Université Paris-Nord Marchés Financiers et Gestion des Risques Master 1 « Economie et Finance internationales » et « Modélisation de l’économie et de la finance internationales » Jean-Michel Courtault 9. Gestion des risques “Robert Thornton, a professor of economics at Lehigh University in Bethlehem, PA, has compiled a list, the Lexicon of Inconspicuously Ambiguous Recommendations, of useful phrases for letters of recommendation on marginally qualified or unqualified candidates. Thornton's AEA listing gives his specialty as Public Employee Bargaining. Some examples from LIAR: For a lazy candidate: In my opinion, you will be very fortunate to get this person to work for you. To describe a person who is totally inept: I most enthusiastically recommend this candidate with no qualifications whatsoever. To describe an ex-employee who had problems getting along with fellow workers: I am pleased to say that this candidate is a former colleague of mine. To describe a candidate who is so unproductive that the job would be better left unfilled: I can assure you that no person would be better for the job. To describe a job applicant who is not worth further consideration: I would urge you to waste no time in making this candidate an offer of employment. To describe a person with lackluster credentials: All in all, I cannot say enough good things about this candidate or recommend him too highly. “ (cité par Preston McAfee, Introduction to Economic Analysis) Quels risques? • On distingue 4 catégories de risque: 1. Les risques de marché: a) L’incertitude liée à la structure des taux d’intérêt b) L’incertitude liée au taux de change c) L’incertitude liée au marché des actions d) L’incertitude liée au prix des matières premières 2. Le risque de crédit souvent représenté par le risque de faillite ou de détresse financière. 3. Les risques opérationnels liés à l’activité (trader malhonnête pour une banque) 4. Le risque de modèle dû à un excès de confiance dans les modèles de calculs de risques qui ne prennent pas en compte l’imbrication des sources de risque, qui appréhendent mal les problèmes de liquidité et qui sous-estiment la fréquence et l’amplitude des évènements rares. La mesure du risque • La mesure de risque repose sur le couple moyenne-variance utilisé par Markowitz dans les années 50 pour analyser la gestion de portefeuille. Cette approche repose sur l’hypothèse que les rentabilités des actifs financiers suivent une loi normale. Cette hypothèse résulte du Théorème Central Limite de Laplace qui dit que la somme (ou la moyenne) de n réalisations indépendantes d'un même processus, tant que la variance est finie, converge vers une distribution gaussienne lorsque n devient indéfiniment grand. Nous voyons déjà ici pourquoi l'utilisation de cette loi pour la plupart des mesures de risque peut se révéler assez approximative. En période de turbulences du marché, il est tout à fait impossible de continuer à supposer que les tirages sont indépendants. • La distribution de probabilité d’une distribution normale est caractérisée par la moyenne et la variance: 1 n µ = Ε[X ] ← µ̂ = ∑ Obsi n i =1 [ σ = Ε (X − µ ) 2 2 ] 1 n 2 ˆ ( ) ← σˆ = Obs − µ ∑ i n − 1 i =1 Distribution normale des rendements • Le taux de rentabilité annuel pour la période allant de t-1 à t est: Rt = ln (Pt / Pt −1 ) • La moyenne et l’écart-type pour une période de longueur T est: µT = µ T et σT = σ T où µ et σ sont la moyenne et l’écart-type sur base annuelle. • Les distributions théoriques connues permettent des estimations rapides des intervalles de confiance: – Un quantile est la valeur zc telle que la probabilité de réalisations inférieures à zc de la variable est égale à un pourcentage α. – Pour une variable aléatoire normale centrée réduite Z (de moyenne zéro et d’écart-type 1), les valeurs limites zc sont données par Pr[− zc ≤ Z ≤ zc ] = c où Z ~ N (0,1) laissant la même aire de probabilité de chaque côté de la loi de probabilité pour un degré de confiance donné c. zc 1.645 1.960 2.241 2.576 3.291 c 90% 95% 98% 99% 99.9% p 10% 5% 3% 1% 0.1% Pr[− zc ≤ Z ≤ zc ] = c où Z ~ N (0,1) zc 1.282 1.645 1.960 2.326 3.090 c 90% 95% 98% 99% 99.9% p 10% 5% 3% 1% 0.1% Pr[Z ≥ − zc ] = c où Z ~ N (0,1) 4.00 3.68 3.36 3.04 2.72 2.40 2.08 1.76 1.44 1.12 0.80 0.48 0.16 -0.16 -0.48 -0.80 -1.12 -1.44 -1.76 -2.08 -2.40 -2.72 -3.04 -3.36 -3.68 -4.00 4.00 3.68 3.36 3.04 2.72 2.40 2.08 1.76 1.44 1.12 0.80 0.00% 0.48 0.00% 0.16 0.50% -0.16 0.50% -0.48 1.00% -0.80 1.00% -1.12 1.50% -1.44 1.50% -1.76 2.00% -2.08 2.00% -2.40 2.50% -2.72 2.50% -3.04 3.00% -3.36 3.00% -3.68 3.50% -4.00 3.50% • Toute variable aléatoire normale X ~ N(µT, σT) peut être exprimée comme une fonction linéaire