correction exercices bases

Correction des exercices sur les bases
Exercice 1
1) Pour écrire en base 5 le nombre d’objets de cette collection, regroupons par 5 le nombre d’objets : 183=5x36 +3 donc on a 36 paquets de 5 objets et 3 objets seuls.
Regroupons par 5 le nombre de paquets de 5 objets et plaçons les groupements obtenus dans des enveloppes. Il y a 36 paquets de 5 objets, soit 7 enveloppes contenant chacune 5 paquets de 5 objets et il reste 1 paquet de 5 objets et 3 objets seuls. Regroupons les enveloppes par 5 dans des cartons : on obtient donc 1 carton de 5 enveloppes contenant chacune 5 paquets de 5 objets, et il reste 2 enveloppes seules, 1 paquet de 5 objet seul et 3 objets seuls. Le nombre obtenu en base 5 est donc 1213
5 = 3x 53 + 2x5² + 0x5 + 1 = 375 + 50 + 1 = 426 2) 5 = ax5² + c avec 1 ≤ a ≤ 4 et 0 ≤ c ≤ 4 3) 5, 5, 5 , 5, 5, 5, 5, 5, 5, En base 5, les possibilités €
sont : 5, 5 , 5, 5, 5 , 5 , 5, 5, 5, 5, 5
. ce qui en base dix donne : 25, 26, 27, 28 ,29, 50, 51, 52, 53, 54, 75, 76, 77, 78, 79,100, 101, 102, 103, 104 . 4) Le nombre qui suit 14 5 est 20 5 Le nombre qui précède 10 5 est 4 5 , celui qui précède 200 5 est 144 5 et celui qui 5 est 5 et celui qui suit 5 est 5. précède Exercice 2
1)
2)
3)
4)
€
€
€
€
€
€
13 s’écrit 1101 en base 2 ;17 s’écrit 10001 en base 2 ;22 s’écrit 10110 en base 2
13 s’écrit 111 en base 3 ; 52 s’écrit 1221 en base 3 ; 114 s’écrit 11020 en base 3
7 s’écrit 13 en base 4 ; 17 s’écrit 101 en base 4 et 95 s’écrit 1133 en base 4
en base dix, a =1 x 42 + 2 x 4 + 3 = 27 ; b = 3 x 92 + 7 x 9 + 1= 307 ;
c = 1 x 24 + 1 x 22 + 1 = 21
Exercice 3
101012 = 1x 24 + 1 x 22 +1=1 x 42 + 1 x 41 + 1 car 22 = 4
111014 = 1 x 44 + 1 x 43 + 1 x 42 + 1 = 1x 28 + 1x 26 + 1 x24 + 1= 101010001 2
23132 4 = 2 x 44 + 3 x 43 + 1 x 42 + 3 x 4 + 2 = 2x 28 + 3 x 26 + 1 x24 + 3x22 +2
23132 4 =2x 28 + (2 + 1) x 26 + 1 x24 + (2 + 1)x22 +2
23132 4 =1x 29 +1 x 27 + 1 x 26 + 1 x24 + 1 x 23 + 1x22€+2 = 1011011110 2
34 5 + 23 5 = 112 5 ; 4312 5 - 2323 5= 1434 5 ; 213 5 x 3 5 = 1144 5
€
€
€
€
€
€
Exercice 4
1) 1 + 3 + 32 + 34+36 en base trois s’écrit : €
3 € 2) L€e même € nombre € est aussi € égal €
€
€
3
à 4 + 9 + 9² + 9 donc s’écrit en base 9 : 9 3) 5x (5 x (5 x (5 + 4) + 3) + 2) +1= 5x (5x (5x5 + 5x4 + 3) + 2) + 1 D’où 5x (5 x (5 x (5 + 4) + 3) + 2) +1= 5x (5x5x5 + 5x5x4 +5x3 +2) + 1 Et donc 5x (5 x (5 x (5 + 4) + 3) + 2) +1= 5x5x5x5 + 5x5x5x4 +5x5x3 +5x2 + 1 Donc en base 5 ce nombre s’écrit 5 12
12
12
4) A = 10, B = 11 , BB = B x 12 + B = 132 + 11 = 143
€
€
€
Exercice 5
