Étude de fonction et de courbes dans le plan

Chapitre 21
Étude de fonction et de courbes dans
le plan
Dans ce chapitre on étudie le problème suivant : étant donne une fonction donné par f (x) = y,
comment tracer approximativement la courbe représentative de cette fonction. On s’intéressera aussi
au cas de fonction définie de manière paramétrique, i.e. sous la forme (x(t), y(t)).
Essentiellement ce chapitre est une révision des notions d’analyse par leur interprétation géométrique.
– Revoir les équivalents, les limites et les développements limités,
– Les nombres complexes.
– Les fonctions classiques d’analyse (cos, ln, et sin).
Le but de chapitre est donc simplement d’être capable de réaliser l’étude
– d’une fonctions y = f (x),
– d’une courbe paramétrée, seule vraie nouveauté de ce chapitre par rapport à
la terminale.
\
=
$
CC
BY:
I
Courbe y = f (x)
C’est le type de courbe le plus simple : une fonction f est donnée par son expression en fonction
de la variable x.
I.1
Ensemble de définition, d’étude et de régularité
Déterminer l’ensemble de définition Essentiellement, on regarde sur quel intervalle la fonction
est définie.
√
Exemple: La fonction f : x 7→ x2 + x est définie sur ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[ (intervalle sur lequel
x2 + x est positif ou nul).
Déterminer la régularité de la fonction On regarde la régularité de la fonction sur son intervalle
de définition.
1
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION
ET DE COURBES DANS LE PLAN
√
Exemple: La fonction f : x 7→ x2 + x est continue sur ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[,
2
comme composée de
– x 7→ x2 + x qui est un polynôme de ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[→ R+ , et
√
– y 7→ y qui est continue sur R+ .
Par contre, elle n’est dérivable que sur ]−∞, −1[∪]0, +∞[, car sur cet intervalle, on a x2 +x > 0.
Attention à ne pas oublier les justifications (composée, quotient, produit), etc.
La meilleure rédaction est de faire un schéma, en indiquant les fonctions qui interviennent dans
la composition et les intervalles correspondants.
Souvent il s’agit de questions simples, pour lesquelles il est demandé une rédaction précise.
√
Attention aussi au cas des fonctions , arccos et arcsin qui ne sont pas dérivables sur tout leur
ensemble de définition.
Déterminer l’intervalle d’étude On restreint l’intervalle d’étude à la partie intéressante, i.e. tout
ce qui ne peut pas s’obtenir par symétrie.
Si la fonction est paire ou impaire, on se restreint à la partie positive.
Rappel : on obtient alors la courbe représentative par symétrie par rapport à la droite y = 0
(cas pair) ou par symétrie de centre (0, 0) (cas impaire).
Si la fonction est périodique de période T , on l’étudie sur une période, et on obtient la courbe
par translation de paramètre T .
Dans certains cas (plus rare), on une symétrie de centre un point a ∈ R.
C’est-à-dire qu’on peut trouver un point a ∈ R, tel que :
∀h ∈ R,
a + h ∈ Df ⇒ a − h ∈ Df et f (a + h) = f (a − h)
Cela revient à dire que la fonction h 7→ f (a + h) est paire.
Alors on peut étudier la fonction que sur Df ∩ [a, +∞[. On obtient le reste de la courbe par
symétrie d’axe y = a. (Exactement comme les fonctions paires).
√
Exemple: Pour la fonction f : x 7→ x2 + x On a : x2 + x = (x + 12 )2 − 14 . D’où
1
f (− + h) =
2
r
h2 −
1
1
= f (− − h).
4
2
Comme de plus Df est symétrique autour de x = − 21 , on obtient que la courbe représentative
de f est symétrique autour de x = − 12 .
Il est important de remarquer ces symétries pour éviter des calculs inutiles et simplifier le
raisonnement (ex. se ramener à des intervalles sur lesquels les fonctions trigonométriques sont
bijectives).
Étude des points particuliers Si on a vu des points particuliers dans l’étude de la régularité, il
faut étudier la limite à droite et à gauche de ces points. Ainsi que l’existence de prolongement
continu ou dérivable en ces points. Par exemple, on a :
√
Exemple: Pour f : x 7→ x2 + x on a vu que la fonction n’était a priori pas dérivable en 0. Si
on regarde le taux de variation, on a :
√
r
x2 + x
1
f (x) − f (0)
=
= 1 + −−−−→ +∞.
x−0
x
