Compléments en géométrie

Compléments « seconde Géométrie »
Exercice 1 : Dans un parallélogramme ABCD, on trace la bissectrice de BÂD et celle de
l’angle ABC; elles se coupent en I.
a) Faire la figure
b) Démontrer que (AIB) est un triangle rectangle.
c) On prend maintenant ABCD un rectangle avec AB = 8 et on effectue les mêmes
constructions que précédemment. Que peut-on dire maintenant du triangle (AIB) ?
d) Calculer la longueur AI.
e) On veut que le point I se trouve sur [CD], quelle est alors la largeur que l'on doit choisir
pour le rectangle ABCD ?
Exercice 2
Soit un cercle (C) de diamètre [AB] avec AB = 6 et un point M du cercle C. On appelle A' le
symétrique de A par rapport à M et on trace par M la droite (∆) parallèle à (A'B).
a) Démontrer que (∆ ) passe par le point O.
b) (∆ ) recoupe (C) en N. Quelle est la nature du quadrilatère AMBN ?
c) On prend maintenant AM = 4. Calculer l'aire du quadrilatère AMBN.
puis celle du triangle ABA'. Que constatez-vous ? Comment peut-on expliquer ?
Exercice 3
Une révision sur les volumes : (Un problème inspiré des recherches d’Archimède)(On
retrouva d’ailleurs la tombe de ce grec grâce dit-on à ce dessin) :
a
a Comparer le volume de la sphère et celui du
cylindre.
Exercice 4
Au bord de la mer sur la corniche à Marseille, on peut observer l’horizon. On appelle h la
hauteur en m par rapport à la mer. Quelle est la distance d réellement visible en km ?
(AB = d). Etablir la formule puis appliquer la pour h = 25 m.
B A
H ≈ h . 10
− 3
km
O R ≈ 6366 km (rayon de la terre)

Exercice 5
Dans un repère orthonormal du plan (P), on donne :
A (– 2 ; 2) et B(5 ; 2) et C (3 ; 8).
a) Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.
b) Déterminer les coordonnés de l’orthocentre H en utilisant deux hauteurs du triangle ABC.
c) Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC], déterminer les coordonnées de O’ point
d’intersection des médiatrices de [AB] et [BC] (ce point est évidemment le centre du cercle
circonscrit au triangle ABC).
d) Vérifier que les point O’, H et G sont alignés (Propriété d’Euler).
La propriété de la droite d’Euler et valable pour tout triangle.
Démonstration :
Soit un triangle quelconque (ABC), nous traçons les trois médianes (AA’), (BB’) et (CC’),
elles se coupent en G. On appelle O le centre du cercle circonscrit au triangle (O est le point
d’intersection des trois médiatrices) et nous traçons les trois hauteurs qui se coupent en H
(Orthocentre). Nous voulons démontrer que O, G et H sont alignés. Nous utiliserons le milieu
D de [B’C].
a) Déterminer k∈R tel que
AD
k
'
AB
=
. En déduire la position de G.
b) Soit H’ tel que OCOBOA'OH ++= . Démontrer que 'OA2'AH = . Que peut-on en
déduire pour
'
AH
? Quelle conséquence pour H’ si nous faisons la même démonstration
avec B et B’ ( 'OB2'BH = ) et enfin avec C et C’ ( 'OC2'CH = )
c) Démontrer que OGCGBGA
r
=++ définit bien le centre de gravité du triangle (ABC).
d) Montrer alors que O, G et H sont alignés et préciser la position de G.
Exercice 6
Th 1 : Deux vecteurs non nuls u
r
(x ; y) et v
r
(x ‘; y ‘) sont colinéaires
si et seulement si x y‘ – x‘ y = 0.
Th2 : Deux vecteurs non nuls u
r
(x ; y) et v
r
(x ‘ ; y ‘) sont orthogonaux
si et seulement si x x’ + y y’ = 0. (Valable uniquement dans un repère orthonormal)
Démontrer ces deux théorèmes.
Applications importantes :
a) Soit la droite (D) de vecteur directeur )2;1(d
r
passant par le point A(1 ; 1). Donner une
équation cartésienne de cette droite.
b) Nous considérons le triangle (ABC) A(3 ; 5) ;B(−1 ; 2 ) et C(5 ; − 2).
Donner une équation cartésienne de la hauteur (AH).
Donner une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].
Vérifier que ces deux droites sont parallèles.

