Le gaz parfait Définition Le nanomètre comme thermomètre Le gaz parfait est un modèle mathématique, permettant de prédire la température d’un gaz en fonction de sa pression. Le gaz parfait est une proposition de définition de la température. On propose simplement de mesurer la température absolue T avec un manomètre, en stipulant qu’est directement proportionnelle à la pression p et inversement proportionnelle à la masse volumique ρ. On obtient une relation de type : T= p On peut ainsi dire que le gaz parfait ne décrit pas la réalité des choses, que ce n’est pas un principe physique, mais bien simplement un modèle simplifié du comportement des gaz. Sa plage de validité est limitée et floue. Définition : l’équation d’état Nous appellerons gaz parfait un fluide à l’état gazeux dont le multiple de la pression et du volume est proportionnel à sa température. La constante de proportionnalité est nommée constante du gaz et notée R, elle dépend de la nature du gaz. Equation d’état des gaz parfaits : pv=RT p : pression (Pa) v : volume spécifique (m3.kg-1) T : température (K) R : constante du gaz considéré (J.kg-1.K-1) pV=mRT V : volume (m3) m : masse considérée (kg) Limites et intérêt Le gaz parfait ne peut exister. Le modèle mathématique ci-haut perd son sens à très basse température puisqu’il ne tient pas en compte du volume des molécules lui-même. Autre problème, celui de l’interaction des molécules. Lorsqu’elles sont ralenties, les molécules s’attirent et se repoussent de façon différente. Nous retiendrons que le modèle du gaz parfait fonctionne mieux : Lorsque les molécules se percutent à grande vitesse, soit à température élevée Lorsque l’espace moyen entre les molécules est grand, grand volume spécifique du gaz Ces conditions sont respectées pour l’air dans la grande majorité des applications en ingénierie. Nous utiliserons la valeur Rair = 287 J.kg-1.K-1. Propriétés des gaz parfaits Chaleurs massiques Nous avons déjà abordé la notion de chaleur massique, ou capacité calorifique. Elle se définit comme quantité de chaleur nécessaire pour augmenter d’un Kelvin la température d’un kilo du corps. cm= c : chaleur massique spécifique (J.kg-1.K-1) m : masse considérée (kg) dQ : quantité infinitésimale de chaleur fournie (J) dT : variation de la température provoquée (K) Comme la température d’un gaz varie aussi lorsqu’il reçoit ou fournit du travail, il existe une infinité de façons de faire varier sa température d’un degré, en combinant chaleur et travail. Pourtant, seules 2 valeurs suffisent pour décrire l’ensemble de ces comportements pour un gaz parfait : chaleur massique à volume constant cv chaleur massique à pression constante cp Par définition pour un gaz parfait, ces deux capacités sont indépendantes de la température. Pour une évolution réversible à pression constante : dQ = m cp ΔT Pour une évolution à volume constant : dQ = m cv ΔT Pour les gaz réels cv et cp varient avec la température, mais pour la plupart des applications une valeur moyenne peut être utilisée sans grande imprécision. Nous retiendrons cv (air) = 718 J.kg-1.K-1 et cp (air) = 1005 J.kg-1.K-1. La loi de Joule Lors d’une de ses expériences les plus remarquables, James Prescott Joule cherche à faire varier la pression et le volume d’un gaz sans lui transférer de chaleur ou de travail. Il laisse ainsi un gaz comprimé se détendre dans un second récipient vide et mesure le flux de chaleur vers le gaz. Le travail effectué est nul et Joule ne parvient à mesurer ni variation de température, ni flux de chaleur. Ce principe est connu sous le nom de principe de Joule et est posé comme vrai pour tout gaz parfait : La température d’un gaz parfait ne varie qu’avec son énergie interne. Il en découle une formule de l’énergie interne : u = cv T U = m cv T Cette relation a l’intérêt d’être vraie pour toute évolution d’un gaz parfait, réversible ou non et quelque soient les contraintes de volume et température. Enthalpie d’un gaz parfait Nous en déduisons une expression de l’enthalpie : h = (cv + R) T Pour tout gaz parfait. Relations mathématiques Différence des chaleurs massiques Après quelques manipulations mathématiques, on trouve une formule simplifiée de l’enthalpie : h = cp T Ratio des chaleurs massiques Le quotient des chaleurs massiques à pression et à volume constants est nommé γ. γ= Notons que puisque cp – cv = R, il est clair que cp doit être supérieur à cv pour tout gaz parfait, ainsi γ est supérieur à 1. γair = 1,4 Transformations élémentaires en système fermé Evolutions à volume constant Les évolutions à volume constant sont dites isochores. En pratique elles ont lieu dès lors que l’on chauffe (ou refroidit) un fluide dans un réservoir fixe ou fermé. Les parois du réservoir restant immobiles, aucun travail ne peut être reçu ou effectué par le système. q1 2 = Δu q1 2 = cv ΔT Evolutions à pression constante Une évolution à pression constante est dite isobare. Elle peut être représentée par un cylindre dans lequel un piston contenant le gaz est lié à un poids, et exerce ainsi une force constante quel que soit le volume. w1 2 = – pc Δv q1 2 = cp ΔT Evolutions à température constante Au cours d’une révolution à température constante, dite isotherme, du travail et de la chaleur sont échangés par le système sans que sa température ne varie. Δu = 0 q1 2 + w1 2 = 0 p v = k p1 v1 = p2 v2 w1 2 = R Tc ln( ) w1 2 = R Tc ln( ) Evolutions adiabatiques réversibles Une évolution adiabatique est une évolution au cours de laquelle il n’y a aucun échange de chaleur. La température du fluide varie mais à aucun moment il n’échange de chaleur. q1 2 = 0 w1 2 = Δu Relations entre pression, volume et température =( ) =( ) =( ) p =k