Étude de fonction et de courbes dans le plan

Chapitre 21
Étude de fonction et de courbes dans
le plan
Dans ce chapitre on étudie le problème suivant : étant donne une fonction donné par f(x) = y,
comment tracer approximativement la courbe représentative de cette fonction. On s’intéressera aussi
au cas de fonction définie de manière paramétrique, i.e. sous la forme (x(t), y(t)).
Essentiellement ce chapitre est une révision des notions d’analyse par leur inter-
prétation géométrique.
– Revoir les équivalents, les limites et les développements limités,
– Les nombres complexes.
– Les fonctions classiques d’analyse (cos, ln, et sin).
Le but de chapitre est donc simplement d’être capable de réaliser l’étude
– d’une fonctions y=f(x),
– d’une courbe paramétrée, seule vraie nouveauté de ce chapitre par rapport à
la terminale.
CC
BY: $
\
=
I Courbe y=f(x)
C’est le type de courbe le plus simple : une fonction fest donnée par son expression en fonction
de la variable x.
I.1 Ensemble de définition, d’étude et de régularité
Déterminer l’ensemble de définition Essentiellement, on regarde sur quel intervalle la fonction
est définie.
Exemple: La fonction f:x7→ √x2+xest définie sur ]−∞,−1]∪[0,+∞[ (intervalle sur lequel
x2+xest positif ou nul).
Déterminer la régularité de la fonction On regarde la régularité de la fonction sur son intervalle
de définition.
1

CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 2
Exemple: La fonction f:x7→ √x2+xest continue sur ] − ∞,−1] ∪[0,+∞[,
comme composée de
–x7→ x2+xqui est un polynôme de ] − ∞,−1] ∪[0,+∞[→R+, et
–y7→ √yqui est continue sur R+.
Par contre, elle n’est dérivable que sur ]−∞,−1[∪]0,+∞[, car sur cet intervalle, on a x2+x > 0.
Attention à ne pas oublier les justifications (composée, quotient, produit), etc.
La meilleure rédaction est de faire un schéma, en indiquant les fonctions qui interviennent dans
la composition et les intervalles correspondants.
Souvent il s’agit de questions simples, pour lesquelles il est demandé une rédaction précise.
Attention aussi au cas des fonctions √, arccos et arcsin qui ne sont pas dérivables sur tout leur
ensemble de définition.
Déterminer l’intervalle d’étude On restreint l’intervalle d’étude à la partie intéressante,i.e. tout
ce qui ne peut pas s’obtenir par symétrie.
Si la fonction est paire ou impaire, on se restreint à la partie positive.
Rappel : on obtient alors la courbe représentative par symétrie par rapport à la droite y= 0
(cas pair) ou par symétrie de centre (0,0) (cas impaire).
Si la fonction est périodique de période T, on l’étudie sur une période, et on obtient la courbe
par translation de paramètre T.
Dans certains cas (plus rare), on une symétrie de centre un point a∈R.
C’est-à-dire qu’on peut trouver un point a∈R, tel que :
∀h∈R, a +h∈Df⇒a−h∈Dfet f(a+h) = f(a−h)
Cela revient à dire que la fonction h7→ f(a+h) est paire.
Alors on peut étudier la fonction que sur Df∩[a, +∞[. On obtient le reste de la courbe par
symétrie d’axe y=a. (Exactement comme les fonctions paires).
Exemple: Pour la fonction f:x7→ √x2+xOn a : x2+x= (x+1
2)2−1 4. D’où
f(−1
2+h) = rh2−1 4=f(−1 2−h).
Comme de plus Dfest symétrique autour de x=−1
2, on obtient que la courbe représentative
de fest symétrique autour de x=−1
2.
Il est important de remarquer ces symétries pour éviter des calculs inutiles et simplifier le
raisonnement (ex. se ramener à des intervalles sur lesquels les fonctions trigonométriques sont
bijectives).
Étude des points particuliers Si on a vu des points particuliers dans l’étude de la régularité, il
faut étudier la limite à droite et à gauche de ces points. Ainsi que l’existence de prolongement
continu ou dérivable en ces points. Par exemple, on a :
Exemple: Pour f:x7→ √x2+xon a vu que la fonction n’était a priori pas dérivable en 0. Si
on regarde le taux de variation, on a :
f(x)−f(0)
x−0=√x2+x x=r1 + 1 x−−−−→
x→0++∞.

CHAPITRE 21. ÉTUDE DE FONCTION ET DE COURBES DANS LE PLAN 3
Ainsi fn’est pas dérivable en 0 et admet une tangente verticale. On parle aussi de demi
tangente puisque c’est une tangente à droite.
Puisque c’est vrai en 0, ce sera aussi vrai en 1 par symétrie de centre x=−1
2.
Il est important de rappeler le théorème de prolongement C1:
Proposition 1. Soit ftelle que :
–fest continue sur R,
–fest de classe C1sur R∗,
–∃L∈R,limx→0f′(x) = L.
Alors fest de classe C1sur R, avec f′(0) = L.
Ainsi, pour prolonger une fonction C1, il suffit de calculer la limite de f′et non la limite du
taux d’accroissement. Cette proposition est très utilisé dans le cas où on a prolongée la fonction
fpar continuité en 0.
I.2 Variation de f
Il s’agit essentiellement de tracer le tableau de variation de la fonction f.
Étude de f′et de son signe Il s’agit d’étudier les variations de fen utilisant le signe de f′. On
rappelle que si f′>0 sur un intervalle, alors la fonction fest strictement croissante sur cet
intervalle.
Rappelons aussi que l’on peut aussi utiliser des théorèmes plus généraux (somme de fonctions
croissantes, produit de deux fonctions positives et croissantes, etc.), de manière à éviter de
dériver.
Tableau de variations, limites On représente ces données dans un tableau de variation. On y
ajoute les limites au bords de l’intervalle.
Exemple: On regarde f:x7→ x−1
x2+1 . L’intervalle de définition est R, il n’y a pas de symétrie
évidente.
On a :
f′(x) = x2+ 1 −(x−1)(2x)
(x2+ 1)2=−x2+ 2x+ 1 (x2+ 1)2.
Puis −x2+ 2x+ 1 = 0 ⇔x= 1 ±√2.
x
f′(x)
Variations de
f
−∞ 1−√2 1 + √2+∞
−0+0−
00
√2+1
2
√2+1
2
√2+1
2
√2+1
2
00
On a : f(x)∼
x+∞
x
x2=1
x−−−→
x→∞ 0, et de même en −∞.
Note: Cela peut être plus clair de placer les valeurs dans le tableau de variation à la bonne hauteur, de
manière à « visualiser » le graphique.