Exercice 7
Soit un repère orthonormal du plan (P). On donne les trois points suivant :
A(2 ;1) ; B(4 ; −2) et C(3 ; 3)
a) Déterminer les coordonnées de D de façon à ce que (ABCD) soit un parallélogramme.
b) Trouver une équation de la droite (∆
1
) passant par D et de vecteur directeur
AB
.
c) Trouver une équation de la droite (∆
2
) passant par A et perpendiculaire à (DC).
Tracer les droites (∆
1
) et (∆
2
) et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection H.
d) Calculer en unité d’aire, l’aire du parallélogramme (ABCD).
Exercice 8
On considère la figure suivante :
IJ =10. Nous posons OA = x.
a) Déterminer x pour que ABCD soit un carré.
b) Construire alors la figure à partir du demi-cercle de diamètre [IJ].
c) En utilisant ce carré, nous prolongeons la droite (OC) et nous traçons la perpendiculaire (∆)
à (IJ) passant par J. (OC) et (∆) se coupent en M. Calculer MJ. En déduire une construction
géométrique du carré (ABCD) toujours en partant du demi-cercle de diamètre [IJ].
Exercice 9
Soit un carré ABCD et un point E quelconque de [AB]. O le centre du carré, nous traçons
[OE] et le segment [OF] perpendiculaire à [OE] ( F ∈[BC]).
En étudiant cette figure, démontrer que l’aire de ABCD est égale à 4 fois l’aire de EOFB.
Exercice 10
Nous considérons un rectangle ABCD avec AB = 10 et AD = 4.
Nous voulons inscrire, à l’intérieur de ce rectangle, un triangle rectangle MAB (Le point M se
trouvant sur [DC], [AB] étant l’hypoténuse de ce triangle).
1) Comment peut-on procéder géométriquement ?
2) Nous prenons maintenant, le même rectangle ABCD et M sur [DC] tel que DM = 2.
Démontrer que l’on obtient un triangle MAB qui est rectangle et conforme aux données du
début de problème.
3) Que peut-on dire des triangles MAB, ADM et BCM qui apparaissent sur la figure ?

Exercice 11
Soit un carré ABCD tel que AB = 4 et un point M variant sur les côtés. Nous voulons étudier
l’aire du triangle BOM. Montrer que cette aire peut être décrite par une fonction par morceaux
quand M se déplace sur les côtés.
Déterminer le minimum et le maximum de cette aire.
Exercice 12
Nous considérons un cercle (C) de centre O et de rayon r. [OA] un rayon quelconque, nous
traçons la médiatrice de [OA], elle coupe le cercle (C) en deux points E et F. La
perpendiculaire à [OA] passant par O coupe (AE) en S.
Démontrer que OEAF est un losange.
Lorsque A décrit le cercle (C), démontrer que S se déplace sur un cercle dont on précisera le
centre et le rayon.

Correction
Exercice 1
a)
b) La bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angles ayant la même mesure.
mes
I
A
ˆ
D
= mes
B
A
ˆ
I
et mes CB
ˆ
I = mes
A
B
ˆ
I
or dans un parallélogramme, deux angles
consécutifs sont supplémentaires c’est-à-dire, la somme des mesures des deux angles vaut
180°.
mes (
B
A
ˆ
D
+ CB
ˆ
A ) = 180° or mes (
B
A
ˆ
I
+
A
B
ˆ
I
) =
2
1 mes (
B
A
ˆ
D
+ CB
ˆ
A ) soit 90°.
Les deux angles
B
A
ˆ
I
et
A
B
ˆ
I
sont donc complémentaires .
Le triangle (IAB) est donc rectangle en I .
c) Nous changeons de figure en prenant ABCD rectangle avec AB = 8 (BC = a > 0)
Le triangle (IAB) est toujours rectangle mais en plus il est isocèle car mes (
B
A
ˆ
I
) = 45° et
mes (
A
B
ˆ
I
) = 45°.
(IAB) est rectangle et isocèle .
d) Théorème : Dans un triangle rectangle et isocèle, la longueur de l’hypoténuse est égale
2 fois la longueur du côté.
AB = AI 2 donc AI = 228
2
8
2
AB
== = 24 .
La longueur de AI sera 24 .