de Z X = µ T + Zσ T X ~ N ( µT , σ T ) • Un quantile est la valeur de la variable aléatoire tel que la probabilité de réalisations inférieures à cette valeur soit égale à un pourcentage désiré α: Pr[X ≤ µT + zcσ T ] = α µT + zc σT est le quantile d’ordre α. • L’intervalle de confiance d’une variable aléatoire normale est donné par: Pr[µT − zcσ T ≤ X ≤ µT + zcσ T ] = c X − µT ⇒ Pr − zc ≤ ≤ z c = c, σT Les distributions observées ne sont pas tout à fait normales avec une asymétrie vers la gauche ou vers la droite et un aplatissement anormal qui produit des queues de distributions épaisses: – Asymétrie (« Skewness ») s= [ Ε (X − µ ) 3 σ3 ] – Kurtosis : k= [ Ε (X − µ ) 4 σ4 ]− 3 Le principe de la « Value-at-Risk » (VaR) • Introduite dans les années 90, le concept de la Value-at-Risk ou Valeur à Risque donne une estimation de la perte potentielle («downside risk») exprimée en termes monétaires d’un portefeuille soumis à des risques. • C’est la perte maximale sur un horizon de temps donné de telle sorte que la probabilité de pertes plus élevées est inférieure à un niveau pré-spécifié α. p Rc µ ou 0 • Souvenez-vous que l’hypothèse de normalité porte sur les rendements et non sur les prix des actifs. • Soit un portefeuille de valeur initiale W0: – Sa valeur future en t = T est WT = W0 (1+RT) où RT est le taux de rentabilité du portefeuille sur la période. – Wc = valeur la plus basse que ce portefeuille puisse atteindre avec un degré de confiance c. Ce degré de confiance est égal à la probabilité que WT soit supérieure à Wc. Par conséquent, la probabilité que la valeur future du portefeuille soit inférieure à cette valeur la plus basse est égale à α = 1-c: Pr[WT > Wc ] = c Pr[WT ≤ Wc ] = α = 1 − c • La Value at Risk est, étant donné un niveau de confiance à α%, définie par la perte minimale qui peut se réaliser dans les α% pires cas: VaRα ( X ) ≡ Min β β∈ℜ s.l.c. Prob{X ≤ β} ≥ α • Deux définitions de la VaR sont possibles sont possibles suivant que l’on mesure la perte par rapport à sa valeur initiale ou par rapport à sa valeur attendue: – VaR absolue: perte par rapport à W0 VaRabs = W0 − Wc = W0 − W0 (1 + Rc ) = −W0 Rc – VaR relative: perte par rapport à E[WT] VaRrel = Ε[WT ] − Wc = W0 (1 + µT ) − W0 (1 + Rc ) = −W0 ( Rc − µT ) Avantages 1. C’est une mesure simple à expliquer. La VaR donne une estimation en euros de la perte potentielle. 2. C’est une solution pour la mesure du risque de certains dérivés comme les contrats à terme dont la valeur initiale est nulle et dont le rendement est donc infini, d’où le besoin de travailler avec des pertes en valeur et non en %. 3. C’est une mesure du risque total d’un portefeuille. Il suffit d’ajouter les expositions de chaque position, pour autant que les corrélations entre les sources de risques aient été correctement prises en compte. 4. Elle peut être facilement complétée par une analyse de sensibilité. • Le calcul de la VaR d’un portefeuille se base sur une estimation de l’écart-type de sa rentabilité (sous l’hypothèse qu’elle suit une loi normale): Pr[WT ≤ Wc ] = Pr[RT ≤ Rc ] = 1 − c = α • Or, Pr[RT ≤ Rc ] = Pr[RT ≤ µT − zcσ T ] • D’où ( VaRabs = W0 − W0 (1 + µT − zc σT ) = −W0 µT − zc σ T ) VaRrel = W0 (1 + µT ) − W0 (1 + µT − zc σT ) = W0 ( zc σ T ) Exemples • Obligations – À peu près sûr de ne pas perdre toute leur valeur en une seule semaine. – Pire augmentation attendue du taux d'intérêt à quatre ans dans 6 mois à compter de maintenant, avec un degré de confiance de 95%: 2,5% – La VaR à 6 mois d'un investissement de 2000 € dans une obligation à coupon zéro d’une maturité de 4 ans est VaR = Investissement × Duration × ∆r95% = 2000€ × 4 × 2,5% = 200€ • Vente d'options – Nous obtenons une prime – Nous somme exposé à Max( ST − K ,0) – La perte maximale peut être nettement supérieure à la prime Le risque financier ≠ la comptabilité des flux entrants & sortants Ex: Affaire Baring & Nick Leeson Les stratégies de protection (ou d’assurance) avec les options • Il existe trois sortes de stratégies: 1. Les stratégies nues (« naked positions »): achat ou vente de l'option sans détenir le sous-jacent. 2. Les stratégies simples de protection ou d'assurance: achat de call ou de put dans le but de couvrir l'achat ou la vente future du sous-jacent détenu. 