M/13/06

Noyaux du transfert automorphe de Langlands et
formules de Poisson non linéaires: Notes de cours
Laurent LAFFORGUE
Institut des Hautes Études Scientifiques
35, route de Chartres
91440 – Bures-sur-Yvette (France)
Février 2013
IHES/M/13/06
Noyaux du transfert automorphe de Langlands
et formules de Poisson non linéaires :
Notes de cours∗
par Laurent Lafforgue
Dans tout le cours, on considère un groupe réductif connexe quasi-déployé G sur un corps global F , le
b dual de G muni de l’action naturelle du groupe de Galois ΓF de F , et une
groupe réductif complexe G
représentation de transfert continue
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On traite le cas où le corps global F est le corps des fonctions rationnelles d’une courbe projective lisse
géométriquement connexe sur un corps fini Fq à q éléments. On note |F | l’ensemble des places de F , Fx le
corps localisé de F en chaque place x ∈ |F |, Ox son anneau des entiers, qx = q deg(x) le nombre d’éléments
de son corps résiduel et
| • |x = qx−vx (•) : Fx → qxZ ∪ {0}
la norme de Fx . On note également
a
Y
A=
Fx
x∈|F |
l’anneau des adèles de F , A× son groupe multiplicatif et
Y
|•|=
| • | x : A× → q Z
x∈|F |
la norme globale, qui vérifie la “formule du produit”
|γ| = 1 ,
∀ γ ∈ F × ⊂ A× .
Comme toutes les constructions et démonstrations ne font appel qu’à de l’analyse harmonique sur les
groupes réductifs locaux G(Fx ), x ∈ |F |, et adéliques G(A), le cas où le corps global F est un corps de
nombres se traiterait de la même façon.
∗ Je remercie notre secrétaire Cécile Gourgues qui a réalisé la frappe de ces notes à la perfection et avec une incroyable
rapidité.
1
Sommaire
Exposé I : Notion de noyaux du transfert et construction de leur partie principale
Exposé II : Intégrales de Rankin-Selberg, facteurs L locaux et transformation de Fourier
Exposé III : Principe de fonctorialité et formules de Poisson non linéaires
Exposé IV : Formules de Poisson non linéaires et noyaux du transfert automorphe
Exposé V : Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson linéaire et généralisation non linéaire
conjecturale
Appendice
Exposé A : Corps globaux et anneaux d’adèles
Exposé B : Groupes réductifs et groupes duaux de Langlands
Exposé C : Fonctions automorphes, représentations automorphes et principe de fonctorialité
Références bibliographiques
2
I. Notion de noyaux du transfert et construction de leur partie
principale
Le groupe réductif quasi-déployé G sur F est dit non ramifié en une place x ∈ |F | si l’action du groupe de
Galois local ΓFx ⊂ ΓF sur la donnée radicielle (XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) ou, ce qui revient au même, sur le groupe
b dont un générateur topologique est l’élément
b se factorise à travers son quotient non ramifié Γnr ∼
Z
dual G
=
Fx
de Frobenius σx . Dans ce cas, le groupe réductif G sur Fx se prolonge en un schéma en groupes réductifs
lisse sur Ox et on dispose du sous-groupe ouvert compact maximal G(Ox ) de G(Fx ).
b o ΓF → GLr (C) est dite non ramifiée si
En une telle place x, la représentation de transfert ρ : G
l’homomorphisme induit ΓFx → ΓF → GLr (C) se factorise à travers le quotient non ramifié Γnr
Fx = hσx i de
ΓFx . On sait qu’alors ρ induit un homomorphisme
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
de l’algèbre de Hecke sphérique
r
Hx,∅
= Cc (GLr (Ox )\GLr (Fx )/GLr (Ox ))
de GLr (Fx ) vers celle
G
Hx,∅
= Cc (G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ))
G
→C
de G(Fx ). Ces algèbres sont commutatives, et l’homomorphisme ρ∗x transforme tout caractère zx : Hx,∅
∗
r
de la seconde en un caractère (ρx )∗ (zx ) = zx ◦ ρx : Hx,∅ → C de la première.
b F → GLr (C)
On sait que le groupe réductif quasi-déployé G sur F et la représentation de transfert ρ : GoΓ
sont non ramifiés en toutes les places x ∈ |F | sauf un ensemble fini que l’on note Sρ .
Posons :
Définition I.1. –
Soit un sous-ensemble fini S de |F | contenant Sρ .
(i) Étant donnée une famille de caractères
r
[resp. zx0 : Hx,∅
→ C]
G
zx : Hx,∅
→C
indexés par les places x ∈ |F | − S, une fonction automorphe non nulle
ϕ : G(F )\G(A) → C
[resp. ϕ0 : GLr (F )\GLr (A) → C]
est dite vecteur propre de valeurs propres les zx [resp. zx0 ] pour l’action par convolution des algèbres de
G
r
] si, en toute place x ∈ |F | − S, ϕ [resp. ϕ0 ] est invariante à droite
Hecke sphériques Hx,∅
[resp. Hx,∅
par G(Ox ) [resp. GLr (Ox )] et vérifie
ϕ ∗ ϕx = zx (ϕx ) · ϕ ,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
,
[resp. ϕ0 ∗ ϕ0x = zx0 (ϕ0x ) · ϕ0 ,
3
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
].
(ii) Une fonction automorphe non nulle
ϕ : G(F )\G(A) → C
[resp. ϕ0 : GLr (F )\GLr (A) → C]
est dite “S-propre” si elle satisfait les conditions de (i) relativement à une certaine famille de caractères
r
[resp. zx0 : Hx,∅
→ C] ,
G
→C
zx : Hx,∅
x ∈ |F | − S .
(iii) Une famille de caractères
G
zx : Hx,∅
→C
r
[resp. zx0 : Hx,∅
→ C]
indexés par les places x ∈ |F |−S est dite automorphe si elle satisfait les conditions de (i) relativement à
une certaine fonction automorphe “S-propre” ϕ : G(F )\G(A) → C [resp. ϕ0 : GLr (F )\GLr (A) → C].
Le principe de fonctorialité de Langlands peut être formulé de la manière suivante :
Conjecture I.2 (conjecture de transfert par ρ). –
G
Pour toute partie finie S de |F | contenant Sρ , et pour toute famille de caractères (zx : Hx,∅
→ C)x∈|F |−S
r
∗
qui est automorphe, sa transformée (zx ◦ ρx : Hx,∅ → C)x∈|F |−S par ρ est encore automorphe.
On introduit la notion de noyau du transfert :
Définition I.3. –
Soit une partie finie S de |F | contenant Sρ .
On appelle “noyau” (ou “S-noyau”) du transfert automorphe par ρ toute fonction automorphe en 3
variables g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ G(A)
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
qui satisfait les conditions suivantes :
(i) En toute place x ∈ |F | − S, K est invariante à droite par G(Ox ) × G(Ox ) × GLr (Ox ). En notant ∗1 , ∗2
et ∗3 les produits de convolution en les 3 variables g1 , g2 ∈ G(Fx ) et g ∈ GLr (Fx ), K est compatible
r
G
→ Hx,∅
au sens que
avec ρ∗x : Hx,∅
K ∗3 ϕ0x = K ∗2 ρ∗x (ϕ0x ) ,
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
G
et elle est compatible avec l’automorphisme ϕx 7→ ϕ∨
x de Hx,∅ défini par le changement de variable
−1
g1 7→ g1 au sens que
G
K ∗2 ϕx = K ∗1 ϕ∨
∀ ϕx ∈ Hx,∅
.
x ,
(ii) Pour toute fonction automorphe S-propre
ϕ : G(F )\G(A) → C ,
l’intégrale
Z
(g2 , g) 7→
dg1 · ϕ(g1 ) · K(g1 , g2 , g)
G(F )\G(A)
est absolument convergente quels que soient les éléments g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A), et définit une fonction
automorphe (G × GLr )(F )\(G × GLr )(A) → C.
4
On remarque :
Lemme I.4. –
Pour démontrer la conjecture de transfert I.2 ci-dessus, il suffit de prouver que, pour toute fonction
automorphe S-propre
ϕ : G(F )\G(A) → C ,
il existe un S-noyau du transfert
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
tel que l’intégrale
Z
(g2 , g) 7→
dg1 · ϕ1 (g1 ) · K(g1 , g2 , g)
G(F )\G(A))
ne soit pas uniformément nulle.
On choisit une fois pour toutes un caractère additif non trivial
ψ : A/F → C× .
On sait que les caractères additifs continus A/F → C× sont exactement les
ψγ : u 7→ ψ(γ · u)
associés aux éléments γ ∈ F .
Notant Nr ⊂ GLr le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures unipotentes, on s’intéresse aux
caractères de Nr (A) qui sont triviaux sur Nr (F ). Ce sont exactement les composés
ψ` : Nr (A) → C×
de l’homomorphisme de groupes algébriques
Nr
u = (ui,j )1≤i,j≤r
→ Nr /[Nr , Nr ] = (A1 )r−1
7→ (ui,i+1 )1≤i<r ,
d’une forme linéaire définie sur F
` : (A1 )r−1 → A1
et du caractère ψ : A/F → C× . Un tel caractère ψ` est dit régulier lorsque les r − 1 coordonnées de ` sont
non nulles, et irrégulier dans le cas contraire. On note ψ(r) le caractère régulier dont les r − 1 coordonnées
valent 1.
Une fonction localement constante
W : GLr (A) → C
[resp. GLr (Fx ) → C , x ∈ |F |]
est dite “de ψ(r) -type de Whittaker” si
W (ug) = ψ(r) (u) · W (g) ,
∀ g , ∀ u ∈ Nr (A)
Notant
Qr = GLr−1 · Nr = Nr · GLr−1

∗



 ..

= .

∗


0
[resp. Nr (Fx )] .
...
...
...

∗ ∗ 


.. .. 

. .
∗ ∗



0 1
le sous-groupe “mirabolique” supérieur, on rappelle le résultat suivant de Shalika :
5
Proposition I.5. –
(i) L’opérateur
"
H 7→
ψ
W(r)
H
#
Z
= g 7→
du ·
Nr (F )\Nr (A)
−1
ψ(r)
(u)
· H(ug)
définit une projection de l’espace des fonctions localement constantes
H : Qr (F )\GLr (A) → C
sur l’espace des fonctions de ψ(r) -type de Whittaker W : GLr (A) → C.
ψ
admet pour section, c’est-à-dire pour inverse à droite, l’opérateur
(ii) Cet opérateur W(r)


X
W 7→ g 7→
W (δg) .
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
(iii) L’image de cette section est le sous-espace des fonctions H : Qr (F )\GLr (A) → C qui sont cuspidales
au sens que leurs coefficients unipotents
Z
g 7→
du · ψ`−1 (u) · H(ug)
Nr (F )\Nr (A)
associés aux caractères irréguliers ψ` : Nr (A) → C× sont uniformément nuls.
Remarque :
Il résulte de cette proposition que toute fonction localement constante
H : Qr (F )\GLr (A) → C
s’écrit de manière unique comme la somme
H = H c + H nc
d’une fonction H c : Qr (F )\GLr (A) → C qui est cuspidale et d’une fonction H nc : Qr (F )\GLr (A) → C non
cuspidale au sens que
ψ
W(r)
H nc = 0 .
Cela s’applique en particulier aux fonctions H : GLr (F )\GLr (A) → C mais leurs composantes H c , H nc :
Qr (F )\GLr (A) → C ne sont en général pas invariantes par GLr (F ).
On cherche à construire des noyaux
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )((A) → C
comme sommes de leur composante cuspidale
K c : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
et de leur composante non cuspidale
K nc : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
6
De plus, construire K c équivaut à construire le ψ(r) -coefficient unipotent
ψ
ψ
W(r)
K = W(r)
K c : (G × G × Nr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
Étant données une partie finie S de |F | contenant Sρ et une fonction automorphe S-propre ϕ : G(F )\G(A) →
R
ψ
K(g1 , g2 , g) ne soit pas uniformément nulle
C, il suffit que l’intégrale (g2 , g) 7→ G(F )\G(A) dg1 · ϕ(g1 ) · W(r)
R
pour qu’il en soit de même de l’intégrale (g2 , g) 7→ G(F )\G(A) dg1 · ϕ(g1 ) · K(g1 , g2 , g). Cette condition sera
facile à réaliser si, dans le but de construire des noyaux K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C, on
ψ
K de la manière suivante :
commence par construire leur coefficient W(r)
Définition I.6. –
Soit S une partie finie de |F | contenant Sρ .
On définit les ψ(r) -coefficients unipotents
ψ
W(r)
K : G(F )\G(A) × G(F )\G(A) × GLr (A) → C
des noyaux cherchés K comme des sommes localement finies de la forme


X
Y
ψ

 (g1−1 γ g2 , g) ,
W(r)
K(g1 , g2 , g) =
KψG,ρ
x
x∈|F |
γ∈G(F )
où les facteurs locaux
KψG,ρ
,
x
x ∈ |F | ,
sont des fonctions localement constantes
G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
(g, g 0 ) 7→ KψG,ρ
(g, g 0 )
x
telles que
• en toute place x ∈ |F |, les fonctions KψG,ρ
(•, g 0 ) sont à support compact dans G(Fx ) et les fonctions
x
KψG,ρ
(g, •) sur GLr (Fx ) sont de ψ(r) -type de Whittaker,
x
• en toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , KψG,ρ
est un “noyau local” du transfert non ramifié par ρ : cela
x
G,ρ
signifie que Kψx est invariante à gauche et à droite par G(Ox ) en la variable g ∈ G(Fx ), invariante
à droite par GLr (Ox ) en la variable g 0 ∈ GLr (Fx ) et compatible avec l’homomorphisme
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
au sens que
KψG,ρ
∗2 ϕ0x = KψG,ρ
∗1 ρ∗x (ϕ0x ) ,
x
x
r
∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
.
Remarque :
La dernière condition sur KψG,ρ
équivaut à demander que sa décomposition spectrale sous la double action
x
G
r
G
par convolution à droite de Hx,∅
et Hx,∅
ne fasse apparaı̂tre que des paires de caractères (zx : Hx,∅
→ C,
0
r
zx : Hx,∅ → C) reliés par la condition
zx0 = zx ◦ ρ∗x = (ρx )∗ (zx ) .
7
Afin de construire des noyaux locaux du transfert non ramifié
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
vérifiant les conditions de la définition I.6 ci-dessus en les places x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , on a besoin de
préciser la forme des homomorphismes
G
r
,
→ Hx,∅
ρ∗x : Hx,∅
x ∈ |F | − Sρ ,
et pour cela de rappeler l’isomorphisme de Satake :
Proposition I.7. –
Soit x une place en laquelle le groupe quasi-déployé G est non ramifié, et soit SxG = {w ∈ SG | σx (w) =
w} le groupe de Weyl Fx -rationnel de G.
Soient Txd le plus grand sous-tore de T qui est déployé sur Fx , Tbxd son tore complexe dual muni de l’action
de Sx , et Im Tbxd le plus grand sous-tore réel compact de Tbxd .
G
Alors :
(i) Il existe un isomorphisme, appelé isomorphisme de Satake,
∼
x
SxG : HxG −→ C [Tbxd ]SG
si bien que les caractères de l’algèbre commutative HxG sont associés aux éléments de Tbxd , modulo
l’action du groupe fini SxG .
(ii) Pour tout élément λ ∈ Tbxd , il existe une unique fonction
ϕG
x,λ : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
telle que
G
G
G
ϕG
x,λ ∗ ϕx = ϕx ∗ ϕx,λ = Sx (ϕx )(λ) · ϕx,λ ,
G
∀ ϕx ∈ Hx,∅
et
ϕG
x,λ (1) = 1 .
(iii) Il existe une unique mesure dλ sur Im Tbxd , appelée la mesure de Plancherel, telle que pour tout ϕx ∈
G
Hx,∅
, on ait
Z
ϕx (g) =
dλ · SxG (ϕx )(λ) · ϕG
∀ g ∈ G(Fx ) .
x,λ (g) ,
Im Tbxd
Si Tr = Grm désigne le tore maximal de GLr et Tbr = (C× )r son tore dual, on dispose de même en toute
place x ∈ |F | de l’isomorphisme de Satake sur GLr (Fx )
∼
r
−→ C [Tbr ]Sr .
Sxr : Hx,∅
Passons maintenant aux homomorphismes ρ∗x en les places x ∈ |F | − Sρ :
Lemme I.8. –
b
Quitte à remplacer la représentation de transfert ρ : GoΓ
F → GLr (C) par une représentation conjuguée,
supposons – ce que nous ferons toujours désormais – qu’elle induit un homomorphisme entre tores maximaux
ρT : Tb → Tbr = (C× )r .
En une place non ramifiée arbitraire x ∈ |F | − Sρ , notons ex l’ordre de l’élément de Frobenius σx agissant
sur l’espace Cr de GLr (C). Alors :
8
(i) Le dual Tbxd de Txd s’identifie au quotient de Tb par le sous-tore {λ · σx (λ−1 ) | λ ∈ Tb}, si bien que
l’homomorphisme
Tb
→ Tbr
λ
7→ ρT (λ · σx (λ) . . . σxex −1 (λ))
définit un homomorphisme
ρT,x : Tbxd → Tbr .
(ii) Il est possible d’ordonner la famille
εx = (ε1x , . . . , εrx ) ∈ (C× )r
des r valeurs propres de σx agissant sur Cr , de telle façon que l’homomorphisme d’algèbres
r
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
,
vu comme un homomorphisme
x
ρ∗x : C [Tbr ]Sr → C [Tbxd ]SG
vérifie
ρ∗x (px )(λex ) = px (εx · ρT,x (λ)) ,
∀ λ ∈ Tbxd ,
∀ px ∈ C [Tbr ]Sr .
En toute place x ∈ |F | et pour tout caractère λ0 ∈ Tbr = (C× )r , il existe une unique fonction de ψ(r) -type
de Whittaker
r,ψx
Wx,λ
0 : GLr (Fx )/GLr (Ox ) → C
telle que
r,ψx
r,ψx
0
r
0
0
Wx,λ
0 ∗ ϕx = Sx (ϕx )(λ ) · Wx,λ0
et
 r−1
γx


r,ψx  0
Wx,λ
0 
.
 ..
0
0
..
.
..
.
...
...
..
.
γx
0

0
.. 

.
 = 1

0
1
pour n’importe quel élément γx ∈ Fx× de valuation vx (γx ) égale au conducteur Nψx de la composante ψx de
ψ en x.
On a :
Proposition I.9. –
En toute place x ∈ |F |−S ⊂ |F |−Sρ , les noyaux locaux du transfert non ramifié au sens de la définition I.6
KψG,ρ
: G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) × GLr (Fx )/GLr (Ox ) → C
x
sont exactement les fonctions de la forme
Z
r,ψx
0
0
KψG,ρ
(g,
g
)
=
dλex · px (λex ) · ϕG
x,λex (g) · Wx,εx ·ρT ,x (λ) (g )
x
Im Tbxd
x
pour un certain polynôme symétrique px ∈ C [Tbxd ]SG .
9
Remarque :
Pour que le produit infini
Q
KψG,ρ
ait un sens comme fonction sur (G × GLr )(A), on demande que
x
x∈|F |
px = 1 en presque toute place x ∈ |F | − S.
Notons µG : Gm → ZG ⊂ G le cocaractère central de G bien défini sur F qui correspond au caractère
ρ
b → C× composé de G
b −→
µ
bG : G
GLr (C) et du déterminant.
On remarque :
Corollaire I.10. –
Soit
ωρ : A× /F × → C×
le caractère automorphe d’ordre fini qui correspond, via la théorie du corps de classes, au caractère
Γ F → C×
composé de ΓF → GLr (C) et du déterminant.
Alors, en toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , les noyaux locaux du transfert non ramifié
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
vérifient la condition
KψG,ρ
(g, z g 0 ) = KψG,ρ
(µG (z) g, g 0 ) · ωρ (z) ,
x
x
∀ z ∈ Fx× .
Remarque :
Il est naturel de demander à la suite de ce corollaire – et nous le ferons toujours désormais – que, en
toutes les places x ∈ |F | sans exception, les facteurs KψG,ρ
de la définition I.6 vérifient la même condition
x
KψG,ρ
(g, z g 0 ) = KψG,ρ
(µG (z) g, g 0 ) · ωρ (z) ,
x
x
∀ z ∈ Fx× .
Démonstration du corollaire :
La conclusion résulte de ce que, en toute place x ∈ |F | − Sρ , le produit ε1x . . . εrx des r composantes de
εx = (ε1x , . . . , εrx ) est égal au déterminant de σx agissant sur l’espace Cr de GLr (C). En effet, εx = (ε1x , . . . , εrx )
est la famille des r valeurs propres de cette action.
Étant donnée une famille de fonctions locales
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C ,
x
x ∈ |F | ,
vérifiant toutes les conditions que nous avons énoncées, le ψ(r) -coefficient unipotent
ψ
W(r)
K : G(F )\G(A) × G(F )\G(A) × GLr (A) → C

(g1 , g2 , g) 7→
X

γ∈G(F )
10

Y
x∈|F |
 (g1−1 γ g2 , g)
KψG,ρ
x
correspond à une fonction cuspidale
K c = KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
X
(g1 , g2 , g) 7→
ψ
K(g1 , g2 , δg)
W(r)
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
r
G
et avec l’involution ϕx 7→ ϕ∨
qui, en toute place x ∈ |F |−S ⊂ |F |−Sρ , est compatible avec ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
x
G
de Hx,∅ .
Conjecture I.11. –
Si en chaque place x ∈ S, la fonction locale
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
b o ΓF → GLr (C), il est possible de
vérifient certaines conditions qui dépendent de la restriction de ρ en G
x
construire une fonction
K nc = KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
qui est non cuspidale au sens que
ψ
W(r)
K nc = 0 ,
G
r
G
→ Hx,∅
et avec l’involution ϕx 7→ ϕ∨
est compatible avec ρ∗x : Hx,∅
x de Hx,∅ en toute place x ∈ |F | − S, et
telle que la somme
K G,ρ = K = K c + K nc = KψG,ρ + KψG,ρ
soit invariante à gauche par GLr (F ) et définisse un S-noyau du transfert par ρ.
Dans le but d’essayer de prouver cette conjecture, on introduit comme dans la théorie des “théorèmes
réciproques” (voir [Cogdell, Piatetski-Shapiro]) les matrices de permutation en rang r






0 ... ... 0 1
0 ... 0 1 0
0 ... 0 1
 ..
1 0 . . . 0 0
.

 . . . . . . . 0 .. 


 ..
 . . . . . . . 0



.. .. 
..
..





.
. . .
wr = 
. . . . . ... ...  , αr = wr wr−1 = 0
,
.  , wr−1 = 
0 .

. .

0 . . . . . . .. 
.
.
. . . . 0 .. 
1 0 . . . 0 0
 ..
1 0 ... 0
0 ... 0 1 0
0 ... ... 0 1
et le sous-groupe mirabolique inférieur
−1
Qop
r = (αr Nr αr ) · GLr−1


 ∗

 ..

= GLr−1 · (αr−1 Nr αr ) =  .

∗



∗
...
∗
..
.
...
...
∗
∗
Remarquant que
(αr−1 Nr αr ) ∩ GLr−1 = Nr−1 ,
on forme la somme
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
δ∈N(r−1) (F )\GLr−1 (F )
11
ψ
W(r)
K(g1 , g2 , αr δg) .

0 


.. 
.
 .