x x→0+
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
3
Ainsi f n’est pas dérivable en 0 et admet une tangente verticale. On parle aussi de demi
tangente puisque c’est une tangente à droite.
Puisque c’est vrai en 0, ce sera aussi vrai en 1 par symétrie de centre x = − 21 .
Il est important de rappeler le théorème de prolongement C 1 :
Proposition 1. Soit f telle que :
– f est continue sur R,
– f est de classe C 1 sur R∗ ,
– ∃L ∈ R, limx→0 f ′ (x) = L.
Alors f est de classe C 1 sur R, avec f ′ (0) = L.
Ainsi, pour prolonger une fonction C 1 , il suffit de calculer la limite de f ′ et non la limite du
taux d’accroissement. Cette proposition est très utilisé dans le cas où on a prolongée la fonction
f par continuité en 0.
I.2
Variation de f
Il s’agit essentiellement de tracer le tableau de variation de la fonction f .
Étude de f ′ et de son signe Il s’agit d’étudier les variations de f en utilisant le signe de f ′ . On
rappelle que si f ′ > 0 sur un intervalle, alors la fonction f est strictement croissante sur cet
intervalle.
Rappelons aussi que l’on peut aussi utiliser des théorèmes plus généraux (somme de fonctions
croissantes, produit de deux fonctions positives et croissantes, etc.), de manière à éviter de
dériver.
Tableau de variations, limites On représente ces données dans un tableau de variation. On y
ajoute les limites au bords de l’intervalle.
Exemple: On regarde f : x 7→
évidente.
x−1
x2 +1 .
L’intervalle de définition est R, il n’y a pas de symétrie
On a :
−x2 + 2x + 1
x2 + 1 − (x − 1)(2x)
=
.
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
√
Puis −x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2.
f ′ (x) =
x
f ′ (x)
−
Variations de
f
x
2
x+∞ x
On a : f (x) ∼
1−
−∞
=
√
2
0
+
√
0
+∞
2
−
√
2+1
2
0
1
−−→
x −
x→∞
1+
√
2+1
2
0, et de même en −∞.
0
Note: Cela peut être plus clair de placer les valeurs dans le tableau de variation à la bonne hauteur, de
manière à « visualiser » le graphique.
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
4
Toujours tracer le tableau de variation avant d’utiliser le théorème de la bijection ou des valeurs intermédiaire
I.3
Branches infinies
Étude des branches infinies Si dans le tableau de variation apparaît les symboles +∞ ou −∞
(pour x ou f (x)), il y a des branches infinies.
Pour une fonction f et sa courbe représentative Cf :
Si limx→+∞ f (x) = a ∈ R, alors Cf admet une asymptote horizontale en +∞, idem en −∞.
Si limx→x0 f (x) = +∞ ou limx→x0 f (x) = +∞ alors Cf admet une asymptote verticale
x = x0 .
Si limx→+∞ f (x) = +∞ ou limx→+∞ f (x) = +∞ alors on cherche des asymptote oblique
(qui peuvent exister ou non) :
o (f (x)). On
– Si limx→+∞ f (x)
x = +∞, ou −∞ alors f tend vers ∞ plus vite que x, ainsi x =
+∞
parle alors de branche parabolique. c’est le cas de l’exponentiel et de x 7→ x2 .
o (x). On parle alors
– Si limx→+∞ f (x)
x = 0, alors f tend vers ∞ mois vite que x, ainsi f (x) =
+∞
de branche parabolique de direction asymptotique l’axe des abcisses. C’est le cas
de la fonction x 7→ ln(x).
∗
– Si lim f (x)
limx→+∞ f (x) − a .
x = a ∈ R , alors on regarde
– Si on a : limx→+∞ f (x) − a = +∞ ou −∞, alors Cf admet branche parabolique de
direction asymptotique ∆ : y = ax. C’est le cas en particulier si f (x) = ax + ln x.
– Si on a : limx→+∞ f (x) − a = b ∈ R, alors Cf admet pour asymptote ∆ : y = ax. C’est
le cas en particulier si f (x) = ax + b + o(1).
√
Exemple: Pour la fonction f : x 7→ x2 + x on a :
f (x) = |x|
r
1
∼ |x|
±∞
x
| {z }
−−−−→0
1+
x→±∞
Ainsi, on a : limx→+∞ f (x)
x = 1. On fait alors la différence (ou on ajoute un terme au développement asymptotique) pour obtenir :
f (x)
=
=
=
+∞
=
+∞
r
1
x
1 12
|x| 1 +
x
1 1
+o
x 1+
2x
x
1
x+ +o 1
2
|x| 1 +
Ainsi, la droite ∆ : y = x + 12 est asymptote à Cf en +∞. De même en −∞ on trouve : la droite
∆ : y = x − 12 est asymptote à Cf en −∞.
Enfin, on peut rechercher des asymptotes sous une autre forme que des droites.
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
5
Définition 1. On dit que les courbes représentatives Cf Cg sont asymptotes (l’une de l’autre)
en +∞ (ou −∞), lorsque limx→+∞ f (x) − g(x) = 0 (idem en −∞), i.e. lorsque La distance