3. Les stratégies à caractère directionnel permettant de gagner en marché haussier (« bullish») ou baissier «bearish ». a) Les spreads: achat et vente simultanée d'options identiques sauf pour leur prix d'exercice. b) Les straddles: achat (ou vente) d'un call et d'un put identiques. c) Les strips: achat (ou vente) de deux puts et d'un call identiques. d) Les strangles: achat (ou vente) d'un put et d'un call, tous les deux out-of-the-money de prix d'exercice donc différents. Options • Formes standard – Call: droit d'acheter quelque chose demain à un prix fixé aujourd’hui • Gain de l'acheteur à l'échéance: Ma ( Sx − K , 0) =( S − K ) • Valeur aujourd'hui: e− rT ΕQ0 ( ST − K )+ – Put: droit de vendre quelque chose demain à un prix fixé aujourd'hui • Gain de l'acheteur à l'échéance: Ma ( Kx − S , 0) =( K − S ) • Valeur aujourd'hui : e− rT ΕQ ( K − S )+ T T 0 T + T T + Profils des gains • Profils des gains à l'échéance des options européennes Gain à l’échéance Gain à l’échéance Prix du sous-jacent Prix du sous-jacent Gain à l’échéance Gain à l’échéance Prix du sous-jacent Prix du sous-jacent Exemple: Assurance avec une option de vente • Stratégie 1. – Achat d'une action + un put • À l'échéance T: Date Valeur de l’action ST<K K > ST ST ST Value at maturity K Valeur du Put (K - ST) 0 Valeur totale K ST K ST Exemple: Une autre stratégie pour atteindre le même résultat • Stratégie 2 – Acheter un call + placer VA(K) • À l’échéance T: Date ST<K K > ST Value at maturity Strategy 2 Valeur du Call 0 ST - K Valeur Future(VA(K)) K K Valeur totale K Call K Investment ST K ST Stratégies de portefeuille: sous-jacent & option d‘achat Sous-jacent en position longue & call en position courte “call couvert“ Sous-jacent en position courte & call en position longue 20 Stratégies de portefeuille: sous-jacent & option de vente Sous-jacent en position longue & put en position longue Sous-jacent en position courte & put en position courte 21 Spreads haussiers (Bull spreads) avec des calls call en position longue @ X1 X1 ST X2 call en position courte @ X2 Payoff ST ST>X2 X1<ST<X2 ST<X1 Achat Call ST - X1 Vente Call X2 - ST Total X2 - X1 ST - X1 0 ST - X1 0 0 0 22 Spreads haussiers (Bull spreads) avec des puts Put en position courte @ X2 X1 X2 ST Put en position longue @ X1 23 Spreads baissiers (Bear spreads) avec des calls X1 X2 ST Payoff ST Achat Call ST>X2 X1<ST<X2 ST<X1 ST - X2 0 0 Vente Call X1 - ST Total -(X2 - X1) X1 - ST -(ST - X1) 0 0 24 Spreads baissiers (Bear spreads) avec des puts X1 ST X2 payoff ST Achat Put Vente Put Total ST<X1 ST - X2 -(ST -X1) X1 - X2 X1<ST<X2 ST - X2 0 ST - X2 0 0 0 X2<ST 25 Spreads papillon (Butterfly spreads avec des calls) Deux en position longue Longcalls two, short two et deux calls en position courte X1 X2 X3 ST Payoff ST ST<X1 Achat Call@X1 0 X1<ST<X2 ST - X1 Achat Call@X3 Vente Call@X2 0 0 0 0 Total 0 ST - X1 X2<ST<X3 ST - X1 0 -2(ST - X2) 2X2 - X1 X3<ST ST - X3 -2(ST - X2) 2X2 - X1 - X3 ST - X1 26 Contrats à terme Forward • Contrat/accord par lequel les parties sont engagées: – acheter (vendre) – un actif sous-jacent – à une date future (l'échéance) – à un prix de livraison (prix à terme) fixé à l'avance • Les contrats Forward sont négociés dans le marché over-the-counter • Ils sont particulièrement développés pour les devises et les taux d'intérêt • Position: – Achat à terme = position "LONGUE" – Vente à terme = position “COURTE" • Cash-flows: – t0 : Pas de cash flow – T : Obligation d’effectuer des transactions • Marché – Permet de liquider sa position en procédant à une transaction inverse • Particularités: – Règlement en espèces plutôt qu’une livraison physique Cash flows • Notations – ST Prix du sous-jacent à l'échéance – Ft Prix Forward (prix à la livraison), fixé à l'instant t < T Position Initiation Échéance T Longue 0 S T - Ft Courte 0 Ft - ST • Cash flow initial = 0 : le prix de livraison est égal au prix à terme • Le risque de crédit existe durant toute la vie du contrat à terme • Sceller (Locking-in) le résultat avant l'échéance – En t1: Mettre en œuvre un nouveau contrat à terme en sens inverse • Ex : Acheter à terme au prix à terme F1 – En t2 (< T ): Vendre à terme au nouveau prix à terme F2 – Gain/perte à l'échéance: • (ST - F1) + (F2 - ST ) = F2 - F1 aucune incertitude Définition • • • Version standard du contrat Forward – Contrat à terme avec règlement quotidien des gains et des pertes – Standardisation: • Maturité • Valeur nominale du contrat • Qualité Négociés sur un marché organisé – Chambre de compensation Règlement quotidien des gains et des pertes (évalué aux cours du marché “Marked to market”) – Dans un contrat à terme Forward: • L'acheteur et le vendeur sont face à face pendant la durée du contrat • Les gains et pertes sont réalisés lorsque le contrat arrive à expiration • Risque de Crédit – ACHETEUR ⇔ VENDEUR – Dans un contrat à terme Futures • Règlement quotidien des gains et des pertes (évalués aux cours du marché) • La chambre de compensation garantit l'exécution du contrat: intervient pour prendre une position contraire à chaque partie – ACHETEUR ⇔ Chambre de compensation ⇔ VENDEUR • La répartition