0


1
r
G
La fonction ainsi définie sur (G × G × GLr )(A) est compatible avec ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
et avec l’involution
∨
G
ϕx 7→ ϕx de Hx,∅ en toute place x ∈ |F | − S, et elle est invariante à gauche par (G × G × GLr )(F ).
La conjecture suivante implique la précédente :
Conjecture I.12. –
Sous les hypothèses de la conjecture I.11, il est possible de construire deux fonctions complémentaires
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
ψ
r
G
G
toutes deux compatibles avec ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
et avec l’involution ϕx 7→ ϕ∨
x de Hx,∅ en toute place x ∈
|F | − S, et telles que KψG,ρ soit non cuspidale, et
e G,ρ + K
e G,ρ .
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
Remarque :
L’implication résulte de ce que GLr (F ) est engendré par ses sous-groupes Qr (F ) et Qop
r (F ).
12
II. Intégrales de Rankin-Selberg, facteurs L locaux et transformation
de Fourier
Rappelons qu’on part d’une fonction localement constante
ψ
W(r)
K : (G × G × GLr )(A) → C
de la forme
(g1 , g2 , g) 7→
=
X
Y

γ∈G(F )
KψG,ρ
! x
Les facteurs locaux
produit


ψ
W(r)
(g1 , g2 , g)
Q
KψG,ρ
x
 (g1−1 γ g2 , g) .
KψG,ρ
x
x∈|F |
en les places x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ sont des noyaux du transfert non ramifié. Le
(•, •) est à supports compacts dans G(A) en la première variable et de ψ(r) -type de
x∈|F |
Whittaker sur GLr (A) en la seconde variable, et il vérifie




Y G,ρ
Y G,ρ

Kψx  (µG (z)g, g 0 ) · ωρ (z) ,
Kψx  (g, zg 0 ) = 
∀ z ∈ A× .
x∈|F |
x∈|F |
On cherche à comparer les deux fonctions sommes sur (G × G × GLr )(A)
X
ψ
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
W(r)
K(g1 , g2 , δg) ,
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
X
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
ψ
W(r)
K(g1 , g2 , αr δg) ,
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
et, si possible, à construire deux fonctions complémentaires
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
e G,ρ : (G × G × Qop )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
K
r
ψ
e G,ρ + K
e G,ρ .
vérifiant l’égalité KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
Dans ce but, on considère une fonction test localement constante à support compact arbitraire
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
et on forme les produits scalaires
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g)
Z
=
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) ,
13
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
GLr−1 (A)
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) .
dg 0 · K
ψ
Lemme II.1. –
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) se développent en
Les produits scalaires KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) et K
ψ
X
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ) ,
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
X
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
f G,ρ,h (γ, δ) ,
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
où
G,ρ,h
Wψ,g
=
1 ,g2 ,g
O
x
WψG,ρ,h
x ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
et
f G,ρ,h =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
O
f G,ρ,hx
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
sont les produits des fonctions locales
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C ,
respectivement définies en chaque place x ∈ |F | par les intégrales
Z
G,ρ,hx
0
0
0−1 0
Wψx ,g1 ,g2 ,g (mx , mx ) =
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 m−1
x g2 , gx g) · hx (mx gx )
x
GLr−1 (Fx )
et
f G,ρ,hx (mx , m0 )
W
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
Z
=
GLr−1 (Fx )
Z
=
GLr−1 (Fx )
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , αr gx0 g) · hx (m0x gx0 )
x
dgx0 · KψG,ρ
(g1−1 mx g2 , wr tgx0−1 g) · hx (m0x wr−1 tgx0−1 ) .
x
En toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , le noyau KψG,ρ
se décompose spectralement sous la forme
x
Z
KψG,ρ
(g, g 0 ) =
dλ · KψG,ρ
(g, g 0 )
x
x ,λ
Im Tbxd
G
où, pour tout caractère unitaire λ ∈ Im Tbxd de Hx,∅
, KψG,ρ
(•, •) est le produit de la fonction sphérique propre
x ,λ
G
normalisée ϕx,λ : G(Fx ) → C et d’une fonction Wλ : GLr (Fx )/GLr (Ox ) → C de type ψ(r) -type de Whittaker
qui vérifie
r
Wλ ∗ ϕ0x = ((ρx )∗ (λ))(ϕ0x ) · Wλ , ∀ ϕ0x ∈ Hx,∅
,
r
autrement dit qui appartient au ψ(r) -modèle de Whittaker du caractère unitaire (ρx )∗ (λ) de Hx,∅
.
Si le facteur local hx en une telle place x de la fonction test h est sphérique, il admet quant à lui une
décomposition spectrale de la forme
Z
0
0
hx (g ) =
dz · Sxr−1 (hx )(z) · ϕr−1
g 0 ∈ GLr−1 (Fx ) .
x,z (g ) ,
Im Tbr−1 =U (1)r−1
14
Un résultat fondamental de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika – l’équation fonctionnelle locale des
x
f G,ρ,hx
intégrales de Rankin-Selberg – permet de donner des décompositions spectrales de WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
à partir de celles de KψG,ρ
et
h
,
et
de
les
relier
par
une
équation
fonctionnelle
:
x
x
Théorème II.2. –
Soit x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ une place en laquelle le facteur hx de la fonction test h est sphérique. Alors :
x
f G,ρ,hx
(i) Les deux fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g sur (G × GLr−1 )(Fx ) admettent des décompositions specx ,g1 ,g2 ,g
trales de la forme
Z
Z
−1
G,ρ,hx
0
x ,λ,z
Wψ,g1 ,g2 ,g (mx , mx ) =
(mx , m0x ) ,
dλ ·
dz · Lx ρ, λ−1 , z −1 , qx 2 · WψG,ρ,h
x ,g1 ,g2 ,g
Im Tbxd
f G,ρ,hx (mx , m0x ) =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
Im Tbr−1
Z
Z
dλ ·
Im Tbxd
Im Tbr−1
−1
f G,ρ,hx ,λ,z (mx , m0x ) ,
dz · Lx ρ, λ−1 , z −1 , qx 2 · W
ψx ,g1 ,g2 ,g
où
x ,λ,z
f G,ρ,hx ,λ,z ] sur G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) est élément de l’espace
• chaque fonction WψG,ρ,h
[resp. W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
propre associé à la paire (λ, z) de représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de
G(Fx ) et GLr−1 (Fx ),
f G,ρ,hx ,λ,z (mx , m0 ), mx ∈ G(Fx ), m0 ∈ GLr−1 (Fx ),
• la dépendance des W G,ρ,hx ,λ,z (mx , m0 ) et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x
ψx ,g1 ,g2 ,g
x
x
en les valeurs propres λ ∈ Tbxd et z ∈ Tbr−1 = (C× )r−1 est polynomiale,
r
• si les (ρx )i∗ (λ), 1 ≤ i ≤ r, désignent les r valeurs propres de Hecke du caractère (ρx )∗ (λ) de Hx,∅
,
r−1
et les zj , 1 ≤ j ≤ r − 1, désignent les r − 1 valeurs propres de Hecke du caractère z de Hx,∅ ,
Lx (ρ, λ, z, Z) est le dénominateur
Y
Lx (ρ, λ, z, Z) =
1≤i≤r
1≤j≤r−1
1
.
1 − (ρx )i∗ (λ) · zj · Z
(ii) On a les équations fonctionnelles
−1
f G,ρ,hx ,λ
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
,z −1
− 21
0−1
x ,λ,z
(mx , m0x ) = WψG,ρ,h
(m−1
x , mx ) · εx ρ, λ, z, ψx , qx
x ,g1 ,g2 ,g
où
εx (ρ, λ, z, ψx , Z) =
Y
εx ((ρx )i∗ (λ) · zj , ψx , Z) .
1≤i≤r
1≤j≤r−1
Afin de généraliser ce résultat au cas d’une fonction test localement constante à support compact arbitraire
hx : GLr−1 (Fx ) → C ,
on doit la décomposer spectralement.
On rappelle :
Proposition II.3. –
En n’importe quel rang r ≥ 1, on a :
15
(i) L’espace des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires π de GLr (Fx ) se décompose
comme une réunion disjointe de variétés algébriques réelles
Im [π0 ]/Fixe (r, π0 )
indexées par des paires (r, π0 ) où
• r désigne une partition r = r1 + . . . + rk du rang r,
• π0 est une représentation lisse admissible irréductible unitaire et de carré intégrable de GLr (Fx ) =
GLr1 (Fx ) × . . . × GLrk (Fx ),
• [π0 ] est une variété algébrique complexe sur laquelle le tore complexe (C× )k agit simplement
transitivement,
• Im [π0 ] est une sous-variété algébrique réelle compacte de [π0 ] sur laquelle le sous-tore U (1)k agit
simplement transitivement,
• Fixe (r, π0 ) est un groupe fini qui agit sur [π0 ] en respectant Im [π0 ].
Cela permet de parler de fonctions polynomiales sur cet espace : ce sont les fonctions nulles en dehors
d’un nombre fini de composantes et dont la restriction à chaque composante Im [π0 ]/Fixe (r, π0 ) est
polynomiale et se prolonge donc en un polynôme sur la variété complexe [π0 ] invariant par Fixe (r, π0 ).
(ii) Cet espace est muni d’une mesure dπ, dite “mesure de Plancherel”, telle que toute fonction localement
constante à support compact
hx : GLr (Fx ) → C
se décompose spectralement sous la forme
Z
hx (g) = dπ · hx,π (g) ,
g ∈ GLr (Fx ) ,
où
• chaque hx,π : GLr (Fx ) → C est élément du sous-espace propre associé à π, c’est-à-dire est une
combinaison linéaire de coefficients matriciels de π,
• chaque fonction π 7→ hx,π (g), g ∈ GLr (Fx ), est un polynôme.
Ce rappel étant fait, on peut déduire de l’équation fonctionnelle locale de Jacquet, Piatetski-Shapiro et
Shalika :
Théorème II.4. –
En n’importe quelle place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , considérons la décomposition spectrale
Z
hx (•) = dπ · hx,π (•)
de la fonction test localement constante à support compact hx : GLr−1 (Fx ) → C. Alors :
x
f G,ρ,hx
(i) Les deux fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g sur (G × GLr−1 )(Fx ) admettent des décompositions specx ,g1 ,g2 ,g
trales de la forme
Z
Z
1
G,ρ,hx
0
−1
∨ −2
x ,λ,π
Wψ,g
(m
,
m
)
=
dλ
·
dπ
·
L
ρ,
λ
,
π
,
q
· WψG,ρ,h
(mx , m0x ) ,
x
x
x
x
x ,g1 ,g2 ,g
1 ,g2 ,g
Im Tbxd
f G,ρ,hx (mx , m0x ) =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
Z
Z
dλ ·
Im Tbxd
−1
f G,ρ,hx ,λ,π (mx , m0x ) ,
dπ · Lx ρ, λ−1 , π ∨ , qx 2 · W
ψx ,g1 ,g2 ,g
où
16
x ,λ,π
f G,ρ,hx ,λ,π ] sur G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) est élément de l’espace
• chaque fonction WψG,ρ,h
[resp. W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
propre associé à la paire (λ, π) de représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de
G(Fx ) et GLr−1 (Fx ),
f G,ρ,hx ,λ,π (mx , m0x ), mx ∈ G(Fx ), m0x ∈ GLr−1 (Fx ),
• la dépendance de W G,ρ,hx ,λ,π (mx , m0x ) et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
ψx ,g1 ,g2 ,g
en λ ∈ Tbxd et π est polynomiale,
• Lx (ρ, λ, π, Z) est le dénominateur
Y
Lx (ρ, λ, π, Z) =
Lx (π, (ρx )i∗ (λ) · Z) .
1≤i≤r
(ii) On a les équations fonctionnelles
−1
f G,ρ,hx ,λ
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
,π ∨
− 21
−1
0−1
x ,λ,π
(mx , m0x ) = WψG,ρ,h
(m
,
m
)
·
ε
ρ,
λ,
π,
ψ
,
q
· χπ (−1)r−1
x
x
x
x
x
x ,g1 ,g2 ,g
où
εx (ρ, λ, π, ψx , Z) =
Y
εx (π, ψx , (ρx )i∗ (λ) · Z) .
1≤i≤r
L’apparition des facteurs linéaires locaux Lx (π, Z) et εx (π, ψx , Z) dans les équations fonctionnelles de
Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika, et donc dans notre recherche de “noyaux” du transfert automorphe,
incite à revoir rapidement la théorie de ces facteurs Lx et εx classiques associés, en tout rang r ≥ 1, aux
représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de GLr (Fx ).
Les Lx (π, Z) sont définis par la proposition suivante, au moyen du plongement de GLr (Fx ) dans l’algèbre
matricielle Mr (Fx ) :
Proposition II.5. –
En n’importe quel rang r ≥ 1, on a :
(i) Toute fonction localement constante à support compact
fx : Mr (Fx ) → C
se décompose spectralement sous la forme
Z
−1
− r2
fx (g) = | det(g)|x · dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,π (g) ,
g ∈ GLr (Fx ) ,
π
où
• chaque fx,π : GLr (Fx ) → C est élément du sous-espace propre associé à π,
• chaque fonction π 7→ fx,π (g), g ∈ GLr (Fx ), est un polynôme,
• sur chaque composante de l’espace des π, Lx (π, Z) est l’inverse d’un polynôme Lx (π, Z)−1 en π
et Z, et vérifie
Lx (π, 0)−1 = 1 ,
∀π,
Lx (π ⊗ | det(•)|s , Z) = Lx (π, qx−s · Z) ,
∀s ∈ C,
∀π.
(ii) Pour toute famille de polynômes L0x (π, Z)−1 en π et Z qui vérifie les propriétés de (i), les polynômes
Lx (π, Z)−1 divisent les polynômes L0x (π, Z)−1 .
17
Le choix du caractère additif continu non trivial ψx : Fx → C× définit un opérateur
"
#
Z
fx 7→ fbx = m0 7→ fbx (m0 ) =
dm · fx (m) · ψx (Tr (m m0 ))
Mr (Fx )
de ψx -transformation de Fourier dans l’espace des fonctions localement constantes à support compact fx :
Mr (Fx ) → C.
Modulo multiplication par le caractère g 7→ | det(g)|rx et changement de variable g 7→ g −1 , cet opérateur
commute avec les translations à gauche ou à droite par tout élément de GLr (Fx ). Il doit donc agir par
multiplication par un scalaire sur l’espace des coefficients matriciels de toute représentation lisse admissible
irréductible unitaire de GLr (Fx ). Tate dans le cas r = 1, puis Godement et Jacquet dans le cas r ≥ 2, ont
montré que ce scalaire a la forme
−1
Lx π, qx 2
−1
· εx π, ψx , qx 2
1
−
Lx π ∨ , qx 2
où, dans toute composante de l’espace des π,
π 7→ εx (π, ψx , Z)
est un polynôme inversible, autrement dit un monôme, en π et Z. Ce monôme est égal à 1 si π est non
ramifiée et que le conducteur Nψx de ψx est 0, et il vérifie
εx (π ⊗ | det(•)|s , ψx , Z) = εx (π, ψx , qx−s · Z) ,
∀s ∈ C,
∀π.
Ainsi on a :
Proposition II.6. –
Pour toute fonction localement constante à support compact
fx : Mr (Fx ) → C
décomposée spectralement en
fx (g) =
−r
| det(g)|x 2
Z
·
−1
dπ · Lx π ∨ , qx 2 · fx,π (g) ,
g ∈ GLr (Fx )
comme dans la proposition II.5(i), sa ψx -transformée de Fourier fbx admet la décomposition spectrale
Z
−r
−1
−1
fbx (g) = | det(g)|x 2 · dπ · Lx π, qx 2 · εx π, ψx , qx 2 · fx,π (g −1 ) .
Revenons maintenant au groupe réductif quasi-déployé G sur F et à la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Le conjecture I.2 de transfert par ρ peut être reformulée en la partie (i) de la conjecture suivante que l’on
complète habituellement par la partie (ii) :
18
Conjecture II.7. –
(i) Pour toute représentation automorphe π =
N
πx de G(A) non ramifiée en dehors du sous-ensemble
N 0
fini S ⊃ Sρ de |F |, il existe une représentation automorphe π 0 =
πx de GLr (A) telle que, en toute
x∈|F |
x∈|F |
r
place x ∈ |F | − S, le facteur πx0 est non ramifié et s’identifie au caractère de Hx,∅
image par (ρx )∗ du
G
caractère πx de Hx,∅
.
(ii) De plus, même en les places éventuellement ramifiées x ∈ S, le facteur πx0 de π 0 ne dépend que de ρ et
du facteur πx de π, si bien que, en toute place x ∈ |F |, on devrait pouvoir associer aux représentations
locales πx des facteurs Lx et εx non linéaires
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (πx0 , Z) ,
εx (ρ, πx , ψx , Z) = εx (πx0 , ψx , Z) .
Les facteurs Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z) ne sont pas faciles à définir a priori sur l’espace des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires πx de G(Fx ). Rappelons que, comme dans le cas linéaire, cet
espace se décompose naturellement comme la réunion disjointe de variétés algébriques, quotients de tores
par l’action de groupes finis. On s’attend certainement à ce que, sur chaque composante, Lx (ρ, πx , Z)−1 soit
un polynôme en πx et Z qui vaut 1 en Z = 0, et que εx (ρ, πx , ψx , Z) soit un monôme en πx et Z égal à 1 si
x∈
/ Sρ , πx est non ramifié et Nψx = 0.
Il n’est pas restrictif de supposer, comme nous le ferons toujours, que le groupe réductif G est muni d’un
caractère bien défini sur F
detG : G → Gm
dont le cocaractère central correspondant du groupe dual
c G : C× → Z b ⊂ G
b,
det
G
b o ΓF → GLr (C), est égal à
composé avec ρ : G

z

0
z 7→ 
.
 ..
0
0
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
0

0
.. 
.
.