entre les deux courbes Cf et Cg est asymptotiquement nulle.
Cette définition permet de comparer la fonction f à des paraboles ou à des fonctions avec des
ln ou des exp, et ainsi de donner plus d’information sur la vitesse des convergence.
Pour déterminer de telle asymptote, il suffit de faire des développements asymptotiques, en
utilisant des termes de plus en plus précis.
√
Exemple: Pour la fonction f : x 7→ x4 + x3 + x, on a (en +∞) :
f (x)
=
=
r
1
1
+ 2
x x
1
1 21
x2 1 + + 2
|x {z x }
−−−−→0
x
2
1+
x→+∞
=
=
+∞
=
+∞
1
x2 1 + u
2
1
1
x2 1 + u − u2 + u2
2
8
1
1
1 1 1 1
x2 1 +
+ 2−
+o
2 |x {z x } 8 |{z}
x2
x2
u
=
+∞
=
+∞
=
+∞
u2
1 1
1
1
+ 2 − 2 +o 2
x2 1 +
2x 2x
8x
x
1
1
3
x2 1 +
+
+o 2
2x 8x2
x
x 3
2
x + + +o 1
2 8
Ainsi, asymptotiquement, f (x) « ressemble » à la parabole x 7→ x2 +
x
2
+ 38 .
Position de la courbe par rapport aux asymptotes Une fois ces asymptotes trouvées, il reste
à déterminer la position de la courbe par rapport aux asymptotes. Si f (x) et g(x) sont deux
courbes, alors la courbe Cf est au dessus de Cg si f (x) − g(x) > 0. Dans le cas où g(x) est
l’asymptote, on veut donc déterminer le signe de f (x) − g(x) > 0,
Cela se fait en « poussant le développement asymptotique » un rang plus loin.
1
Exemple: Soit g(x) = (x − 2)e x intuitivement déjà g(x) ∼ (x − 2). On a :
+∞
g(x)
=
=
=
+∞
=
+∞
=
+∞
1
(x − 2)e x
(x − 2)eu
avec u(x) −−−−→ 0
x→+∞
1
(x − 2) 1 + u + u2 + o(u2 )
2
1 1
1
(x − 2) 1 + + 2 + o 2
x 2x
x
1
3
+o
x−1−
2x
x
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
Ainsi, la droite ∆ : y = x − 1 est asymptote à Cf avec de plus f est au-dessus de Cf .
6
Avec toutes ses informations, on peut alors tracer la courbe. Le but étant bien évidement de
récapituler toutes ses informations qui doivent être visibles sur le graphique. Ainsi, il faut tracer les
tangentes horizontales, les asymptotes, les axes de symétries, les points particuliers etc.
Remarque: Cette étude n’est pas exhaustive, il faut étudier aussi la concavité (signe de la
dérivée seconde), les points d’inflexions (points où la dérivée seconde s’annule) etc.
Enfin, dans le cas où en étudie non pas une fonction mais une suite de fonction fn , ou une famille
de fonction fα ( qui dépend donc d’un paramètre α) il faut représenter plusieurs fonctions de cette
suite / famille, et regarder les points d’intersections etc.
II
Exemple de x 7→ x2 + ln(x2 − 1)
Soit f : x 7→ x2 + ln(x2 − 1). On détermine d’abords Df : f est définie si x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) est
positif donc sur ] − ∞, 1[∪]1, +∞[. Ainsi, Df =] − ∞, 1[∪]1, +∞[. Sur cet intervalle, f est C ∞ comme
composé d’un polynôme à valeur dans R∗+ et de ln. Comme elle est paire, on ne l’étudiera que sur
]1, +∞[. De plus, on a limx→1 f (x) = −∞, ainsi, on ne peut pas prolonger en 1 : on a une asymptote
verticale ∆ : x = 1.
On a : f ′ (x) = 2x + x22x−1 > 0, sur ]1, +∞[.
Donc f est croissante sur R, d’autre part, limx→+∞ f (x) = +∞.
D’où le tableau de variation :
x
+∞
1
+
Signe de f ′ (x)
+∞
Variations de
f
−∞
En +∞, on a :
f (x)
=
=
=
+∞
x2 + ln(x2 − 1)
1
x2
1
1
x2 + 2 ln(x) + 2 + o 2
x
x
x2 + 2 ln(x) + ln 1 +
Ainsi on a une asymptote en +∞ la fonction g(x) = x2 + 2 ln(x), et Cf est au dessus de Cg . En
particulier il y a une branche parabolique verticale, puisque f (x)
x tends vers +∞
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
7
5
4
3
2
1
0
−4
−3
−2
0
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
III
Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée est la donnée de deux fonctions (x(t), y(t)) définies sur un ensemble D ⊂ R.
On trace alors la courbe paramétrée, c’est-à-dire l’ensemble des points :
Γ=
n
x(t), y(t) t ∈ D
o
En physique, l’interprétation commune est que l’on suit un point M (t), dont la position dans le
plan dépend du temps, donc du paramètre t.
Note: Attention, il peut y avoir plusieurs fonctions qui donne la même courbe paramétrée. Exemple :
(
(
x(t) = cos(t)
x(t) = cos(2t)
et
, t∈R
y(t) = sin(t)
y(t) = sin(2t)
On dit donc que Γ est le support de la courbe paramétrée définie par le paramétrage (x(t), y(t))
Exemple: L’exemple le plus simple est celui du cercle :

