supelec thèse de doctorat

N° d’ordre : 2013-17-TH
SUPELEC
ECOLE DOCTORALE STITS
« Sciences et Technologies de l’Information des Télécommunications et des Systèmes »
THÈSE DE DOCTORAT
DOMAINE : STIC
Spécialité : Traitement du Signal
Soutenue le 4 Octobre 2013
par :
Loïc COQUELIN
CONTRIBUTION AUX TRAITEMENTS DES INCERTITUDES :
APPLICATION A LA METROLOGIE DES NANOPARTICULES EN PHASE AEROSOL
Directeur de thèse : Gilles FLEURY Directeur de la Recherche et des Relations
Industrielles à SUPELEC
Composition du jury :
Président du jury : Jean-Yves TOURNERET Professeur à l’ENSEEIHT
Rapporteurs : Cédric RICHARD Professeur à l’Université de Sophia-Antipolis
Evelyne GEHIN Professeur au CERTES - Université Paris-Est
Examinateurs : Jérôme YON Maître de conférences – INSA de Rouen
François GENSDARMES Responsable du LPMA à l’IRSN
Nicolas FISCHER Responsable du service Mathématiques et
statistiques au LNE
Membres invités : Tatiana MACE Responsable du département Qualité de l’Air et
Débitmétrie Gazeuse au LNE
Charles MOTZKUS Ingénieur-chercheur au département Qualité de
l’Air et Débitmétrie Gazeuse au LNE

Table des matières
1 Introduction générale 1
2 Modélisation du processus de mesure 9
2.1 État de l’art de l’instrumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Mesure de la distribution en diamètre aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Mesure de la distribution en diamètre diffusionnel ou thermodynamique . . . . 14
2.1.3 Mesure de la distribution en diamètre de mobilité électrique . . . . . . . . . . . 18
2.2 Modèle de réponse du SMPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Modélisation de la loi de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Modélisation de la fonction de transfert du DMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Le modèle pour l’expression de l’efficacité de détection du compteur . . . . . . 36
3 L’inversion de données 39
3.1 Introduction au problème mal posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 La régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 La méthode TSVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 La régularisation classique de Tikhonov [Tikhonov and Arsenin, 1977] . . . . . 42
3.2.3 Le choix de l’a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 Estimation du paramètre de régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.5 Cas du SMPS : limitations de la régularisation avec a priori homogène . . . . . 48
3.3 Régularisation et décomposition sur une base d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Les ondelettes, la transformation et la synthèse du signal . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Régularisation avec a priori de douceur sur chaque échelle . . . . . . . . . . . . 53
3.3.3 Estimation de multiples paramètres de régularisation . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Comparaison numérique des estimateurs par régularisation classique et par la
nouvelle procédure développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Évaluation des incertitudes 73
4.1 Méthodologie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Définition des mesurandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.2 Regroupement des sources d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.3 Limitations de la méthodologie classique de propagation . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Alternative pour la propagation des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Estimation de la granulométrie en nombre d’un aérosol par SMPS . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Liste des sources d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Analyse de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Caractérisation expérimentale du débit d’air filtré et de la tension à l’électrode
centrale du DMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.4 Modélisation de la dispersion expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Génération des fonctions noyaux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.6 Échantillonnage de Monte-Carlo pour la propagation des sources . . . . . . . . 102
4.2.7 Validation numérique de la propagation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.8 Mise en œuvre sur des données réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
i

ii TABLE DES MATIÈRES
5 Conclusion générale 109
6 Perspectives 113
A Calcul de la valeur du champ électrique dans le cas non stationnaire 115
B Calcul de la fonction de transfert de Stolzenburg 119
ii

Liste des figures
1.1 Photo de la ville de Mexico prise à partir d’un avion DC-8 de la NASA au cours de
l’expérience sur le terrain INTEX-B au printemps 2006 [Cli, 2009]. . . . . . . . . . . . 4
1.2 Quelques caractéristiques des aérosols atmosphériques : forme, taille et composition . . 5
1.3 Photo du SMPS modèle 3936 extraite du manuel d’utilisation de l’instrument. . . . . . 6
2.1 Exemple illustrant la notion de diamètre équivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Évolution de la fonction corrective de Cunningham Ccen fonction du diametre xpour
des valeurs de A,B,C[Kim et al., 2005]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Différence relative à la fonction corrective de Cunningham calculée par Kim et al. par
rapport aux valeurs données par les auteurs du tableau 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Photo d’un impacteur en cascade (figure de gauche) et le schéma de fonctionnement
associé (figure de droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Photo d’un impacteur basse pression à détection électrique (figure de gauche) et le
schéma de fonctionnement associé (figure de droite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Photo d’un Aerodynamic Particle Sizer 3321 (figure de gauche) et le schéma de fonc-
tionnement associé (figure de droite) extraits du manuel d’utilisation de l’instrument. . 15
2.7 Exemple de système de mesure utilisant une batterie de diffusion à grille et un CNC . 17
2.8 Photo d’un CNC modèle 3022A de la compagnie TSI (figure de gauche) et le schéma de
fonctionnement associé (figure de droite) extraite du manuel d’utilisation de l’instrument. 17
2.9 Mobilité électrique Zden fonction du diamètre xet du nombre de charges ppour p=
1,2,3,4,5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Photo d’un SMPS modèle 3936 (figure de gauche) et le schéma de fonctionnement associé
(figure de droite) extraite du manuel d’utilisation de l’instrument. . . . . . . . . . . . . 20
2.11 Évolution du temps de comptage Tcen fonction des diamètres géométriques xreprésen-
tant chacun des canaux de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12 Fraction de charges φ(p= 1, x)en fonction du diamètre des particules xpour différentes
propriétés ioniques définies dans le tableau 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.13 Schéma simplifié de la colonne DMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.14 Illustration des 4 trajectoires limites à l’intérieur de la colonne du DMA. . . . . . . . . 30
2.15 Fonction de transfert diffusive et non diffusive pour différentes valeurs du diamètre de
mobilité électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.16 Efficacité de détection νen fonction des diamètres xpour 3modèles de CNC utilisés au
LNE et à l’IRSN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.17 Effets de la composition de l’aérosol sur l’efficacité de détection des CNC 3010 et
3022 [Ankilov et al., 2002]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Critère de la courbe en Lpour le problème de Shaw.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Critère GCV pour le problème de Shaw.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Critère de quasi-optimalité pour le problème de Shaw.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
iii