0
z
Alors les facteurs locaux non linéaires Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z) devront nécessairement vérifier
Lx (ρ, πx ⊗ |detG (•)|s , Z) = Lx (ρ, πx , qx−s · Z) ,
εx (ρ, πx ⊗ |detG (•)|s , ψx , Z) = εx (ρ, πx , ψx , qx−s · Z) ,
∀s ∈ C,
∀ πx .
Proposons la définition de travail suivante :
Définition II.8. –
En n’importe quelle place x ∈ |F |, appelons ensemble des “représentations de type L (relatif à ρ) de
G(Fx )” une réunion de composantes de l’espace des représentations lisses admissibles πx de G(Fx ) sur
lesquelles on sait définir a priori les facteurs non linéaires Lx (ρ, πx , Z) et εx (ρ, πx , ψx , Z). On demande que
cet ensemble soit stable par le passage aux représentations contragrédientes πx 7→ πx∨ .
19
Remarque :
La règle de transfert de Langlands impose de ranger parmi les représentations de type L, en toute place
non ramifiée x ∈ |F | − Sρ , les représentations de G(Fx ) qui sont sphériques, c’est-à-dire correspondent à un
G
r
G
caractère zx de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
. Via l’homomorphisme ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
induit par ρ, tout
r
tel caractère zx induit un caractère (ρx )∗ (zx ) de Hx,∅ , de valeurs propres de Hecke les (ρx )i∗ (zx ), 1 ≤ i ≤ r,
et on pose naturellement
Y
Lx ((ρx )i∗ (zx ), Z) ,
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (ρ, zx , Z) = Lx ((ρx )∗ (zx ), Z) =
1≤i≤r
Y
εx (ρ, πx , εx , Z) = εx (ρ, zx , ψx , Z) = εx ((ρx )∗ (zx ), ψx , Z) =
εx ((ρx )i∗ (zx ), ψx , Z) .
1≤i≤r
En dehors du cas central des représentations sphériques de G(Fx ) en les places non ramifiées x ∈
|F | − Sρ , donnons d’autres exemples de types de représentations locales qu’il est possible de classer comme
“représentations de type L”.
Voyons d’abord les cas où le groupe de Galois ΓF de F agit sur l’espace Cr de GLr (C) par permutation
de ses r vecteurs de base. Cette action définitQune F -algèbre E séparable de degré r dont le dual TbE du tore
multiplicatif TE = ResE/F Gm s’identifie à
C× = Tbr . L’homomorphisme ΓF -équivariant induit par ρ
1≤i≤r
Y
ρT : Tb → Tbr =
C× = TbE
1≤i≤r
admet un homomorphisme dual bien défini sur F
ρ∨
T : TE → T
qui induit en toute place x ∈ |F | un homomorphisme
TE (Fx ) → T (Fx )
du groupe multiplicatif TE (Fx ) = Ex× de la Fx -algèbre séparable Ex = E ⊗F Fx vers T (Fx ). On note enfin
qu’en toute telle place x ∈ |F |, l’algèbre Ex est munie de la ψx -transformation de Fourier définie par le
caractère Ex → C× composé de ψx : Fx → C× et de l’homomorphisme de trace Tr : Ex → Fx . Cela permet
de définir les facteurs Lx (χ0x , Z) et εx (χ0x , ψx , Z) de tout caractère continu χ0x : Ex× → C× .
Lemme II.9. –
Supposons comme ci-dessus que ΓF agit sur Cr par permutation de ses r vecteurs de base, définissant
ainsi une F -algèbre E et un homomorphisme ρ∨
T : TE = ResE/F Gm → T .
Alors :
(i) En toute place x ∈ |F |, tout caractère continu χx : T (Fx ) → C× peut être considéré comme “de type
L” relativement à la représentation de transfert ρT : Tb o ΓF → GLr (C), en posant
Lx (ρT , χx , Z) = Lx (χ0x , Z) ,
εx (ρT , χx , ψx , Z) = εx (χ0x , ψx , Z) ,
si χ0x : TE (Fx ) = Ex× → C× désigne le composé de χx avec TE (Fx ) → T (Fx ).
20
(ii) En toute place x ∈ |F |, toute représentation lisse admissible πx de G(Fx ) qui est l’induite normalisée
d’un caractère χx du tore maximal T (Fx ), peut être considérée comme “de type L” relativement à ρ,
en posant
Lx (ρ, πx , Z) = Lx (ρT , χx , Z) ,
εx (ρ, πx , ψx , Z) = εx (ρT , χx , ψx , Z) .
Pour l’exemple suivant, on a besoin de remplacer G par ses “groupes croisés” de degré r0 ≥ 2 que permet
de définir le caractère detG : G → Gm déjà introduit.
Définition II.10. –
Soit un entier r0 ≥ 2.
(i) Le “groupe croisé” de degré r0 de G est défini comme le sous-groupe algébrique
Gr0 = {(g, g 0 ) ∈ G × GL0r | detG (g) = det(g 0 )} .
C’est un groupe réductif dont le dual s’identifie au quotient
b r0 = (G
b × GLr0 (C))/C×
G
b × GLr0 (C) par le cocaractère central
de G
c G (z), z −1 ) .
C× 3 z 7→ (det
b r0 de Gr0 est muni de la “représentation croisée”
(ii) Le dual G
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
b o ΓF → GLr (C) et de la représentation standard de GLr0 (C) = GL
c r0 .
produit tensoriel de ρ : G
Nous pouvons énoncer :
Lemme II.11. –
Considérons un degré r0 ≥ 2 comme dans la définition II.10 ci-dessus.
(i) En toute place x ∈ |F |, les représentations lisses admissibles irréductibles de Gr0 (Fx ) sont les produits
πx πx0 d’une représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ) et d’une représentation lisse
admissible irréductible πx0 de GLr0 (Fx ).
(ii) Si x ∈ |F | − Sρ est une place non ramifiée, et que πx est sphérique et correspond donc à un caractère zx
G
de Hx,∅
dont le transfert (ρx )∗ (zx ) admet pour valeurs propres de Hecke les (ρx )i∗ (zx ) ∈ C× , 1 ≤ i ≤ r,
b r0 oΓF → GLrr0 (C),
on peut classer πx πx0 parmi les représentations “de type L” relativement à ρr0 : G
en posant
Y
Lx (ρr0 , πx πx0 , Z) =
Lx (πx0 , (ρx )i∗ (zx ) · Z) ,
1≤i≤r
Y
εx (ρr0 , πx πx0 , ψx , Z) =
1≤i≤r
21
εx (πx0 , ψx , (ρx )i∗ (zx ) · Z) .
Remarque :
Cet exemple est particulièrement important lorsque r0 = r − 1. Dans ce cas en effet, les facteurs Lx et εx
simples introduits ci-dessus coı̈ncident avec les facteurs Lx et εx de paires
Lx (ρ, zx , πx0 , Z) ,
εx (ρ, zx , πx0 , ψx , Z) ,
qui apparaissent d’après Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika dans les équations fonctionnelles locales du
théorème II.4.
Le lemme II.11 ci-dessus est naturellement complété par le lemme suivant :
Lemme II.12. –
Supposons comme dans le lemme II.9 que ΓF agit sur Cr par permutation de ses r vecteurs de base.
Et considérons, en une place arbitraire x ∈ |F |, les représentations lisses admissibles irréductibles πx πx0 de Gr0 (Fx ) telles que πx est l’induite normalisée d’un caractère χx du tore maximal T (Fx ), et que la
représentation πx0 de GLr0 (Fx ) est sphérique, avec pour valeurs propres de Hecke z10 , . . . , zr0 ∈ C× .
Alors on peut classer ces représentations πx πx0 parmi les représentations “de type L” relativement à
b r0 o ΓF → GLrr0 (C) en posant
ρr 0 : G
Y
Lx (ρr0 , πx πx0 , Z) =
Lx (ρT , χx , zj0 · Z) ,
1≤j≤r 0
εx (ρr0 , πx πx0 , ψx , Z) =
Y
εx (ρT , χx , ψx , zj0 · Z) .
1≤j≤r 0
Nous allons donner une dernière série importante de représentations lisses admissibles irréductibles de
G(Fx ) (ou Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2), x ∈ |F |, qu’il est possible de classer a priori parmi les représentations “de type
L” relativement à ρ (ou ρr0 ).
Pour cela, rappelons le résultat local fondamental suivant de Jacquet et Shalika :
Proposition II.13. –
Pour toute représentation lisse admissible irréductible πx0 de GLr (Fx ), de caractère central χπx0 : Fx× →
×
C , et pour tout caractère ωx : Fx× → C× suffisamment ramifié en fonction de la ramification de πx0 , on a
Lx (πx0 ⊗ (ωx ◦ det), Z) = 1 ,
εx (πx0 ⊗ (ωx ◦ det), ψx , Z) = εx (χπx0 ωx , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)r−1 .
Rappelons que nous avons noté µG : Gm → ZG ,→ G le cocaractère central de G dont le dual est le
caractère composé
det
ρ
b −→
µ
bG : G
GLr (C) −−→ C× ,
et ωρ : A× /F × → C× le caractère automorphe qui correspond, via la théorie du corps de classes, au
déterminant de l’action par ρ du groupe de Galois ΓF sur l’espace Cr de GLr (C).
Pour toute représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ), notons χπx : Fx× → C× le caractère
induit par πx via le cocaractère central µG : Fx× → G(Fx ).
22
Selon la conjecture II.7(ii), on devrait pouvoir transférer par ρ toute telle représentation locale πx de
G(Fx ) en une représentation lisse admissible irréductible πx0 de GLr (Fx ). Si x ∈ |F | − Sρ et que πx est non
r
G
ramifiée, πx0 est déjà définie comme la représentation non ramifiée image de πx par ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
, et on
connaı̂t d’après le corollaire I.10 la formule
χπx0 = χπx · ωρ .
Par compatibilité avec le transfert global de la conjecture II.7(i), l’hypothétique transfert local πx0 de toute
représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ) en n’importe quelle place x ∈ |F | doit nécessairement
vérifier la même formule
χπx0 = χπx · ωρ .
Enfin, la ramification de πx0 devrait être bornée en fonction de celle de πx .
On parvient ainsi à l’énoncé suivant :
Corollaire II.14. –
Pour toute représentation lisse admissible irréductible πx de G(Fx ) en une place arbitraire x ∈ |F |, et
pour tout caractère ωx : Fx× → C× suffisamment ramifié en fonction de la ramification de πx , on peut classer
le produit
πx ⊗ ωx = πx ⊗ (ωx ◦ detG )
parmi les représentations “de type L” relativement à ρ, en posant
Lx (ρ, πx ⊗ ωx , Z) = 1 ,
εx (ρ, πx ⊗ ωx , ψx , Z) = εx (χπx ωρ ωx , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)r−1 .
Remarque :
Tout comme la remarque qui suit la définition II.8 et comme le lemme II.9, le corollaire II.14 ci-dessus
s’applique aux groupes croisés Gr0 , r0 ≥ 2, aussi bien qu’à G.
Une fois que l’on a précisé en chaque place x ∈ |F | ce que l’on entendra par “représentation de type
L relativement à ρ [resp. ρr0 , r0 ≥ 2] sur G(Fx ) [resp. Gr0 (Fx ), r0 ≥ 2]”, on est en mesure de définir une
ψx -transformation de Fourier locale relative à ρ [resp. ρr0 ] en chaque telle place x :
Définition II.15. –
Considérons un caractère algébrique bien défini sur F
detρ : G → Gm .
En n’importe quelle place x ∈ |F |, on pose :
(i) Appelons fonction “de type L” (relatif à ρ) sur G(Fx ) toute fonction
hx : G(Fx ) → C
telle que :
(1) hx est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de G(Fx ),
(2) la restriction de hx à
{g ∈ G(Fx ) | vx (detG (g)) = N }
est à support compact pour tout N ∈ Z, et elle est nulle si N 0,
23
(3) hx admet une décomposition spectrale de la forme
Z
− 21
− 12
−1
hx (g) = |detG (g)|x · |detρ (g)|x · dπ · Lx ρ, π ∨ , qx 2 · hx,π (g) ,
g ∈ G(Fx ) ,
où
• π décrit l’espace des représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de G(Fx ) qui
sont “de type L” (relativement à ρ) et admettent donc des facteurs Lx (ρ, π, Z) et εx (ρ, π, ψx , Z)
bien définis a priori,
• cet espace est muni de la mesure de Plancherel dπ,
• pour toute π, la fonction hx,π : G(Fx ) → C est élément de l’espace propre associé à π,
autrement dit, c’est une combinaison linéaire de coefficients matriciels de π,
• pour tout g ∈ G(Fx ), la fonction π 7→ hx,π (g) est polynomiale sur l’espace des représentations
π.
(ii) Pour toute fonction hx de type L comme dans (i),
Z
−1
−1
−1
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · dπ · Lx ρ, π ∨ , qx 2 · hx,π (g) , g ∈ G(Fx ) ,
on appelle ψx -transformée de Fourier de hx (relativement à ρ) la fonction
b
hx : G(Fx ) → C
définie par la décomposition spectrale
Z
−1
−1
−1
−1
b
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 · dπ · Lx ρ, π, qx 2 · εx ρ, π, ψx , qx 2 · hx,π (g −1 ) ,
g ∈ G(Fx ) .
(iii) Si x ∈ |F | − Sρ est une place non ramifiée, on appelle “fonction de type L standard (relatif à ρ) sur
G(Fx )” l’unique fonction sphérique
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
définie par la décomposition spectrale
−1
Z
−1
g 7→ |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
Im Tbxd
−1
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · ϕG
x,λ (g) .
Elle est sa propre ψx -transformée de Fourier si le conducteur Nψx de ψx est 0.
Remarques :
(i) La ψx -transformée de Fourier b
hx d’une fonction “de type L” hx vérifie par définition les propriétés (1)
et (3) de (i). On peut montrer qu’elle vérifie aussi la propriété (2), ce qui signifie qu’elle est elle-même
“de type L”.
b o ΓF → GLr (C).
(ii) Le caractère detρ : G → Gm sera choisi plus tard en fonction de ρ : G
c r = GLr (C), il faut prendre
Dans le cas où G = GLr et ρ est la représentation standard de GL
detρ = (det)r−1
pour que les fonctions localement constantes à support compact
fx : Mr (Fx ) → C
soient les fonctions “de type L” au sens de (i) et que leur ψx -transformation de Fourier linéaire coı̈ncide
avec la ψx -transformation de Fourier de (ii). La “fonction de type L standard” au sens de (iii) n’est
alors autre que la fonction caractéristique de Mr (Ox ).
(iii) La présente définition II.15 s’applique aux groupes croisés Gr0 , r0 ≥ 2, aussi bien qu’à G. On prendra
0
detρr0 (g, g 0 ) = detρ (g) · det(g 0 )r −1 ,
24
∀ (g, g 0 ) ∈ Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr0 (Fx ) .
III. Principe de fonctorialité et formules de Poisson non linéaires
Commençons par rappeler la formule de Poisson linéaire sur l’espace matriciel adélique Mr (A), r ≥ 1, et
ses conséquences pour les fonctions L linéaires globales des représentations automorphes de GLr (A).
Le choix du caractère additif continu non trivial
Y
ψ=
ψx : A/F → C×
x∈|F |
a permis de définir en toute place x ∈ |F | l’automorphisme de ψx -transformation de Fourier
fx 7→ fbx
de l’espace des fonctions localement constantes à support compact sur Mr (Fx ).
Le produit de ces transformations
O
O
f=
fx 7→ fb =
fbx
x∈|F |
x∈|F |
définit l’automorphisme de ψ-transformation de Fourier des fonctions localement constantes à support compact sur Mr (A).
La propriété globale essentielle de cet opérateur est qu’il laisse invariante la “fonctionnelle de Poisson”
X
f 7→
f (γ) .
γ∈Mr (F )
Autrement dit, on a :
Proposition III.1. –
Toute fonction localement constante à support compact
f : Mr (A) → C
satisfait la “formule de Poisson”
X
X
f (γ) =
γ∈Mr (F )
fb(γ) .
γ∈Mr (F )
Pour toute représentation lisse admissible irréductible
O
π=
πx
x∈|F |
de GLr (A), on pose
L(π, Z) =
Y
Lx (πx , Z deg(x) )
x∈|F |
25
qui est bien définie a priori en tant que série formelle en Z. En presque toute place x, le facteur local πx de
π est une représentation non ramifiée et on a εx (πx , ψx , Z) = 1. Il en résulte que le produit
Y
ε(π, ψ, Z) =
εx (πx , ψx , Z deg(x) )
x∈|F |
est bien défini en tant que monôme en Z.
Cette théorie des facteurs L et ε globaux s’applique en particulier aux représentations automorphes
irréductibles de GLr (A).
Tate en rang r = 1, puis Godement et Jacquet en rang r ≥ 2, ont montré que la formule de Poisson sur
Mr (A) implique :
Théorème III.2. –
N
Pour toute représentation automorphe irréductible cuspidale π =
πx de GLr (A), on a :
x∈|F |
(i) Le produit
Y
L(π, q −s ) =
Lx (πx , qx−s )
x∈|F |
est absolument convergent dès que la partie réelle Re (s) de s ∈ C est assez grande.
(ii) La fonction holomorphe que ce produit définit dans sa zone de convergence se prolonge analytiquement
à C tout entier. Dans le cas présent où F est un corps de fonctions, c’est même une fraction rationnelle
en q −s .
(iii) Cette fonction analytique satisfait l’équation fonctionnelle
L(π ∨ , q −(1−s) ) = L(π, q −s ) · ε(π, ψ, q −s ) .
(iv) Cette fonction analytique ne peut admettre de pôles que si r = 1 et π est un caractère automorphe
A× /F × → C×
qui se factorise à travers l’homomorphisme de degré
deg : a = (ax )x∈|F | 7→
X
deg(x) · vx (ax ) ,
x∈|F |
autrement dit qui est de la forme
a 7→ |a|s0 .
Les pôles d’un tel caractère sont simples.
Pour passer des représentations automorphes cuspidales de GLr (A) aux représentations automorphes
arbitraires, on a besoin de la proposition suivante :
Proposition III.3. –
(i) (Langlands) Pour toute représentation automorphe irréductible π =
N
πx de GLr (A), il existe une
x∈|F |
partitionNr = r1 + . . . + rkNdu rang r et des représentations automorphes irréductibles cuspidales
π1 =
π1,x , . . . , πk =
πk,x de GLr1 (A), . . . , GLrk (A) telles que π soit un sous-quotient de
x∈|F |
x∈|F |
l’induite normalisée de la représentation automorphe π1 . . . πk de (GLr1 × . . . × GLrk )(A).
De plus, la ramification de π1,x , . . . , πk,x en n’importe quelle place x ∈ |F | est bornée en fonction de
celle de πx et, en particulier, π1,x , . . . , πk,x sont non ramifiées si πx est non ramifiée.
26
(ii) (Godement, Jacquet) Dans la situation de (i), la fraction rationnelle en n’importe quelle place x ∈ |F |
Lx (πx , Z)
est le produit de la fraction rationnelle
Y
Lx (πi,x , Z)
1≤i≤k
et d’un polynôme en Z qui vaut 1 lorsque πx et donc aussi les πi,x , 1 ≤ i ≤ k, sont non ramifiées.
De plus, le quotient
Lx (πx , Z) · εx (πx , ψx , Z)
Lx πx∨ , qx1Z
est toujours égal au produit de quotients
Y
1≤i≤k
Lx (πi,x , Z) · εx (πi,x , ψx , Z)
.
∨ , 1
Lx πi,x
qx Z
On déduit de cette proposition et du théorème III.2 :
Corollaire III.4. –
N
Toute représentation automorphe irréductible π =
πx de GLr (A) vérifie les propriétés (i), (ii) et (iii)
x∈|F |
du théorème III.2.
Si de plus le facteur πx de π en au moins une place x est le produit
πx = πx0 ⊗ (ωx ◦ det)
d’une représentation lisse admissible irréductible de GLr (Fx ) de ramification bornée et d’un caractère GLr (Fx )
det
ωx
−−→ Fx× −−→ C× suffisamment ramifié en fonction de cette borne, la fonction L globale de π
C 3 s 7→ L(π, q −s )
n’a pas de pôle.
Revenons maintenant au groupe réductif quasi-déployé G sur F et à la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
Pour toute représentation lisse admissible irréductible
O
π=
πx
x∈|F |
de G(A) dont tous les facteurs locaux πx , x ∈ |F |, sont “de type L” relativement à ρ, on pose
Y
L(ρ, π, Z) =
Lx (ρ, πx , Z deg(x) )
x∈|F |
27
qui est bien définie a priori en tant que série formelle en Z. En presque toute place x, le facteur local πx de
π est une représentation non ramifiée et on a εx (ρ, πx , ψx , Z) = 1. Il en résulte que le produit
Y
ε(ρ, π, ψ, Z) =
εx (ρ, πx , ψx , Z deg(x) )
x∈|F |
est bien défini en tant que monôme en Z.
Cette théorie des facteurs L et ε globaux relatifs à ρ s’applique en particulier aux représentations automorphes irréductibles de G(A) dont tous les facteurs locaux sont “de type L” relativement à ρ.
Le corollaire III.4 ci-dessus implique :
Corollaire III.5. –
Supposons que la conjecture II.7 de transfert automorphe global par ρ et de compatibilité avec les transferts
locaux en toutes les places soit connue.
N
On en déduit alors que, pour toute représentation automorphe irréductible π =
πx de G(A) dont
x∈|F |
tous les facteurs locaux πx sont “de type L” relativement à ρ, on a :
(i) Le produit
Y
L(ρ, π, q −s ) =
Lx (ρ, πx , qx−s )
x∈|F |
est absolument convergent dès que la partie réelle Re (s) de s ∈ C est assez grande.
(ii) La fonction holomorphe que ce produit définit dans sa zone de convergence se prolonge analytiquement
à C tout entier. Dans le cas présent où F est un corps de fonctions, c’est même une fraction rationnelle
en q −s .
(iii) Cette fonction analytique satisfait l’équation fonctionnelle
L(ρ, π ∨ , q −(1−s) ) = L(ρ, π, q −s ) · ε(ρ, π, ψ, q −s ) .
(iv) Si de plus le facteur πx de π en au moins une place x est le produit
πx = πx0 ⊗ (ωx ◦ detG )
d’une représentation lisse admissible irréductible de G(Fx ) de ramification bornée et d’un caractère
detG
ωx
G(Fx ) −−→ Fx× −−→ C× suffisamment ramifié en fonction de cette borne, la fonction L globale
relative à ρ de π
C 3 s 7→ L(ρ, π, q −s )
n’a pas de pôle.
Le but principal de ce paragraphe est de montrer, via le corollaire III.5 ci-dessus, que la conjecture II.7
de transfert automorphe par ρ implique une sorte de “formule de Poisson non linéaire relative à ρ sur G(A)”
qui généralise au moins partiellement la formule de Poisson linéaire classique de la proposition III.1.
Pour cela, nous devons d’abord introduire la notion de “fonction de type L global (relatif à ρ) sur G(A)”
et la ψ-transformation de Fourier de ces fonctions.
Définition III.6. –
Considérant un caractère algébrique bien défini sur F
detρ : G → Gm
comme dans la définition II.15, on pose :
28
(i) On appelle fonction “de type L” (relatif à ρ) sur G(A) toute combinaison linéaire de fonctions produits
O
h=
hx : G(A) → C
x∈|F |
dont tous les facteurs locaux hx : G(Fx ) → C sont “de type L” (relatif à ρ) sur G(Fx ) au sens de la
définition II.15(i) et dont presque tous les facteurs hx , x ∈ |F | − Sρ , sont égaux à “la fonction de type
L standard” de la définition II.15(iii).
(ii) On appelle ψ-transformation de Fourier relative à ρ l’unique opérateur linéaire de l’espace des fonctions
de type L global, qui transforme toute fonction produit élément de cet espace
O
h=
hx
x∈|F |
en le produit des ψx -transformées de Fourier (relativement à ρ) de ses facteurs hx , au sens de la
définition II.15(ii),
O
b
b
h=
hx .
x∈|F |
Remarque :
Il résulte de la définition II.15 que toute fonction de type L global
h = G(A) → C
est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de G(A).
Sa restriction à
{g ∈ G(A) | deg (detG (g)) = N }
est à support compact pour tout N ∈ Z, et elle est nulle si N 0.
Enfin, la ψ-transformée de Fourier (relative à ρ) b
h de h est elle-même de type L global.
D’après cette remarque, les sommes
P
P b
h(γ) associées à toute fonction de type L global
h(γ) et
γ∈G(F )
γ∈G(F )
sur G(A) sont finies. Dans le but de les relier, nous avons besoin de rappeler l’expression spectrale de la
somme
X
h(γ)
γ∈G(F )
qu’implique, pour toute fonction localement constante à support compact h : G(A) → C, le théorème de
décomposition spectrale de Langlands.
Le groupe réductif quasi-déployé G est muni d’une paire de Borel (T, B) bien définie sur F . Un sousgroupe parabolique P de G défini sur F est dit “standard” s’il contient B ; il possède un unique sous-groupe de
Levy M = MP contenant T . Les sous-groupes de Levy M ⊃ T obtenus de cette façon sont dits “standard” ;
chacun est le sous-groupe de Levy MP d’un unique sous-groupe parabolique standard P = PM .
La décomposition spectrale de Langlands sur G(F )\G(A) est paramétrée par les “paires discrètes” (M, π)
constituées de
• un sous-groupe de Levy standard M ,
29
• une représentation automorphe irréductible unitaire “discrète” π de M (A), c’est-à-dire une représentation
lisse admissible irréductible de M (A) dont le caractère central
χπ : ZM (A) → C×
est unitaire, et qui apparaı̂t comme facteur direct de l’espace de Hilbert
L2χπ (M (F )\M (A))
des fonctions
ϕ : M (A) → C
invariantes à gauche par le sous-groupe discret M (F ) et qui vérifient
ϕ(µg) = χπ (µ) · ϕ(g) ,
∀ µ ∈ ZM (A) ,
∀ g ∈ M (A) .
Pour une telle paire discrète (M, π), la représentation π apparaı̂t avec une multiplicité finie dans l’espace
L2χπ (M (F )\M (A)). On note L2π (M (F )\M (A)) le sous-espace correspondant.
Si P = PM est le sous-groupe parabolique standard associé à M , si
δP : P → P/NP ∼
= M P = M → Gm
désigne le caractère modulaire
par lequel P ou M agissent sur la puissance extérieure maximale de l’espace
Q
Lie (NP ), et si K =
Kx est un sous-groupe ouvert compact de G(A), on note encore
x∈|F |
L2π (M (F ) · NP (A)\G(A)/K)
l’espace des fonctions de carré intégrable
ϕ : M (F ) · NP (A)\G(A)/K → C
telles que, pour tout g ∈ G(A), la fonction induite
1
M (F )\M (A) 3 m 7→ |δP (m)|− 2 · ϕ(mg)
soit élément de l’espace L2π (M (F )\M (A)).
Cet espace
L2π (M (F ) · NP (A)\G(A)/K)
est nécessairement de dimension finie. On peut le munir d’une base orthonormée BK (M, π).
Pour tout sous-groupe de Levy standard M , on note ΛM le réseau des caractères algébriques bien définis
sur F
M → Gm ,
∨
b
Λ son réseau dual et ΛM le tore complexe dont le réseau des caractères est égal à Λ∨ .
M
M
Il existe un unique homomorphisme
degM : M (A) → Λ∨
M
tel que, pour tout élément χ : M → Gm de ΛM , on ait
hχ, degM (m)i = deg (χ(m)) ,
∀ m ∈ M (A) .
L’image de degM est d’indice fini dans Λ∨
M et son noyau contient le sous-groupe discret M (F ) de M (A).
30
b M le plus grand sous-tore réel compact de Λ
b M . Il est constitué des éléments z ∈ Λ
b M qui
On note Im Λ
sont unitaires au sens que
|µ(z)| = 1 , ∀ µ ∈ Λ∨
M .
En toute place x ∈ |F | où G est non ramifié, notons
Kx0 = G(Ox ) .
En les places x où G est ramifié, choisissons un sous-groupe ouvert compact Kx0 de G(Fx ) tel que
G(Fx ) = B(Fx ) · Kx0 ,
puis notons K 0 =
Q
Kx0 .
x∈|F |
b M définit un caractère composé
Tout élément z ∈ Λ
degM
z
×
M (A) −−−→ Λ∨
M −→ C
invariant à la fois par ls sous-groupe discret M (F ) et par n’importe quel sous-groupe ouvert compact de
M (A).
Comme G(A) = B(A) · K 0 = PM (A) · K 0 , il se prolonge de manière unique en une fonction
NPM (A)\G(A)/K 0 → C
que l’on notera encore z. Cette fonction est invariante à gauche par M (F ).
Si (M, π) est une paire discrète, on note
πz
b M . Les (M, πz ) sont encore
les représentations obtenues comme produit tensoriel de π et d’un caractère z ∈ Λ
des paires discrètes et, si K est un sous-groupe ouvert de K 0 , chaque
ϕ 7→ z · ϕ
définit un isomorphisme d’espaces vectoriels
∼
L2π (M (F ) · NPM (A)\G(A)/K) −→ L2πz (M (F ) · NPM (A)\G(A)/K) .
b M . On note [π] la variété complexe
Si π est unitaire, πz est unitaire si et seulement si z est élément de Im Λ
des représentations de la forme πz et, si π est unitaire, on note Im [π] la sous-variété réelle compacte de [π]
constituée des représentations unitaires.
Deux paires discrètes (M, π) et (M 0 , π 0 ) sont dites “équivalentes” si elles sont transformées l’une dans
l’autre par un élément du groupe de Weyl F -rationnel SF
G de G.
b M tel que les paires discrètes (M, πz ) et (M 0 , π 0 )
Elles sont dites “faiblement équivalentes” s’il existe z ∈ Λ
soient équivalentes.
Pour toute paire discrète (M, π), on note
Fixe (M, π)
b
le groupe fini des paires (σ, z) ∈ SF
G × ΛM telles que
w · M · w−1 = M
et
Rappelons enfin la construction des séries d’Eisenstein.
31
πz ∼
= w(π) .
Si M est un sous-groupe de Levy standard de G, notons ∆∨
B,M l’ensemble des éléments non nuls de
c’est-à-dire des formes linéaires non triviales sur ΛM ⊂ XT qui sont induites par une coracine simple
α ∈ ∆∨
B.
Λ∨
M,
∨
Pour toute paire discrète (M, π), tout sous-groupe ouvert K de K 0 , toute fonction
ϕ ∈ L2π (M (F ) · NPM (A)\G(A)/K)
et tout élément g ∈ G(A), la série
X
(z · ϕ)(γg)
γ∈PM (F )\G(F )
b M tel que les modules
converge absolument pour tout élément z ∈ Λ
|α∨ (z)| ,
α ∨ ∈ ∆∨
B,M ,
soient assez grands (indépendamment de g).
Elle converge vers une limite
E(z · ϕ)(g)
b M , appelée série d’Eisenstein, que l’on peut aussi noter
qui est une fraction rationnelle en z ∈ Λ
Eπz (ϕ)(g) .
Ces fractions rationnelles sur [π] peuvent s’écrire comme le quotient de deux polynômes dont le second, le
dénominateur, ne dépend pas de g ∈ G(A) et ne s’annule pas sur la sous-variété réelle Im [π] de [π] constituée
des représentations unitaires ni, plus généralement, en les représentations de la forme
π 0 ⊗ |detG (•)|s ,
π 0 ∈ Im [π] ,
s ∈ C.
Nous avons maintenant rappelé tous les ingrédients nécessaires à l’énoncé du théorème de décomposition
spectrale de Langlands :
Théorème III.7. –
Soit un sous-groupe ouvert K =
Q
Kx du sous-groupe ouvert compact K 0 =
x∈|F |
Q
Kx0 de G(A).
x∈|F |
Alors les paires discrètes (M, π) telles que l’espace
L2π (M (F ) · NPM (A)\G(A)/K)
ne soit pas nul forment un ensemble fini de classes d’équivalence faible, et on peut choisir un ensemble fini
de paires discrètes unitaires (M, π0 ) qui représentent ces classes.
Pour toute fonction à support compact
h : G(A) → C
invariante à gauche et à droite par K, et pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), on a
Z
X
X
X
1
−1
·
dπ · (h ∗ Eπ (ϕ))(g2 ) · Eπ∨ (ϕ)(g1 )
h(g1 γ g2 ) =
|Fixe (M, π0 )|
Im [π0 ]
γ∈G(F )
(M,π0 )
ϕ∈BK (M,π0 )
bM .
où dπ désigne la mesure de volume 1 sur chaque Im [π0 ] qui est invariante par le tore réel compact Im Λ
32
Remarque :
Plus synthétiquement, la somme
X
h(g1−1 γ g2 )
γ∈G(F )
a la forme
X Z
(M,π0 )
dπ · hπ (g1 , g2 )
Im [π0 ]
où chaque (g1 , g2 ) 7→ hπ (g1 , g2 ) est une somme de produits de séries d’Eisenstein des représentations automorphes π ∨ et π, et chaque π 7→ hπ (g1 , g2 ) est une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes dont le
second ne dépend pas de g1 et g2 et ne s’annule pas en les représentations de la forme
π 0 ⊗ |detG (•)|s ,
π 0 ∈ Im [π0 ] ,
s ∈ C.
Si h : G(A) → C est une fonction de type L global (relatif à ρ) au sens de la définition III.6, la somme
finie
X
h(γ)
γ∈G(F )
ne change pas si l’on multiplie la fonction h par le caractère |detG (•)|s pour n’importe quel s ∈ C.
Pour toute famille d’entiers presque nulle (Nx ∈ Z)x∈|F | , la restriction de la fonction h · |detG (•)|s à
{g ∈ G(A) | vx (detG (g)) = Nx , ∀ x ∈ |F |}
est à support compact, et on peut lui appliquer le théorème III.7 ci-dessus. En faisant la somme sur toutes
les familles presque nulles d’entiers (Nx )x∈|F | , on obtient différentes séries, qui sont toutes convergentes si
Re (s) est assez grande. On démontre ainsi :
Corollaire III.8. –
Soit une fonction de type L global (relatif à ρ)
h : G(A) → C
qui est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert K =
Q
Kx de K 0 =
x∈|F |
Q
Kx0 .
x∈|F |
Faisant décrire à (M, π0 ) l’ensemble fini de représentants associé à K dans le théorème III.7, on a :
(i) Pour tous g1 , g2 ∈ G(A), la somme
1
1
|detG (g1−1 g2 )| 2 · |detρ (g1−1 g2 )| 2 ·
X
h(g1−1 γ g2 )
γ∈G(F )
s’écrit, pour n’importe quel s ∈ C de partie réelle Re (s) assez grande,
X Z
1
dπ · L ρ, π ∨ , q − 2 −s · hπ⊗| detG (•)|−s (g1 , g2 )
(M,π0 )
Im [π0 ]
où
• chaque (g1 , g2 ) 7→ hπ (g1 , g2 ) est une somme de produits de séries d’Eisenstein des représentations
automorphes π ∨ et π,
33
• chaque π 7→ hπ (g1 , g2 ) est une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes dont le second ne
dépend pas de g1 et g2 et ne s’annule pas en les représentations de la forme
π 0 ⊗ |detG (•)| ,
π 0 ∈ Im [π0 ] ,
s ∈ C.
(ii) De même, pour tous g1 , g2 ∈ G(A), la somme
1
1
|detG (g2−1 g1 )| 2 · |detρ (g2−1 g1 )| 2 ·
X
b
h(g2−1 γ g1 )
γ∈G(F )
s’écrit, pour n’importe quel s ∈ C de partie réelle Re (s) assez petite
X Z
1
dπ · L ρ, π, q − 2 +s · b
hπ∨ ⊗| detG (•)|s (g2 , g1 )
(M,π0 )
Im [π0 ]
où
• chaque (g2 , g1 ) 7→ b
hπ∨ (g2 , g1 ) est une somme de produits de séries d’Eisenstein des représentations
automorphes π et π ∨ ,
• chaque π 7→ b
hπ∨ (g2 , g1 ) est une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes dont le second
ne dépend pas de g1 et g2 et ne s’annule pas en les représentations de la forme
π 0 ⊗ |detG (•)| ,
π 0 ∈ Im [π0 ] ,
s ∈ C.
Remarque :
Il résulte de la définition de la ψ-transformation de Fourier relative à ρ que, pour tous g1 , g2 ∈ G(A) et
tout représentant (M, π0 ), les fractions rationnelles sur [π0 ]
π 7→ hπ (g1 , g2 )
et
π 7→ b
hπ∨ (g2 , g1 )
sont reliées par la formule
1
hπ∨ (g2 , g1 ) = hπ (g1 , g2 ) · ε ρ, π, ψ, q − 2 .
On déduit du corollaire III.8 ci-dessus, de la remarque qui le suit et du corollaire III.5, la forme faible
suivante de formule de Poisson non linéaire relative à ρ :
Proposition III.9. –
Supposons que la conjecture II.7 de transfert automorphe global par ρ et de compatibilité avec les transferts
globaux en toutes les places soit connue.
On en déduit alors que, pour toute fonction de type L global (relatif à ρ)
h : G(A) → C
et sa ψ-transformée de Fourier relative à ρ
b
h : G(A) → C ,
on a :
34
(i) Avec les notations du corollaire III.8(i), la somme
1
1
|detG (g1−1 g2 )| 2 · |detρ (g1−1 g2 )| 2 ·
X
h(g1−1 γ g2 )
γ∈G(F )
s’écrit
X Z
(M,π0 )
1
dπ · L ρ, π ∨ , q − 2 −s · hπ⊗| detG (•)|−s (g1 , g2 )
Im [π0 ]
pour n’importe quel s ∈ C de partie réelle Re (s) 0, tandis que la somme
X
1
1
b
|detG (g2−1 g1 )| 2 · |detρ (g2−1 g1 )| 2 ·
h(g2−1 γ g1 )
γ∈G(F )
s’écrit
X Z
(M,π0 )
1
dπ · L ρ, π ∨ , q − 2 −s · hπ⊗| detG (•)|−s (g1 , g2 )
Im [π0 ]
pour n’importe quel s ∈ C de partie réelle Re (s) 0.
Autrement dit, on passe de l’une à l’autre somme par un simple déplacement de contours d’intégration,
et leur différence est une somme de résidus calculés le long des pôles des fonctions
1
(π, s) 7→ L ρ, π ∨ , q − 2 −s .
(ii) Supposons en outre que, en au moins une place x, la fonction h ait un facteur local hx qui s’écrive
comme le produit
hx = h0x · ωx ◦ detG (•)
detG
ωx
d’une fonction h0x : G(Fx ) → C de ramification bornée et d’un caractère G(Fx ) −−→ Fx× −−→ C×
suffisamment ramifié en fonction de cette borne.
Alors les deux sommes de (i) sont égales, avec en particulier
X
X
b
h(γ) =
h(γ) .
γ∈G(F )
γ∈G(F )
Remarque :
La formule de (ii), qui s’applique aux fonctions de type L global suffisamment ramifiées en au moins une
place, sera appelée “formule de Poisson sans terme de bord” (relative à ρ sur G(A)).
35
36
IV. Formules de Poisson non linéaires et noyaux du transfert
automorphe
On considère toujours le groupe réductif quasi-déployé G sur F muni de la représentation de transfert
b o ΓF → GLr (C) et, pour tout degré r0 ≥ 2, le groupe croisé associé Gr0 muni de la représentation de
ρ:G
b r0 o ΓF → GLrr0 (C).
transfert croisée ρr0 : G
Le but du présent paragraphe est de montrer, en sens inverse du paragraphe précédent, que la “formule
de Poisson sans terme de bord relative à ρr−1 sur Gr−1 (A)” permet de construire, pour toute partie non vide
S de |F | contenant Sρ , suffisamment de “S-noyaux du transfert” pour en déduire le transfert automorphe
global par ρ de G à GLr .
On reprend donc la construction de S-noyaux du transfert par ρ là où nous l’avions laissée aux paragraphes
I et II.
On est parti d’une famille de “noyaux locaux du transfert non ramifié par ρ” en les places x ∈ |F | − S,
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C ,
x
complétée en les places x ∈ S par une famille de fonctions
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
astreintes à certaines conditions automatiquement vérifiées en les places x ∈ |F | − S : En toute place x ∈ |F |,
KψG,ρ
est de ψ(r) -type de Whittaker en la variable g 0 ∈ GLr (Fx ), elle est à support compact en la variable
x
g ∈ G(Fx ), et elle satisfait l’équation
KψG,ρ
(g, z g 0 ) = KψG,ρ
(µG (z) g, g 0 ) · ωρ (z) ,
x
x
∀ z ∈ Fx× .
Le produit
Y
KψG,ρ
: G(A) × GLr (A) → C
x
x∈|F |
est donc de ψ(r) -type de Whittaker en la variable g 0 ∈ GLr (A), il est à support compact en la variable
g ∈ G(A), et il satisfait l’équation