1. En base 16, 17 s’écrit 11 , 161 s’écrit A1 et 572 s’écrit 23C 2. (43 -­‐1) x (43 + 1) = 46 – 1 = 163 -­‐1 et 163 -­‐1 = 162x16 -­‐ 1 D’où 163 -­‐1 = 162x15 + 162 – 1 et donc 163 -­‐1 = 162x15 + 16x15 +16 -­‐1 D’où 163 -­‐1 = 162x15 + 16x15 +15 et donc en base seize ce nombre s’écrit : €
€
€
3. 2A01E 16 = 2 x 164 + A x 162 + 1 x 16 + E = 131072 + 2560 + 16 +14 = 133662
. Exercice 6
€
€
€
666 16 + 1A4 16 = 80A 16
AAB 16 + BAB 16 = 1656 16
Exercice 7
€
€
b
€
€
= 27 donc 1 x b2 + 2 = 27 d’où b2 = 25 donc b = 5
. donc a2 + a + 3 = 2a +1 + 3a + 2 d’où a2 = 4a donc a2 - 4a = 0
soit a(a-4) = 0 donc a=0 ou a=4 or a ne peut être égal à 0 donc a =4
puisque les chiffres comporte un 6, b > 6 et 2b + 6 + b + 2 = 4b + 3 donc b devrait être égal à
5 mais b>6 donc il n’y a pas de valeur possible pour b.
Exercice 8
1) le plus grand des nombres qui s’écrit en base 8 avec deux chiffres est 77 qui en base 10 vaut 7x8 + 7 = 63 2) c’est le nombre qui vaut 11x12 + 11= 143 3) a) c’est (n-­‐1) x n + (n-­‐1) =(n-­‐1)(n+1) = n2 -­‐1 b) si 224 s’écrit en base n avec 2 chiffres alors 224≤ n2 – 1 donc n2 ≥ 225 d’où n ≥ 15. Le plus petit entier n pour lequel le nombre 224 (écrit en base dix) s'écrira en base n avec deux chiffres est donc 15. Exercice 9
1°) (3) (0) (17) (48) = 3 × 603 + 17 × 60 + 48 = 649 068 2°) 602 = 3 600 ; 603 = 216 000 ; 604 = 12 960 000 ; 605 = 777 600 000 D'où l'écriture de 54 325 432 en base soixante : (4) (11) (30) (23) (52) 3) a) On doit avoir < 60 et < 60, c'est à dire a < 6 et b < 6. 3) b) N = × 60 + = (10 a + b) × 60 + (10 b + a) = 601 a + 70 b 5 divise 70 donc 5 divise 70 b, pour que 5 divise N, il faut donc qu'il divise 601 a, mais 5 est premier avec 601, 5 doit donc diviser a ; d'où a = 0 ou a = 5. C'est à dire que N est de la forme (b) (b0 ) ou ( 5b ) ( b5 ). Remarque on peut aussi montrer que le chiffre des unités de N est a donc N est divisible par 5 si a= 0 ou si a = 5 3c) N= est un nombre de quatre chiffres en base dix, or N = 601a +70b. Si a = 0 alors N=70b et b< 6 donc N<420 en base dix donc N ne peut pas être un nombre de 4 chiffres. On a donc a = 5. = (5b ) ( b5 ) 1000 b + 215 = (50 + b) × 60 + 10 b + 5 donc 1000 b + 215 = 70 b + 3005 930 b = 2790 soit b = 3 et donc N = 3215 Exercice 10
11n
n=2 3 n=3 4 n=4 5 111n
7 13 21 111n= 73 si et seulement si n2 + n + 1 = 73 d’où n2 + n = 72 soit n ( n + 1) = 72
or 72 = 8 x9 donc n = 8
(l1n) ² - 111n = 5 si et seulement si (n + 1)2 – (n2 + n + 1) = 5 d’où n=5
(l1n) ² - 111n = 10n si et seulement si (n + 1)2 – (n2 + n + 1) = n d’où n = n
Cette dernière équation est donc vérifiée quelle que soit la valeur de n, elle ne permet donc pas de
déterminer une valeur particulière : tous les entiers non nuls sont une base possible.