x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
, t ∈ R ou t ∈ [0, 2π[
Notons aussi qu’une courbe y = f (x) peut être considéré comme une courbe paramétrée, en posant :

x(t) = t
y(t) = f (t)
, t ∈ Df
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
8
Pour étudier une courbe paramétrée, on étudie donc les fonctions (x(t), y(t)) « en parallèle ».
III.1
Ensemble de définition, d’étude et régularité
L’ensemble de définition est l’intersection des ensembles de définition de chacune des fonctions.
D = Dx ∩ Dy
La régularité de la courbe est la régularité commune (i.e. le minimum des deux régularité) des
deux courbes.
On étudie les symétries de la courbe pour réduire l’intervalle d’étude.
Remarque: Attention : la régularité des fonctions n’est pas la régularité de la courbe : les
fonction (x, y) peuvent être de classe C ∞ et la courbe Γ peut avoir des angles (exemple de l’astéroïde
plus loin).
Périodicité Dans le cas où les fonctions x(t) et y(t) sont périodique de même période T , on les
étudiera sur un intervalle de longueur T . On a alors :
Γ=
n
o
x(t), y(t) t ∈ R =
n
o
x(t), y(t) t ∈ [0, T ]
Application 1 Le démontrer.
Cela signifie que si on représente la courbe pour t ∈ [0, T ], alors on représenté la courbe sur R
entier. Cela provient de : M (t) = M (t + T ), donc après une période, on obtient le même point.
Exemple: L’astroïde est définie par :