Y G,ρ
Y G,ρ

Kψx  (g, z g 0 ) = 
Kψx  (µG (z) g, g 0 ) · ωρ (z) , ∀ z ∈ A× .
x∈|F |
x∈|F |
On a posé pour tous g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A)


X
Y
ψ

 (g1−1 γ g2 , g) ,
W(r)
K(g1 , g2 , g) =
KψG,ρ
x
γ∈G(A)
KψG,ρ (g1 , g2 , g) =
x∈|F |
X
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
37
ψ
W(r)
K(g1 , g2 , δg) ,
X
e G,ρ (g1 , g2 , g) =
K
ψ
ψ
W(r)
K(g1 , g2 , αr δg) .
δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
e G,ρ sur (G × G × GLr )(A) sont respectivement invariantes à gauche par les sousLes fonctions KψG,ρ et K
ψ
groupes discrets (G × G × Qr )(F ) et (G × G × Qop
r )(F ).
Afin de les comparer, on a introduit une fonction test localement constante à support compact arbitraire
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C ,
x∈|F |
et formé les produits scalaires
Z
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g)
=
GLr−1 (A)
Z
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
GLr−1 (A)
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) ,
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) .
dg 0 · K
ψ
Ceux-ci s’écrivent
X
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ) ,
1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
X
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
X
f G,ρ,h (γ, δ)
W
ψ,g1 ,g2 ,g
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
où
G,ρ,h
Wψ,g
=
1 ,g2 ,g
O
x
WψG,ρ,h
: (G × GLr−1 )(A) → C ,
x ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
f G,ρ,h =
W
ψ,g1 ,g2 ,g
O
f G,ρ,hx : (G × GLr−1 )(A) → C
W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x∈|F |
x
f G,ρ,hx
sont deux fonctions produits dont les facteurs locaux WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g en les places x ∈ |F | − S ⊂
x ,g1 ,g2 ,g
|F | − Sρ sont analysés spectralement dans les théorèmes II.2 et II.4.
x
f G,ρ,hx que ces théorèmes établissent en toutes
Afin de reformuler le lien entre fonctions WψG,ρ,h
et W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
les places x ∈ |F | − S, on pose la définition suivante :
Définition IV.1. –
Considérons un degré arbitraire r0 ≥ 2.
Une fonction locale en une place x ∈ |F | [resp. globale]
Wx : Gr0 (Fx ) → C
[resp. W : Gr0 (A) → C]
qui est de ψ(r0 ) -type de Whittaker, sera dite “de type L local sur Gr0 (Fx ) [resp. global sur Gr0 (A)] relativement
à ρr0 ” s’il existe une fonction “de type L local [resp. global] relatif à ρ” au sens de la définition II.15(i) [resp.
III.6(i)]
Hx : Gr0 (Fx ) → C [resp. H : Gr0 (A) → C]
telle que
ψ
Wx = W(r
0 ) Hx
ψ
[resp. W = W(r
0 ) H] .
38
On appelle alors ψx -transformée de Fourier de Wx [resp. ψ-transformée de Fourier de W ] relativement
à ρ la fonction
Z
−1
0
0 0−1
cx : (g, g 0 ) 7→
b
W
du0x · ψ(r
)
0 ) (ux ) · Hx (g, g ux
Nr0 (Fx )
Z
−1
0
0 0−1
c : (g, g 0 ) 7→
b
[resp. W
du0 · ψ(r
)] .
0 ) (u ) · H(g, g u
Nr0 (A)
Elle ne dépend pas du choix du relèvement Hx [resp. H] de Wx [resp. W ].
Remarque :
En toute place x ∈ |F | − Sρ , on appelle “fonction de ψ(r0 ) -type de Whittaker de type L standard” (relatif
à ρ) le ψ(r0 ) -coefficient unipotent
ψ
Wx = W(r
0 ) Hx
de la “fonction de type L standard” (relatif à ρ)
Hx : Gr0 (Fx ) → C
au sens de la définition II.15(iii).
Une fonction produit de ψ(r0 ) -type de Whittaker
O
W =
Wx : Gr0 (A) → C
x∈|F |
est de type L global relatif à ρ lorsque tous ses facteurs Wx , x ∈ |F |, sont de type L local relatif à ρ et que
presque tous sont la fonction standard.
On déduit immédiatement de cette définition :
Lemme IV.2. –
Étant donné un degré r0 ≥ 2, supposons que la “formule de Poisson sans terme de bord relative à ρr0 sur
Gr0 (A)” est connue.
Cela signifie que pour toute fonction produit de type L global relatif à ρr0
O
H=
Hx : Gr0 (A) → C
x∈|F |
dont un facteur local Hx au moins est le produit
Gr0 (Fx ) 3 (g, g 0 ) 7→ Hx (g, g 0 ) = Hx0 (g, g 0 ) · ωx (detG (g))
d’une fonction Hx0 : Gr0 (Fx ) → C de ramification bornée et d’un caractère ωx ◦ detG = ωx ◦ det suffisamment
ramifié en fonction de cette borne, on connaı̂t la formule
X
X
b
H(γ, γ 0 ) =
H(γ,
γ0) .
(γ,γ 0 )∈Gr0 (F )
(γ,γ 0 )∈Gr0 (F )
Alors, pour toute fonction produit de type de Whittaker de type L global relatif à ρr0
O
W =
Wx : Gr0 (A) → C
x∈|F |
39
dont un facteur local Wx au moins est le produit
Wx = Wx0 · ωx ◦ detG
d’une fonction Wx0 : Gr0 (Fx ) → C de ramification bornée et d’un caractère ωx ◦ detG = ωx ◦ det suffisamment
ramifié en fonction de cette borne, on connaı̂t la formule
X
X
c (γ, γ 0 ) .
W (γ, γ 0 ) =
W
(γ,γ 0 )∈Nr0 (F )\Gr0 (F )
(γ,γ 0 )∈Gr0 (F )/Nr0 (F )
Revenant aux noyaux locaux du transfert non ramifié par ρ en les places x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ
KψG,ρ
: G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) × GLr (Fx )/GLr (Ox ) → C ,
x
x
f G,ρ,hx sur G(Fx )×GLr−1 (Fx ) ⊃ Gr−1 (Fx ) qui s’en déduisent par intégration
et aux fonctions WψG,ρ,h
,W
ψx ,g1 ,g2 ,g
x ,g1 ,g2 ,g
contre des fonctions tests arbitraires hx : GLr−1 (Fx ) → C, les théorèmes II.2 et II.4 impliquent :
Théorème IV.3. –
−1
−1
− r−2
2
Modulo multiplication par le caractère (m, m0 ) 7→ | detG (m)|x 2 ·| detρ (m)|x 2 ·| det(m0 )|x
, la restriction
à
Gr−1 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr−1 (Fx )
de la fonction de ψ(r−1) -type de Whittaker
x
WψG,ρ,h
: (G × GLr−1 )(Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
est “de type L local relatif à ρr−1 ” en toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ , et elle se confond avec la fonction
standard en presque toute telle place.
De plus, sa ψx -transformée de Fourier relative à ρr−1 n’est autre que la restriction à
Gr−1 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) ,
−1
−1
− r−2
2
multipliée par le même caractère | detG (•)|x 2 · | detρ (•)|x 2 · | det(•)|x
, de la fonction
f G,ρ,hx (m, (−1)r−1 m0 )
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) 3 (m, m0 ) 7→ W
ψx ,g1 ,g2 ,g
en toute place x ∈ |F | − S ⊂ |F | − Sρ .
Considérons maintenant les places x ∈ S.
Jusqu’à présent, on n’a demandé aux fonctions de ψ(r) -type de Whittaker KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
en ces places x ∈ S que de satisfaire l’équation
KψG,ρ
(g, z g 0 ) = KψG,ρ
(µG (z) g, g 0 ) · ωρ (z) ,
x
x
∀ z ∈ Fx× .
Autrement dit, la décomposition spectrale de ces fonctions KψG,ρ
ne doit faire apparaı̂tre que des paires
x
(πx , πx0 ) de représentations lisses admissibles irréductibles unitaires de G(Fx ) et GLr (Fx ) telles que
χπx0 = χπx · ωρ .
40
Un lemme inspiré de [Cogdell, Piatetski-Shapiro] permet d’imposer aux fonctions KψG,ρ
des conditions suppléx
mentaires qui seront suffisantes pour étendre partiellement la conclusion du théorème IV.3 ci-dessus aux
places x ∈ S :
Lemme IV.4. –
En une place x ∈ S, considérons l’ensemble {(πx , πx0 )} des paires de représentations lisses admissibles
irréductibles unitaires de G(Fx ) et GLr (Fx ) qui vérifient
χπx0 = χπx · ωρ
et dont la ramification n’excède pas une borne donnée.
Soit ωx : Fx× → C× un caractère unitaire suffisamment ramifié pour que tout élément (πx , πx0 ) de l’ensemble {(πx , πx0 )} vérifie les conditions suivantes :
• D’une part, la représentation πx0 ⊗ (ωx ◦ det) = πx0 ωx de GLr (Fx ) satisfait la double conclusion de la
proposition II.13
Lx (πx0 ωx , Z) = 1 ,
εx (πx0 ωx , ψx , Z) = εx (χπx0 ωx , ψx , Z) · εx (ωx , ψx , Z)r−1 .
• D’autre part, pour toute représentation non ramifiée irréductible z de GLr−1 (Fx ) de valeurs propres
de Hecke z1 , . . . , zr−1 , la représentation (πx z) ⊗ (ωx ◦ detG ) = (πx z) ⊗ (ωx ◦ det) = (πx z) · ωx
de Gr−1 (Fx ) satisfait la conclusion du corollaire II.14, au sens qu’elle est “de type L” relativement à
ρr−1 avec
Lx (ρr−1 , (πx z) · ωx , Z) = 1 ,
εx (ρr−1 , (πx z) · ωx , ψx , 1) =
Y
εx (χπx ωρ ωx , ψx , zj Z) · εx (ωx , ψx , zj Z)r−1 .
1≤j≤r−1
Alors, si Nx ∈ N est un entier assez grand en fonction de l’ensemble {(πx , πx0 )} et du caractère très
ramifié ωx : Fx× → C× , il est possible de construire une fonction de ψ(r) -type de Whittaker
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) → C
x
telle que :
• KψG,ρ
(g, z g 0 ) = KψG,ρ
(µG (z) g, g 0 ) ,
x
x
∀ z ∈ Fx× ,
• chaque KψG,ρ
(•, g 0 ), g 0 ∈ GLr (Fx ), est à support compact dans G(Fx ),
x
• en la première variable g ∈ G(Fx ), KψG,ρ
est invariante à gauche et à droite par un certain sous-groupe
x
ouvert compact de G(Fx ),
• en la seconde variable g 0 ∈ GLr (Fx ), KψG,ρ
est invariante à droite par le sous-groupe ouvert compact
x
GLr (Ox )Nx ⊂ GLr (Ox ) ⊂ GLr (Fx )
des matrices entières inversibles dont la réduction

∗ ...
 ..
.