Exercice 11
1) a) 11 = 3x3 + 2 = 1x 32 + 0x 31 + 2 donc s’écrit en base 3 : 102 b) 74 = 2 x 27 + 2x 3 + 2 = 2x 33 + 0x 32 +2 x 31 + 2 donc s’écrit en base 3 : 2022 -­‐ c) en base 3, un entier naturel n s’écrit : n = ak3k + ak-­‐13k-­‐1 + … a13 + a0 Si l’écriture en base 3 se termine par le chiffre « 0 », cela signifie que a0 = 0 et donc n= ak3k + ak-­‐13k-­‐1 + … a13= 3 (ak3k-­‐1+ ak-­‐13k-­‐2 + … a1) €
c’est donc un multiple de 3 ; n est €
divisible par 3. 2) a) 100 s’écrit en base 3 : 11201 En considérant que les chiffres d’un nombre 2-­‐lacunaires sont égaux à 0 ou 1, les d’entiers 2-­‐
lacunaires compris entre 0 et 100, écrits en base 3, sont : 0, 1, 10, 11,100, 101, 110, 111, 1000,1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111. Il y a donc 24 nombres 2-­‐lacunaires compris entre 0 et 100 b) les nombres 2-­‐lacunaires possédant 4 chiffres en base 3 s’écrivent : n= a333+ a232 + a13 + a0 et les chiffres sont des 0 ou des 1. Soit n = 27 x a3+ 9 x a2 +3 x a1 + a0 = (26 +1) x a3+ (8 + 1) x a2 +(2 + 1) x a1 + a0 Donc n = 26 x a3 + 8 x a2 +2 x a1+ a3 + a2 + a1 + a0 Donc n est divisible par 2 si et seulement si a3 + a2 + a1 + a0 est divisible par 2 Puisque les chiffres valent 0 ou 1 cela revient à dire dans ce cas que le nombre de 1 est 2 ou 4. 3) a) un entier 1-­‐lacunaire s’écrit en base 3 : n = ak3k + ak-­‐13k-­‐1 + … a13 + a0 et les termes ak, ak-­‐
1,… a1, a0 sont des entiers valant 0 et 2 a
a
a a
a a
n a k k a k −1 k −1
=
3 +
3 + .......... + 1 3 + 0 et les termes k , k −1 ,....... 1 , 0 sont des 2 2
2
2
2
2 2
2 2
entiers valant 0 et 1 n
2
donc est un 2-­‐lacunaire et n est bien le double d’un entier 2-­‐lacunaire. €
b) à partir de l’écriture en base 3 d’un entier n, o€
n peut, en regroupant les chiffres égaux à 2 d’un côté dans un nombre n1 et en leur laissant dans ce nombre le même rang les autres rangs étant occupés par des 0 et en regroupant dans un nombre n2 les chiffres égaux à 1 et en leur laissant dans ce nombre le même rang les autres rangs étant occupés par des 0, obtenir une décomposition de n en somme n1 + n2 Par exemple : 102 = 100 + 2 (nombres écrits en base 3) c) la décomposition n’est pas unique : 11 s’écrit 102 en base 3 et 11 = 9 + 2 soit 100 + 2 en base 3 mais 11 = 8 + 3 soit 202 + 10 en base 3. €