(f ) ◦ D(g).
En identifiant G avec le sous-groupe distingué G∗ = G × 0 de D(G), on obtient donc une suite
exacte
1 → G → D(G) → Z/2Z → 1.
Pour tout entier n > 1, le groupe D(Z/nZ), noté Dn (parfois D2n ), est appelé groupe diédral
usuel ; il est d’ordre 2n. La suite de ce paragraphe, est consacrée à leur interprétation géométrique.
On considère le plan euclidien E, muni d’un repère orthonormé (O,~i, ~j). Le produit scalaire
(usuel) sur définit une métrique d sur E ; de manière explicite, on a la relation
q
−−→ −−→
d(P, Q) = P Q · P Q.
Une isométrie de E est une application f : E → E telle que d(f (P ), f (Q)) = d(P, Q) pour tout
couple de points P, Q ∈ E. Les isométries de E forment un groupe, noté Isom(E). Il existe deux
sous-groupes particuliers de Isom(E) : le sous-groupe T des translations et les isométries qui fixent
l’origine. Ce dernier sous-groupe n’est autre que le groupe orthogonal O(2) = O(2, R).
Exercice. Vérifier que T est distingué et que Isom(E) = T o O(2) (produit semi-direct interne).
Les éléments de O(2, R) différents de l’idemtité se divisent en deux classes : les isométrique
qui ne fixent que l’origine et celles qui ont au moins deux points fixes. Dans le premier cas, on
obtient une rotation centrée en l’origine, dans le second on a une symétrie orthogonale par rapport
à la droite passant par les deux points fixes. On vérifie facilement que le sous-groupe SO(2) des
rotations est distingué et O(2) = SO(2) o H, où H est le sous-groupe de O(2) engendré par une
quelconque symétrie orthogonale. En suivant les notations introduites précédemment, on obtient
ainsi un isomorphisme entre O(2) et D(SO(2)). On remarquera que pour tout élément σ ∈ O(2),
on a l’identité det(σ)2 = 1. On a alors la relation det(σ) = 1 si et seulement si σ ∈ SO(2). En
d’autres termes, on a la suite exacte
det
1 → SO(2) → O(2) −→ µ2 → 1,
où µ2 = {±1} désigne le groupe des racines carrées de l’unité.
Exercice. Fixons un entier n > 1 et considérons le sous-groupe H de SO(2) engendré par la
rotation d’angle 2π/n. Soit P un point de E. Montrer que le sous-groupe Γ de O(2) engendré par
H et la symétrie orthogonale d’axe (OP ) est isomorphe à Dn .
Théorème 10
Le groupe Dn s’identifie avec le groupe des isométries d’un polygône régulier à n côtés.
Démonstration. Soit P un polygône régulier à n côtés, que l’on supposera centré en l’origine. Soit
S l’ensemble des sommets de P. Fixons un élément P de S. Le groupe Γ défini dans l’exercice
ci-dessus est alors un sous-groupe du groupe Isom(P) des isométries de P. Montrons que l’on a
l’identité Γ = Isom(P). Soit σ ∈ Isom(P). On vérifie facilement qu’une isométrie consèrve les
barycentres. La relation σ(S) = S implique alors que σ fixe l’origine, c’est donc un élément de
O(2). Le point Q = σ(P ) appartenant à S, il existe une rotation ρ de H tel que ρ(Q) = P . En
particulier, l’isométrie τ = ρσ fixe l’origine et le point P . On en déduit que τ est soit l’identité,
soit la symétrie orthogonale d’axe (OP ). Dans les deux cas, on en déduit que τ appartient à Γ ; il
en est donc de même pour σ.
8