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Toujours tracer le tableau de variation avant d’utiliser le théorème de la bijection ou des valeurs intermédiaires.
I.3 Branches infinies
Étude des branches infinies Si dans le tableau de variation apparaît les symboles +∞ou −∞
(pour xou f(x)), il y a des branches infinies.
Pour une fonction fet sa courbe représentative Cf:
Si limx→+∞f(x) = a∈R, alors Cfadmet une asymptote horizontale en +∞, idem en −∞.
Si limx→x0f(x) = +∞ou limx→x0f(x) = +∞alors Cfadmet une asymptote verticale
x=x0.
Si limx→+∞f(x) = +∞ou limx→+∞f(x) = +∞alors on cherche des asymptote oblique
(qui peuvent exister ou non) :
– Si limx→+∞f(x)
x= +∞, ou −∞ alors ftend vers ∞plus vite que x, ainsi x=o
+∞(f(x)). On
parle alors de branche parabolique. c’est le cas de l’exponentiel et de x7→ x2.
– Si limx→+∞f(x)
x= 0, alors f tend vers ∞mois vite que x, ainsi f(x) = o
+∞(x). On parle alors
de branche parabolique de direction asymptotique l’axe des abcisses. C’est le cas
de la fonction x7→ ln(x).
– Si lim f(x)
x=a∈R∗, alors on regarde limx→+∞f(x)−a.
– Si on a : limx→+∞f(x)−a= +∞ou −∞, alors Cfadmet branche parabolique de
direction asymptotique ∆ : y=ax. C’est le cas en particulier si f(x) = ax + ln x.
– Si on a : limx→+∞f(x)−a=b∈R, alors Cfadmet pour asymptote ∆ : y=ax. C’est
le cas en particulier si f(x) = ax +b+o(1).
Exemple: Pour la fonction f:x7→ √x2+xon a :
f(x) = |x|r1 + 1
x
|{z }
−−−−→
x→±∞ 0
∼
±∞ |x|
Ainsi, on a : limx→+∞f(x)
x= 1. On fait alors la différence (ou on ajoute un terme au dévelop-
pement asymptotique) pour obtenir :
f(x) = |x|r1 + 1
x
=|x|1 + 1
x1
2
=
+∞x1 + 1
2x+o1 x
=
+∞x+1
2+o1
Ainsi, la droite ∆ : y=x+1
2est asymptote à Cfen +∞. De même en −∞ on trouve : la droite
∆ : y=x−1
2est asymptote à Cfen −∞.
Enfin, on peut rechercher des asymptotes sous une autre forme que des droites.

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Définition 1. On dit que les courbes représentatives CfCgsont asymptotes (l’une de l’autre)
en +∞(ou −∞), lorsque limx→+∞f(x)−g(x)= 0 (idem en −∞), i.e. lorsque La distance
entre les deux courbes Cfet Cgest asymptotiquement nulle.
Cette définition permet de comparer la fonction fà des paraboles ou à des fonctions avec des
ln ou des exp, et ainsi de donner plus d’information sur la vitesse des convergence.
Pour déterminer de telle asymptote, il suffit de faire des développements asymptotiques, en
utilisant des termes de plus en plus précis.
Exemple: Pour la fonction f:x7→ √x4+x3+x, on a (en +∞) :
f(x) = x2r1 + 1
x+1 x2
=x21 + 1
x+1 x2
|{z }
−−−−→
x→+∞01
2
=x21 + u1
2
=
+∞x21 + 1
2u−1 8u2+u2
=
+∞x21 + 1
2
1
x+1 x2
|{z }
u
−1
8
1
x2
|{z}
u2
+o1
x2
=
+∞x21 + 1
2x+1 2x2−1 8x2+o1 x2
=
+∞x21 + 1
2x+3 8x2+o1 x2
=
+∞x2+x
2+3 8+o1
Ainsi, asymptotiquement, f(x) « ressemble » à la parabole x7→ x2+x
2+3 8.
Position de la courbe par rapport aux asymptotes Une fois ces asymptotes trouvées, il reste
à déterminer la position de la courbe par rapport aux asymptotes. Si f(x) et g(x) sont deux
courbes, alors la courbe Cfest au dessus de Cgsi f(x)−g(x)>0. Dans le cas où g(x) est
l’asymptote, on veut donc déterminer le signe de f(x)−g(x)>0,
Cela se fait en « poussant le développement asymptotique » un rang plus loin.
Exemple: Soit g(x) = (x−2)e1
xintuitivement déjà g(x)∼
+∞(x−2). On a :
g(x) = (x−2)e1
x
= (x−2)euavec u(x)−−−−→
x→+∞0
=
+∞(x−2)1 + u+1
2u2+o(u2)
=
+∞(x−2)1 + 1
x+1 2x2+o1 x2
=
+∞x−1−3
2x+o1 x