dans le temps des cash flows pour un futures est différente de celle d'un contrat à terme. Dans un contrat à terme, tout se passe à la date d'échéance. Le cash flow pour l'acheteur (d'un contrat portant sur une unité du sous-jacent) est égal a la différence entre le prix spot à la date d’échéance (ST) et le prix à terme fixé initialement en t = 0 (F0) : ST – F0 à l’échéance T • Dans le cas d'un futures, les gains et les pertes sont réglés quotidiennement. Ce contrat donne donc lieu à des cash flows quotidiens égaux à la variation du prix du futures. La séquence des cash flows pour l'acheteur est donc : Ft - Ft-1 pour t = 1,2, ..., T • Le prix du futures converge vers le prix comptant à l’échéance (FT = ST) et donc, la somme des cash flows est identique pour les deux types de contrats : (F1 - F0) + (F2 - F1) + … + (F1 - F0) = (FT - F0) = (ST - F0) • En l'absence d'incertitude sur les taux d'intérêts, les prix de ces deux formes de contrats sont identiques. Forwards contre futures • L'évaluation d'un contrat a terme se fonde sur le principe d'absence d'arbitrage. Considérons d'abord un contrat portant sur un actif qui ne verse aucun dividende ou intérêt et qui peut être stocké sans cout (de l'or, par exemple). Les données nécessaires pour évaluer ce contrat à terme sont les suivantes: – le prix unitaire de l'actif sous-jacent (S) ; – le prix de livraison (X) à l'échéance; – la taille du contrat (égale à l'unité pour les besoins de la présentation); – l'échéance du contrat (T années) ; – le taux d'intérêt r en vigueur sur le marché (nous supposerons qu'il s'agit d'un taux continu). • La valeur de marché f du contrat est alors donnée par la formule: f = S - Xe-rT Cette expression nous indique que la valeur d'un contrat a terme est égale a la différence entre la valeur actuelle (calculée sur la base du prix spot) du montant à livrer (S) dont on soustrait la valeur actuelle du paiement (Xe-rT). • Le prix a terme est le prix qui annule la valeur du contrat f: F = S erT • Le prix à terme est donc égal à la valeur future du prix spot. Si cette relation n'est pas vérifiée, c’est-à-dire s'il est possible d'acheter ou de vendre à terme à un prix de livraison X différent de F, deux types d'arbitrages sont possibles : – Si X > F : l'arbitrage est appelé cash and carry. Il consiste à emprunter S, acheter au comptant et vendre simultanément à terme au prix X. Cette stratégie ne nécessite aucune mise de fonds. Le profit qui en résulte à l'échéance est: Profit = +X – S erT > 0 – Si X < F, l’arbitrage est du type reverse cash and carry. Il consiste a vendre à découvert le sous-jacent, à placer le produit de la vente et à acheter à terme au prix X. Le profit qui en résulte à l’échéance est Profit = S erT – X > 0 • La formule d'évaluation peut être utilisée, moyennant une légère adaptation, pour des contrats dont le sous-jacent verse des montants (dividendes ou intérêts) à leurs détenteur au cours de la période précédent l’échéance du contrat ou dont le stockage (ou le portage) génère des coûts. Il convient, dans ce cas, de remplacer le prix spot par: S = Prix spot - Valeur actuelles des dividendes ou intérêts + Valeur actuelle des coûts de stockage • Si le rendement du sous-jacent (q) et le coût de stockage (k) sont proportionnels au prix spot, on obtient les expressions suivantes de la valeur du contrat et du prix à terme : f = S e(-q+k)T - Xe-rT F = S e(r-q+k) T Contrat à terme sur devise • Le prix à terme d'une devise peut être calculé en utilisant la formule générale moyennant l'interprétation suivante des variables: – S, le taux de change – r, taux d'intérêt domestique – q, taux d'intérêt étranger –k=0 • Le prix à terme d'une devise est supérieur au prix spot si le taux d'intérêt domestique (r) est supérieur au taux d'intérêt de la devise (q). Futures sur indices boursiers • II s’agit de contrats a terme permettant d’acheter à terme un portefeuille dont la composition est identique à la composition de l'indice. La taille du contrat est égale au niveau de l'indice multiplié par une valeur monétaire par point d'indice. A titre d'exemple, la taille d'un futures sur l'indice CAC 40 est égale à 10€ x indice. Le règlement, à l'échéance, est réalisé en espèce. II n'y a donc pas de livraison physique des titres mais un règlement de la différence entre la valeur du portefeuille à l’échéance et la valeur du portefeuille fixée initialement. Le prix à terme d'un futures sur indice peut être calculé en utilisant la formule générale avec l’interprétation suivante des variables : – – – – S, niveau de l'indice. r, taux d'intérêt. q, rendement en dividendes de l'indice. k = 0. Les futures sur obligations • Ces contrats permettent d'acheter ou