2nde. Test 9 - Correction EX 1 :( 1 point ) On a tiré 100

2nde. Test 9 - Correction
♣
E X 1 :( 1 point ) On a tiré 100 fois avec remise une boule dans une urne contenant la même quantité de boules rouges et
de boules noires. On a obtenu 40 boules rouges. Si on effectue un nouveau tirage de 100 boules dans les mêmes conditions,
à quel nombre de boules rouges peut-on s’attendre ? ¬ Moins de 40 ; ­ 40 ; ® Plus de 40 ; ¯ On ne peut pas savoir.
Vous devrez expliquer votre choix. « ¯ On ne peut pas savoir » .
Si on effectue un nouveau tirage de 100 boules dans les mêmes conditions, on obtient un nouvel échantillon qui n’a
aucune raison de fournir les mêmes résultats. Ce phénomène est appelé la fluctuation d’échantillonnage. Le résultat
d’un tirage n’influe pas sur le suivant, on dit que les tirages sont « indépendants ».
E X 2 :( 1,5 points ) Dans un casino, sur 2500 lancers de dé, 1150 ont donné un nombre pair. Le directeur du casino se
demande si les dés fournis par son sous-traitant sont truqués.
1. En faisant l’hypothèse que les dés ne sons pas truqués, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
Si les dés ne sont pas truqués il y a équiprobabilité pour chaque issue
nombre de cas favorables
3 1
donc si A est l’évènement « obtenir un nombre pair » , on a : P (A) =
⇐⇒ P (A) = =
nombre de cas possibles
6 2
2. Déterminer l’intervalle de fluctuation correspondant à cette fréquence théorique.
1
La fréquence théorique est p = P (A) = avec 0, 2 6 p 6 0, 8 et dans cette expérience la taille de l’échantillon est
2
n = 2500 ( avec n > 25 ).
·
¸
£
¤
1
1
1
1
L’intervalle de fluctuation de la fréquence de f au seuil de 95 % est
= 0, 48 ; 0, 52
−p
; +p
2
2500 2
2500
3. D’après ces résultats, peut-on exclure l’hypothèse que les dés sont truqués ?
si n = 2500 alors pour au moins 95 % des expériences (qui consistent à lancer 2500 fois un dé), les fréquences de
£
¤
£
¤
1150
= 0, 46 ∉ 0, 48 ; 0, 52 donc on a
nombres pairs appartiendront à l’intervalle : 0, 48 ; 0, 52 . Ici, on a : f =
2500
95 % de chances de ne pas se tromper en supposant que les dés sont truqués mais aussi 5 % de faire erreur.
E X 3 :( 1,5 points )
Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot »
. Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50
véhicules, on observe 13 véhicules ayant des défauts. Faut-il s’inquiéter ?
La fréquence théorique de tels défauts est p = 0, 2 avec 0, 2 6 p 6 0, 8 et dans cette expérience la taille
de l’échantillon est n = 50 ( avec n > 25 ). L’intervalle de fluctuation de la fréquence de f au seuil de
·
¸
£
¤
£
¤
1
1
13
95 % est 0, 2 − p ; 0, 2 + p
= 0, 059 ; 0, 341 . Ici, on a : f =
= 0, 26 ∈ 0, 059 ; 0, 341 donc
50
50
50
l’échantillon est représentatif d’une situation où le processus est sous contrôle, il n’y a pas lieu
de s’inquiéter.
Ce type de contrôle de qualité a effectivement été pratiqué par un constructeur d’automobiles français. Il s’agissait de
détecter une amélioration significative du procédé de peinture grâce à cet indicateur de défaut, quasiment invisible pour
le client.
E X 4 :( 2 points ) 46 % des 11-12 ans sont équipés d’un téléphone portable. (source : IFOP) Il y a en France 1 450 000
enfants de 11 et 12 ans (source : INSEE).
1. Indiquer dans cet échantillonnage les valeurs de n et p, puis calculer les bornes p − p1n et p + p1n de l’intervalle de
fluctuation de f au seuil de 95%
Un échantillon est de taille n = 1 450 000 (n > 25) et la probabilité est p = 0, 46 (0, 2 6 p 6 0, 8).
£
¤
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est : 0, 459 ; 0, 461
2. A combien pouvez-vous estimer le nombre d’enfants équipés d’un portable ? Sur un échantillon de taille n = 1450000,
effectif
on a 95 % de chances que la fréquence observée vérifie 0, 459 6 f 6 0, 461 ⇐⇒ 0, 459 6
6 0, 461
1 450 000
Le nombre d’enfants de 11 et 12 ans équipés d’un portable est compris entre :
0, 459 × 1450000 = 665550 et 0, 461 × 1450000 = 668450
⇐⇒ 665 550 6 effectif 6 668 450
3. En réalité, cette enquête a été réalisée auprès d’un échantillon représentatif de 1 009 parents d’enfants.
Indiquer les valeurs de n et f , puis calculer les bornes f − p1n et f + p1n de l’intervalle de confiance de p à 95%
Un échantillon est de taille n = 1 009 et la fréquence de notre échantillon est f = 0, 46
£
¤
Intervalle de confiance de niveau 0,95 : 0, 429 ; 0, 491
Que pouvez-vous préciser sur le nombre d’enfants de 11 et 12 ans équipés de téléphones portables en France ?