x(t) = cos3 t
y(t) = sin3 t
,
Le domaine d’étude à priori est R, mais comme les deux fonctions sont périodiques, on peut se ramener
à [0, 2π], mais aussi à [−π, π].
Parité Comme dans le cas d’une fonction la parité permet de restreindre le domaine d’étude à R+ .
Pour cela, on doit pouvoir exprimer le point M (−t) = x(−t), y(−t) en fonction de x(t), y(t) =
M (t).
– Si x et y sont paires, M (−t) = M (t), on obtient alors directement toute la courbe en étudiant
sur R+ .
– Si x est paire et y est impaire, M (−t) = x(t), −y(t) , on étudie alors sur R+ , puis on obtient
toute la courbe par symétrie d’axe l’axe horizontal.
– Si x est impair et y est paire, M (−t) = − x(t), y(t) , on étudie alors sur R+ , puis on obtient
toute la courbe par symétrie d’axe l’axe vertical.
– Si x et y sont paires, M (−t) = −M (t), on étudie alors sur R+ , puis on obtient toute la courbe
par symétrie de centre (0, 0).
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET
9 DE COURBES DANS
LE PLAN
Exemple: Pour l’astroïde on a : M (−t) = cos3 (−t), sin3 (−t) = cos3 (t), − sin3 (t) = x(t), −y(t) .
On étudie donc la courbe pour t ∈ [0, π], puis on complète par symétrie d’axe l’axe horizontal.
Pour la courbe :

x(t) = 1 t + 1
2
t
t ∈ R∗
y(t) = 1 t − 1 ,
2
t
on a :
M (−t) =
1 2
−t −
1
1
1 ,
−t +
= − x(t), −y(t) .
t
2
t
Ainsi, on obtient la courbe en étudiant sur R+
∗ , puis on complète par symétrie de centre (0, 0).
Autres diminution Diverses symétries permettent aussi de diminuer l’intervalle d’étude.
Exemple: Toujours sur l’astroïde,

x(t) = cos3 t
y(t) = sin3 t
,
on a déjà réduit l’intervalle à [0, π], mais de plus, on voit facilement que M (π − t) = − x(t), y(t) ,
donc on peut se contenter d’étudier sur [0, π2 ], puis compléter par symétrie d’axe vertical.
Il est aussi clair que M ( π2 − t) = (y(t), x(t)), donc on peut étudier sur [0, π4 ], puis compléter par
symétrie d’axe ∆ : y = x.
Exemple: Pour la fonction :

x(t) =
y(t) =
1
2
1
2
t+
t−
1
t
1
t ,
t ∈ R∗+
on voit que M 1t = x(t), −y(t) . On peut donc étudier sur ]0, 1], puis compléter par symétrie d’axe
horizontal.
D’une manière générale, il est important de remarquer ces symétries. Pour retrouver les axes de
symétries, il suffit de faire un dessin.
Pour reconstruire la courbe totale, il faut faire toutes les symétries dans l’ordre inverse de celle
obtenue à chaque diminution de l’intervalle d’étude. Le plus simple est de suivre l’intervalle dans
lequel varie t.
Exemple: Pour l’astroïde, on construit :
1. la courbe pour t ∈ [0, π4 ],
2. on complète par symétrie d’axe : ∆ : y = x pour obtenir t ∈ [0, π2 ],
3. on complète par symétrie d’axe vertical pour obtenir t ∈ [0, π],
4. on complète par symétrie d’axe horizontal pour obtenir t ∈ [0, 2π],
5. on a alors obtenu toute la courbe pour t ∈ R.
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
III.2
10
Variation de (x, y)
On dérive ensuite x et y de manière à obtenir leur variation sur l’intervalle d’étude.
On obtient de plus les tangentes :
Proposition 2. Soit M (t0 ) ∈ Γ, un point de la courbe paramétrée tel que M ′ (t0 ) = x′ (t0 ), y ′ (t0 ) 6=
−−−→ 0, alors Γ admet une tangente au point M (t0 ), dirigée par le vecteur T (t0 ) = x′ (t0 ), y ′ (t0 ) 6= 0. Un
tel point est dit régulier.
Démonstration. Sans que ce soit une vraie preuve, on a :
"
#
"
x′ (t0 )
ǫ1 (h)
∀h > 0, M (t0 + h) = M (t0 ) + h ′
+h
y (t0 )
ǫ2 (h)
#
avec :
lim ǫ1 (h) = 0
h→0
et
lim ǫ2 (h) = 0
h→0
Remarque:
L’étude des points irréguliers est hors-programme. La seule question que l’on peut avoir est de
calculer des limites (ou de faire des développements limités), puis il est indiqué sur l’énoncé : « on
admetra que ... ».
On rassemble ses informations dans un unique tableau de variation. Si des points particuliers
apparaissent, on les signale dans le tableau. Dans le cas où un point n’est particulier que pour l’une
des fonctions, on donne alors la valeur de l’autre fonction en ce point.
Exemple: Pour l’astroïde, on a :
On a donc le tableau de variation :
t
0
Signe de x′ (t)
0
Variation
de x(t)
Signe de y ′ (t)
Variation
de y(t)
Points
particuliers

x′ (t) = −3 cos2 t sin t
y ′ (t) = 3 cos t sin2 t.
,
π
4
−
−
√
2
4
1
√
2
4
0
+
√
2
4
√
2
4
0
A
B
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
On ne sais pas quelle est la forme de la tangente en A = (0, 0), mais on a :
x(t) − 1
cos3 (t) − 1
=

