cours sur les polynômes

Universit´e de Paris-Sud
Math 204- Alg`ebre 2006–2007
Arithm´etique des polynˆomes. Fractions rationnelles
R´esum´e du cours
Ce r´esum´e est avant tout un aide-m´emoire et/ou un ensemble de points de rep`ere. Tel
quel, il est totalement indigeste et il serait illusoire de penser qu’il suffit de le connaˆıtre
pour pouvoir comprendre le cours. On a privil´egi´e une exposition logique `a une exposition
didactique et on n’a donc pas respect´e l’ordre du cours.
1 – Anneaux.
Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois de composition
– une addition A×A→A, en g´en´eral not´ee (a, b)7→ a+b,
– une multiplication A×A→A, en g´en´eral not´ee (a, b)7→ a.b (ou (a×b) ou ab),
v´erifiant :
i) (a+b) + c=a+ (b+c), quelque soient a, b, c ∈A,
ii) il existe 0 ∈Atel que a+ 0 = 0 + a=a, quelque soit a∈A,
iii) pour tout a∈A, il existe a0∈Atel que a+a0=a0+a= 0,
iv) (ab)c=a(bc) quelque soient a, b, c ∈A,
v) a(b+c) = ab +ac et (b+c)a=ba +ca, quelque soient a, b, c ∈A,
vi) il existe un ´el´ement 1 ∈Atel que 1a=a1 = aquelque soit a∈A.
Dans un anneau A, l’´el´ement 0 est unique et s’appelle le z´ero de l’anneau, l’´el´ement 1
est unique et s’appelle l’´el´ement-unit´e.
Les propri´et´es i), ii) et iii) siginifient que, pour l’addition, Aest un groupe ab´elien.
L’ensemble A∗des a∈Atels qu’il existe b∈Av´erifiant ab =ba = 1 est un groupe, que
l’on appelle le groupe des unit´es ou le groupe multiplicatif des ´el´ements inversibles de A.
Si dans un anneau A, on a 1 = 0, alors Aa un seul ´element : A={0}.
On dit qu’un anneau Aest commutatif si ab =ba, quelque soient a, b ∈A.
Un homomorphisme d’anneaux f:A→Best une application de Adans Btelle que
f(a+b) = f(a) + f(b) , f(ab) = f(a)f(b) quelque soient a, b ∈Aet f(1) = 1 .
Un sous-anneau d’un anneau Best un sous-ensemble B0de Bcontenant 1 tel que
si a, b ∈B0, alors a+b∈B0et ab ∈B0.
Munis de l’addition et de la multiplicatioin induites par celles de B,B0est un anneau
et l’inclusion de B0dans Best un homomorphisme injectif d’anneaux. Si f:A→Best
un homomorphisme d’anneaux, l’image de f
Im f={b∈B|il existe a∈Atel que f(a) = b}

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est un sous-anneau de B.
Un id´eal d’un anneau Aest une partie non vide Itelle que
a+b∈Iquelque soient a, b ∈Iet xa, ax ∈Iquelque soient x∈Aet a∈I .
Le noyau f:A→Bd’un homomorphisme d’anneaux
Ker f={a∈A|f(a) = 0}
est un id´eal de A.
On a Ker f={0} ⇐⇒ fest injectif. On a Ker f=A⇐⇒ B={0}.
On dit qu’un anneau commutatif Aest int`egre s’il n’est pas r´eduit `a 0 (c’est-`a-dire si
A6={0}) et si le produit de deux ´el´ements non nuls de Aest non nul.
Un corps est un anneau commutatif non r´eduit `a 0 tel que tout ´el´ement non nul est
inversible. Autrement dit, c’est un anneau commutatif Ktel que K∗est le compl´ementaire
de 0 dans K.
Construction du corps des fractions d’un anneau commutatif int`egre : Soit Aun anneau
commutatif int`egre, soit Sle compl´ementaire de 0 dans A. On munit l’ensemble A×S
d’une relation d’´equivalence en posant
(a, s)≡(a0, s0)⇐⇒ as0=a0s .
Soit Kl’ensemble quotient pour cette relation d’´equivalence. Si (a, s)∈A×S, on note a/s
(ou a
b) la classe d’´equivalence de (a, s) (ce qui fait que l’on a a/s =a0/s0⇐⇒ as0=a0s).
On d´efinit une addition et une multiplication dans Ken posant
a
s+b t=at +bs st et a s.b t=as bt
(c’est ind´ependant du choix des repr´esentants dans les classes d’´equivalence). On obtient
ainsi un corps que l’on appelle le corps des fractions de Aet que l’on note Frac A.
L’anneau As’identifie `a un sous anneau de Ken posant a=a/1 pour tout a∈A.
Divisibilit´e : Soit Aun anneau commutatif int`egre et soit Kson corps des fractions.
Soient a, b ∈A. On dit que bdivise a(dans A)s’il existe c∈Atel que a=bc. On dit
aussi que best un diviseur de aou que aest un multiple de b.
Remarquons que
– si b= 0, ce n’est jamais le cas sauf si a= 0, auquel cas, ce sera vrai pour tout c,
– si b6= 0, bdivise adans Asi et seulement si l’´el´ement a/b de Kest en fait dans A
et cest alors unique, ´egal `a a/b.