∗ . . .
0 ...
41
modulo $xNx a la forme

∗ ∗
.. .. 
. .
,
∗ ∗
0 1
• la décomposition spectrale de KψG,ρ
ne fait apparaı̂tre que des paires de représentations lisses admissibles
x
irréductibles de G(Fx ) et GLr (Fx ) de la forme
(πx ωx , πx0 ωx )
avec
(πx , πx0 ) ∈ {(πx , πx0 )} ,
et la composante de KψG,ρ
dans l’espace propre associé à toute première projection πx ωx d’une telle
x
paire ne s’annule pas uniformément sur G(Fx ) × GLr (Fx )Nx .
Remarque :
Le sous-groupe ouvert compact GLr (Ox )Nx de GLr (Fx ) introduit ci-dessus contient comme sous-groupe
GLr−1 (Ox ).
L’équation fonctionnelle locale de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika permet de compléter le théorème IV.3
ci-dessus de la manière suivante :
Théorème IV.5. –
En n’importe quelle place x ∈ S, supposons que la fonction
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
x
satisfait toutes les conditions du lemme IV.4 ci-dessus relativement à la famille donnée {(πx , πx0 )}, à un
caractère unitaire ωx : Fx× → C× assez ramifié en fonction de cette famille, et à un entier Nx ∈ N assez
grand en fonction de cette famille et de ωx .
Soit une fonction test localement constante à support compact
hx : GLr−1 (Fx ) → C
qui est sphérique ou, plus généralement, dont la décomposition spectrale ne fait apparaı̂tre que des représentations non ramifiées z.
Alors, modulo multiplication par le caractère
− r−2
2
−1
−1
(m, m0 ) 7→ |detG (m)|x 2 · |detρ (m)|x 2 · | det(m0 )|x
,
la restriction à Gr−1 (Fx ) de la fonction de ψ(r−1) -type de Whittaker
x
WψG,ρ,h
: (G × GLr−1 )(Fx ) → C
x ,g1 ,g2 ,g
est “de type L local relatif à ρr−1 ”, et sa ψx -transformée de Fourier relative à ρr−1 n’est autre que la
restriction à Gr−1 (Fx ) de la fonction
f G,ρ,hx (m, (−1)r−1 m0 ) ,
G(Fx ) × GLr−1 (Fx ) 3 (m, m0 ) 7→ W
ψx ,g1 ,g2 ,g
−1
−1
− r−2
multipliée par le même caractère |detG (•)|x 2 · |detρ (•)|x 2 · | det(•)|x 2 .
De plus, sa décomposition spectrale ne fait apparaı̂tre que des représentations lisses admissibles irréductibles
unitaires de Gr−1 (Fx ) de la forme
(πx z) · ωx ,
où πx est la première projection d’un élément (πx , πx0 ) de l’ensemble {(πx , πx0 )} et z est une représentation
non ramifiée de GLr−1 (Fx ).
42
Si la partie finie S ⊃ Sρ de |F | n’est pas vide et que les fonctions KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C, x ∈ S,
x
satisfont les propriétés du lemme IV.4, toutes les conditions nécessaires pour appliquer la “formule de Poisson
sans terme de bord” relative à ρr−1 sur Gr−1 (A) sont satisfaites. On obtient d’après le lemme IV.2 :
Corollaire IV.6. –
Supposons que la “formule de Poisson sans terme de bord relative à ρr−1 sur Gr−1 (A)” est connue.
Étant donnée une partie finie non vide S de |F | qui contient Sρ , complétons la famille de noyaux du
transfert non ramifié par ρ en les places x ∈ |F | − S
KψG,ρ
: G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) × GLr (Fx )/GLr (Ox ) → C ,
x
par une famille de fonctions en les places x ∈ S
KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx )/GLr (Ox )Nx → C
x
qui satisfont les conditions du lemme IV.4.
Soient des éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A).
Soit enfin une fonction test localement constante à support compact
O
h=
hx : GLr−1 (A) → C
x∈|F |
dont les facteurs hx en les places x ∈ S sont sphériques ou, plus généralement, ne font apparaı̂tre dans leur
décomposition spectrale que des représentations non ramifiées.
Alors on a
X
X
G,ρ,h
Wψ,g
(γ, δ) =
1 ,g2 ,g
(γ,δ)∈Nr−1 (F )\Gr−1 (F )
f G,ρ,h (γ, (−1)r−1 δ) .
W
ψ,g1 ,g2 ,g
(γ,δ)∈Gr−1 (F )/Nr−1 (F )
Remarque :
δ00
La conclusion du corollaire s’applique également aux translatées à gauche
∈ GLr−1 (F ).
δ00
h de h par tous les éléments
En faisant la somme sur toutes les classes δ00 ∈ GLr−1 (F )/SLr−1 (F ), on obtient
X
X
X
X
G,ρ,h
f G,ρ,h (γ, δ) .
Wψ,g
(γ,
δ)
=
W
,g
,g
ψ,g1 ,g2 ,g
1 2
γ∈G(F ) δ∈Nr−1 (F )\GLr−1 (F )
γ∈G(F ) δ∈GLr−1 (F )/Nr−1 (F )
De la remarque qui suit ce corollaire, combinée avec le lemme II.1, on déduit :
Corollaire IV.7. –
Étant donnée une partie finie non vide S de |F | contenant Sρ , considérons une famille de fonctions
KψG,ρ
: (G × GLr )(Fx ) → C ,
x
x ∈ |F | ,
qui sont des noyaux locaux du transfert non ramifié par ρ en les places x ∈ |F | − S, et satisfont les conditions
du lemme IV.4 en les places x ∈ S.
Alors :
43
(i) Pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A), g ∈ GLr (A), et pour toute fonction test localement constante à
support compact
O
hx : GLr−1 (A) → C
h=
x∈|F |
qui est invariante à gauche et à droite par GLr−1 (Ox ) en toute place x ∈ S, le produit scalaire
Z
KψG,ρ,h (g1 , g2 , g) =
dg 0 · KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 )
GLr−1 (A)
est égal au produit scalaire
e G,ρ,h (g1 , g2 , g) =
K
ψ
Z
GLr−1 (A)
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g) · h(g 0 ) .
dg 0 · K
h
(ii) Si GLr (A)NS désigne le sous-groupe ouvert de GLr (A) image réciproque du sous-groupe ouvert
Y
Y
GLr (Ox )Nx ⊂
GLr (Fx ) ,
x∈S
x∈S
e G,ρ ont même restriction à G(A) × G(A) × GLr (A)N .
les fonctions KψG,ρ et K
S
ψ
e G,ρ à G(A) × G(A) × GLr (A)N est invariante à gauche par le
(iii) La restriction commune de KψG,ρ et K
S
ψ
sous-groupe discret
G(F ) × G(F ) × GLr (F )NS
si l’on note GLr (F )NS = GLr (F ) ∩ GLr (A)NS .
Démonstration :
(ii) résulte de (i) puisque, pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A)NS , les fonctions
GLr−1 (A) 3 g 0
7→ KψG,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
g0
e G,ρ (g1 , g2 , g 0 g)
7→ K
ψ
et
sont invariantes à droite par
Q
GLr−1 (Ox ).
x∈S
e G,ρ est invariante à
(iii) Par construction, KψG,ρ est invariante à gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ) et K
ψ
op
gauche par G(F ) × G(F ) × Qr (F ).
La conclusion résulte du lemme suivant tiré de [Cogdell, Piatetski-Shapiro] :
Lemme IV.8. –
Le sous-groupe discret
GLr (F )NS = GLr (F ) ∩ GLr (A)NS
de GLr (A)NS est engendré par ses sous-groupes
Qr (F )NS = Qr (F ) ∩ GLr (A)NS
et
op
Qop
r (F )NS = Qr (F ) ∩ GLr (A)NS .
De plus, on a :
44
Lemme IV.9. –
Q
Le sous-groupe GLr (F ) est dense dans le produit fini
GLr (Fx ).
x∈S
Par conséquent, l’image réciproque GLr (A)NS dans GLr (A) du sous-groupe ouvert
Q
GLr (Ox )Nx de
x∈S
Q
GLr (Fx ) vérifie
x∈S
GLr (A) = GLr (F ) · GLr (A)NS ,
et l’inclusion
GLr (A)NS ⊂ GLr (A)
définit un isomorphisme
∼
GLr (F )NS \GLr (A)NS −→ GLr (F )\GLr (A) .
Cet isomorphisme est compatible avec les actions à droite des GLr (Fx ) en toutes les places x ∈ |F | − S,
et avec celles des sous-groupes GLr (Ox )Nx en les places x ∈ S.
On déduit de ce lemme et du corollaire IV.7 :
Corollaire IV.10. –
Dans les conditions du corollaire IV.7, la restriction commune à G(A) × G(A) × GLr (A)NS des fonctions
e G,ρ peut être vue comme une fonction
KψG,ρ et K
ψ
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
Cette fonction est un “S-noyau du transfert automorphe par ρ” au sens de la définition I.3.
De plus, on a pour tous éléments g1 , g2 ∈ G(A) et g ∈ GLr (A)NS la formule


X
Y
ψ
 (g1−1 γ g2 , g) .

W(r)
K(g1 , g2 , g) =
KψG,ρ
x
γ∈G(F )
x∈|F |
Démonstration :
La dernière formule résulte de ce qu’il est possible de relever le quotient compact
Nr (F )\Nr (A)
Q
Q
en une partie compacte de Nr (A) dont la projection dans
Nr (Fx ) est contenue dans
GLr (Ox )Nx .
x∈|F |
x∈|F |
On a enfin :
Théorème IV.11. –
Supposons toujours que la “formule de Poisson sans terme de bord relative à ρr−1 sur Gr−1 (A)” est
connue.
Alors la construction des corollaires IV.7 et IV.10 ci-dessus fournit suffisamment de “S-noyaux du transfert automorphe par ρ”
K : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
pour réaliser le transfert automorphe global de G à GLr par ρ.
45
Démonstration :
Considérons une représentation automorphe irréductible π =
N
πx de G(A) et une partie finie non vide
x∈|F |
S de |F | contenant Sρ et les places x où πx est ramifiée.
Il existe des caractères automorphes unitaires
O
ω=
ωx : A× /F × → C×
x∈|F |
qui sont non ramifiés en les places x ∈ |F | − S et arbitrairement ramifiés en les places x ∈ S.
Si les facteurs ωx : Fx× → C× , x ∈ S, sont suffisamment ramifiés, on peut réaliser les conditions du
lemme IV.4 de telle façon que la composante dans l’espace propre de π ⊗ ω de la fonction


Y G,ρ
X

Kψx  (g1−1 γ g2 , g)
(g1 , g2 , g) 7→
γ∈G(F )
x∈|F |
ne s’annule par uniformément sur GLr (A)NS .
On conclut d’après le corollaire IV.10.
46
V. Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson linéaire et
généralisation non linéaire conjecturale
Il est intéressant de chercher à raffiner la construction du paragraphe précédent et à définir des termes
complémentaires “non cuspidaux”
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
et
e G,ρ : (G × G × Qop
K
r )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
ψ
permettant de réaliser l’égalité
e G,ρ + K
e G,ρ
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
sur (G × G × GLr )(A) tout entier, et donc de définir directement un noyau automorphe
(G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
comme prévu dans la conjecture I.11.
On doit impérativement trouver un tel raffinement si l’on cherche à construire des noyaux du transfert
global par ρ qui soient compatibles avec le transfert local en toute place x ∈ |F | sans exception. On part
alors d’une famille de fonctions locales de ψ(r) -type de Whittaker
KψG,ρ : G(Fx ) × GLr (Fx ) → C
qui sont des “noyaux locaux” du transfert par ρ en toute place x ∈ |F | : cela signifie que leur décomposition
spectrale ne fait apparaı̂tre que des paires (πx , πx0 ) de représentations lisses admissibles irréductibles unitaires
de G(Fx ) et GLr (Fx ) telles que πx0 soit le transfert local de πx par ρ en un sens déjà connu sans ambiguı̈té.
Afin de réaliser ce programme, on a besoin d’une “formule de Poisson non linéaire avec termes de bord”
relative à ρ (ou ρr0 , r0 ≥ 2) qui s’applique à toutes les fonctions “de type L global” sur G(A) (ou Gr0 (A)).
Autrement dit, on a besoin de définir sur l’espace des fonctions de type L global une fonctionnelle linéaire,
complémentaire de l’évaluation
X
h 7→
h(γ) ,
γ∈G(F )
telle que leur somme, notée par convention
h 7→ “
X
h(γ)” ,
γ∈G(F )
vérifie la formule de Poisson
“
X
γ∈G(F )
h(γ)” = “
X
b
h(γ)” ,
∀h.
γ∈G(F )
Dans le but de proposer une définition conjecturale d’une telle “fonctionnelle de Poisson non linéaire
relative à ρ (ou ρr0 , r0 ≥ 2)”, on pose la définition suivante :
47
Définition V.1. –
En n’importe quelle place x ∈ |F | − Sρ , considérons une fonction sphérique
hx : G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
b o ΓF → GLr (C).
qui est “de type L local” relativement à ρ : G
Autrement dit, elle se décompose spectralement sous la forme
Z
−1
−1
−1
hx (g) = |detG (g)|x 2 · |detρ (g)|x 2 ·
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · hx,λ (g) ,
g ∈ G(Fx ) ,
Im Tbxd
où dλ désigne toujours la mesure de Plancherel sur l’espace Im Tbxd /SxG des caractères unitaires λ de l’algèbre
G
de Hecke sphérique Hx,∅
de G(Fx ), et chaque g 7→ hx,λ (g) est une fonction sphérique, vecteur propre de
valeur propre λ, et dont la dépendance en λ ∈ Tbxd est polynomiale.
Alors, pour tout entier N ∈ N, on note hN
x la fonction sur G(Fx ) définie par la décomposition spectrale
Z
− 12
− 12
−1
−1
hN
dλ · Lx ρ, λ−1 , qx 2 · IxN ρ, λ, qx 2 · hx,λ (g) , g ∈ G(Fx ) ,
x (g) = |detG (g)|x · |detρ (g)|x ·
Im Tbxd
où IxN (ρ, λ, Z) désigne le polynôme en λ ∈ Tbxd et Z qui est le produit du polynôme
Lx (ρ, λ, Z)−1
et du monôme de degré N qui figure dans le développement en série formelle de l’inverse
Lx (ρ, λ, Z) .
Remarques :
(i) On note l’égalité
X
IxN (ρ, λ, Z) = 1
N ∈N
x
dans l’anneau des séries formelles en Z à coefficients dans C [Tbxd ]SG .
Elle implique que, pour tout g ∈ G(Fx ), la série
X
hN
x (g)
N ∈N
converge vers hx (g).
N de hN relativement à ρ est à support compact
(ii) Pour tout entier N ∈ N, la ψx -transformée de Fourier hc
x
x
dans G(Fx ).
(iii) Il est possible de généraliser la définition ci-dessus à toutes les fonctions de type L sur G(Fx ) en
n’importe quelle place x ∈ |F |, mais nous n’en aurons pas besoin.
Cette définition permet de formuler la conjecture suivante :
48
Conjecture V.2. –
(i) Pour toute fonction produit
O
h=
hx : G(A) → C
x∈|F |
qui est de type L global relatif à ρ, et pour toute place x0 ∈ |F | − Sρ en laquelle le facteur local hx0 de
h est sphérique, la série



X X
O
hN

hx  (γ)
x0 ⊗
N ∈N γ∈G(F )
x6=x0
est convergente, et sa somme S(h) ne dépend pas du choix de la place x0 .
(ii) La fonctionnelle linéaire induite sur l’espace des fonctions de type L global relatif à ρ sur G(A)
h 7→ S(h)
est laissée invariante par la ψ-transformation de Fourier relative à ρ, et il en est donc de même de la
fonctionnelle

 

X
X
X
b
h(γ)” .
h 7→ 
h(γ) + 
h(γ) − S(h) = “
γ∈G(F )
γ∈G(F )
γ∈G(F )
Remarque :
Dès lors que la partie (i) de la conjecture implique qu’elle est bien définie, la fonctionnelle
h 7→ S(h)
est invariante par translation à gauche ou à droite par G(F ), et il en est donc de même de la fonctionnelle
X
h 7→ “
h(γ)” .
γ∈G(F )
On prouve facilement :
Proposition V.3. –
Si E est une algèbre finie séparable de degré r sur F , qui correspond à une action du groupe de Galois
ΓF sur l’intervalle {1, 2, . . . , r}, le tore “linéaire”
TE = ResE/F Gm ,
muni de la représentation standard

ρE : TbE o ΓF = 

Y
C×  o ΓF → GLr (C)
1≤i≤r
Q ×
de son dual TbE =
C , vérifie la conjecture V.2 ci-dessus.
1≤i≤r
49
Plus précisément, les fonctions localement constantes à support compact sur AE = A ⊗F E sont les
fonctions de type L global relatif à ρE sur TE (A) = A×
E , et la fonctionnelle de Poisson standard
X
h 7→
h(γ)
γ∈E
coı̈ncide avec la fonctionnelle de la conjecture V.2
X
h 7→ “
h(γ)” .
γ∈T E (F )
Remarque :
Cette proposition s’applique en particulier au tore linéaire déployé Grm . On retrouve alors la fonctionnelle
de Poisson
X
h 7→
h(γ)
γ∈F r
r
sur A .
Avec plus de travail, on démontre au paragraphe VII.2 de [Lafforgue, 2012] :
Théorème V.4. –
Le groupe linéaire
GLr ,
c r = GLr (C), vérifie la conjecture V.2 ci-dessus.
muni de la représentation standard de GL
Plus précisément, les fonctions localement constantes à support compact sur Mr (A) sont les fonctions
c r sur GLr (A), et la fonctionnelle de Poisson
“de type L global” relatif à la représentation standard de GL
standard
X
h 7→
h(γ)
γ∈M r (F )
coı̈ncide avec la fonctionnelle de la conjecture V.2
h 7→ “
X
h(γ)” .
γ∈GLr (A)
Remarques :
(i) La démonstration de ce théorème utilise
• le théorème de décomposition spectrale de Langlands,
• la description par Moeglin et Waldspurger du spectre automorphe discret de GLr ,
• les propriétés des fonctions L linéaires globales rappelées dans le théorème III.2,
• les estimées de Jacquet et Shalika pour les modules des valeurs propres de Hecke des facteurs
locaux non ramifiés des représentations automorphes cuspidales unitaires de GLr (A).
(ii) Bien que nous ne l’ayons pas vérifié par écrit, on devrait pouvoir généraliser la démonstration de ce
théorème jusqu’à montrer que la conjecture de transfert automorphe global par ρ de G à GLr implique
b o ΓF → GLr (C).
la conjecture V.2 pour le groupe réductif G muni de ρ : G
50
b o ΓF → GLr (C) induit un homoOn rappelle que, par hypothèse, la représentation de transfert ρ : G
morphisme
ρT : Tb → Tbr = (C× )r
b dual du tore maximal T de G, dans le tore maximal Tbr = (C× )r de GLr (C).
du tore maximal Tb de G,
Si ΓF agit dans GLr (C) par permutation des r vecteurs de la base canonique de Cr , cette action définit
Q ×
une F -algèbre séparable E de degré r. Le dual TbE du tore TE = ResE/F Gm s’identifie à
C muni de
1≤i≤r
l’action par permutation de ΓF , et l’homomorphisme
ρT : Tb → Tbr = (C× )r = TbE
devient ΓF -équivariant, donc admet un homomorphisme dual bien défini sur F
ρ∨
T : TE → T .
Cet homomorphisme identifie T au tore quotient du tore “linéaire” TE = ResE/F Gm par le sous-tore Tρ
dual du conoyau Tbρ de ρT .
Par intégration le long des fibres de
TE (A) → T (A) ,
on déduit de la proposition V.3 :
Corollaire V.5. –
Supposons comme ci-dessus que ΓF agit sur Cr par permutation de ses r vecteurs de base, définissant
une F -algèbre séparable E de degré r.
Et supposons de plus que les homomorphismes
TE (Fx ) → T (Fx ) ,
x ∈ |F | ,
TE (A) → T (A) ,
et
TE (F ) → T (F )
induits par ρ∨
T : TE → T soient surjectifs.
Alors, associant à la représentation ρT : Tb o ΓF → GLr (C) le caractère detρT : T → Gm trivial, on a :
(i) Les fonctions “de type L” local [resp. global] sur T (Fx ) [resp. T (A)] sont les fonctions
Z
Z
hx : tx 7→
dtρ · hx (tx tρ )
[resp. h : t 7→
dtρ · h(t tρ )]
Tρ (Fx )
Tρ (A)
déduites par intégration des fonctions hx [resp. h] localement constantes à support compact sur Ex =
E ⊗F Fx [resp. AE = E ⊗F A].
(ii) Les fonctions de type L global sur T (A) vérifient la conjecture V.2.
Remarque :
Pour que les hypothèses de surjectivité de ce corollaire soient vérifiées, il suffit d’après le “théorème 90”
de Hilbert que le noyau Tρ de l’épimorphisme ρ∨
T : TE → T soit de la forme
Tρ ∼
= ResE 0 /F Gm
pour une certaine F -algèbre séparable E 0 .
51
À partir de ce corollaire, on démontre dans le paragraphe VII.5 de [Lafforgue, 2012] :
Théorème V.6. –
b
Sous les hypothèses du corollaire V.5 ci-dessus, le groupe réductif G muni de ρ : GoΓ
F → GLr (C) vérifie
la conjecture V.2 après moyennisation par les opérateurs de coefficients unipotents constants
Z
du .
NB (F )\NB (A)
Autrement dit, pour toute fonction produit
O
h=
hx : G(A) → C
x∈|F |
qui est “de type L global relatif à ρ”, et pour sa ψ-transformée de Fourier relative à ρ
O
b
b
h=
hx : G(A) → C ,
x∈|F |
on a :
(i) Pour toute place x0 ∈ |F | − Sρ en laquelle le facteur local hx [resp. b
hx ] de h [resp. b
h] est sphérique, la
série



X Z
X
O
hN

du ·
hx  (γu)
x0 ⊗
NB (F )\NB (A)
N ∈N
x6=x0
γ∈G(F )

[resp.
X Z
N ∈N
X
du ·
NB (F )\NB (A)

b

hN
x0 ⊗
γ∈G(F )

O
b
hx  (u−1 γ)]
x6=x0
est convergente, et sa somme ne dépend pas du choix de la place x0 .
(ii) Les deux sommes associées dans (i) à h et b
h sont égales.
Rappelons que l’on cherche à construire à partir de la fonction “cuspidale”
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
une fonction complémentaire “non cuspidale”
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C
telle que la somme
KψG,ρ + KψG,ρ : (G × G × GLr )(A) → C
soit invariante à gauche par (G × G × GLr )(F ) tout entier.
Une telle construction est réalisée dans le chapitre VIII de [Lafforgue, 2012] dans le cas du transfert
partout non ramifié, c’est-à-dire lorsque Sρ = ∅ et que KψG,ρ
: G(Fx ) × GLr (Fx ) → C est un noyau local du
x
transfert local non ramifié par ρ en toute place x ∈ |F |.
Dans cette construction, la fonction complémentaire
KψG,ρ : (G × G × GLr )(A) → C
52
est définie à partir des “termes de bord” de la “formule de Poisson non linéaire relative à ρ” pour les fonctions
de type L global sur le groupe croisé Gr−1 (A).
Afin de montrer que cette fonction complémentaire est invariante à gauche par Qr (F ) et “non cuspidale”,
on a besoin d’en savoir en peu plus sur le support de la fonctionnelle de Poisson “de bord”

 