de vendre à terme des obligations d'Etat (sans risque de défaut). Le sousjacent est une obligation notionnelle c'est-a-dire une obligation aux caractéristiques hypothétiques et qui sert de référence au contrat. Par exemple, le contrat BUND traité sur la Deutsche Börse porte sur une obligation versant un coupon de 6%, venant à échéance dans environ 10 ans et ayant une valeur nominale de 100 000 €. Le prix coté est exprimé en pourcentage du nominal. Un prix de 95,60 pour un contrat venant à échéance dans 6 mois signifie, par exemple, que l'on paiera, dans 6 mois, 956 000 euros pour cette obligation. Suivant la convention en vigueur pour les prix obligataires, les intérêts courus ne sont pas inclus. • Le calcul des gains et des pertes peut aisément être réalisé connaissant le tick du contrat. Le tick est la valeur d'une variation de 1 point de base, c'est-a-dire 0,01 %. La valeur du tick pour un futures sur obligation ayant une valeur nominale de 100 000 euros est égale à 10€ (=100 000 x 0,01/100). Pour illustrer l'utilisation du tick, supposons que nous ayons acheté un futures à 95,60. Quelques jours plus tard, le futures cote 95,70 soit une variation de prix de 10 points de base. Le gain réalisé s'élèverait dans ce cas à 10 pb x 10 € = 100 €. • Le sous-jacent est une obligation notionnelle: en cas de livraison à l’échéance, le vendeur pourra choisir l'obligation physique qu'il livrera parmi une liste d'obligations disponibles (le gisement). II choisira, bien entendu, l'obligation la moins chère. Le montant qu'il recevra sera ajusté par un coefficient appelé facteur de conversion pour tenir compte des différences de caractéristiques entre l'obligation physique et l’obligation notionnelle. Ces facteurs de conversion sont calculés par les Bourses pour toutes les obligations du gisement. Les futures sur taux d’intérêt • Considérons l'achat à terme à l’échéance T d'un zérocoupon venant à échéance en T* (T* > *T) et de valeur r0,T faciale A. Soit r0,T le taux d'intérêt (spot) aujourd'hui pour l'échéance T et le taux d'intérêt pour l’échéance T* (ces deux taux sont des taux continus). La valeur actuelle de ce zéro-coupon est calculée en actualisant sa valeur faciale : S = Ae * * − r0 ,T T • Le prix à terme est égal à la valeur future du prix spot. Ce prix détermine le taux d'intérêt à terme (que nous notons R) F = Se − r0 ,T T ( = Ae − R T * −T ) • Le résultat sur cette opération à l'échéance est la différence entre le prix spot du sous-jacent et le prix à terme. Or, le prix spot du sous-jacent est calculé ici en actualisant la valeur faciale sur la base du taux spot prévalent à l’échéance du contrat rT,T*: Ae ( − rT ,T * T * −T [ ) ( − Ae − R T * −T ) ( ≈ A (1 − rT ,T * (T − T )) − (1 − R (T − T ))e * ( ≈ A(R − rT ,T * ) T − T * * ) − R T * −T ) ] • Un placement à terme dégage un profit si le taux à terme est supérieur au taux spot à l’échéance du contrat. Notez que cette expression est celle d'un swap élémentaire: l'acheteur à terme d'un zéro-coupon reçoit un taux fixe d'avance et paie le taux de marché. • Un IRF (Interest Rate Futures) permet de réaliser cette opération sur un marché organisé. Prenons, par exemple, un contrat traité sur EURONEXT - LIFFE. Ses caractéristiques sont: – Taille du contrat A = 1 000 000 € ; – Taux d'intérêt spot sous-jacent r = EURIBOR; – Durée de calcul des intérêts T* - T = 3 mois. • La cotation est la différence entre 100 et le taux d'intérêt. Par exemple, un cours de 96,50 correspond à un taux d'intérêt à terme de 100 - 96,50 = 3,50 %. Le cours, à l'échéance du contrat, est calculé comme la différence entre 100 et le taux EURIBOR 3 mois prévalent à cette date. Considérons, par exemple, un trésorier qui achèterait un IRF d’échéance 6 mois à Fo = 96,50. Supposons, qu'à l’échéance du contrat le taux à 3 mois soit de 4 %. La cotation de l’IRF à l’échéance serait donc FT = 100 – 4 = 96. Le résultat est: 3 96 − 96,50 3 1000000 × × = 1000000 × (3,5% − 4% )× = −1250 100 12 12 • Nous pouvons aboutir au même résultat plus rapidement en utilisant Le tick du contrat c'est-àdire, la valeur en euros d'un point de base (0,01 %). Pour I'IRF traité sur EURONEXT-LIFFE, Le tick vaut 25 € (1000000 x 1/100 x 3/12). Une variation du prix du futures de -50 pb entraine un resultat de -50 pb x 25 € = -1250€. Futures sur marchandises • Les contrat à terme ou les futures sur marchandises présentent deux caractéristiques propres. La première est l'importance des coûts de stockage qui peuvent, pour certaines d'entre elles, être substantiels. Comme les formules précédentes le montrent, ces coûts ont pour effet d'accroitre la valeur d'un contrat à terme et le prix à terme. La seconde caractéristique est liée à la