Chapitre n°10 : « Les triangles »

5ème1 2009-2010
Chapitre n°10 : « Les triangles »
Chapitre n°10 : « Les triangles »
I. Rappels
Vocabulaire
•
A
,
B
et
C
sont les sommets.
•
[AB ]
,
[BC ]
et
[AC ]
sont les
trois côtés du triangle.
•
BAC
,
BCA
et
ABC
sont les trois
angles du triangle.
•Le point
C
est opposé au côté
[BA ]
. De même,
[BC ]
est opposé à
A
.
Triangles particuliers
•Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de
même longueur.
Dans ce triangle,
[AB ]
est la base et
C
est le sommet
principal.
•Un triangle rectangle est un triangle qui possède un
angle droit.
Le côté situé en face de l'angle droit est appelé
l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
•Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur.
•Un triangle quelconque
est un triangle qui n'est
pas isocèle, rectangle ou
équilatéral.

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II. Inégalité triangulaire ; constructions de triangle
1/ Inégalité triangulaire
D'après le schéma ci-contre, on peut dire que :
•la distance Sarcelles/Saint-Denis est inférieure
à la distance Saint-Denis/Gonesse plus
Gonesse/Sarcelles.
On considère maintenant un triangle
IJK
. En raisonnant de la même façon, on trouve que :
•
IJ IK KJ
•
IK IJ JK
•
KJ KI IJ
Ces trois inégalités sont appelés les inégalités triangulaire.
2/ Construction connaissant les trois côtés
Construis le triangle
ABC
tel que
AB=5cm
,
BC =3,8 cm
et
CA=6,5 cm
.
•Il y a quatre triangles possibles. On
remarque qu'il y a des symétries.
•Par rapport à
AC 
:
ABC
et
AB ' C
;
A1B1C1
et
A1B ' 1C1
.
•Par rapport à la médiatrice de
[AC ]
:
ABC
et
A1B1C1
;
AB ' C
et
A1B ' 1C1
.
•Par rapport au point
O
:
ABC
et
A1B ' 1C1
;
A1B1C1
et
AB ' C
.

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Méthode
•On commence par tracer le côté le plus long.
•A l'aide du compas, on trace deux arcs de cercle qui se croisent, avec les deux autres
longueurs.
•On relie pour former le triangle complet.
3/ Construction connaissant deux côtés et un angle
Construire un triangle
ABC
tel que
AB=7,9 cm
,
AC=3,8 cm
et
BAC =55°
.
Méthode
•On commence par le côté le plus long.
•A l'aide du rapporteur, on construit
l'angle dont la mesure est donnée.
•A l'aide du compas, on prend la 2ème
longueur, on fait un arc de cercle sur le
2ème côté de l'angle.
•On relie pour former le triangle complet.
III. Somme des angles d'un triangle
Activité
Trace un « grand » triangle puis mesure le plus précisément possible ses trois angles.
Après avoir mesurer, faisons la somme des mesures des angles :
BAC  BCA ABC =1162044=180
A
1°
près, on trouve un résultat proche de
180°
. On admet la propriété suivante...

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Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à
180°
.
Application
Cette propriété permet de calculer des mesures d'angles dans un triangle.
Dans le cas général, il faut connaître au moins deux mesures.
•Dans le triangle ci-contre,
calcule la mesure manquante :
SOL=180 –4823
SOL=180 –71
SOL=109°
(oublié... à intégrer dans le II)
4/ Connaissant un côté et ses deux angles adjacents
Construire un triangle
ABC
tel que
AB=7,5 cm
,
CAB=42 °
et
CBA=55°
.
Méthode
•On commence par tracer le côté dont on connaît la longueur.
•A ses extrémités, on construit les angles de mesure donnée.

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IV. Triangles particuliers
1/ Isocèle
Vocabulaire
Les angles à la base sont les deux angles construits à l'aide
de la base.
Exemple
Dans le triangle ci-contre, les angles à la base sont
FAI
et
FIA
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
Application
On considère un triangle
IJK
isocèle en
K
tel que
IJK =47°
. Calcule la mesure des deux
autres angles.
•
KIJ
=47° car
KIJ
et
KJI
sont les deux angles à la base.
•
IKJ =180 –4747=180 –94=86°
Car la somme des angles est égale à
180°
.
Application bis
On considère un triangle
TSF
isocèle en
T
tel que
SFT =50°
.
K
IJ
47°
F
TS
50°
•Les deux angles à la base
FTS
et
FST
sont de
même mesure, donc...
•
FST = FTS=180 –50÷2=130÷2=65 °