11
3
2


1 − t + o(t3 ) − 1


| 2 {z
}
=
→0
3
=
(1 − u) − 1
=
u→0
(1 − 3u + o(u)) − 1
=
−3u + o(u)
=
−3
u→0
t→0
t2
+ o(t2 )
2
et :
=
y(t)
=
t→0
sin3 (t)
!3
t3
t − + o(t4 )
2


t2
3
=
t3 
1 −
=
t3 (1 + o(1))
=
t3 + o(t3 )
=
t→0
t→0
t→0
t→0
|2

+ o(t3 )

{z
→0
t3 (1 + o(1))
}
y(t)
= 0, on admet que cela prouve que la la tangente au point A = M (0) = 0, 0 est
Ainsi, x(t)−1
horizontale.
Le point B = M π4 est régulier, la tangente est dirigée par le vecteur 1, 1 .
Exemple:
Pour la fonction :

x(t) = 1 t + 1
2
t
on a :

x′ (t) =
y ′ (t)
=
1
2
1
2
y(t) =
1−
1+
1
t2 1
t2
1
2
=
t−
1
t
1 t2 −1
2 t2
,
< 0 sur ]0, 1]
>0
Il est clair de plus que limt→0+ x(t) = +∞ et limt→0+ y(t) = −∞. D’où le tableau de variation :
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
0
t
12
1
Signe de x′ (t)
0
−
+∞
Variation
de x(t)
1
+
Signe de y ′ (t)
1
0
Variation
de y(t)
−∞
Points
particuliers
A
On voit que la tangente au point A est horizontale.
III.3
Étude des branches infinies
Cette partie est aussi hors programme.
On peut avoir des calculs de limites mais la conséquence sur les branches infinies est admises.
Exemple: Pour la courbe,

x(t) = 1 t + 1
2
t
On a : x(t)
∼ 1,
t→0+ 2t
et y(t)
∼
t→0+
y(t) =
1
2
t−
1
t
.
1
− 2t
, d’où on voit que
y(t)
x(t)
−−−→ −1. D’où l’idée de calculer :
t→0+
y(t) + x(t) = t −−−→ 0. On admet que cela implique que la droite ∆ : y = −x est asymptote
oblique à Γ.
III.4
t→0+
Tracé de la courbe Γ
Avec toutes ses informations on trace alors la courbe en faisant apparaître le maximum d’information. Les figures 21.1 et 21.2 montrent l’astroïde et la courbe :
Γ:
III.5

x(t) =
y(t) =
1
2
1
2
1
t
1
t .
t+
t−
Exemple des courbes de Lissajous
Soit :

x(θ) = sin θ
3
Γ:
y(θ) = sin θ
.
2
Il est clair qu’il s’agit d’une courbe définie sur R, et
C∞
sur R. Pour le domaine d’étude on a :
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
1
0
−1
0
1
−1
Figure 21.1 – L’astroïde
2
1
0
−2
−1
0
1
2
−1
−2
Figure 21.2 – La courbe Γ
13
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
– x(θ) et y(θ) sont 12π périodique, et impaires, on se restreint donc à θ ∈ [0, 6π],
– on a :
14
θ
= −x(θ), et
3
θ
= y(θ).
x(6π − θ) = sin 3π −
2
x(6π − θ) = sin 2π −
On va donc se restreindre à θ ∈ [0, 3π], les valeurs pour θ ∈ [3π, 6π], étant obtenues par symétrie
d’axe vertical.
donc on étudie sur [0, 3π]. On a :
x′ (θ) =
θ
1
cos
3
3
y ′ (θ) =
1
θ
cos .
2
2
′
Puis on a : x′ (θ) > 0 si θ ∈ [0, 3π
2 [, et y (θ) > 0 si θ ∈ [0, π[.
D’où le tableau de variation :
θ
0
π
3π
2
2π
Signe de x′ (θ)
1
3
+
0
−
3π
1
√
3
2
√
3
2
Variation de x(θ)
0
1
2
Signe de y ′ (θ)
0
+
0
1
Variation de y(θ)
0
−
√
2
2
0
0
Points
particuliers
O
√
−1
A
B
C
√
D
Au point A = 23 , 1 la tangente est horizontale, et en B = 1, 22 , la tangente est verticale.
Enfin en O = (0, 0), la tangente est dirigé selon 31 , 12 . D’où le graphique figure 21.3
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
1
−1
y
0
−1
Figure 21.3 – Courbe de Lissajou
1x
15
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
Feuille d’exercices Étude de fonctions et de courbes dans le plan
BCPST Lycée Hoche
16
Pelletier Sylvain
\
=
$
CC
BY:
Exercice 1
Ecricome On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) =

