I Collision d`une masse accrochée à un ressort avec une balle

LP112 – MIME &PCME
Examen 2ème session du 23 Juin 2011
Durée : 2heures
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Les téléphones portables doivent être éteints et rangés.
I Collision d'une masse accrochée à un ressort avec une balle (barème indicatif: 6/20)
Un objet M de masse M= 8 kg est placé sur un banc à coussin d'air horizontal et relié à un ressort de raideur
!
k=100 N.m"1
et de longueur au repos
!
l0=0,2 m
. Ce ressort est également placé à l'horizontale et son
extrémité est fixée à un mur. On note Ox l’axe horizontal. L'ensemble est initialement à l'équilibre et M se
trouve à l'origine des coordonnées (voir figure 1). Une balle B de masse m=1 kg percute l’objet M avec une
vitesse
!
r
v
0=v0
r
u
x
,
!
v0=0,3 m.s"1
. On négligera tous les frottements.
1 On suppose le choc instantané et parfaitement mou (M et B restent solidaires).
a) Déterminer l’expression de la vitesse
!
r
v
de l'ensemble {M+B} juste après la collision en précisant la loi
de conservation utilisée. Calculer approximativement sa valeur numérique.
b) Après la collision, déterminer les forces s'exerçant sur l'ensemble {m+M} et donner leur expression
vectorielle.
c) Déterminer l'expression de l'énergie mécanique de l'ensemble {M+B} et justifier sa conservation après
la collision.
d) Déterminer l’expression de l’élongation maximale
!
x1
du ressort après le choc. Donner sa valeur
numérique.
2 On suppose le choc instantané et parfaitement élastique :
a) Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du choc? On note
!
r
V =Vr u
x
et
!
r
v
1=v1
r
u
x
les
vitesses de M et B respectivement juste après la collision. Ecrire les équations de conservation.
b) Déterminer les expressions des vitesses
!
V
et
!
v1
et calculer leur valeur numérique approchée.
c) Déterminer l’expression de l’élongation maximale
!
x2
du ressort après le choc. Donner sa valeur
numérique. (On pourra considérer que
!
0,08 "0,09
).
II Système de deux points matériels liés par un fil (barème indicatif: 9/20)
Un système mécanique est constitué de deux boules, assimilées à des points matériels, reliées par un fil de
longueur
!
l
constante et de masse négligeable. Le premier point matériel M1, de masse
!
m1
, glisse sans frottement
sur un plan horizontal percé d’un trou O. Le fil est engagé dans le trou, de sorte que le second point matériel M2,
de masse
!
m2
, se déplace verticalement dans le champ de pesanteur terrestre g (voir figure 2). On observe le
mouvement des boules dans le référentiel du laboratoire
!
"
, supposé galiléen, et muni d’un système de
coordonnées d’origine O. On utilisera les coordonnées cylindriques, dont le trièdre est (
!
r
u
r,r
u
"
,r u
z
). La position
de M1 est repérée par le vecteur
!
O
r
M
1
de composantes
!
(r,0,0)
, et celle de M2 par
!
O
r
M
2
de composantes
!
(0,0,z).
On négligera tous les frottements (frottement de l’air et frottement solide).
Durant tout le mouvement, le fil est supposé de longueur constante et par conséquent
!
dr dt =dz dt
et
!
d2r dt 2=d2z dt 2
et les modules des tensions
!
r
T
1
et
!
r
T
2
agissant sur les points M1 et M2 respectivement, seront
égaux et notés T.
a) Détailler les forces appliquées à chacun de deux points matériels et donner leur expression vectorielle.

b) Exprimer les vitesses des points M1 et M2 en coordonnées cylindriques. En déduire, alors, l’énergie
cinétique totale du système composé de deux points matériels, Ec. Ecrire également l’énergie mécanique
totale du système, E.
c) Donner l’expression du moment cinétique
!
r
L
1
du point M1 et celle du moment cinétique
!
r
L
2
du point M2
calculés par rapport à O. Justifier pourquoi ils sont séparément conservés.
d) A partir des résultats trouvés en c) en tirer la relation entre
!
d " dt
,
!
r
L
1=L
et
!
r
.
e) Utiliser la réponse à la question précédente et les hypothèses du problème pour réécrire l’énergie
mécanique totale du système, E, en fonction de m1, m2, g, L, r et de sa dérivée par rapport au temps.
f) On appelle énergie potentielle effective et on note
!
Veff r
( )
la somme des termes de E qui s'expriment en
fonction de r . Faire un graphe de l’énergie potentielle effective.
g) A partir de la courbe tracée en f) expliquer pourquoi on peut conclure, pour une valeur de L donnée, qu'il
y a une valeur minimale de l'énergie du système Emin et que celle-ci correspond à une trajectoire
circulaire. Déterminer l'expression du rayon de l’orbite circulaire en fonction de m1, m2, g, L. Décrire
dans ce cas, le mouvement du point M2.
h) Quelle information sur les trajectoires pouvez-vous déduire de l'analyse de
!
Veff r
( )
pour le cas E> Emin?
III Disque en rotation (barème indicatif: 5 /20)
Un disque de rayon
!
r=0,5 m
et de masse
!
M=20 kg
peut tourner librement autour d'un axe horizontal A qui
passe par son centre C. Cet axe a été matérialisé par un petit cylindre qui traverse le centre du disque. Le rayon
et la masse de ce cylindre sont négligeables. Le centre de masse du système {disque+cylindre} est donc
confondu avec le centre du disque et du cylindre. Les extrémités P1 et P2 du cylindre ont été fixées sur deux
supports plans de même hauteur et équidistants de C. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen et on lui associe un repère orthonormé direct (C,
!
r
u
x,r
u
y,r
u
z)
tel que
!
r
u
x
est le vecteur unitaire de l'axe A,
orienté de P1 vers P2 et
!
r
u
z
est le vecteur unitaire de l'axe vertical orienté vers le haut (voir Figure3).
On note
!
r
R
1
et
!
r
R
2
les réaction des supports plans en P1 et P2 respectivement, et on supposera que les normes de
ces forces sont égales,
!
R
1=R2=R
. Une force
!
r
F
de 10 N est appliquée en tirant sur une corde enroulée sur le
bord du disque (voir figure 3). Le moment d'inertie autour de l'axe A du système formé par le disque et le petit
cylindre peut s'écrire de la façon suivante:
!
IA=Mr2
2
. On prendra g=10 m.s-2.
1 a) Faire le bilan de forces agissant sur l'ensemble du système {disque+cylindre}.
b) Donner leur forme vectorielle.
c) Appliquer la deuxième loi de Newton au mouvement du centre de masse C.
d) Déterminer l'expression de R, norme des forces de réaction des supports sur le cylindre.
Faire l’application numérique.
2 Calculer le moment de chacune de forces extérieures par rapport à C. Quelle est la résultante de moments des
réactions
!
r
R
1
et
!
r
R
2
?
3 Exprimer le moment cinétique du système par rapport au centre de masse en fonction de la vitesse angulaire
de rotation. En utilisant les équations de la dynamique des solides, déterminer l'expression de la valeur de
l'accélération angulaire du disque dans son mouvement de rotation. Faire l’application numérique.