Exercice 1 C?g? ?(?o?f?f?r?e? ?B?)?

90
Exercice 1
1. On calcule deux quotients de Thalès :
80
RE
3
3
=
=
RD
3+ 1,5
4,5
Or
et
3
6
2
=
=
4,5
9
3 donc
RC
2
=
RU
3
RE
RC
=
RD
RU .
on peut aussi le prouver par les produits en croix :
3×3=9 et 4,5×2=9
70
50
40
2. On note k le coefficient d'agrandissement
longueur du triangle REC
×k
longueur du triangle RDU
30
×k
longueur RU
RU
3
k = RC = 2 = 1,5. Le coefficient d'agrandissement est k= 1,5
Aire (Triangle REC)
3.
× k²
Aire (Triangle RDU)
k= 1,5 donc k²= (1,5)² = 2,25.
C" g" " ("o "f" f" r" e" " B" )"
6A5 A
60
Les points R, E, D et R, C, U sont alignés dans le même ordre et les quotients de
Thalès sont égaux donc les droites (EC) et (DU) sont parallèles.
longueur RC
C" f" " (" o"f" f" r" e" " A " )"
PA riA A x A eA A nA €A A
3A5 A
20
10
NA oA m AbA reA A d
A Ae A m
A AoA rcA eA A aA uA xA
O
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
L'aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l'aire du triangle REC.
4. * Graphiquement, les prix sont les mêmes pour 50 morceaux.
Exercice 2 Fonctions Affines
* Par le calcul : on résout l'équation 1,2x = 35 + 0,5x
1,2x - 0,5x = 35
0,7x = 35
x = 35 ÷ 0,7 = 50.
1. Prix pour 30 morceaux téléchargés par an :
Offre A : 1,20 × 30 = 36 €.
Offre B : 35 + 30 × 0,50 = 35 + 15 = 50 €.
2. a) En fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec
l'offre A est 1,2x.
b) En fonction du nombre de morceaux téléchargés, le prix avec
l'offre B est 35 + 0,5x.
3. a) L'affirmation est incorrecte car g est une fonction affine mais pas linéaire.
b)
x
f(x)
g(x)
0
0
35
40
48
55
5. Graphiquement, l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année
est l'offre B avec un prix de 65 €.
6. Si on dépense 80 €, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B.
Par le calcul :
0,5x + 35 = 80
0,5x = 80 - 35
0,5x = 45
x = 45 ÷ 0,5 = 90.
Exercice 3
1. Perspective cavalière ci-contre
2. a. Vpavé = L × l × h = 40 × 20 × 30 = 24 000
Le volume du pavé droit est de 24 000 cm³.
2. b. 1 L = 1 000 cm³, donc 24 000 cm³ = 24 L.
L'aquarium peut contenir 24 litres.
4
3
3. Le volume d'une boule de rayon R est V= ×π ×R
3
Le diamètre étant 30 cm, le rayon est 15 cm donc :
4
3
VBOULE = 3 ×π ×15
3
4. Les 4 du volume d'une boule de diamètre 30 cm correspondent à :
3
3 4
× ×π ×153 =π×15 3 .
4 VBOULE = 4 3
On verse son contenu dans le premier aquarium.
On appelle h la hauteur à laquelle l'eau monte.
L'eau occupe le volume d'un pavé de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de
hauteur h : VPAVÉ =40 × 20 × h
3
On résout l'équation: VPAVÉ = 4 VBOULE
40 × 20 × h =  × 15³
800 × h =  × 15³
153 ×π
h=
≃ 13,3
800
L'eau monte à environ 13,3 cm (valeur approchée au mm).
2. a) Le coefficient de cette réduction est k=
4 1
=
= 0,25.
12 4
2. b) Dans une réduction de facteur k, les volumes sont multipliés par k 3 donc la
valeur exacte du volume du cône C2 est
 1
V2 =  
 4
3
× V1 =
1
× 64 π = × 64π = π cm3.
64
3. a) La valeur exacte du volume d'eau contenue dans le récipient, en cm 3 est
VR = V1 - V2 = 64π - π = 63π cm3.
b) VR ≈ 198 cm3 .
4. 0,2 litres = 200 cm3 (ou bien 198 cm3 = 0,798 litres) donc
ce volume d'eau n'est pas supérieur à 0,2 litres.
