Distributions théoriques Existe-t-il des calculs théoriques de

24/10/2016
1
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 1
Distributions théoriques
Cours VETE0432-1
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 2
Existe-t-il des calculs
théoriques de distributions ?
Partons d’une situation simple: un événement
pour lequel seules deux issues sont possibles.
– Exemples: mâle (0) ou femelle (1),
mort (0) ou vivant (1),
malade (0) ou sain (1).
Une variable aléatoire X, représentant un tel
événement, ne peut prendre que deux valeurs,
0 ou 1. On parle de variable de Bernoulli.
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 3
Quelle est la distribution d’une
variable de Bernoulli ?
La distribution d’une variable aléatoire de
Bernoulli X peut s’écrire:
– Où θest un paramètre, représentant la probabilité
que X = 1
– Exemple: si la prévalence d’une maladie est 0.2, X
représente l’expérience aléatoire consistant à prélever
un individu dans la population. L’événement aléatoire
« choix d’un individu sain (malade) » correspond à X =
0 (1).
(
)
X
X
X
−
−=
1
1)Pr( θθ
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 4
Et si on répète l’expérience
aléatoire ?
Si on fait nfois l’expérience aléatoire, une question
est: combien de fois l’événement aléatoire a-t-il eu
lieu ?
– Exemple: si je prélève n=5 individus, combien d’individus
malades vais-je avoir ?
Théoriquement, je peux avoir entre 0 et n fois
l’événement qui m’intéresse, chaque valeur
possible ayant une certaine probabilité (à
déterminer). On représente ce nombre de
réalisations par une variable aléatoire, notée r.

24/10/2016
2
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 5
Comment calculer la
distribution de r?
Repartons de l’exemple des n= 5 individus
prélevés dans une population où la prévalence
d’une maladie est p= 0.2
On peut représenter tous les cas de figure
pouvant se présenter lors d’une expérience de ce
type (soit, prélever 5 individus dans une
population binaire)
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 6
Quels sont tous les cas
possibles dans l’expérience ?
Sain Malade
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 7
Comment calculer la
probabilité d’avoir 0 malade ?
Sain Malade
(
)
328.08.01)0Pr(
5
==−==
n
pr
On a fait les hypothèses que:
– Les tirages successifs sont indépendants
– La prévalence reste constante de tirage en tirage
(on parle de tirage avec remise).
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 8
Comment calculer la
probabilité d’avoir 1 malade ?
Sain Malade
(
)
410.08.0*2.0*51**5)1Pr(
4
1
==−==
− n
ppr

24/10/2016
3
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 9
Sain Malade
Comment calculer la
probabilité d’avoir 2 malades ?
(
)
205.08.0*2.0*101**10)2Pr(
32
==−==
− rn
r
ppr
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 10
Comment calculer la
probabilité d’avoir rmalades ?
Dans chaque situation, il y aura r malades et (n - r)
sains. La probabilité de chaque situation est donc:
Combien de situations (mutuellement exclusives)
y a-t-il ?
(
)
rn
r
pp
−
−1*
)!(! !rnr n
C
r
n
−
=
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 11
Comment calculer la
probabilité d’avoir rmalades ?
En sommant (probabilités totales), on obtient la
probabilité globale d’avoir rmalades:
Cette distribution de r comporte donc deux
paramètres net p. Elle s’appelle « distribution
binomiale »
(
)
rn
rr
n
ppCnpr
−
−= 1*),|Pr(
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 12
Peut-on avoir des exemples
d’utilisation de la loi binomiale ?
Exemple I : représenter graphiquement la loi
binomiale pour p = 0.3 et n = 50.
Distribution binomiale
0
0,05
0,1
0,15
0 3 6 9
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
r
Probabilité

24/10/2016
4
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 13
Peut-on avoir des exemples
d’utilisation de la loi binomiale ?
Exemple II : si la probabilité d ’une affection
est de 0.2, quelle est la probabilité d ’avoir
(exactement) 2 atteints parmi 10 animaux ?
302.08.02.0
!8!2 !10
8.02.0C)2(B
82822
10
===
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 14
Exemple III : si une affection est présente dans
une population avec une fréquence de 0.02,
combien d ’animaux dois-je examiner pour
être sûr à 99% de détecter l ’affection ?
Peut-on avoir des exemples
d’utilisation de la loi binomiale ?
01.098.0),02.0|0( ==
n
nB
228)98.0log(/)01.0log(
=
=
n
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 15
Ce sont les espérances mathématiques de r
et de (r - µr)², respectivement.
On peut les calculer puisque toutes les
valeurs de r et les probabilités associées sont
connues.
Comment calculer la moyenne et
la variance d’une binomiale ?
np)r(B*r
nr
0r
==µ ∑
=
=
npq)r(B)npr(
nr
0r
22
=−=σ ∑
=
=
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 16
La distribution binomiale se généralise à des
situations avec kissues
=> distributions polynomiales
Que faire si j’ai plus de deux
issues dans mon expérience ?
k
r
k
r
k
kk
pp
rr n
nppprrr ⋯
⋯
⋯⋯
1
1
1
2121
!! !
),,,,|,,,Pr( =
∑
=
=k
ik
rn 1
∑
=
=k
ik
p
1
1

24/10/2016
5
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 17
Exemple: des animaux peuvent être indemnes (-),
atteints légèrement (+) ou gravement (++) d’une
pathologie. Calculer la probabilité d’avoir 3 atteints
légers et un atteint grave dans un échantillon de
taille 10, sachant que P(-) = 0.8, P(+) = 0.15, P(++) = 0.05
Solution:
Un exemple ?
037.08.0*05.0*15.0
!
6
!
1
!
3
!10
)10,8.0,05.0,15.0|6,1,3Pr(
63
==
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 18
Graphique: P(n+,n++ | p+, p++)
Un exemple ?
0
3
6
9
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
012345678910
Distribution trinomiale P(x,y | p,q)
0,2-0,25
0,15-0,2
0,1-0,15
0,05-0,1
0-0,05
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 19
Exemple: lors de comptages bactériens, le nombre
de bactéries qui peut apparaître par unité de
volume dépend de la concentration initiale et de la
dilution. A priori, n est inconnu, mais supposé
potentiellement très grand. Stricto sensu, il s’agit
d’un événement binomial, et µ = np
Si nest très grand, mais que µ n’est pas trop grand
(ce qui implique que pest petit), on peut faciliter
le calcul en utilisant la loi de Poisson
Que faire quand n n’est pas
limité ?
Mathématique et Biostatistique –
Année académique 2016-2017 20
!
)(
k
me
mkP
km−
=
m)k(E
=
=
µ
µ)µk(E
22
=−=σ
Quelles sont les propriétés
principales de cette loi ?
Il s’agit d’une loi avec un seul paramètre
(m). La variable aléatoire k peut prendre
n’importe quelle valeur entière positive ou
nulle.