DIVINA PROPORTIONE Def

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Gérard HAMON
IREM de RENNES
Université RENNES 1
DIVINA PROPORTIONE
DIVINA PROPORTIONEDIVINA PROPORTIONE
DIVINA PROPORTIONE
DIVINE PROPORTION
1509
Luca PACIOLI

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La divine proportion
La divine proportionLa divine proportion
La divine proportion
Œuvre indispensable à tous les esprits perspicaces et curieux, où chaque étudiant en
Philosophie, Perspective, Peinture, Sculpture, Architecture, Musique et autres
disciplines mathématiques, trouvera une très délicate, subtile et admirable doctrine et se
délectera de diverses questions touchant à une science très secrète
LUCA PACIOLI, moine franciscain et théologien est originaire de Borgo San Sepolcro (env.
1450-1514) cité proche de Peruggia, Arrezo et finalement de Firenze tout comme Piero della
Francesca, l’auteur de l’ouvrage
1
De propectiva pigendi. Sa principale oeuvre est la "Summa
di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita" publiée en 1494. On connaît aussi
les manuscrits De ludo scacchorum contenat de s problème de jeux d’échecs (vers 1500) et
De Viribus quantitatis (entre 1496 et 1508) traitant dans une première partie d’algèbre et de
jeux numériques et dans une seconde de constructions géométrie et de « merveilles
géométriques ».
En 1509 la "De Divina Proportione" est imprimée à Venise. Le manuscrit avait été offert à
Ludovic le More, Duc de Milan. L'ouvrage, illustré par Léonard de Vinci, est principalement
consacrée à l'étude des propriétés de la proportion. Elle est suivie d'un bref traité
d'architecture, du tracé d'un alphabet antique, et du "Libellus", suite d'exercices
mathématiques portant notamment sur les polyèdres réguliers.
Ci-après sont traités des exercices extraits de la « Divine Proportion » menant à la résolution
d’équations du second degré.
Première Partie (Pars Prima) page 3v
Chapitre IIII
De ce que le lecteur doit observer pour comprendre le présent traité et les caractères utilisés.
Pour plus de facilité on doit noter ce qui suit : quand il arrivera que l’on cite la 1 du
premier, la 4 du second, la 10 du cinquième, la 20 du sixième, et ainsi de suite jusqu’au
quinzième, on doit toujours entendre par le premier élément numérique celui des propositions
et par le second, celui des livres de notre philosophe Euclide, que nous imitons en tout,
comme étant l’archimandrite de ces disciplines. La cinquième du premier signifie donc la
cinquième proposition de son premier livre, et ainsi de suite pour tous les autres livres dont
l’ensemble forme son œuvre complète sur les éléments et premiers principes d’Arithmétique
et de Géométrie. Mais quand l’exemple auquel nous nous référerons sera tiré d’une autre de
ses œuvres, ou de l’œuvre d’un autre auteur, nous nommerons cette œuvre et cet auteur.
Il faut noter aussi les nombreux et variés signes et abréviations que nous avons coutume
d’utiliser en de semblables disciplines, encore plus souvent que cela ne se fait dans toutes les
autres, ainsi la médecine emploie-t-elle des signes particuliers pour les scrupules, onces,
drachmes et manipules ; les argentiers et joailliers les leurs, pour les grains, deniers et carats ;
les astrologues pour Jupiter, Mercure, Saturne, le Soleil et la Lune et les marchands pour les
livres, gros sous et deniers etc. Ceci dans le seul but d’éviter la prolixité dans les écritures et
d’abréger la lecture, car s’ils en usaient autrement il leur faudrait noircir d’encre beaucoup de
papier. De même nous avons pour les mathématiques et pour l’algèbre, c’est à dire la pratique
spéculative, d’autres abréviations qui désignent la cosa, le census et le cube
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et les autres
1
Piero della Francesca De la perspective en peinture, In Media Res, Paris, 1998. Traduit et annoté par Jean-Pierre Le Goff.
2
Ces termes désignent l’inconnue, le carré de l’inconnue et le cube de l’inconnue.

3
termes qu’on trouve dans notre ouvrage déjà cité, nous en utiliserons quelques uns, ainsi que
les signes qui suivent et qui sont couramment employés.
…
De même ces mots : multiplication, produit, rectangle signifient une même chose ; le carré
d’une quantité et la puissance d’une quantité sont la même chose, d’après la dernière du
premier
3
. Il convient d’en tenir compte de cela dans notre développement, afin qu’il n’y ait
pas d’équivoque sur le sens des mots.
3
La 47 du livre premier dit : “Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l’angle droit est égal aux
carrés sur les côtés contenant l’angle droit” et la 48 : “Si, dans un triangle, le carré sur l’un des côtés est égal aux carrés sur
les deux côtés restants, l’angle contenu par les deux côtés restants est droit”.