x2 − x ln x − 1
−1
si x 6= 0
si x = 0
1. Montrer que f est continue sur R+ .
2. Étudier la dérivabilité de f en 0. En donner une interprétation graphique.
3. Étudier la convexité de f sur R∗+ , puis dresser son tableau de variations.
4. Étudier la nature de la branche infinie, tracer l’allure de la courbe représentative de f .
5. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur un intervalle J que l’on précisera.
6. Quel est le sens de variation de f −1 ? Dresser son tableau de variations.
7. Justifier que pour tout entier naturel k, il existe un unique réel positif xk tel que f (xk ) = k.
(a) Donner un encadrement de x0 (à la calculette).
(b) Donner un encadrement de x1 et de x2 à 0.5 près.
(c) Exprimer xk à l’aide de f −1 puis justifier que la suite (xk )k∈N est croissante et déterminer
sa limite lorsque k tend vers +∞.
Exercice 2 École de hautes études commerciales du nord
Pour tout entier naturel, on définit la fonction fn par : ∀x ∈ R, fn (x) =
1
1+ex + nx.
−
→ −
→
On appelle (Cn ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, i , j ).
1. (a) Déterminer pour tout réel x, fn′ (x) et fn′′ (x).
(b) En déduire que la fonction fn est strictement croissante sur R.
2. (a) Calculer limx→−∞ fn (x) ainsi que limx→+∞ fn (x).
(b) Montrer que les droites (Dn ) et (Dn′ ) d’équations y = nx et y = nx + 1 sont asymptotes
de (Cn ).
(c) Déterminer les coordonnées du seul point d’inflexion, noté An de (Cn ).
(d) Donner l’équation de la tangente (T1 ) à la courbe (C1 ) en A1 puis tracer sur un même
dessin les droites (D1 ) (D1′ )et (T1 ) ainsi que l’allure de la courbe C1 .
3. (a) Montrer que l’équation fn (x) = 0 possède une seule solution sur R notée un .
(b) Montrer que l’on a : ∀n ∈ N∗ , − n1 < un < 0.
(c) En déduire la limite de la suite (un ).
(d) En revenant à la définition de un , montrer que un
∼
n→+∞
1
− 2n
.
CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN
Exercice 3 Leminscate de Bernoulli
Étudier et tracer :

x(t) = t
1+t4
, t∈R
y(t) = t3
1+t4
17
Exercice 4 Oral de l’Agro
−
→ −
→
Soient (0, i , j ) un repère orthonormé de R2 et Γ la courbe paramétrée de R2 :


R




 t
→ 
R2
7→
x(t)
y(t)
= cos(t)
= cos
3t 5
1. Déterminer la plus petite période (strictement positive) commune aux fonctions :
t 7→ cos(t)
3t
t 7→ cos
5
et
Donner un exemple d’intervalle I de la forme [0, a] (où a est une réel strictement positif) sur
lequel il suffit d’étudier les fonctions x et y pour obtenir toute la courbe.
2. Un logiciel donne la partie du tracé correspondant à t ∈ [0, 5π
2 ] :
1
0.5
0
−1
−0.5
0
0.5
1
−0.5
−1
Indiquer en le justifiant le tracé de Γ pour tout t ∈ I.
3. Pour quelle valeur du paramètre t ∈ I la courbe passe-t-elle par l’origine 0 ? Déterminer l’équation de la tangente de Γ en 0.