TS_12_Loi_Unif_Expo_Exos

TS 2016 Exercices Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
Loi Uniforme :
1. On modélise le choix d’un réel xdans l’intervalle [−1; 5] par une variable aléatoire Xsuivant la loi uniforme. Quelle est la
probabilité d’avoir
(a) 0 ≤X≤3 ? (b) X∈[−0,5; 1,5] ?
2. Le temps d’attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme sur [1; 6].
(a) Calculer la probabilité d’attendre au moins 4 minutes. (b) Quel est le temps d’attente moyen ?
3. Lors d’une étude du comportement animal, on relâche des oiseaux qui, désorientés, choisissent leur direction totalement au
hasard. On modélise la direction que prend un oiseau par une variable aléatoire Xqui mesure l’angle (en degrés) entre le
nord et la direction prise (selon le sens des aiguilles d’une montre). On considère que la variable aléatoire Xsuit une loi
uniforme sur l’intervalle [0; 360]. Traduire chaque événement avec la variable Xet calculer sa probabilité
(a) L’oiseau part plein Ouest.
(b) L’oiseau prend une direction entre SE et SSE.
(c) L’oiseau prend une direction entre OSO et ONO sachant que sa direction se
situe entre SO et N.
4. Paolo vient tous les matins entre 7 heures et 7 heures 45 chez Lisa pour prendre un café. Il peut arriver à tout instant dans
cette palge horaire avec les mêmes chances.
•Proposer une loi de probabilité pour la variable aléatoire modélisant l’heure d’arrivée de Paolo.
•Calculer la probabilité que Paolo sonne chez Lisa
(a) après 7 heures 30 (b) avant 7 heures 10 (c) Entre 7 heures 20 et 7 heures 22 (d) à 7 heures pile
5. On choisit un point Mau hasard sur le segment [AB]. Quelle est la probabilité que Msoit
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
AB
C D
(a) à égale distance de Cet D? (b) plus près de Cque de D?
6. On choisit un point au hasard sur le segment [AB] ci-dessous. Quelle est l a probabilité que Msoit plus près d’un point
marqué d’une croix que d’un point marqué d’un carré ?
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
×
A
×
B
C D
7. Dans un parc national, un guide accompagne chaque soir un groupe pour observer les zébus venant s’abreuver dans un lac
au couché du soleil. On suppose que le temps d’attente du groupe avant l’arrivée des animaux est compris entre 0 et 2 heures
30 ; on le modélise, en minutes, par une variable aléatoire Tde loi uniforme sur [0; 150].
•Calculer les probabilités suivantes
(a) P(T= 20) (b) P(T < 45) (c) P(45 ≤T≤60) (d) P(T > 90)
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Loi Exponentielle :
1. Une variable aléatoire Xsuit une loi exponentielle de paramètre λ= 2,5.
•Construire la courbe de la fonction de densité de la loi de Xet hachurer les domaines représentant les événements
(a) X≤1,2 (b) 3,5≤X≤5
•Calculer leur probabilité à 0,01 près.
2. Une variable aléatoire Ysuit la loi exponentielle de paramètre λ= 2.
•Calculer ttel que P(Y > t) = 0,95
•Calculer t′tel que P(Y≤t′) = P(Y≥t′). Comment s’appelle le nombre t′?
3. Une variable aléatoire Zsuit une loi exponentielle de paramètre λ.
•Déterminer λsachant que P(Z≤50) = 0,05
•Calculer P(Z > 25).
4. On considère que la durée de vie, en années, d’un élément radioactif est modélisé par une variable aléatoire Dqui suit une
loi exponentielle de paramètre λ. On appelle demi-durée de vie de cet élément radioactif, le réel Ttel que P(D≤T) = 0,5
•Démontrer que T=ln 2
λ
•La demi-vie du Césium 137 est de 30 années. Calculer la probabilité que la durée de vie Dd’un élément radioactif Césium
137 dépasse 50 ans.
5. Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un tel
oscilloscope est modélisée par une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Toutes les
probabilités seront données à 10−3près.
•Sachant que P(X > 10) = 0,286, déterminer une valeur approchée à 10−3près de λ.
On prend λ= 0,125 dans la suite de l’exercice.
•Déterminer mtel que P(X≤m) = 0,5. Interpréter le résultat obtenu.
•Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieur à 6 mois.
•Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieur à dix
ans ?
6. Soit fla fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0 et Cfsa courbe
représentative dans un repère orthogonal.
•Parmi les équations ci-dessous, quelle est celle de la tangente en x= 0 à la courbe Cf?
(a) y=λx +λ(b) y=λ2x+λ(c) y=−λ2x+λ(d) y=−λx −λ
•Déterminer l’abscisse du point d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses. Interpréter.
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D’après BAC :
Partie A : La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire
notée Xsuivant la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
La courbe de la fonction de densité associée est représentée ci-contre.
1. Représenter la probabilité P(X≤1), indiquer où se lit la valeur de λ.
2. On suppose que E(X) = 2,
(a) Que représente dans le cadre de cet exercice la valeur de l’espérance
mathématique de la variable aléatoire X?
(b) Calculer la valeur de λ.
(c) Calculer P(X≤2). On donne la valeur exacte, puis une valeur
approchée à 0,01 près. Interpréter ce résultat.
(d) Sachant que que le composant a déjà fonctionné une année, quelle
est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois
années ? On donne la valeur exacte.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
−0.112345678910−1
Partie B : Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note D1l’événement "le
composant 1 est défaillant avant un an" et on note D2l’événement "le composant 2 est défaillant avant un an".
On suppose que les deux événements D1et D2sont indépendants et que P(D1) = P(D2) = 0,39.
Deux montages possibles sont envisagés
1
2
12
Circuit en parallèle ACircuit en série B
1. Lorsque les deux composants sont montés "en parallèle", le circuit Aest défaillant uniquement si les deux composants sont
défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit Asoit défaillant avant un an.
2. Lorsque les deux composants sont montés "en série", le circuit Best défaillant dès que l’un au moins des deux composants
est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit Bsoit défaillant avant un an.
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