4
Premier Traité Tractatus Primus page 3r
Cas .16.
S
SS
Soit un Carré qui est égal à ses quatre côtés et au
nombre .60., on veut trouver son côté.
D’un tel Carré tu fais ton inconnue au
carré et dont le côté est .1.◊. , .4. côtés feront
.4.◊. et donc .1.. est égal à .4.◊. et au nombre
.60. Et la règle dit : quand les carrés sont
égaux aux choses et au nombre, tu divises les
choses par deux, tu les multiplies par elles-
mêmes et tu les joins au nombre et la R plus
la moitié des choses sont la chose. Ainsi donc
tu as .1.. égal à .4.◊. et au nombre .60. ;
divisées par deux, les choses feront .2. qui
multiplié par lui-même fait .4., joint à .60.
cela fait .64. et la R 64.
_
p .2., qui est la moitié
des choses, vaut la chose. De la sorte nous
posons que c’est un côté du Carré et la R 64.
est.8. joint à .2. la moitié des choses fait .10.
qui est un côté et qui multiplié par lui-même
fait .100. Ses quatre côtés sont .4. fois .10. qui
fait .40., cela joint avec .60. fait .100. comme
je le voulais.
Il s’agit de déterminer le côté du carré dont
la surface est égale à quatre fois son côté
4
plus le nombre 60.
Le carré .. désigne l’inconnue .◊. au carré
que nous notons aujourd’hui x
2
, la chose
désigne l’inconnue x et le nombre est la
constante c. Il s’agit donc d’une équation
5
de
la forme x
2
= bx + c ici x
2
= 4x + 60. La
solution pour une équation de ce type est de
calculer (b/2)
2
, ajouter c qui donne b
2
/4 + c,
alors la valeur de l’inconnue est
24
2
b
c
b++
.
Diviser les choses par 2 signifie diviser le
coefficient de x par 2 soit b/2, ici 4/2 = 2. Tu
multiplies le résultat par lui-même soit (b/2)
2
= b
2
/4 ici 2
2
= 4, résultat auquel tu ajoutes la
constante 60 soit 4 + 60 = 64. On en conclut
que la chose x vaut 64 + 2 = 8 + 2 = 10.
Vérification : 10
×
10 = 100 d’une part et 4
×
10 + 60 = 100 d’autre part.
4
Il est à noter que pour Pacioli, il d’agit d’une équation homogène. C’est à dire qu’il s’agit d’une égalité de
surfaces : 4 dans 4 fois désigne donc une longueur et 60 désigne une surface.
5
Pour Pacioli, ses contemporains et bien après, les équations ne contiennent que des nombres positifs (ce
terme « positif » n’ayant alors pas de sens car ces seuls nombres sont connus). Ce qui entraîne des règles de
calcul différentes pour les équations x
2
= bx + c, x
2
+ bx = c et x
2
+ c = bx. Les seules solutions reconnues sont
« positives ».

5
Premier Traité Tractatus Primus page 3v
Cas .17.
Soit la superficie d’un carré équilatère, si on la
retranche de ses quatre côtés il reste .3., quel est son
côté
Ainsi on dit que le carré est .1.. et le côté
.1.◊., quatre côtés feront .4.◊.et donc .4.◊. sont
égaux à .1.. et au nombre .3. Et dans ce cas
on dit que le carré et le nombre sont égaux
aux choses. Que les choses soient divisées par
deux puis multipliées par elles-mêmes. On en
retranche le nombre et la R du restant plus la
moitié des choses vaut la chose. Tu as .4.◊.
égaux .1.. et au nombre .3., les choses
divisées feront .2. qui multiplié par lui-même
fait .4., on en retranche le nombre .3., il reste
.1. La R 1.
_
p .2. qui est la moitié des choses,
vaut la chose que nous mettons pour être un
côté. Donc c’était .3. qui multiplié par lui-
même fait .9. retranché de ses quatre côtés qui
est .12., c’est à dire .4. fois .3., il reste .3.
comme nous cherchons.
Il s’agit de déterminer le côté du
carré dont la surface est égale à
quatre fois son côté plus 3
Cela conduit à la résolution de l’équation 4x =
x
2
+ 3. C’est une équation de la forme x
2
+ c =
bx. Le coefficient b de x est divisé par 2 soit
b/2, de ce résultat élevé au carré (b/2)
2
on
retranche la constante, soit (b/2)
2
– c. La
solution est
24
2
b
c
b+−
.
Dans ce cas particulier, cela donne 4/2 = 2
puis 2
×
2 = 4 et 4 – 3 = 1. On en conclut que
la solution est 1 + 2 = 3.
Vérification : 3
×
3 = 9 et 9 + 3 = 12 d’une
part, 4
×
3 = 12 d’autre part.