difficulté, voire l'impossibilité, de prendre des positions à découvert sur certaines marchandises. Rappelons que les formules auxquelles nous avons abouti sont fondées sur l'impossibilité de pouvoir réaliser les deux types d'arbitrage, cash and carry et reverse cash and carry. Or, ce second type d'arbitrage se fonde sur une position à découvert sur le sous-jacent. Encore faut-il qu'il existe des agents économiques qui détiennent ce sous-jacent et qui soient prêts à le prêter. Or, pour beaucoup de marchandises, Le sous-jacent est destiné à la consommation plutôt qu'au stockage. II en résulte qu'un écart peut apparaitre entre le prix du futures et la valeur qu'il aurait si les arbitrages reverse cash and carry étaient réalisables. Cet écart apparait dans les formules d'évaluation sous la forme d'un convenience yield. Le prix à terme s'écrit alors : F = Se(r+k-y)T Le risque de base • La base est définie comme la différence existant entre le cours du sous-jacent et le prix à terme, à une date donnée t: Bt = Ft - St • Cette différence est connue ex ante. La base théorique devrait être égale aux coûts de portage nets et c'est l'existence d'activités d'arbitrage qui la force à refléter cette valeur. Cette base peut d'ailleurs être positive, négative ou nulle suivant la nature et l'évolution des coûts de portage. Quelle qu'en soit la valeur, elle est nulle à l’échéance du contrat à terme puisque le prix terme converge vers le prix spot. Risque de Base: Exemple Numérique r = 10% • • • • • • • • • • • • • • Mois T-t 0 1,000 1 0,917 2 0,833 3 0,750 4 0,667 5 0,583 6 0,500 7 0,417 8 0,333 9 0,250 10 0,167 11 0,083 12 0,000 St Ft BASE 100,00 110,52 -10,52 104,42 114,44 -10,02 109,15 118,63 -9,49 111,63 120,32 -8,69 111,75 119,46 -7,70 111,09 117,76 -6,67 106,63 112,10 -5,47 105,06 109,53 -4,47 107,33 110,96 -3,64 106,68 109,38 -2,70 103,50 105,24 -1,74 101,34 102,19 -0,85 101,35 101,35 0,00 ft 0,00 3,58 7,47 9,10 8,36 6,83 1,51 -0,95 0,43 -1,11 -5,19 -8,26 -9,16 L’utilisation des contrats à terme • Le tableau montre les profils de pertes et profits pour un acheteur ou un vendeur du sous-jacent désirant se couvrir ou se protéger. Le résultat intègre le coût initial de l'instrument qui est nul dans les contrats a terme. Acheteur du sous-jacent Vendeur du sous-jacent A l’échéance ST < X ST > X ST < X ST > X Flux lié au sous-jacent -ST -ST ST ST Contrat à terme Achat Vente Flux du dérivé (f) ST -X ST -X -(ST -X) -(ST -X) Résultat -X -X X X • X désigne le prix du contrat à terme qui a été fixé au début du contrat (X = F0,T), pour ne pas reprendre Ft,T qui est, lui, réévalué à chaque temps t. Détermination du ratio de couverture • Supposons la couverture par futures. La valeur de la position a couvrir est égale à la taille de la position Q multipliée par le prix unitaire S. Soit n Le nombre de contrats futures. Notons N la taille d'un contrat et F Le prix du futures. La variation de la valeur de la position s'écrit : ∆V = Q × ∆S + n × N × ∆F • Le premier terme reflète la variation de la valeur de la position à couvrir et le second le résultat sur la position prise en futures. Une couverture est parfaite quand elle élimine véritablement le risque sur le sous-jacent, imparfaite quand elle ne fait que le réduire. Pour mettre en place une couverture parfaite, le nombre de contrats futures est choisi de manière à ce que le gain ou la perte sur la position à couvrir soit exactement compensé par une perte ou un gain sur les futures. La variation de la valeur de la position est donc, pour une couverture parfaite : ∆ V = 0. Le nombre de contrats est: Q ΔS n=− × N ΔF • Le ratio de couverture h est Le rapport entre la position prise en futures (le nombre de contrats multiplié par la taille d'un contrat, n x N) et la position à couvrir. n×N h= Q • En combinant ces deux relations, nous aboutissons à la conclusion qu'une couverture parfaite est réalisée si : - ∆S h= ∆F – Le signe « - » qui apparait dans la formule nous indique que la position en futures doit être l'inverse de la position à couvrir. Si la position à couvrir est une position longue (un actif), il faut vendre des futures. Si, par contre, la position à couvrir est une position courte (un passif), il faut acheter des futures. – Le ratio de couverture est la pente de la relation entre ∆ S et ∆ F. Si ces variations sont strictement proportionnelles (∆ S = ∆ F), le ratio de couverture est h = -β. • En pratique, la couverture peut s'avérer imparfaite pour plusieurs raisons. Des différences de qualité peuvent exister, par exemple, dans la position à couvrir et le sous-jacent du contrat futures. Dans ce cas, le risque ne peut être totalement éliminé et la ratio de couverture est choisi