Avec un risque d’erreur de 5 %, on peut dire que la proportion d’enfants de 11 et 12 ans équipés de téléphones portables se situe entre 42, 9% et 49, 1% pour 1 450 000 enfants de 11 et 12 ans j’obtiens : 622 050 6 effectif 6 711 950
♣
2nde. Test 9 - Correction
E X 5 :( 4 points ) Un laboratoire d’agronomie a effectué une étude sur le maintien du pouvoir germinatif des graines de
Papivorus subquaticus après une conservation de 3 ans.
1. Sur un lot de 80 graines, 47 ont germé. Estimer la probabilité de germination des graines de Papivorus subquaticus
après trois ans de conservation, au seuil de 95%.
47
Un échantillon est de taille n = 80 et la fréquence de notre échantillon est f =
= 0,587 5
80
h
i
£
¤
Intervalle de confiance de niveau 0,95 : 0, 476 ; 0, 699 = 0, 5875 − p1 ; 0, 5875 + p1
80
80
2. On suppose dans cette question que la probabilité qu’une graine germe au bout de 3 ans est égale à p = 0, 60.
Vous disposez de 30 graines de Papivorus subquaticus et vous souhaitez connaître le nombre de graines qui vont
germer dans 3 ans.
a. Pouvez-vous apporter une première réponse ?
La fréquence théorique pour 1 graine est de 0, 60
donc pour 30 graines environ 30 × 0, 60 = 18 graines vont germer dans 3 ans
b. Simulation du comportement de votre échantillon : on donne une liste de chiffres aléatoires.
Table de chiffres aléatoires
8910257431120264993792259768645838145570786
2949542519224628249319972612007700843267829
0991341154436308695068547509283952273120588
2714293392762604866373724311076631355755007
4499026642558229844800193617831658825130339
4759595994631656876361985241210809444281741
0083311086288957507132939775761381490992482
7590714959122156200267550390322858591394026
0866176896084371715845571393626516310721244
6436553774603846697528429798917564494664956
– Expliquer comment le choix d’une série de 2 chiffres consécutifs dans cette liste permet de simuler la germination éventuelle d’une graine.
60
Pour respecter la fréquence théorique 0, 60 =
de graines qui peuvent germer dans notre simulation,
100
on peut considérer que le premier chiffre est celui des dizaines et le second celui des unités, par exemple
en choisissant les 2 premiers chiffres consécutifs de la première ligne j’obtiens le nombre 89 et pour cette
simulation j’affirme alors que ma première graine n’a pas germée en effet lorsque je choisis un nombre
entier au hasard entre 0 et 99 il y a 60 chances sur 100 qu’il soit entre 0 et 59 et 40 chances sur 100 qu’il soit
entre 60 et 99.
• Si le nombre obtenu avec 2 chiffres consécutifs est entre 0 et 59 j’affirme que la graine a germée ;
• Si le nombre obtenu avec 2 chiffres consécutifs est entre 60 et 99 j’affirme que la graine n’a pas germée.
– À l’aide de cette table de chiffres aléatoires, réaliser un échantillon de 30 graines. Votre simulation est-elle
conforme, au seuil de 95 %, au pouvoir de germination des graines d’un échantillon de 30 graines ayant
chacune une probabilité de 0, 60 de germer après 3 ans ?
La simulation pour 30 graines à partir de la table précédente donne les 30 nombres suivants :
10 25 31 12 02 37 25 89
74
64
99
92
97
68
64
42 51 24 58 38 14 55 70
78
62
94
95
92
62
82
Pour mon échantillon la fréquence de graines germées est f =
14
' 0, 467
30
La fréquence théorique de germination est p = 0, 60 avec 0, 2 6 p 6 0, 8 et dans cette expérience la taille de
l’échantillon est n = 30 ( avec n > 25 ). L’intervalle de fluctuation de la fréquence de f au seuil de 95 % est
·
¸
£
¤
£
¤
1
1
14
0, 60 − p ; 0, 60 + p
= 0, 417 ; 0, 783 . Ici, on a : f =
' 0, 467 ∈ 0, 417 ; 0, 783 donc
30
30
30
cette simulation donne un échantillon est représentatif d’une situation où chaque graine a une probabilité
de 0, 60 de germer après 3 ans.