X
X
X
b
h(γ)” − 
h 7→ “
h(γ) = 
h(γ) − S(h) .
γ∈G(F )
γ∈G(F )
γ∈G(F )
La formulation de cette propriété géométrique nécessaire à la construction demande d’introduire un objet
géométrique auxiliaire, déjà introduit par Braverman et Kazhdan, le “semi-groupe dual” de la représentation
b o ΓF → GLr (C).
de transfert ρ : G
On rappelle d’abord la définition des semi-groupes :
Définition V.7. –
Étant donné un groupe réductif G sur un corps k, un semi-groupe G de groupe G est une variété affine
intègre qui contient G comme ouvert dense et telle que le morphisme de multiplication G×G → G se prolonge
en
G × G → G.
Si G est un groupe réductif quasi-déployé sur un corps k, muni d’un tore maximal T défini sur k,
l’adhérence schématique T de T dans un semi-groupe normal G de groupe G est une variété torique affine
normale de tore T sur laquelle agit le groupe de Weyl SG . On montre que, réciproquement, toute variété
torique affine normale T de tore T sur laquelle agit SG provient d’un semi-groupe normal G de groupe G,
unique à unique isomorphisme près. Par combinaison avec la théorie des variétés toriques, on a donc :
Proposition V.8. –
Soit un groupe réductif G quasi-déployé sur un corps k, muni d’un tore maximal T défini sur k.
Se donner un semi-groupe normal G de groupe G sur k équivaut à se donner, dans le réseau XT des
caractères de T , un cône polyédral saturé XT stable par l’action du groupe de Weyl SG et par celle du groupe
de Galois Γk ou, ce qui revient au même, son cône dual XT∨ dans le réseau XT∨ des cocaractères de T .
Revenons maintenant à notre groupe réductif G quasi-déployé sur le corps de fonctions F , et à notre
représentation de tranfert
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
qui induit un homomorphisme
ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → Tbr = (C× )r .
On peut poser :
Définition V.9. –
On appelle “semi-groupe dual de la représentation ρ” le semi-groupe normal G de groupe G associé au
cône saturé XT∨ de XT∨ = XTb engendré par les poids ρ1T , . . . , ρrT : Tb → C× de la représentation ρ ou, ce qui
b → GLr (C).
revient au même, par les SG -orbites des plus hauts poids des facteurs irréductibles de ρ : G
Remarque :
Cette notion avait déjà été introduite par Braverman et Kazhdan, en des termes différents mais équivalents.
On note aussitôt :
53
Lemme V.10. –
b = GLr (C), le semi-groupe G dual de ρ n’est
(i) Lorsque G = GLr et ρ est la représentation standard de G
autre que le semi-groupe matriciel Mr .
(ii) Dans le cas général, et pour tout degré r0 ≥ 2, le semi-groupe Gr0 dual de la représentation croisée
b r0 o ΓF → GLrr0 (C)
ρr 0 : G
s’identifie à la normalisation du sous-schéma fermé
{(g, g 0 ) ∈ G × Mr0 | detG (g) = det(g 0 )} .
Intéressons-nous d’abord à la variété torique affine normale T de tore T qui définit le semi-groupe normal
G de groupe G. On a :
Lemme V.11. –
Supposons comme plus haut que ΓF agit sur l’espace Cr de GLr (C) par permutation de ses r vecteurs de
base, définissant une F -algèbre séparable E de degré r.
Alors l’homomorphisme de tores
ρ∨
T : TE = ResE/F Gm → T ,
Q ×
dual de ρT : Tb →
C = TbE , se prolonge en un homomorphisme de variétés toriques
1≤i≤r
T E = ResE/F A1 → T
ρT
qui identifie T au quotient de T E par le sous-tore Tρ de TE dual de Tbρ = Coker Tb −−→ TbE .
Remarque :
L’énoncé signifie que les caractères bien définis sur T sont exactement les caractères bien définis sur T E
que le sous-tore Tρ de TE laisse invariants.
Il implique que tout point géométrique de T est image d’au moins un point géométrique de T E , et que
deux points géométriques de T E ont même image dans T si et seulement si les adhérences de leurs orbites
sous l’action de Tρ se rencontrent.
On déduit de ce lemme et du corollaire V.5 :
Corollaire V.12. –
Sous les hypothèses du corollaire V.5, considérons toujours le tore T muni de la représentation ρT :
Tb o ΓF → GLr (C) à laquelle on associe le caractère detρT : T → Gm trivial.
≤1
Alors, si T
désigne l’ouvert de T réunion de T et des orbites de codimension 1, les fonctions “de type
L” local [resp. global] relatif à ρT
T (Fx ) → C ,
[resp.
T (A) → C]
54
x ∈ |F | ,
se prolongent par continuité à T
≤1
(Fx ) [resp. T
≤1
(A)].
Remarque :
reg
reg
reg
En fait, ces fonctions se prolongent par continuité à T (Fx ) [resp. T (A)] si T
plus grand ouvert de T au-dessus duquel le sous-tore Tρ de TE agit librement dans T E .
⊃T
≤1
désigne le
On sait d’après la théorie générale des semi-groupes normaux que les orbites de G sous la double action
de G à gauche et à droite sont en nombre fini, et toutes localement fermées.
Elles sont engendrées par les orbites de T sous l’action de T .
Deux orbites de T engendrent la même orbite de G si et seulement si elles sont images l’une de l’autre
par l’action du groupe de Weyl SG .
En particulier, les orbites de codimension 1 de G correspondent aux orbites de codimension 1 de T ,
modulo l’action de SG .
Utilisant ce fait, on peut démontrer à partir du corollaire V.12 :
Proposition V.13. –
Sous les hypothèses du corollaire V.5 ou du corollaire V.12, supposons en outre que
b o ΓF → GLr (C)
ρ:G
induit un isomorphisme
∼
F
b
ZG
b −→ Zρ
F
b
de ZG
b | σ(z) = z , ∀ σ ∈ ΓF } dans le commutateur Zρ ⊂ GLr (C) de la représentation ρ.
b = {z ∈ ZG
Choisissons pour
detρ : G → Gm
l’unique caractère défini sur F tel que, pour toute composante ρiT de ρT = (ρ1T , . . . , ρrT ) : Tb → Tbr = (C× )r
ρ
b −→
qui est le plus haut poids de l’une des composantes irréductibles de G
GLr (C), on ait
hdetρ , ρiT i = hδB , ρiT i
où δB : B → B/NB = T → Gm désigne le caractère modulaire.
Alors, si G
≤1
désigne l’ouvert de G réunion de G et des orbites de codimension 1, on a :
(i) Les fonctions “de type L” local [resp. global] relatif à ρ
G(Fx ) → C ,
x ∈ |F | ,
G(A) → C]
[resp.
se prolongent par continuité à G≤1 (Fx ) [resp. G≤1 (A)].
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, les fonctions “de type L” local [resp. global] sur Gr0 (Fx ), x ∈ |F |, [resp. Gr0 (A)]
se prolongent par continuité à l’ouvert de
Gr0 (Fx ) ⊂ G(Fx ) × Mr0 (Fx )
Gr0 (A) ⊂ G(A) × Mr0 (A)]
[resp.
≤1
image réciproque de G
≤1
(Fx ) [resp. G
(A)].
55
Remarque :
F
b
Le fait que l’homomorphisme ZG
b → Zρ induit par ρ soit un isomorphisme implique que les facteurs
b o ΓF → GLr (C) apparaissent tous avec la multiplicité 1.
irréductibles de la représentation ρ : G
Cette proposition permet de compléter la conjecture V.2 par la conjecture suivante :
Conjecture V.14. –
Sous les hypothèses de la proposition V.13 ci-dessus, on a :
(i) Pour toute fonction produit de type L global relatif à ρ sur G(A),
O
h=
hx : G(A) → C ,
x∈|F |
la différence
“
X
X
h(γ)” −
h(γ)
γ∈G(F )
γ∈G(F )
dépend linéairement des seules restrictions de chaque facteur hx , x ∈ |F |, aux orbites de codimension
1 de G(Fx ).
(ii) Pour tout degré r0 ≥ 2, et pour toute fonction de type L global relatif à ρr0 sur Gr0 (A),
h : Gr0 (A) → C ,
la différence
X
“
X
h(γ)” −
h(γ)
γ∈Gr0 (F )
γ∈Gr0 (F )
dépend linéairement des seules restrictions de h aux points de
Gr0 (A) ⊂ G(A) × Mr0 (A)
de la forme
(m, δ)
≤1
avec m ∈ G
(A) et δ ∈ Mr0 (F ) − GLr0 (F ).
Le cas r0 = r−1 de la conjecture V.14(ii) ci-dessus est ce que l’on a besoin de connaı̂tre sur la fonctionnnelle
de Poisson de bord
X
X
h 7→ “
h(γ)” −
h(γ) ,
γ∈Gr−1 (F )
γ∈Gr−1 (F )
outre la formule de Poisson sur Gr−1 (A)
X
“
h(γ)” = “
γ∈Gr−1 (F )
X
b
h(γ)”
γ∈Gr−1 (F )
pour construire des termes complémentaires “non cuspidaux”
KψG,ρ : (G × G × Qr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
56
e G,ρ : (G × G × Qop )(F )\(G × G × GLr )(A) → C ,
K
r
ψ
qui réalisent l’égalité
e G,ρ + K
e G,ρ
KψG,ρ + KψG,ρ = K
ψ
ψ
et définissent des noyaux du transfert par ρ de la forme
K G,ρ = KψG,ρ + KψG,ρ : (G × G × GLr )(F )\(G × G × GLr )(A) → C .
Cette construction est réalisée, dans le cas partout non ramifié, au chapitre VIII de [Lafforgue, 2012].
57
58
Appendice :
Introduction à la théorie des fonctions automorphes et au principe
de fonctorialité de Langlands
A. Corps globaux et anneaux d’adèles
On peut introduire les “corps globaux” de la manière axiomatique suivante :
Définition A.1. –
Un “corps global” F est le corps des fractions d’un anneau commutatif (unitaire) A qui possède les
propriétés suivantes :
• A est intègre (∀ a, b ∈ A, a 6= 0 ∧ b 6= 0 ⇒ ab 6= 0), autrement dit il est plongé dans son corps des
fractions F
A ,→ F ,
• A est normal, ce qui signifie
∀k ∈ N,
∀ a0 , a1 , . . . , ak ∈ A,
∀γ ∈ F ,
γ k+1 + ak · γ k + . . . + a1 · γ + a0 = 0 ⇒ γ ∈ A ,
• A est engendré (sur Z) par un nombre fini d’éléments,
• A est infini,
• pour tout a ∈ A − {0}, le quotient A/(a) est fini.
On peut préciser la nature des “corps globaux” :
Proposition A.2. –
Un corps global F est nécessairement de l’un des deux types suivants :
(i) Si F est de caractéristique 0, c’est un “corps de nombres”, c’est-à-dire une extension finie de Q :
autrement dit, F contient Q comme sous-corps, et il est de dimension finie comme espace vectoriel sur
Q.
(ii) Si F est de caractéristique p 6= 0, c’est un “corps de fonctions”, c’est-à-dire le corps des fonctions
rationnelles d’une courbe projective, lisse et connexe XF sur le corps fini Fp = Z/p Z. Cette courbe XF
est uniquement déterminée par F .
L’anneau Γ(XF , OXF ) des fonctions partout définies sur XF est un corps fini Fq qui contient Fp . Son
nombre d’éléments q est une puissance de p. C’est le plus grand corps fini contenu dans F .
59
Remarques :
(i) Si F est un corps de nombres, il existe, parmi tous les sous-anneaux A de F qui vérifient les propriétés
de la définition A.1, un sous-anneau AF qui est contenu dans tous les autres. C’est le sous-anneau des
éléments entiers de F , défini comme
AF = {γ ∈ F | ∃ n0 , n1 , . . . , nk ∈ Z , γ k+1 + nk · γ k + . . . + n1 · γ1 + n0 = 0} .
Les sous-anneaux A de F vérifiant les propriétés de la définition A.1 correspondent aux ouverts de
Zariski Spec (A) de Spec (AF ). Comme le schéma affine Spec (AF ) est de dimension 1, la différence
Spec (AF ) − Spec (A) consiste toujours en un ensemble fini de points fermés.
(ii) Si F est le corps des fonctions d’une courbe projective, lisse et connexe XF sur Fp , les sous-anneaux
A de F qui vérifient les propriétés de la définition A.1 correspondent aux ouverts de Zariski affines
Spec (A) de la courbe XF . La différence XF − Spec (A) consiste toujours en un ensemble fini non vide
de points fermés.
La famille de ces ouverts affines Spec (A) recouvre la courbe projective XF tout entière, ce qui implique
que l’intersection de tous ces sous-anneaux A de F est égale au corps fini Fq = Γ(XF , OXF ) des
“constantes” de F .
Nous allons maintenant introduite les “places finies” d’un corps global F et les complétions de F qui leur
sont associées.
Si (A, F ) est un couple vérifiant les propriétés de la définition A.1, on note
|F |A
l’ensemble infini dénombrable des points fermés de Spec (A), c’est-à-dire des idéaux maximaux de A.
Pour tout point x ∈ |F |A , on note
• Ax l’anneau local de Spec (A) au point x,
• (x) l’idéal maximal de cet anneau local,
• Ox = lim Ax /(x)n la complétion profinie de l’anneau local Ax , qui est un anneau local topologique
←−
n≥1
compact,
• mx l’idéal maximal de Ox , engendré par (x),
• Fx = Ox /mx = Ax /(x) le corps résiduel en x, qui est un corps fini,
• qx le nombre d’éléments du corps résiduel Fx ,
• Fx le corps des fractions de l’anneau local complété Ox (qui est nécessairement intègre).
Pour tout point x ∈ |F |A , Fx est un corps topologique localement compact. Il possède une mesure dax
invariante par l’addition ; cette mesure est uniquement déterminée à multiplication près par un scalaire réel
positif.
Pour tout élément γx ∈ Fx× = Fx − {0}, la multiplication par γx transforme la mesure additive dax en
une autre mesure additive qui est nécessairement le produit de dax et d’un scalaire réel positif noté
|γx |x .
On complète la définition de cette application
| • |x : Fx → R+
60
en décidant que
|0|x = 0 .
Il est clair que l’on a
|1|x = 1
et
|γx · γx0 |x = |γx |x · |γx0 |x ,
∀ γx , γx0 ∈ Fx .
On démontre d’autre part :
Lemme A.3. –
Pour tout x ∈ |F |A comme ci-dessus, on a :
(i)
∀ γx ∈ Ox − mx ,
∀ γx ∈ mx −
m2x
,
|γx |x = 1 ,
|γx |x = qx−1 ,
et plus généralement
∀n ≥ 1,
∀ γx ∈ mnx − mn+1
,
x
|γx |x = qx−n .
(ii) L’application
| • | x : F x → R+
prend ses valeurs dans
{0} ∪ qxZ ⊂ Q .
(iii) Cette application vérifie l’inégalité “ultramétrique”
∀ γx , γx0 ∈ Fx ,
|γx + γx0 |x ≤ max {|γx |x , |γx0 |x } .
Remarque :
• Les parties (ii) et (iii) de ce lemme résultent de (i).
• La partie (i) s’exprime aussi en disant que
Ox = {γx ∈ Fx | |γx |x ≤ 1}
et, pour tout n ≥ 1,
mnx = {γx ∈ Fx | |γx |x ≤ qx−n } .
On déduit de ce lemme :
Corollaire A.4. –
Pour tout x ∈ |F |A comme ci-dessus, l’application
| • | x : Fx → Q +
définit une norme (et même une norme “ultramétrique”) sur Fx .
Le corps topologique Fx s’identifie à la complétion du corps global F pour la norme | • |x .
On pose :
61
Définition A.5. –
Étant donné un “corps global” F , on note
|F |f
et on appelle “ensemble des places finies de F ” la réunion des ensembles
|F |A
lorsque A décrit la famille des sous-anneaux de F qui vérifient les propriétés de la définition A.1.
Remarque :
• Si F est un “corps de nombres”,
|F |f = |F |AF ,
est l’ensemble des points fermés du schéma affine maximal Spec (AF ) de point générique Spec (F ).
• Si F est le corps des fonctions rationnelles de la courbe projective, lisse et connexe XF sur un corps
fini,
|F |f
s’identifie à l’ensemble des points fermés de XF .
Après les places finies, introduisons maintenant l’ensemble des places “infinies” ou “archimédiennes” d’un
corps global :
Définition A.6. –
Si F est un corps global, on note :
• |F |r l’ensemble des “places réelles” de F , c’est-à-dire des homomorphismes (nécessairement injectifs
et d’image dense)
F → R,
• |F |c l’ensemble des “places complexes” de F , c’est-à-dire des homomorphismes (nécessairement injectifs) d’image dense
F → C,
modulo la conjugaison complexe,
`
• |F |∞ = |F |r |F |c la réunion disjointe des ensembles des places réelles et des places complexes, appelée
ensemble des places “infinies” ou “archimédiennes”.
Remarque :
• Si F est un corps de fonctions, on a
|F |∞ = ∅ .
• Si F est un corps de nombres, on a

F ⊗Q R ∼
=

M
x∈|F |r

R ⊕ 

M
C
x∈|F |c
ce qui signifie en particulier que l’ensemble |F |∞ est fini, avec
# |F |r + 2 · # |F |c = dimQ F .
62
Le corps complet localement compact R [resp. C] est muni de la mesure additive de Lebesgue da∞ .
Pour tout élément γ∞ ∈ R [resp. C] non nul, la multiplication par γ∞ transforme da∞ en une autre
mesure additive qui est le produit de da∞ et de la valeur absolue [resp. du module]
|γ∞ |
au sens habituel de R ou C.
`
Si x ∈ |F |∞ = |F |r |F |c , on note | • |x : F → R+ la norme de F qui se déduit de la valeur absolue de
R [resp. du module de C] par le plongement
F
[resp. F
,→ R
,→ C , à conjugaison près].
On notera Fx la complétion de F pour la norme | • |x associée à une place archimédienne x ∈ |F |∞ . C’est
un corps topologique isomorphe à R si x ∈ |F |r et à C si x ∈ |F |c .
On peut maintenant introduire l’ensemble de toutes les places d’un corps global :
Définition A.7. –
Si F est un corps global, on appelle ensemble des places de F la réunion disjointe
`
`
`
|F | = |F |f |F |∞ = |F |f |F |r |F |c .
Remarque :
• Si F est un corps de fonctions,
|F | = |F |f
s’identifie à l’ensemble des points fermés de la courbe projective XF .
• Si F est un corps de nombres,
`
|F | = |F |f |F |∞
`
`
= |F |f |F |r |F |c
s’identifie à la réunion disjointe de
– l’ensemble infini dénombrable des points fermés du schéma affine maximal Spec (AF ),
– l’ensemble fini des complétions de F isomorphes à R,
– l’ensemble fini des complétions de F isomorphes à C.
L’expression “pour presque toutes les places de F ” – que nous emploierons souvent dans la suite –
signifiera toujours : “pour toutes les places de F sauf un nombre fini”.
Ayant défini toutes les normes | • |x associées aux places x ∈ |F | d’un corps global F , nous pouvons
énoncer la “formule du produit” :
Proposition A.8. –
Pour tout corps global F , et pour tout élément
γ ∈ F × = F − {0} ,
on a :
63
(i) Pour presque toute place x ∈ |F |,
|γ|x = 1 .
(ii) Le produit essentiellement fini
Y
|γ|x
x∈|F |
est égal à 1.
Remarque :
La formule n’est évidemment plus vérifiée si l’on oublie au moins une des places x ∈ |F |.
Nous allons maintenant introduire “l’anneau des adèles” d’un corps global F comme sous-anneau topologique de l’anneau topologique localement compact produit
Y
Fx .
x∈|F |
Définition A.9. –
Étant donné un corps global F , son “anneau des adèles” A = AF est le sous-anneau
Y
AF ⊂
Fx
x∈|F |
constitué des familles
(ax )x∈|F |
d’éléments ax ∈ Fx , x ∈ |F |, telles que
|ax |x ≤ 1 en presque toute place x ∈ |F |
ou, ce qui revient au même,
γx ∈ Ox en presque toute place finie x ∈ |F |f .
L’anneau des adèles A = AQ
F est un anneau topologique localement compact : il est muni de la topologie
induite par celle du produit
Fx dans lequel il est plongé.
x∈|F |
Supposons que, en presque toute place finie x ∈ |F |f , la mesure additive choisie dax de Fx attribue le
volume 1 au sous-groupe ouvert compact Ox . Alors A = AF est muni de la mesure additive
O
da =
dax
x∈|F |
produit des mesures additives dax des facteurs Fx , x ∈ |F |.
On note d’autre part que, d’après la proposition A.8(i), le plongement diagonal
Y
F ,→
Fx
x∈|F |
64
se factorise à travers le sous-anneau des adèles en un plongement
F ,→ AF .
Voici les premières propriétés importantes de ce plongement :
Proposition A.10. –
Pour tout corps global F , on a :
(i) Le plongement
F ,→ AF
identifie F à un sous-groupe discret du groupe topologique additif AF .
(ii) Le quotient
AF /F
du groupe topologique localement compact AF par son sous-groupe discret F est compact.
Remarque :
(i) résulte de la formule du produit.
En sens inverse, considérons la mesure invariante
O
da =
dax
x∈|F |
sur AF et sur son quotient AF /F .
La multiplication par n’importe quel élément
γ ∈ F×
transforme cette mesure invariante par le facteur
Y
|γ|x .
x∈|F |
Or cette mesure invariante attribue nécessairement au quotient compact AF /F un volume fini strictement
positif.
Comme la multiplication par γ ∈ F × définit un automorphisme de AF /F , on retrouve la formule du
produit
Y
|γ|x = 1 .
x∈|F |
Nous voulons enfin définir une transformation de Fourier sur chaque facteur Fx , x ∈ |F |, et sur A.
Pour cela, on choisit une fois pour toutes un caractère additif continu non trivial
ψ : A/F → C× ,
c’est-à-dire un caractère additif non trivial de A qui est invariant par le sous-groupe discret F .
Comme le quotient A/F est compact, ce caractère ψ est nécessairement unitaire.
65
En tant que caractère continu de A, il est de la forme
Y
ψ=
ψx
x∈|F |
où chaque
ψ x : Fx → C
est un caractère continu unitaire non trivial du groupe additif Fx .
Définissons d’abord la ψx -transformation de Fourier locale sur Fx , en chaque place x ∈ |F | :
Définition A.11. –
Soit F un corps global.
Pour toute place x ∈ |F |f [resp. x ∈ |F |∞ ], et pour toute fonction localement constante à support compact
[resp. de classe C ∞ à décroissance rapide]
fx : Fx → C ,
on appelle “ψx -transformée de Fourier” de fx , et on note
fbx : Fx → C ,
la fonction définie par la formule intégrale
Z
dax · ψx (ax bx ) · fx (ax ) .
fbx (bx ) =
Fx
Voici la première propriété essentielle des transformations de Fourier locales ainsi définies :
Proposition A.12. –
Pour toute place x ∈ |F |f [resp. x ∈ |F |∞ ], la ψx -transformation de Fourier définit un automorphisme
de l’espace des fonctions localement constantes à support compact [resp. de classe C ∞ à décroissance rapide]
sur Fx .
De plus, il existe une unique façon de choisir la mesure invariante dax en fonction de ψx , de sorte que
l’automorphisme réciproque de la ψx -transformation de Fourier soit la ψ x -transformation de Fourier associée
au caractère conjugué ψ x = ψx−1 .
Remarque :
L’unique mesure additive dax qui vérifie cette propriété est appelée la “mesure autoduale” de Fx muni
du caractère ψx .
Supposons désormais que, en toute place x ∈ |F |, Fx est muni de la mesure autoduale dax , et munissons
A = AF de la mesure produit
O
da =
dax .
x∈|F |
Considérons l’espace des fonctions
h:A→C
combinaisons linéaires de fonctions produits
O
hx : A → C
x∈|F |
dont les facteurs hx : Fx → C vérifient les conditions suivantes :
66
• les hx , x ∈ |F |f , sont des fonctions localement constantes à support compact sur Fx , et presque toutes
se confondent avec la fonction caractéristique du sous-groupe ouvert compact Ox ,
• les hx , x ∈ |F |∞ , sont des fonctions de classes C ∞ à décroissance rapide sur Fx = R ou C.
On déduit de la proposition précédente :
Corollaire A.13. –
(i) Dans l’espace de fonctions
A→C
défini ci-dessus, le produit sur toutes les places
O
O
b
hx 7→
hx
x∈|F |
x∈|F |
des ψx -transformations de Fourier locales s’étend par linéarité en un automorphisme de cet espace,
appelé “ψ-transformation de Fourier globale”.
(ii) La ψ-transformation de Fourier globale
h 7→ b
h
dans cet espace est aussi définie par la formule intégrale
Z
b
h(b) =
da · ψ(ab) · h(a) .
A
(iii) Dans cet espace, la ψ-transformation de Fourier admet pour automorphisme réciproque la ψ-transformation de Fourier.
Remarque :
Dans le cas où F est un corps de fonctions, notre espace de fonctions
h:A→C
n’est autre que celui des fonctions localement constantes à support compact sur A.
Voici enfin la propriété globale essentielle de la ψ-transformation de Fourier sur A, la formule de Poisson :
Proposition A.14 (Tate). –
Pour toute fonction
h:A→C
comme dans le corollaire A.13 ci-dessus, et si b
h désigne sa ψ-transformée de Fourier, on a
X
X
b
h(γ) =
h(γ) .
γ∈F
γ∈F
67
68
B. Groupes réductifs et groupes duaux de Langlands
Nous voulons d’abord rappeler la théorie des groupes réductifs sur un corps de base k. On notera ks la
clôture séparable de k et Γk = Autk (ks ) son groupe de Galois.
Définition B.1. –
Parmi les schémas en groupes affines, lisses et géométriquement connexes sur k, on distingue :
(i) Le “groupe multiplicatif ” Gm = Spec (k [X, X −1 ]) qui associe à toute k-algèbre A le groupe A× des
éléments inversibles de A.
(ii) Les “tores” T , définis par la condition qu’ils deviennent isomorphes sur ks à une puissance finie de
Gm .
(iii) Le “groupe additif ” A1 = Spec (k [X]) qui associe à toute k-algèbre A l’ensemble A muni de l’addition.
(iv) Les “groupes unipotents” N , définis par la condition d’admettre sur ks une suite emboı̂tée de sousgroupes algébriques distingués
{0} = N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nn0 = N
telle que chaque sous-quotient
Nn−1 \Nn ,
1 ≤ n ≤ n0 ,
1
soit isomorphe au groupe additif A .
(v) Les “groupes réductifs” G, définis par la condition de n’admettre, sur k ou ks , aucun sous-groupe
algébrique distingué unipotent non trivial.
Remarques :
(i) Au fondement de la théorie des groupes réductifs, il y a le fait que n’existe aucun homomorphisme
algébrique non trivial Gm → A1 ou A1 → Gm . Il en résulte que les tores T sont des groupes réductifs.
(ii) Pour tout r ≥ 1, les groupes

1






0
Nr = 
.


 ..



0
∗
..
.
..
.
...

... ∗ 


.. 
..

. . 

..
. ∗



0 1
et
Nrop

1






∗
= 
.


 ..



∗
0
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
∗

0 


.. 


.