pour minimiser la variance de la position à couvrir. Cov(ΔS, ΔF) h= Var (ΔF) • Nous trouvons une formule similaire à celle présentée pour le bêta d'une action. Le ratio de couverture est la pente de la droite de régression ∆S=β∆F+ε Les swaps: définition • Ces contrats permettent d’échanger des flux de nature différente entre deux parties. Les deux formes de swap les plus simples (plain vanilla swaps) et les plus courantes sont les swaps de taux d'intérêt (IRS, interest-rate swaps) et les swaps de taux de change (CS, currency swaps). Les swaps sont essentiellement traités de gré a gré (marchés OTC, over-the-counter) et les contreparties ou intermédiaires s’exposent donc à un risque de credit. Le principe et l'évaluation des swaps de taux d'intérêt • Les swaps de taux d'intérêt permettent, à deux parties d'échanger pendant une certaine durée un flux d'intérêts dits flottants (dont Le niveau est revu fréquemment) contre un flux d'intérêts dits fixes (dont Le niveau est défini une fois pour toutes sur la durée du contrat). Chacune des parties peut ainsi modifier une exposition existante en taux fixes vers des taux flottants et vice versa. Les contreparties n'échangent pas les montants principaux sur lesquels les intérêts sont calculés puisqu'ils sont équivalents. On parle alors de montant notionnel qui sert uniquement de référence au calcul du paiement d'intérêts. Par convention, la partie qui paie le taux fixe et reçoit le taux flottant est qualifiée d'acheteur. La partie qui paie le taux flottant et reçoit le taux fixe est qualifiée de vendeur. • Le taux flottant utilisé comme référence est en général le taux Libor (London Interbank Offered Rate) auquel vient s'ajouter une prime en points de base (100 points de base = 1 %). Suivant la fréquence des paiements flottants, on prend le Libor du terme désiré: trois mois, six mois (le plus fréquent), douze mois. Flux échangés lors d'un swap de taux d'intérêt En t = 0 En t = 1 ... T - 1 En T aucun échange (taux fixe - taux flottant) aucun échange • Le taux fixe du swap étant fixe dés le départ, ces instruments peuvent être vus comme une suite de contrats à terme sur taux (chaque échéance correspondant à un échange taux fixe - taux flottant) ou comme l'échange de deux obligations (appelées «jambes» du swap), l'une fixe et l'autre flottante. Nous avons, dans ce tableau rajouté à chaque jambe du swap un remboursement à l’échéance de manière à faire apparaitre deux obligations classiques: une obligation à taux fixe et une obligation à taux variable. Exemple • Ex: Soit un accord pour recevoir LIBOR à 6 mois & payer un taux fixe de 5% par an tous les 6 mois pendant 3 ans sur un montant notionnel de 100 millions de dollars ---------Millions de Dollars--------LIBOR FLOATING Date Rate 5 Mars 2007 4,2% 5 Sept. 2007 5 Mars 2008 5 Sept. 2008 5 Mars 2009 5 Sept. 2009 5 Mars 2010 FIXED Net Cash Flow Cash Flow Cash Flow 4,8% +2,10 –2,50 –0,40 5,3% +2,40 –2,50 –0,10 5,5% +2,65 –2,50 +0,15 5,6% +2,75 –2,50 +0,25 5,9% +2,80 –2,50 +0,30 6,4% +2,95 –2,50 +0,45 Découpage d'un swap où l'on paie un taux fixe (6%) contre la réception d'un taux flottant (Libor) Année - Jambe fixe 0 1 2 3 4 4 (Remb) +100 -6% -6% -6% -6% -100 + Jambe flottante +100 - Libor - Libor - Libor - Libor -100 • La valeur du swap est égale à la différence entre les valeurs des deux jambes c'est-à-dire la différence entre la valeur d'une obligation à taux flottant et celle d'une obligation à taux fixe: VIRSwap = Vflot – Vfix • Plaçons nous à une date de paiement pour un swap de montant notionnel égal à 100. Notons R Le taux fixe et vt Le facteur d'actualisation du paiement à la date t. La valeur du swap peut s'écrire: VIRSwap = 100 − ∑ R ×100 × v t + 100 × v T t • Le premier terme est la valeur de la jambe flottante. Le second terme entre parenthèses est la valeur de la jambe fixe (la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur actuelle du principal à l'échéance). En t = 0, la valeur du swap est par définition nulle. Le taux fixe du swap est donc fixe de manière à ce que la valeur de la jambe fixe soit égale au montant notionnel du swap Valorisation d'un titre à taux variable • La valeur d'un titre à taux variable est égale à sa valeur nominale à chaque date de paiement (hors intérêts). • Supposons que la valeur nominale = 100 • À l’instant n: Vflot, n = 100 • À l’instant n-1: Vflot,n-1 = 100 (1+rn-1τ)/ (1+rn-1τ) = 100 • À l’instant n-2: Vflot,n-2 = (Vfloat,n-1+ 100rn-2τ)/ (1+rn-2τ) = 100 • et ainsi de suite .... Vflot 100 Temps Calcul du taux d’un Swap • Valeur d’un swap : fswap =Vfloat - Vfix = M - M [R Σ di + dn] où dt = facteur d'actualisation • Fixer R de sorte que fswap = 0 ⇒ R = (1-dn)/(Σ di) • Exemple: