I Collision d`une masse accrochée à un ressort avec une balle

LP112 – MIME &PCME
Examen 2ème session du 23 Juin 2011
Durée : 2heures
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I Collision d'une masse accrochée à un ressort avec une balle (barème indicatif: 6/20)
!
Un objet M de masse M= 8 kg est placé sur un banc à coussin d'air horizontal et relié à un ressort de raideur
k = 100 N.m"1 et de longueur au repos l0 = 0,2 m . Ce ressort est également placé à l'horizontale et son
extrémité est fixée à un mur. On note Ox l’axe horizontal. L'ensemble est initialement à l'équilibre et M se
trouve à l'origine des coordonnées (voir figure 1). Une balle B de masse m=1 kg percute l’objet M avec une
r
r
vitesse v 0 = v 0 ux , v 0 = 0,3 m.s"1 . On négligera tous les frottements.
!
1 On suppose le choc instantané et parfaitementr mou (M et B restent solidaires).
a) Déterminer l’expression de la vitesse v de l'ensemble {M+B} juste après la collision en précisant la loi
de conservation utilisée. Calculer approximativement sa valeur numérique.
!
!
b) Après la collision, déterminer les forces s'exerçant sur l'ensemble {m+M} et donner leur expression
vectorielle.
c) Déterminer l'expression de!l'énergie mécanique de l'ensemble {M+B} et justifier sa conservation après
la collision.
d) Déterminer l’expression de l’élongation maximale x1 du ressort après le choc. Donner sa valeur
numérique.
2 On suppose le choc instantané et parfaitement élastique :
r
r
r
r
a) Quelles sont les grandeurs physiques conservées
au
cours
du
choc?
On
note
V
= Vux et v1 = v1ux les
!
vitesses de M et B respectivement juste après la collision. Ecrire les équations de conservation.
b) Déterminer les expressions des vitesses V et v1 et calculer leur valeur numérique approchée.
c) Déterminer l’expression de l’élongation maximale x 2 du ressort après le choc. Donner sa valeur
numérique. (On pourra considérer que
!
0,08 " 0,09 ).
!
!
!
!
!
II Système de deux points matériels liés par un fil (barème indicatif: 9/20)
Un système mécanique est constitué de deux boules, assimilées à des points matériels, reliées par un fil de
longueur l constante et de masse négligeable. Le premier point matériel M1, de masse m1 , glisse sans frottement
sur un plan horizontal percé d’un trou O. Le fil est engagé dans le trou, de sorte que le second point matériel M2 ,
de masse m 2 , se déplace verticalement dans le champ de pesanteur terrestre g (voir figure 2). On observe le
mouvement des boules dans le référentiel du laboratoire " , supposé galiléen, et muni
r r d’un
r système de
!coordonnées d’origine O. On utilisera les coordonnées cylindriques, dont le
! trièdre est ( ur , u" , uz ). La position
r
r
de M1 est repérée par le vecteur OM1 de composantes (r,0,0) , et celle de M2 par OM 2 de composantes
!
(0,0,z). On négligera tous les frottements (frottement
! de l’air et frottement solide).
Durant tout le mouvement, le fil est supposé de longueur constante et par conséquent dr dt = dz dt et
!
r
r
!
d 2 r dt 2 = d 2 z dt 2 et les modules des tensions T1 et T2 agissant sur les points M1 et M2 respectivement, seront
!
!
!
égaux et notés T.
a) Détailler les forces appliquées à chacun de deux points matériels et donner leur expression vectorielle.
!
!
!
!
b) Exprimer les vitesses des points M1 et M2 en coordonnées cylindriques. En déduire, alors, l’énergie
cinétique totale du système composé de deux points matériels, Ec. Ecrire également l’énergie mécanique
totale du système, E.
r
r
c) Donner l’expression du moment cinétique L1 du point M1 et celle du moment cinétique L2 du point M2
calculés par rapport à O. Justifier pourquoi ils sont séparément conservés.
r
d) A partir des résultats trouvés en c) en tirer la relation entre d" dt ,
L1 = L et r .
e) Utiliser la réponse à la question précédente et les hypothèses du problème pour réécrire l’énergie
mécanique totale du système, E,!
en fonction de m1, m2, g, L, r et de sa dérivée !
par rapport au temps.
f) On appelle énergie potentielle effective et on note Veff ( r) la somme des termes de E qui s'expriment en
!
!
!
fonction de r . Faire un graphe de l’énergie potentielle effective.
g) A partir de la courbe tracée en f) expliquer pourquoi on peut conclure, pour une valeur de L donnée, qu'il
y a une valeur minimale de l'énergie du système Emin et que celle-ci correspond à une trajectoire
circulaire. Déterminer l'expression du rayon
! de l’orbite circulaire en fonction de m1, m2, g, L. Décrire
dans ce cas, le mouvement du point M2.
h) Quelle information sur les trajectoires pouvez-vous déduire de l'analyse de Veff ( r) pour le cas E> Emin?
!
III Disque en rotation (barème indicatif: 5 /20)
Un disque de rayon r = 0,5 m et de masse M = 20 kg peut tourner librement autour d'un axe horizontal A qui
passe par son centre C. Cet axe a été matérialisé par un petit cylindre qui traverse le centre du disque. Le rayon
et la masse de ce cylindre sont négligeables. Le centre de masse du système {disque+cylindre} est donc
confondu avec le centre du disque et du cylindre. Les extrémités P1 et P2 du cylindre ont été fixées sur deux
! de même hauteur !
supports plans
et équidistants de C. On
dans ler référentiel du laboratoire supposé
r ser place
r
galiléen et on lui associe un repère orthonormé direct (C, ux , uy , uz ) tel que ux est le vecteur unitaire de l'axe A,
r
orienté de P1 vers P2 et uz est le vecteur unitaire de l'axe vertical orienté vers le haut (voir Figure3).
r
r
On note R1 et R2 les réaction des supports plans en P1 et P2 respectivement, et on supposera que les normes de
r
!
ces forces sont égales, R1 = R2 = R . Une force!F de 10 N est appliquée
en tirant sur une corde enroulée sur le
! (voir figure 3). Le moment d'inertie autour de l'axe A du système formé par le disque et le petit
bord du disque
Mr 2 . On prendra g=10 m.s-2.
! cylindre
! peut s'écrire de la façon suivante: IA =
1
2
a) Faire le
! bilan de forces agissant!sur l'ensemble du système {disque+cylindre}.
b) Donner leur forme vectorielle.
c) Appliquer la deuxième loi de
! Newton au mouvement du centre de masse C.
d) Déterminer l'expression de R, norme des forces de réaction des supports sur le cylindre.
Faire l’application numérique.
2 Calculer rle moment
de chacune de forces extérieures par rapport à C. Quelle est la résultante de moments des
r
réactions R1 et R2 ?
3 Exprimer le moment cinétique du système par rapport au centre de masse en fonction de la vitesse angulaire
de rotation. En utilisant les équations de la dynamique des solides, déterminer l'expression de la valeur de
angulaire du disque dans son mouvement de rotation. Faire l’application numérique.
!l'accélération
!