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Soit Aun anneau commutatif. Si b∈A, l’ensemble des multiples de best un id´eal de
Aque l’on note (b) ou bA et que l’on appelle l’id´eal de Aengendr´e par b.
Si a, b ∈A, on a
a∈(b)⇐⇒ (a)⊂(b)⇐⇒ bdivise a .
On dit que a, b ∈Asont associ´es si (a) = (b). Cela ´equivaut `a dire qu’il existe ε∈A∗
tel que b=aε.
Anneaux principaux :
Un id´eal Id’un anneau commutatif est dit principal s’il existe b∈Atel que I= (b)
(on dit alors que Iest l’id´eal de Aengendr´e par b).
Un anneau principal est un anneau commutatif int`egre dont tous les id´eaux sont
principaux.
Dans toute la fin du paragraphe 1, Aest un anneau principal. Soit A0={a∈A|a6=
0 et a6∈ A∗}. On choisit un syst`eme complet Ude repr´esentants des classes d’´equivalence,
pour l’association, des ´el´ements de A0. Par cons´equent, si a∈A,
– ou bien (a) = (0), ce qui ´equivaut `a dire que a= 0,
– ou bien (a) = A, ce qui ´equivaut `a dire que a∈A∗,
– ou bien, il existe un et un seul u∈Utel que (a) = (u).
Dans ce cours, on dira que Uest un bon syst`eme pour A.
Soient a, b deux ´el´ements non nuls de A.
Le pgcd (plus grand commun diviseur) de aet best l’unique ´el´ement d∈Utel que
(a) + (b) = (d). Alors ddivise aet b. Un ´el´ement cde Adivise aet bsi et seulement s’il
divise d.
Le ppcm (plus grand commun mutiple) de aet best l’unique ´el´ement m∈Utel que
(a)∩(b) = (m). Alors mest un mutiple de aet de b. Un ´el´ement cde Aest un mutiple
de aet de bsi et seulement si c’est un mutiple de m.
On dit que p∈Aest irr´eductible sii p6= 0, p6∈ A∗et si
(p=ab, avec a, b ∈A) implique (a∈A∗ou b∈A∗).
Proposition. — Soit pun ´el´ement irr´eductible de Aet soient a, b ∈A. Si pdivise ab,
alors pdivise aou pdivise b.
On note Pl’ensemble des ´el´ements irr´eductibles de Aqui sont dans U. On note R
l’ensemble des familles d’entiers (rp)p∈Ptels que rp∈Npour tout pet que l’ensemble
des ptels que rp6= 0 est fini. Si (rp)p∈P∈R, on pose
Πprp= Πp∈Pprp=1 si rp= 0 pour tout p,
Πp∈Ptel que rp6=0 prpsinon.