Exercice 5
1. L'espace entre 2 poteaux ne peut pas être de 5 m car 5 ne divise pas 78.
L'espace entre 2 poteaux peut être de 3 m car 3 divise 78 et 102.
2. Les possibilités sont les diviseurs communs de 78 et 102
Liste des diviseurs de 78 :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26 ; 39 ; 78
Liste de diviseurs de 102 :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 17 ; 34 ; 51 ; 102
L'espacement entre deux poteaux peut être de 1 ; 2 ; 3 ou 6 mètres.
Exercice 4 solides
1
× π × OB² × SO
3
1
V1 = × π × 4² × 12
3
1. Volume du cône C1 : V1 =
V1 = 64π cm3.
3.a. Il veut poser le moins de poteaux possible donc il doit choisir un espacement
maximal c'est à dire 6 mètres ( PGCD de 78 et 102) entre deux poteaux.
3.b. 102 ÷ 6 = 17 et 78 ÷ 6 = 13 : il faut 17 poteaux sur chaque largeur et 13 poteaux
sur chaque longueur. Au total, il faut 60 poteaux (13 × 2 + 17 × 2 )
Exercice 6 :
On résout (x +5)² =0 ce qui donne (x +5) =0 donc x = – 5
Pour obtenir 0 avec le programme A, il faut choisir au départ le nombre – 5, .
RA
1. et 2.
MA
C
3.b. En effectuant le programme B, on obtient pour résultat ( x ‒7)²
On résout (x ‒ 7)² =9
MABA
3A6 A °A A
AA
BA
OA
NA
SA
3. L’angle inscrit qui intercepte le petit arc de cercle mesure la moitié de l'angle au
centre qui intercepte le petit arc donc ̂
MAB = 36 ÷ 2 = 18°.
4. Proposition2 :
Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle C dont l’un des diamètres est [AB] alors
AMB est un triangle rectangle en M.
5. Dans le triangle AMB rectangle en M : Cos ̂
MAB =
donc MA = 8 Cos 18° ≈ 7,6 cm (arrondi au mm près).
MA
MA
donc Cos 18° =
AB
8
7. On reporte au compas la longueur NM sur le cercle ou bien on trace des angles
au centre de 72°.
Exercice 7.
1. 5 – 7 = – 2 puis (– 2)2 = 4 On obtient bien 4.
2. – 2 + 5 = 3 puis 32 = 9 On obtient 9.
3.a. On appelle x le nombre de départ.
En effectuant le programme A, on obtient pour résultat ( x +5)²
1ère façon
(x ‒ 7)² = 3²
(x ‒ 7)² ‒ 3² = 0
Factorisons avec a² ‒ b² = (a – b)(a + b)
(x ‒ 7)² ‒ 3² =[(x ‒ 7) ‒ 3 ] [ (x ‒ 7) + 3 ]
(x ‒ 7)² ‒ 3² = [ x ‒ 10 ] [ x ‒ 4 ]
on résout ( x ‒ 10 ) ( x ‒ 4 )=0
Si A × B = 0 alors A=0 ou B=0
x ‒ 10= 0 ou x ‒ 4 = 0
x = 10 ou x = 4
2ème façon
(x ‒ 7)² = 3²
Deux nombres ayant le même
carré sont égaux ou opposés
donc
x ‒ 7 = 3 ou x ‒ 7 = – 3
x = 3 + 7 ou x = – 3 +7
x = 10 ou x = 4
Pour obtenir 0 avec le programme A,
il faut choisir au départ le nombre 4 ou le nombre 10.
4. On résout (x +5)² = (x – 7)²
1ère façon
(x +5)² ‒ (x ‒ 7)² = 0
Factorisons avec a² ‒ b² = (a – b)(a + b)
[(x +5) ‒ (x ‒ 7)] [ (x +5) + (x ‒ 7)] = 0
[ x +5 ‒ x + 7 ] [ x + 5 + x ‒ 7 ] = 0
[ 5 + 7 ] [ 2x ‒ 2 ] = 0
12 (2x ‒ 2) = 0 donc 2x ‒ 2 =0
2x = 2
x=1
2ème façon
Deux nombres ayant le même
carré sont égaux ou opposés donc
x+5 = x ‒ 7 ou x+5 = – (x‒ 7)
impossible donc x+5 = ‒ x+ 7
impossible
2x ‒ 2 =0
2x = 2
x=1
Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes,
il faut choisir au départ le nombre 1