maturité 3 ans - Notionel = 100 Taux au comptant (composé en continu) Maturité 1 2 3 Taux au comptant 4,00% 4,50% 5,00% Facteur d'actualisation 0,961 0,914 0,861 • R = (1- 0,861)/(0,961 + 0,914 + 0,861) = 5,09% Le principe et l'évaluation des swaps de taux de change • Les swaps de taux de change permettent à deux parties d'échanger des montants et des paiements d'intérêts dans deux devises différentes sur une certaine durée de temps En t = 0 En t = 1 ... T - 1 En T (taux fixe devise 1 - échange inverse des échange des montants taux fixe devise 2) montants • Notons qu'il existe une forme hybride appelée « cross-currency interest-rate swap» qui permet d'échanger des flux d'intérêts fixes et flottants dans des devises différentes. Le principe d'évaluation est très semblable à celui d'un swap de taux d'intérêt. La seule différence réside dans le fait que l'on utilise une structure des taux différente pour chaque devise et que le plain vanilla currency swap suppose deux jambes fixes dans deux devises différentes. • Considérons, par exemple, un swap de devises dans lequel on paie un taux fixe libellé en euros et on reçoit un taux fixe libellé en dollars. Notons VEuro la valeur (en euro) de la jambe euro, VDollar la valeur (en dollar) de la jambe $ et S€$ le taux de change. La valeur de ce swap s'écrit : VCurSwap = S€$ × VDollar - VEuro L’utilisation des swaps • Un taux d'emprunt net fixe permet à l'entreprise de connaitre précisément le montant des paiements d'intérêt jusqu‘à un horizon-temps donné. Or, l'entreprise emprunte de manière hybride, en mélangeant les emprunts à taux flottant et à taux fixe. Avec les swaps de taux d'intérêt, l’entreprise peut convertir ses expositions au taux flottant en taux fixe sans risque d'évolution. • Les swaps de taux de change, quant à eux, permettent à deux parties d'échanger des devises dans des contextes de régimes de change difficiles, voire impossibles, ou simplement de fixer une relation d’échange de flux dans des monnaies différentes en profitant de la facilité d'accès de chaque entreprise sur son marché. Les produits hybrides et structurés • Les produits structurés sont un mélange d’actifs permettant d’obtenir un certain profil de profit ou de rendement à l’échéance et ont pour objectif de mieux correspondre à certains besoins des investisseurs: 1. Les produits de protection du capital permettent de bénéficier d’un plancher minimum de la valeur du produit en échange d’une prime et/ou d’un plafonnement des gains possibles. Une partie de l’investissement sert à acheter une obligation hors risque. Suivant le niveau des taux d’intérêts il reste une fraction plus ou moins grande (la soulte) qui est investie dans un potentiel de croissance quelconque défini par une formule plus ou moins complexe qui se révèle être un produit optionnel. 2. Les produits de « yield enhancement » permettent de bénéficier d’un rendement plus élevé (dans une certaine plage ou selon certaines conditions) que la moyenne en échange d’un rendement nettement moins élevé si une condition est remplie ou cesse d’être remplie d’ici l’échéance. 3. Les certificats permettent à des investisseurs d’avoir un produit qui se comporte comme un certain sous jacent mais en offrant souvent un potentiel de croissance plus important dans une certaine plage de valeurs ou de rendements du sous-jacent en échange d’une prime, d’un plafond au gain/rendement maximal ou encore d’un certain risque accru. 4. Les produits de levier font appel à l’effet de levier de l’endettement et de certaines stratégies comme la vente de produits dérivés, etc. Résumé • La VaR mesure la perte maximale espérée pour un certain degré de confiance et un certain horizon-temps. • Il existe trois méthodes principales pour produire une estimation de la VaR : la méthode var-covar, les simulations historiques, les simulations de Monte-Carlo. • L’assurance de portefeuille consiste a couvrir les actifs par des options. • La couverture consiste a utiliser des contrats a terme pour fixer la valeur de certaines variables. La formule d'évaluation générale d'un contrat futures peut être vue comme f = Se(-q+k)T - Xe-rT • Dans un contrat à terme, un risque de base demeure dés que la qualité de sousjacent a couvrir ou l'horizon-temps de l'investissement dans celui-ci ne correspondent pas avec ceux de l'instrument de couverture. • Quand un risque de base peut exister, il convient d'utiliser un ratio optimal de couverture qui minimise la variance du risque: h= - Cov(∆St , ∆Ft ) Var (∆Ft ) • Les swaps sont fréquemment utilisés dans la gestion des risques de taux de change et de taux d'intérêt. Ils sont évalués comme deux jambes obligataires aux caractéristiques différentes.