0


1
de matrices triangulaires unipotentes supérieures [resp. inférieures] sont unipotents.
(iii) Les premiers exemples de groupes réductifs – et les plus importants – sont : GLr , PGLr , SLr , Sp2r ,
SO2r+1 , SO2r .
On a :
Lemme B.2. –
Tout groupe algébrique P affine, lisse et géométriquement connexe sur un corps k contient un plus grand
sous-groupe algébrique unipotent distingué, noté NP et appelé le radical unipotent de P .
De plus, le groupe algébrique quotient P/NP est réductif. Tout comme NP , il est défini sur k.
On remarque que les homomorphismes Gm → Gm sont exactement les λ 7→ λn , n ∈ Z.
69
Par conséquent, pour tout tore T sur k, le groupe XT des caractères définis sur ks
χ : T → Gm
et le groupe XT∨ des cocaractères définis sur ks
µ : Gm → T
sont des réseaux de rang dim T . Ils sont munis d’une action naturelle de Γk . De plus, ils sont duaux l’un de
l’autre via la forme bilinéaire Γk -équivariante
h•, •i : XT × XT∨
→ Z
(χ, µ) 7→
hχ, µi
où hχ, µi désigne l’exposant de l’homomorphisme composé χ ◦ µ : Gm → T → Gm .
On a :
Lemme B.3. –
Le foncteur covariant [resp. contravariant]
T 7→ XT∨
[resp. T 7→ XT ]
définit une équivalence de la catégorie des tores algébriques sur k dans la catégorie des réseaux de rang fini
munis d’une action continue de Γk .
Afin d’étudier les groupes réductifs, on pose :
Définition B.4. –
Soit G un groupe réductif sur k.
(i) Un sous-groupe fermé géométriquement connexe P
G/P est projective.
(ii) Un sous-groupe de Borel B
G est dit “parabolique” si la variété quotient
G est un sous-groupe parabolique minimal sur ks .
(iii) Une paire de Borel (T, B) est constituée d’un sous-tore T de G maximal sur ks et d’un sous-groupe de
Borel B de G qui contient T .
D’après le lemme B.2, tout sous-groupe parabolique P d’un groupe réductif G possède un radical unipotent NP ; le quotient P/NP est réductif.
On montre :
Proposition B.5. –
Soit G un groupe réductif sur k.
(i) Sur ks , G possède des sous-tores maximaux. Ils sont conjugués les uns des autres par les éléments de
G(ks ). Si T est l’un d’eux, le quotient par T de son normalisateur NG (T ) est un groupe fini.
(ii) Sur ks , G possède des sous-groupes de Borel. Ils sont conjugués les uns des autres par les éléments de
G(ks ). Chacun est son propre normalisateur.
(iii) Sur ks , G possède des paires de Borel. Elles sont conjuguées les unes des autres par les éléments de
G(ks ). Si (T, B) est l’une d’elles, son normalisateur est T .
(iv) Un sous-groupe parabolique P est minimal, donc un sous-groupe de Borel, si et seulement si P/NP est
un tore.
70
(v) Le centralisateur CG (T ) de tout sous-tore T de G est un groupe réductif. C’est un tore, nécessairement
égal à T , si et seulement si T est maximal.
(vi) Pour toute paire de Borel (T, B), l’homomorphisme
T → B/NB
est un isomorphisme.
Plus généralement, si P est un sous-groupe parabolique et T un sous-tore maximal contenu dans P , il
existe un unique sous-tore T 0 de T tel que l’homomorphisme
CG (T 0 ) = MP → P/NP
soit un isomorphisme de groupes réductifs.
Si (T1 , B1 ) et (T2 , B2 ) sont deux paires de Borel d’un groupe réductif G sur ks , il existe donc un élément
g ∈ G(ks ), uniquement déterminé à multiplication près par les éléments de T (ks ), tel que
g −1 · (T1 , B1 ) · g = (T2 , B2 ) .
Il en résulte que la définition suivante est indépendante du choix d’une paire de Borel :
Définition B.6. –
Étant donné un groupe réductif G sur ks , on note, pour n’importe quelle paire de Borel (T, B) de G :
• XG = XT le réseau des caractères de T ,
∨
• XG
= XT∨ le réseau dual des cocaractères de T ,
• SG = NG (T )/T le groupe fini, appelé groupe de Weyl de G, défini comme le quotient par T de son
normalisateur,
• ΦG = ΦT ⊂ XT − {0} l’ensemble fini des caractères non triviaux de T qui apparaissent dans l’action
par conjugaison de T sur Lie (G),
• Φ+
G = ΦB ⊂ ΦG = ΦT le sous-ensemble fini des caractères non triviaux qui apparaissent dans l’action
par conjugaison de T sur Lie (B) ou Lie (NB ),
• ∆G = ∆B ⊂ Φ+
G = ΦB le sous-ensemble de ΦB constitué des éléments qui ne peuvent s’écrire comme
la somme de deux éléments de ΦB .
Remarques :
• Les éléments des sous-ensembles finis ΦG , Φ+
G et ∆G du réseau XG s’appellent respectivement les
racines, les racines positives et les racines simples. On montre de ΦG est la réunion disjointe de Φ+
G et
−Φ+
G.
∨
. Cette action préserve l’ensemble ΦG des racines de G.
• Le groupe de Weyl SG agit sur XG et XG
Considérons toujours une paire de Borel (T, B) du groupe réductif G sur ks .
Soit α : T → Gm une racine, élément de ΦG = ΦT . Soit Tα la composante neutre du noyau de α, qui est
un sous-tore de T de codimension 1. Le centralisateur Gα de Tα dans G est un sous-groupe réductif de G
qui admet T comme sous-tore maximal.
Le groupe fini NGα (T )/T agit non trivialement sur T /Tα ∼
= Gm , donc il compte exactement 2 éléments.
On note wα l’image dans NG (T )/T = SG de son unique élément non trivial.
71
Le groupe dérivé Gder
α = [G, G] de Gα (c’est-à-dire l’intersection des noyaux de tous les caractères de Gα )
a ses sous-tores maximaux isomorphes à Gm . Donc il est isomorphe à SL2 ou PGL2 , et il existe un unique
homomorphisme
α∨ : Gm → Gder
α
tel que

Im α∨ ⊂ T ,
T = Tα · (Im α∨ ) ,

hα, α∨ i = 2 .
On montre :
Lemme B.7. –
Dans la situation ci-dessus, les élément wα ∈ SG et α∨ ∈ XT∨ associés à toute racine α ∈ ΦG vérifient
wα (χ) = χ − hχ, α∨ i · α ,
∀ χ ∈ XT ,
wα (µ) = µ − hα, µi · α∨ ,
∀ µ ∈ XT∨ .
L’application ΦG 3 α 7→ α∨ ne dépend pas du choix de la paire de Borel (T, B). On peut donc compléter
la définition B.6 par :
Définition B.8. –
Si G est un groupe réductif sur ks , on appelle coracines [resp. coracines positives, resp. coracines simples]
+
+∨
∨
∨
les éléments du sous-ensemble Φ∨
G [resp. ΦG , resp. ∆B ] de XG − {0}, image de ΦG [resp. ΦG , resp. ∆B ]
par l’application
α 7→ α∨ .
La construction des racines et des coracines d’un groupe réductif amène à poser la définition suivante :
Définition B.9. –
(i) On appelle “donnée radicielle” tout quadruplet (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) constitué de
– un réseau X de rang fini,
– son réseau dual X ∨ ,
– deux sous-ensembles finis Φ et Φ∨ de X et X ∨ reliés par une bijection
Φ
−→
∼
Φ∨
α
7→
α∨ ,
et tel que tout élément α ∈ Φ satisfait les 2 axiomes suivants :
• hα, α∨ i = 2,
• les involutions de X et X ∨ définies par
χ 7→
wα (χ) = χ − hχ, α∨ i · α ,
µ 7→
wα (µ) = µ − hα, µi · α∨ ,
stabilisent les ensembles finis Φ et Φ∨ .
72
(ii) Une donnée radicielle (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) est dite “réduite” si, pour tout élément α ∈ Φ, les seuls multiples
de α [resp. α∨ ] contenus dans Φ [resp. Φ∨ ] sont ± α [resp. ± α∨ ].
Remarque :
Si (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) est une donnée radicielle (réduite), (X ∨ , Φ∨ , X, Φ) est aussi une donnée radicielle
(réduite), appelée sa duale.
Cette définition étant posée, on a :
Théorème B.10. –
∨
(i) Pour tout groupe réductif G sur un corps séparablement clos ks , le quadruplet associé (XG , ΦG , XG
, Φ∨
G)
est une donnée radicielle réduite.
(ii) Réciproquement, pour toute donnée radicielle réduite (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ), et pour tout corps séparablement
∨
, Φ∨
clos ks , il existe un groupe réductif G sur ks , unique à isomorphisme près, tel que (XG , ΦG , XG
G)
∨
∨
soit isomorphe à (X, Φ, X , Φ ).
(iii) Pour tout groupe réductif G sur ks , on a un homomorphisme canonique entre groupes d’automorphismes
∨
Aut (G) → Aut (XG , ∆G , XG
, ∆∨
G) .
Il s’inscrit dans une suite exacte
∨
1 → Int (G) → Aut (G) → Aut (XG , ∆G , XG
, ∆∨
G) → 1
où Int (G) désigne le sous-groupe des automorphismes intérieurs de G.
Remarque :
Il résulte de ce théorème que les classes d’isomorphie de groupes réductifs sur un corps séparablement
clos ks sont indexées par des données combinatoires indépendantes de ks , et même de la caractéristique de
ks .
Les automorphismes d’un groupe réductif G sur ks muni d’une paire de Borel (T, B) sont les automorphismes de conjugaison par les éléments de T (ks ). Afin de les fixer tous, on note que, pour toute racine
α ∈ ΦG = ΦT , le sous-espace Lie (G)α de Lie (G) sur lequel T agit par le caractère α est de dimension 1, et
on pose :
Définition B.11. –
On appelle “épinglage” d’un groupe réductif G sur ks tout triplet (T, B, (uα )α∈∆G ) constitué d’une paire
de Borel (T, B) et d’une famille de vecteurs directeurs uα ∈ Lie (G)α , α ∈ ∆G = ∆B .
Avec cette définition, on a :
Proposition B.12. –
Soit G un groupe réductif sur ks . Alors :
(i) Deux épinglages de G sont transformés l’un dans l’autre par un unique automorphisme intérieur de G.
(ii) Tout épinglage définit un scindage de la suite exacte
∨
1 → Int (G) → Aut (G) → Aut (XG , ∆G , XG
, ∆∨
G) → 1 .
73
Revenons maintenant au corps arbitraire k de clôture séparable ks et de groupe de Galois Γk = Autk (ks ).
Ayant classifié les groupes réductifs sur ks et fixé leurs automorphismes, on peut chercher à classifier les
groupes réductifs sur k. Un groupe algébrique affine, lisse et géométriquement connexe G sur k est réductif
si et seulement Gks = G ×Spec(k) Spec(ks ) est réductif sur ks .
Deux groupes réductifs connexes G et G0 sur k sont appelés des “k-formes” l’un de l’autre s’il existe un
∼
isomorphisme c : Gks −→ G0ks .
Dans ce cas, l’application
Γk
→
Aut (Gks )
σ
7→
c−1 ◦ σ(c) = cσ
est continue, et elle satisfait la condition
cσσ0 = cσ ◦ σ(cσ0 ) ,
∀ σ, σ 0 ∈ Γk .
Réciproquement, si G est un groupe réductif sur k, toute application continue
Γk
σ
→ Aut (Gks ) ,
7→ cσ ,
qui satisfait la relation ci-dessus définit une “k-forme” de G. Cette k-forme est k-isomorphe à G si et
seulement s’il existe un automorphisme c ∈ Aut (Gks ) tel que
cσ = c−1 ◦ σ(c) ,
∀ σ ∈ Γk .
Les “k-formes” de G associées à des applications continues Γk 3 σ 7→ cσ qui prennent leurs valeurs dans
le sous-groupe Int (Gks ) ⊂ Aut (Gks ) des automorphismes intérieurs de Gks , sont appelées les “k-formes
intérieures” de G.
+
+∨
∨
∨
, Φ∨
Pour tout groupe réductif G sur k, on note encore (XG , ΦG , XG
G ), SG et (ΦG , ∆G , ΦG , ∆G ) la donnée
radicielle, le groupe de Weyl et les ensembles de racines et coracines positives ou simples qui sont associés à
Gks .
Si (T, B) est une paire de Borel de Gks et σ est un élément de Γk , la transformée (σ(T ), σ(B)) de (T, B)
par σ est une autre paire de Borel de Gks , et on a un isomorphisme induit par σ
∼
∨
∨
(XT , ∆B , XT∨ , ∆∨
B ) −→ (Xσ(T ) , ∆σ(B) , Xσ(T ) , ∆σ(B) ) .
∨
Cet isomorphisme induit par σ peut-être vu comme un automorphisme de (XG , ∆G , XG
, ∆∨
G ) ; comme tel,
il ne dépend pas du choix de la paire de Borel (T, B). On a donc une application canonique
∨
Γk → Aut (XG , ∆G , XG
, ∆∨
G) .
C’est un homomorphisme de groupes. Son noyau est un sous-groupe ouvert de Γk , ce qui signifie qu’il est
continu.
∨
Ainsi, le réseau XG et son dual XG
sont canoniquement munis d’une action du groupe de Galois Γk qui
+
+∨
∨
préserve les ensembles finis ∆G , ∆G , ΦG , Φ∨
G , ΦG , ΦG et induit une action sur le groupe de Weyl SG .
On pose :
74
Définition B.13. –
(i) Un groupe réductif G sur k est dit “quasi-déployé” s’il possède un épinglage (T, B, (uα )α∈∆G ) défini
sur k.
(ii) Il est dit “déployé” si, de plus, le tore T d’un tel épinglage est déployé, c’est-à-dire isomorphe sur k à
une puissance de Gm .
On déduit du théorème B.10 et de la proposition B.11 :
Corollaire B.14. –
(i) Deux groupes réductifs G et G0 sur k sont des “k-formes” l’un de l’autre si et seulement si leurs
∨
∨
∨
données radicielles (XG , ΦG , XG
, Φ∨
G ) et (XG0 , ΦG0 , XG0 , ΦG0 ) sont isomorphes.
De plus, ce sont des “k-formes intérieures” l’un de l’autre si et seulement si leurs données radicielles
munies des actions naturelles du groupe de Galois Γk sont isomorphes.
(ii) Toute donnée radicielle (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) munie d’une action continue de Γk préservant une base (∆, ∆∨ )
définit un groupe réductif quasi-déployé sur k. Celui-ci est unique à unique k-isomorphisme près
préservant les épinglages.
(iii) Tout groupe réductif sur k possède une forme intérieure quasi-déployée. Celle-ci est unique à unique
k-isomorphisme près préservant les épinglages.
(iv) Un groupe réductif G, supposé quasi-déployé sur k, est déployé sur k si et seulement si l’action induite
∨
, ∆∨
de Γk sur (XG , ∆G , XG
G ) est triviale.
À la suite de Langlands, on peut poser la définition suivante :
Définition B.15. –
Soit G un groupe réductif sur k.
b le groupe réductif sur C, muni d’un
On appelle “groupe dual (de Langlands)” de G, et on note G,
∨
b
b
épinglage (T , B, (uα )α∈∆Gb ), qui est associé à la donnée radicielle (XG
, Φ∨
G , XG , ΦG ) duale de la donnée
∨
∨
radicielle (XG , ΦG , XG , ΦG ) de G.
Il est unique à unique isomorphisme près et muni de l’action continue de Γk qui relève celle sur (XG , ΦG ,
∨
XG
, Φ∨
G ) et sa duale.
Remarque :
Si (T, B) est une paire de Borel de G sur ks , Tb est dual de T au sens que l’on peut identifier
∨
XTb = XG
= XT∨ ,
XT∨b = XG = XT .
Si (T, B) est défini sur k, les identifications XTb = XT∨ et XT∨b = XT sont même compatibles avec les
actions de Γk .
La partie (i) du corollaire B.14 ci-dessus se reformule de la manière suivante :
Corollaire B.16. –
Deux groupes réductifs G et G0 sur k sont des “k-formes” l’un de l’autre si et seulement si leurs groupes
b et G
b 0 sur C sont isomorphes.
réductifs duaux G
75
b et G
b 0 munis des actions
De plus, ce sont des “k-formes intérieures” l’un de l’autre si et seulement si G
naturelles de Γk sont isomorphes.
Considérons enfin le cas où le corps de base k est égal à un corps global F : les groupes réductifs G sur
un corps global F sont les objets de base de la théorie des représentations automorphes.
Soit donc F un corps global, et soit G un groupe réductif sur F .
Pour toute place x ∈ |F |, G induit un groupe réductif sur Fx . Si x ∈ |F |f est une place finie, G(Fx )
est un groupe topologique “totalement discontinu” au sens que sa topologie est engendrée par une famille
filtrante de sous-groupes ouverts compacts. Si x ∈ |F |r est une place réelle, G(Fx ) est un groupe de Lie réel
et si x ∈ |F |c est une place complexe, G(Fx ) et un groupe de Lie complexe.
Choisissons des clôtures séparables Fs et Fx,s , x ∈ |F |, de F et des Fx , ainsi que des plongements
Fs ,→ Fx,s de Fs dans chaque Fx,s , x ∈ |F |, qui prolongent les plongements F ,→ Fx . Chaque plongement
Fs ,→ Fx,s induit un plongement entre groupes de Galois
ΓFx ,→ ΓF .
nr
Fx,s
Si x ∈ |F |f , notons
le sous-corps de Fx,s qui est la réunion filtrante des extensions finies de Fx contenues
dans Fx,s qui sont “non ramifiées” au sens qu’elle se prolongent en une extension finie étale de l’anneau Ox
nr
des entiers de Fx . Le groupe Γnr
Fx = AutFx (Fx,s ) est appelé “groupe de Galois non ramifié de Fx ” ; c’est un
quotient du groupe profini ΓFx . On montre qu’il est isomorphe au groupe de Galois
b
ΓFx ∼
=Z
du corps résiduel Fx de l’anneau local Ox . Il admet pour générateur topologique “l’élément de Frobenius”
σx ∈ Γnr
Fx qui correspond à l’automorphisme de Frobenius
a 7→ aqx
(où qx = # Fx )
de n’importe quelle clôture séparable de Fx .
On pose :
Définition B.17. –
Soit G un groupe réductif sur un corps global F .
On dit que G est non ramifié en une place finie x ∈ |F |f si :
• G est quasi-déployé sur Fx ,
∨
• l’action du groupe de Galois local ΓFx sur la donnée radicielle (XG , ΦG , XG
, Φ∨
G ) ou, ce qui revient au
b
même, sur le groupe dual G, se factorise à travers son quotient non ramifié Γnr
Fx .
Remarque :
b de l’élément de Frobenius σx .
Si G est non ramifié en x ∈ |F |f , on peut parler de l’action sur G
On montre :
Lemme B.18. –
Soient G un groupe réductif sur un corps global F et x ∈ |F |f une place finie en laquelle G est non
ramifié.
Alors G considéré comme un groupe réductif sur Fx se prolonge de manière unique en un schéma en
groupes affine lisse sur Ox dont la fibre résiduelle est un groupe réductif sur Fx , de même donnée radicielle
que G.
On déduit de ce lemme :
76
Corollaire B.19. –
Sous les hypothèses du lemme B.18 ci-dessus, on peut parler du sous-groupe G(Ox ) des points entiers de
G(Fx ).
C’est un sous-groupe ouvert compact maximal de G(Fx ).
Enfin, on a :
Proposition B.20. –
Soit G un groupe réductif sur un corps global F .
Alors :
(i) Pour presque toute place x ∈ |F |, le groupe réductif G est quasi-déployé sur Fx .
(ii) Mieux encore, G est non ramifié en presque toute place x ∈ |F |f .
77
78
C. Fonctions automorphes, représentations automorphes et principe de
fonctorialité
Dans tout ce paragraphe, on fixe un corps global F et son anneau des adèles A = AF qui a la forme