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Proposition. — i) Pour tout id´eal non nul Ide A, il existe un et un seul u∈Utel que
I= (u).
ii) Pour tout a∈Anon nul, il existe (rp)p∈P∈Ret ε∈A∗, uniques tels que
a=εΠprp(on a donc aussi a=εu, avec u= Πprp∈U).
On dit alors que a=εΠprpest la d´ecomposition canonique de a. Pour tout p∈P,
l’entier rps’appelle la multiplicit´e de pdans a.
Si Iet Jsont deux id´eaux de A,I+J={x+y|x∈Iet y∈J}et I∩Jsont des
id´eaux de A. L’id´eal I+Jest aussi le plus petit id´eal de Acontenant Iet J.
Proposition. — Soient aet bdes ´el´ements non nuls de Aet
a=εΠprpet b=ε0Πpsp
leurs d´ecompositions canoniques. Soient dle pgcd de aet bet mleurs ppcm. Alors
d= Π pmin{rp,sp},m= Π pmax{rp,sp}et ab =εε0dm .
2 – L’anneau Zet ses quotients.
L’anneau Zest un anneau int`egre. On a Z∗={1,−1}. Le corps des fractions de Zest
le corps Qdes nombres rationnels.
Division euclidienne :
Th´eor`eme. — Soient a, b ∈Zavec b6= 0. Il existe q, r ∈Zuniques v´erifiant
a=bq +ret 0≤r < b .
Soit Nun entier ≥1. On consid`ere un ensemble, not´e Z/NZqui a N´el´ements not´es
0,1, . . . , N −1. Pour tout a∈Z, on pose a=rsi rest le reste de la division euclidienne
de apar N. On d´efinit une addition et une mutiplication sur Z/NZen posant
a+b=a+b
a.b =ab
Proposition. — Muni de ces deux lois, Z/NZest un anneau commutatif. L’application
de Zdans Z/NZqui envoie asur aest un homomorphisme d’anneaux qui est surjectif
et dont le noyau est l’id´eal engendr´e par N.

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Th´eor`eme. — L’anneau Zest un anneau principal.
L’ensemble Udes entiers ≥2 est un bon syst`eme pour Z. L’znsemble Pdes nombres
premiers est l’ensemble des ´el´ements irr´eductibles de Zqui sont dans U.
Algorithme de Bezout :
Th´eor`eme. — Soient aet bdes entiers v´erifiants 0< a < b. On construit une suite finie
strictement d´ecroissante a0, a1, a2, . . . d’entiers ≥0:
i) on pose a0=aet a1=b,
ii) si, ao, a1, . . . , ansont d´ej`a construits et si an6= 0, on prend pour an+1 le reste de
la division euclidienne de an−1par an.
Alors le pgcd de aet best le dernier terme non nul de la suite des an.
3 – L’anneau des polynˆomes `a coefficients dans un corps et ses quotients.
Si Aest un anneau commutatif, un ´el´ement de l’anneau A[X] des polynˆomes en
l’ind´etermin´ee X`a coefficients dans As’´ecrit de mani`ere unique sous la forme
P= Σ+∞
n=0anXn
o`u (an)n∈Nest une suite d’´el´ements de Apresque tous nuls (c’est-`a-dire telle que
l’ensemble des entiers npour lesquels an6= 0 est fini). Si dest un entier tel que an= 0
pour tout n > d, on peut ´ecrire Psous la forme a0+a1X+a2X2. . . +adXd. Si ad6= 0,
on dit que Pest de degr´e d. On convient que le degr´e du polynˆome 0 est −∞.
Si P=PanXnet Q=PbnXn, on a P+Q=P(an+bn)Xnet P Q =PcnXn
avec cn=a0bn+a1bn−1+a2bn−2+. . . +anb0.
L’anneau A[X] est un anneau commutatif contenant l’anneau Acomme sous-annneau.
Soient Aun sous anneau commutatif d’un anneau B. Pour tout x∈Btel que ax =xa
quelque soit a∈B, il existe un unique homomorphisme d’anneaux fx:A[X]→B
v´erifiant fx(a) = apour tout a∈Aet fx(X) = x: si P=a0+a1X+a2X2+. . . adXd,
on a fx(P) = P(x) = a0+a1x+a2x2+. . . adxd.
Remarque : Le fait de noter un polynˆome Pou P(X) est affaire de goˆut ou de
circonstance. En revanche la valeur du polynˆome Pen xse note P(x) (et d’ailleurs
P(X) est bien la valeur du polynˆome Pen X∈A[X], anneau contenant X).
Si P, Q ∈A, on a deg(P+Q)≤max{deg P, deg Q}(avec toujours l’´egalit´e lorsque
deg P6= deg Q). Si Aest int`egre, on a deg(P Q) = deg P+ deg Q.
Si l’anneau Aest int`egre, l’anneau A[X] l’est aussi et A[X]∗=A∗. Si Kest un corps,
l’anneau K[X] est donc int`egre et son corps des fractions se note K(X) et s’appelle le
corps des fractions rationnelles en l’ind´etermin´ee X`a coefficients dans K.