Y
A = Af × 
Fx 
x∈|F |∞

=
Af × 

Y

R × 
x∈|F |r

Y
C .
x∈|F |c
On s’intéresse aux groupes réductifs G sur F et aux groupes de points
G(F ) ,→ G(A) .
Le groupe topologique G(A) est le produit des groupes de Lie réels
G(Fx ) ,
x ∈ |F |r ,
G(Fx ) ,
x ∈ |F |c ,
des groupes de Lie complexes
et du sous-groupe topologique
Y
G(Af ) ⊂
G(Fx )
x∈|F |f
constitué des familles (gx ∈ G(Fx ))x∈|F |f telles que gx ∈ G(Ox ) en presque toute place x ∈ |F |f en laquelle
G est non ramifié.
Le groupe G(Af ) est totalement discontinu : sa topologie est engendrée par ses sous-groupes ouverts
compacts produits
Y
Kf =
Kx
x∈|F |f
dont les facteurs Kx sont des sous-groupes ouverts compacts de G(Fx ), presque tous égaux à G(Ox ).
Le groupe réductif G sur F se plonge comme sous-schéma fermé d’un schéma affine Spec (F [X1 , . . . , Xd ]).
La proposition A.10(i) implique donc :
Lemme C.1. –
Pour tout groupe réductif G sur F , le plongement
G(F ) ,→ G(A)
identifie G(F ) à un sous-groupe discret du groupe topologique G(A).
La théorie automorphe consiste à étudier l’espace topologique quotient
G(F )\G(A)
muni de l’action à droite du groupe topologique G(A) ou, ce qui revient au même, les espaces de fonctions
h : G(F )\G(A) → C
sur lesquels G(A) opère par translation à droite.
On introduit en particulier :
79
• l’espace Cc (G(F )\G(A)) des fonctions continues à support compact
h : G(F )\G(A) → C
• son sous-espace C∞ (G(F )\G(A)) réunion filtrante des sous-espaces CKf ,∞ (G(F )\G(A)) de fonctions à
support compact
h : G(F )\G(A) → C
∞
invariantes
Q à droite par un sous-groupe ouvert compact Kf de G(Af ) et de classe C en la variable
g∞ ∈
G(Fx ),
x∈|F |∞
• l’espace L2 (G(F )\G(A)) des fonctions de carré intégrable
h : G(F )\G(A) → C
pour n’importe quelle mesure de Haar sur G(A)
O
dg =
dgx
x∈|F |
produit de mesures de Haar dgx sur les groupes topologiques localement compacts G(Fx ),
• son sous-espace L2∞ (G(F )\G(A)) réunion filtrante des sous-espaces L2Kf ,∞ (G(F )\G(A)) de fonctions
de carré intégrable
h : G(F )\G(A) → C
∞
invariantes
Q à droite par un sous-groupe ouvert compact Kf de G(Af ) et de classe C en la variable
g∞ ∈
G(Fx ).
x∈|F |∞
Ces différents espaces sont munis de l’action de G(A) par translation à droite ou, ce qui revient au même,
de l’action par convolution à droite
!
Z
(h, ϕ) 7→ h ∗ ϕ =
g 0 7→
dg · h(g 0 g −1 ) · ϕ(g)
G(A)
des fonctions ϕ : G(A) → C éléments de “l’algèbre de Hecke de G(A)”
HG
définie de la manière suivante :
Définition C.2. –
N
Ayant choisi une mesure de Haar dg =
dgx sur G(A), produit de mesures de Haar dgx sur les G(Fx ),
on pose :
x∈|F |
(i) Pour toute place x ∈ |F |f , on appelle “algèbre de Hecke locale sur G(Fx )”, et on note HxG , l’algèbre de
convolution des fonctions localement constantes à support compact
ϕx : G(Fx ) → C .
G
C’est la réunion filtrante, sur les sous-groupes ouverts compacts Kx de G(Fx ), des sous-algèbres Hx,K
x
de fonctions à support compact
Kx \G(Fx )/Kx → C .
80
(ii) Pour toute place x ∈ |F |∞ , on appelle “algèbre de Hecke locale sur G(Fx )”, et on note HxG , l’algèbre
de convolution des fonctions de classe C ∞ à support compact
ϕx : G(Fx ) → C .
(iii) On appelle “algèbre de Hecke globale” sur G(A), et on note HG , le produit tensoriel
O
HG =
HxG .
x∈|F |
C’est une algèbre de convolution de fonctions à support compact
ϕ : G(A) → C
qui sont invariantes à gauche
Q et à droite par un sous-groupe ouvert compact de G(Af ), et de classe
C ∞ en la variable g∞ ∈
G(Fx ).
x∈|F |∞
Remarque :
G
admet un élément unité qui est le quotient
En toute place x ∈ |F |f , chaque algèbre Hx,K
x
1
· 1IKx (•)
vol (Kx )
de la fonction caractéristique de Kx par son volume.
Si G est non ramifié en x, on normalise la mesure de Haar dgx sur G(Fx ) en demandant qu’elle attribue
le volume 1 à G(Ox ).
G
G
La sous-algèbre Hx,∅
= Hx,G(O
des fonctions à support compact
x)
G(Ox )\G(Fx )/G(Ox ) → C
est appelée “l’algèbre de Hecke sphérique sur G(Fx )”. Elle admet pour élément unité la fonction caractéristique
de G(Ox ).
La théorie automorphe consiste d’abord à décomposer spectralement la représentation
L2 (G(F )\G(A))
ou L2∞ (G(F )\G(A))
de G(A) ou HG comme une somme hilbertienne (discrète et continue) de représentations irréductibles qui
sont “lisses admissibles” au sens suivant :
Définition C.3. –
(i) En toute place x ∈ |F |f , une représentation “lisse admissible” de G(Fx ) ou HxG consiste en un espace
vectoriel Vπx sur C muni d’une action πx de G(Fx ) et tel que
• pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de Vπx , le sous-espace
VπKx x = {v ∈ Vπx | gx · v = v ,
∀ gx ∈ Kx }
est de dimension finie,
• l’espace Vπx est la réunion filtrante de ses sous-espaces VπKx x .
(ii) Dans les conditions de (i), la représentation “lisse admissible” (πx , Vπx ) est dite “non ramifiée” si
81
• G est non ramifié en x,
G(Ox )
• le sous-espace Vπx
est de dimension 1 et muni d’un vecteur directeur.
(iii) En toute place x ∈ |F |∞ , une représentation “lisse admissible” de G(Fx ) et HxG consiste en deux espaces
vectoriels Vπx et Vπ∗x sur C, munis d’actions de G(Fx ) et HxG et d’un produit scalaire équivariant non
dégénéré
h•, •i : Vπ∗x ⊗ Vπx → C
tels que, pour tous vecteurs v ∗ ∈ Vπ∗x , v ∈ Vπx ,
• la fonction
G(Fx ) 3 g 7→ hv ∗ , g · vi = hg −1 · v ∗ , vi
est de classe C ∞ ,
• le produit scalaire
hv ∗ , ϕ · vi
est égal à l’intégrale
Z
[resp. hϕ · v ∗ , vi]
Z
dg · ϕ(g) · hv ∗ , g · vi
[resp.
G(Fx )
dg · ϕ(g) · hg · v ∗ , vi]
G(Fx )
pour toute fonction ϕ ∈ HxG .
(iv) Une représentation “lisse admissible” de G(A) ou HG est un produit tensoriel
O
(π, Vπ ) =
(πx , Vπx )
x∈|F |
de représentations lisses admissibles locales qui sont non ramifiées en presque toute place x ∈ |F |f .
Citons tout de suite :
Lemme C.4. –
Soit x ∈ |F |f une place finie de F . Alors :
(i) Pour tout sous-groupe ouvert compact Kx de G(Fx ), le foncteur
Vπx 7→ VπKx x
induit une équivalence de la catégorie des représentations lisses admissibles irréductibles (πx , Vπx ) de
G(Fx ) telles que VπKx x 6= 0 sur la catégorie des représentations irréductibles de dimension finie de
G
l’algèbre Hx,K
.
x
G
G
(ii) Si G est non ramifié en x, l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
= Hx,G(O
est commutative.
x)
Par conséquent, ses représentations irréductibles sont de dimension 1, ce sont les caractères.
Remarque :
Il résulte de (i) et (ii) que, si G est non ramifié en x, les représentations non ramifiées irréductibles de
G
G(Fx ) correspondent bijectivement aux caractères de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
.
G
Il est possible de préciser la structure de l’algèbre commutative Hx,∅
en toute place x ∈ |F |f où G est
non ramifié. C’est un résultat fondamental de Satake, que nous citons dans sa reformulation par Langlands :
82
Théorème C.5. –
Soit x une place finie de F en laquelle le groupe réductif G sur F est non ramifié.
b de G, muni de sa paire de Borel (Tb, B)
b et de l’action du groupe de Galois
Considérons le groupe dual G
local non ramifié Γnr
induite
par
celle
de
Γ
.
F
Fx
Soit
bx
G
b o Γnr au-dessus de l’élément de Frobenius σx ∈ Γnr , munie de l’action de
la fibre du produit semi-direct G
Fx
Fx
b par conjugaison.
G
Alors on a un isomorphisme canonique, dit isomorphisme de Satake,
∼
G
b x ]G
SxG : Hx,∅
−→ C [G
b
b x qui sont invariants par
de l’algèbre de Hecke sphérique de G en x vers l’algèbre des polynômes sur G
b
conjugaison par G.
Remarques :
(i) Si G = GLr , l’isomorphisme de Satake s’écrit encore
GLr
r
Sxr : Hx,∅
= Hx,∅
→ C [Tbr ]Sr = C [X1±1 , . . . , Xr±1 ]Sr
c r = GLr (C) et Sr le groupe des permutations de
où Tbr = (C× )r désigne le tore maximal de GL
{1, 2, . . . , r}.
G
Les représentations non ramifiées de GLr (Fx ), ou les caractères de l’algèbre de Hecke sphérique Hx,∅
,
× r
correspondent aux familles (z1 , . . . , zr ) ∈ (C ) , modulo permutation. On appelle les éléments de ces
familles les “valeurs propres de Hecke” des représentations non ramifiées.
(ii) Plus généralement, si G est déployé sur Fx , l’isomorphisme de Satake s’écrit encore
G
SxG : Hx,∅
→ C [Tb]SG
b
où SG désigne le groupe de Weyl de G ou G.
G
Les représentations non ramifiées de G(F ), ou les caractères de Hx,∅
, correspondent aux éléments
b
λ ∈ T , modulo l’action de SG .
(iii) Dans le cas général, considérons un sous-tore Txd du groupe réductif quasi-déployé G sur Fx , qui est
déployé sur Fx et maximal pour cette propriété. Il est muni, ainsi que son tore complexe dual Tbxd , d’une
action du groupe de Weyl Fx -rationnel
SxG = {w ∈ SG | σx (w) = w} .
Alors l’isomorphisme de Satake s’écrit encore
x
G
SxG : Hx,∅
→ C [Tbxd ]SG .
G
Les représentations non ramifiées de G(F ), ou les caractères de Hx,∅
, correspondent aux éléments
d
x
λ ∈ Tbx , modulo l’action de SG .
83
Revenons au problème de la décomposition spectrale des fonctions
h : G(F )\G(A) → C
sous l’action de G(A) par translation à droite.
Voyons d’abord le cas d’un tore T algébrique sur F .
Comme T est commutatif, les représentations lisses admissibles irréductibles de T (A) sont les caractères
continus presque partout non ramifiés
χ : T (A) → C× .
Ceux de ces caractères qui apparaissent dans la décomposition spectrale des fonctions
h : T (F )\T (A) → C
sont les caractères “automorphes” au sens de triviaux sur T (F ).
Parmi les caractères automorphes, on distingue en particulier ceux de la forme
T (A) 3 t 7→ |χ1 (t)|s1 . . . |χk (t)|sk
pour des caractères algébriques définis sur F
χ1 , . . . , χk : T → Gm
et des exposants complexes s1 , . . . , sk ∈ C.
Les caractères T (A) → C× de cette forme sont effectivement automorphes d’après la “formule du produit”
de la proposition A.8.
b T le groupe abélien des caractères automorphes de cette forme, T (A)0 ⊂ T (A) le sous-groupe
Notons Λ
b T , et ΛT le groupe quotient de T (A) par T (A)0 .
fermé intersection des noyaux des éléments de Λ
On a :
Lemme C.6. –
Pour tout tore T algébrique sur F , on a :
b T a naturellement la structure d’un groupe de Lie complexe. Sa dimension sur C
(i) Le groupe abélien Λ
est égale au rang du plus grand sous-tore de T déployé sur F .
(ii) Si F est un corps de fonctions [resp. un corps de nombres], le groupe topologique quotient ΛT =
b T est isomorphe
T (A)/T (A)0 est isomorphe à une puissance de Z [resp. de R], si bien que son dual Λ
à une puissance du groupe multiplicatif C× [resp. du groupe additif C].
(iii) Le quotient
T (F )\T (A)0
du noyau commun T (A)0 par le sous-groupe discret T (F ) est compact.
Remarque :
La partie (iii) implique que, dans le groupe des caractères automorphes de T (A), les orbites sous l’action
b T forment une famille discrète.
du sous-groupe Λ
Décrire un caractère automorphe
χ=
O
χx : T (F )\T (A) → C×
x∈|F |
84
n’est pas facile.
Cependant, un tel caractère est non ramifié en presque toute place finie x ∈ |F |f et, d’après la remarque
(iii) du théorème C.5, ses composantes non ramifiées χx correspondent à des “valeurs propres de Hecke”
zχx ∈ Tbxd = Tb/{σx (λ) · λ−1 , λ ∈ Tb} .
Or on a :
Proposition C.7. –
Deux caractères automorphes
χ=
O
χx ,
x∈|F |
χ0 =
O
χ0x : T (F )\T (A) → C
x∈|F |
qui ont les mêmes “valeurs propres de Hecke” zχx = zχ0x en presque toutes les places x ∈ |F |f , sont
nécessairement égaux.
Ayant examiné le cas des tores, considérons maintenant le problème de décomposition spectrale des
fonctions
h : G(F )\G(A) → C
dans le cas général d’un groupe réductif arbitraire G sur F .
Pour cela, on a besoin de considérer les sous-groupes paraboliques P de G définis sur F . On rappelle
que, à conjugaison près par les élément de G(F ), il n’y en a qu’un nombre fini. À chaque tel sous-groupe
parabolique P sont associés son radical unipotent NP , qui est un groupe algébrique unipotent sur F , et
le quotient MP = P/NP qui est un groupe réductif sur F . Les NP (F ) sont des sous-groupes discrets des
groupes topologiques NP (A), et les quotients NP (F )\NP (A) sont compacts puisque le quotient F \A est
compact (proposition A.10(ii)).
N
Le choix d’une mesure de Haar da =
dax du groupe additif A détermine une mesure de Haar
x∈|F |
N
N
du =
dux de chaque radical unipotent NP (A). Comme une mesure de Haar dg =
dgx de G(A) est
x∈|F |
x∈|F |
fixée, on peut montrer – en utilisant
les décompositions d’Iwasawa ou de Bruhat – que cela détermine aussi
N
une mesure de Haar dm =
dmx de chaque quotient réductif MP (A) = P (A)/NP (A).
x∈|F |
Pour tout sous-groupe parabolique P de G sur F , et pour toute fonction localement intégrable
h : G(F )\G(A) → C
(ou, plus généralement, h : P (F )\G(A) → C) ,
on notera
hP : MP (F ) · NP (A)\G(A) → C
la fonction localement intégrable définie par
Z
hP (g) =
du · h(ug) ,
∀ g ∈ G(A) .
NP (F )\NP (A)
Nous pouvons maintenant introduire les notions de fonction automorphe sur G(A) et de représentation
automorphe de G(A) :
Définition C.8. –
Soit un groupe réductif G sur F .
85
(i) Une fonction “automorphe” sur G(A) est une fonction localement intégrable
h : G(F )\G(A) → C
telle que, pour tout sous-groupe parabolique P de G et tout tore T ⊂ P définis sur F , il existe des
caractères
bT
N1 , . . . , Nk ∈ Re Λ
tels que les fonctions quotients
T (F )\T (A) 3 t 7→
|hP (tg)|
,
max {N1 (t), . . . , Nk (t)}
g ∈ G(A) ,
soient bornées par une constante (qui dépend continûment de g).
(ii) Une représentation lisse admissible irréductible
O
π=
πx
x∈|F |
de G(A) est dite “automorphe” s’il est possible de la réaliser dans un espace de fonctions automorphes
sur G(A), muni de l’action de G(A) par translation à droite.
On remarque que le sous-espace des fonctions automorphes
h : G(F )\G(A) → C
telles que
hP = 0 ,
∀P
G,
est stable par translation à droite par les éléments de G(A).
Cela conduit à compléter la définition précédente par :
Définition C.9. –
Soit toujours un groupe réductif G sur F .
(i) Une fonction automorphe
h : G(F )\G(A) → C
est dite “cuspidale” si, pour tout sous-groupe parabolique non trivial P
G défini sur F , on a hP = 0.
(ii) Une représentation automorphe de G(A) est dite “cuspidale” s’il est possible de la réaliser dans un
espace de fonctions automorphes cuspidales sur G(A), muni de l’action de G(A) par translation à
droite.
bG = Λ
b Gab
Le quotient Gab de G par son sous-groupe des commutateurs est un tore défini sur F . On note Λ
ab
b
le groupe de Lie complexe associé à G au sens du lemme C.6. Les éléments de ΛG définissent des caractères
de G(A) qui sont triviaux sur G(F ) ; ils agissent donc par produit tensoriel (π, λ) 7→ π⊗λ = πλ sur l’ensemble
des représentations automorphes π de G(A).
b G est un sous-groupe topologique de G(A) qui
L’intersection G(A)0 des noyaux des caractères z ∈ Λ
contient G(F ) comme sous-groupe discret. Il est muni d’une mesure de Haar induite par celle de G(A). On
montre que le quotient G(F )\G(A)0 est toujours de volume fini mais, contrairement au cas des tores, il n’est
pas compact en général. On a toutefois :
86
Lemme C.10. –
Soit une fonction automorphe cuspidale
h : G(F )\G(A) → C
Q
qui est invariante à droite par un sous-groupe ouvert compact Kf =
Kx de G(Af ), et de classe C ∞ en
x∈|F |f
Q
la variable g∞ ∈
G(Fx ).
x∈|F |∞
Alors la restriction de h à
G(F )\G(A)0
est à support compact [resp. à décroissance rapide] si F est un corps de fonctions [resp. un corps de nombres].
0
du centre ZG de G est aussi un tore algébrique sur F , et l’homomorphisme
La composante neutre ZG
composé
0
ZG
,→ G → Gab
est un épimorphisme de tore dont le noyau est fini.
Toute représentation lisse admissible irréductible
π=
O
πx
x∈|F |
de G(A) possède un caractère central
χπ =
O
0
χπx : ZG
(A) → C×
x∈|F |
presque partout non ramifié. Si la représentation π est automorphe, son caractère central est automorphe,
0
(F ). Si de plus π est réalisée dans un espace de fonctions automorphes h :
c’est-à-dire invariant par ZG
G(F )\G(A) → C, celles-ci vérifient nécessairement
h(zg) = χπ (z) h(g) ,
0
∀ z ∈ ZG
(A) ,
∀ g ∈ G(A) .
Contrôler la croissance de ces fonctions automorphes h équivaut donc à contrôler la croissance de leurs
restrictions à G(F )\G(A)0 .
C’est pourquoi on pose :
Définition C.11. –
Une représentation automorphe de G(A) est dite “discrète” s’il est possible de la réaliser dans un espace
de fonctions automorphes
h : G(F )\G(A) → C
dont la restriction à G(F )\G(A)0 est de carré intégrable.
Remarque :
Une représentation automorphe discrète de G(A) est unitaire si et seulement si son caractère central χπ
b G.
est unitaire. Elle le devient après tensorisation par un caractère convenable λ ∈ Λ
Le lemme C.10 implique :
87
Corollaire C.12. –
Toute représentation automorphe cuspidale de G(A) est discrète.
Le lemme suivant fait comprendre que l’étude des représentations automorphes de G(A) peut être ramenée à celle des représentations automorphes cuspidales des groupes MP (A) associés aux sous-groupes
paraboliques P de G.
Lemme C.13. –
Considérons une fonction automorphe à support compact
h : G(F )\G(A) → C .
Supposons que pour tout sous-groupe parabolique P ⊆ G défini sur F , pour toute fonction automorphe
cuspidale
ϕ : MP (F )\MP (A) → C
et pour tout élément g ∈ G(A), on ait
Z
dm · ϕ(m) · hP (m · g) = 0 .
MP (F )\MP (A)
Alors on a
h = 0.
Si π est une représentation automorphe de G(A), notons AutG (π) la somme des sous-espaces de fonctions
automorphes G(F )\G(A) → C dans lesquels la représentation π se réalise.
Puis, si P est un sous-groupe parabolique de G défini sur F , que
δP : P → P/NP = MP → Gm
désigne le caractère modulaire par lequel P ou MP agissent sur Lie (NP ), et que π est une représentation
automorphe de MP (A), notons
AutG,P (π)
le sous-espace des fonctions localement intégrables
h : MP (F ) · NP (A)\G(A) → C
telles que, pour tout g ∈ G(A), la fonction
1
MP (F )\MP (A) 3 m 7→ |δP (m)|− 2 · h(mg)
soit élément du sous-espace AutMP (π).
Langlands a démontré grâce à la théorie des séries d’Eisenstein :
Théorème C.14. –
Soit un groupe réductif G sur F .
88
(i) Pour tout sous-groupe parabolique P de G et toute représentation automorphe π de MP (A), la représentation AutG,P (π) de G(A) est munie d’un homomorphisme équivariant canonique non nul
X
“
” : AutG,P (π) → AutG
G(F )/P (F )
vers l’espace AutG des fonctions automorphes G(F )\G(A) → C.
Si π est unitaire, la représentation AutG,P (π) est unitaire ainsi donc que son image dans AutG .
(ii) Pour toute représentation automorphe [resp. et unitaire] π de G(A), il existe un sous-groupe parabolique
P ⊆ G et une représentation automorphe cuspidale [resp. discrète unitaire] πP de MP (A) telle que
AutG (π) soit contenu dans l’image de l’homomorphisme
X
“
” : AutG,P (πP ) → AutG .
G(F )/P (F )
Remarque :
Ce théorème fait comprendre que la décomposition spectrale des fonctions automorphes de carré intégrable
h : G(F )\G(A) → C
doit faire apparaı̂tre
• une somme finie sur des représentants des classes de conjugaison de sous-groupes paraboliques P de
G,
b M des représentations
• une somme discrète sur des représentants des orbites sous l’action de Im Λ
P
automorphes discrètes unitaires πP des MP (A),
bP .
• une somme continue sur les πP ⊗ λP , λP ∈ Im Λ
Ayant exploré la théorie spectrale des fonctions automorphes sur les groupes réductifs, nous allons terminer ce paragraphe par l’énoncé du principe de fonctorialité de Langlands.
Commençons par la définition suivante :
Définition C.15. –
Étant donnés deux groupes réductifs G et H sur le corps global F , on appelle “homomorphisme de
transfert” tout automorphisme continu
b o ΓF → H
b o ΓF
ρ:G
qui fait commuter le triangle :
b o ΓF
/H
b o ΓF
G
#
ΓF
{
On dit qu’un tel homomorphisme ρ est non ramifié en une place x ∈ |F |f si G et H sont non ramifiés
b o ΓF se factorise en
en x et que la restriction de ρ à G
x
nr
b o Γnr
b
G
Fx → H o ΓFx .
89
On note Sρ le lieu de ramification de ρ : c’est le plus petit sous-ensemble de |F | contenant |F |∞ tel que
ρ est non ramifié en toute place x ∈ |F | − Sρ . C’est toujours un ensemble fini.
Remarque :
b = GLr (C), ρ consiste en un homomorphisme continu
Lorsque H = GLr et donc H
b o ΓF → GLr (C) .
ρ:G
On parle alors de “représentation de transfert” de G.
L’isomorphisme de Satake du théorème C.5 implique :
Corollaire C.16. –
Soit un homomorphisme de transfert
b o ΓF → H
b o ΓF
ρ:G
entre deux groupes réductifs G et H sur F .
Alors ρ induit en toute place non ramifiée x ∈ |F | − Sρ un homomorphisme d’algèbres
H
G
ρ∗x : Hx,∅
→ Hx,∅
G
H
et, par conséquent, une application (ρx )∗ de l’ensemble des caractères de Hx,∅
dans celui de Hx,∅
ou, si l’on
préfère, de l’ensemble des représentations lisses admissibles irréductibles non ramifiées de G(Fx ) dans celui
de H(Fx ).
Démonstration :
En effet, ρ induit un homomorphisme
b→H
b
G
et, en toute place x ∈ |F | − Sρ , un morphisme
bx → H
bx
G
b et H.
b
compatible avec les actions par conjugaison de G
La conclusion résulte donc de l’existence des isomorphismes de Satake
∼
G
b x ]G
SxG : Hx,∅
−→ C [G
b
et
∼
H
b x ]H .
SxH : Hx,∅
−→ C [H
b
Nous pouvons énoncer maintenant le principe de fonctorialité de Langlands :
Conjecture C.17. –
Soient F un corps global, G un groupe réductif sur F , H un groupe réductif quasi-déployé sur F et
b o ΓF → H
b o ΓF
ρ:G
un homomorphisme de transfert.
90
Alors, pour toute représentation automorphe [resp. et unitaire] de G(A),
O
π=
πx ,
x∈|F |
il existe une représentation automorphe [resp. et unitaire] de H(A),
O
π0 =
πx0 ,
x∈|F |
telle que, en toute place x ∈ |F | − Sρ où πx est non ramifiée, πx0 est non ramifiée et
πx0 = (ρx )∗ (πx ) .
Remarques :
(i) Le principe de fonctorialité est évident dans le cas où H est un tore algébrique T sur F .
En effet, l’homomorphisme de transfert ρ est alors dual d’un homomorphisme
T →G
0
qui se factorise à travers la composante neutre ZG
du centre ZG de G.
Le transfert de Langlands de G vers H = T consiste alors à associer à toute représentation automorphe
0
0
π de G(A) la restriction à T (A) de son caractère central χπ : ZG
(F )\ZG
(A) → C× .
(ii) Pour notre part, nous nous intéressons au cas où G = GLr . Il n’est pas inutile de connaı̂tre la
généralisation suivante de la proposition C.7 aux groupes linéaires H = GLr :
N
Une représentation automorphe cuspidale π =
πx de GLr (A) est entièrement caractérisée par la
x∈|F |
donnée de ses facteurs locaux πx en presque toute place x ∈ |F |.
De plus, une telle représentation automorphe cuspidale π apparaı̂t avec la multiplicité 1 dans l’espace des fonctions automorphes sur GLr (A). Autrement dit, la sous-représentation AutGLr (π) est
irréductible.
91
92
Bibliographie
• A. Braverman et D. Kazhdan, 2000, “γ-functions of representations and lifting” (avec un appendice par
V. Vologodsky), in “Visions in Mathematics”, GAFA 2000 Special Volume, Part I, p. 237-278.
• J.W. Cogdell et I.I. Piatetski-Shapiro, 1994, “Converse theorems for GLn ”, Publications mathématiques
de l’IHES, numéro 79, p. 157-214.
• R. Godement et H. Jacquet, 1972, “Zeta functions of simple algebras”, LNM 260, Springer-Verlag.
• H. Jacquet, I.I. Piatetski-Shapiro et J.A. Shalika, 1983, “Rankin-Selberg convolutions”, American
journal of mathematics 105, p. 367-464.
• H. Jacquet et J.A. Shalika, 1985, “A lemma on highly ramified -factors”, Mathematische Annalen 271,
p. 319-332.
• L. Lafforgue, 2012, “Noyaux du transfert automorphe de Langlands et formules de Poisson non linéaires”,
prépublication de l’IHÉS numéro M/12/28.
• C. Moeglin et J.-L. Waldspurger, 1993, “Décomposition spectrale et séries d’Eisenstein”, Progress in
mathematics, volume 113, Birkhäuser.
• J. Tate, 1950, “Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions”, thèse de doctorat (Princeton)
reproduite dans : J.W.S. Cassels et A. Fröhlich (éditeurs), “Algebraic number theory”, Academic Press
(1967), p. 305-347.
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