Les gaz parfaits

Le gaz parfait
Définition
Le nanomètre comme thermomètre
Le gaz parfait est un modèle mathématique, permettant de prédire la température d’un gaz
en fonction de sa pression.
Le gaz parfait est une proposition de définition de la température. On propose simplement
de mesurer la température absolue T avec un manomètre, en stipulant qu’est directement
proportionnelle à la pression p et inversement proportionnelle à la masse volumique ρ.
On obtient une relation de type :
T = 
 p
On peut ainsi dire que le gaz parfait ne décrit pas la réalité des choses, que ce n’est pas un
principe physique, mais bien simplement un modèle simplifié du comportement des gaz. Sa
plage de validité est limitée et floue.
Définition : l’équation d’état
Nous appellerons gaz parfait un fluide à l’état gazeux dont le multiple de la pression et du
volume est proportionnel à sa température. La constante de proportionnalité est nommée
constante du gaz et notée R, elle dépend de la nature du gaz.
Equation d’état des gaz parfaits :
p v = R T
p : pression (Pa)
v : volume spécifique (m3.kg-1)
T : température (K)
R : constante du gaz considéré (J.kg-1.K-1)
p V = m R T
V : volume (m3)
m : masse considérée (kg)
Limites et intérêt
Le gaz parfait ne peut exister. Le modèle mathématique ci-haut perd son sens à très basse
température puisqu’il ne tient pas en compte du volume des molécules lui-même.
Autre problème, celui de l’interaction des molécules. Lorsqu’elles sont ralenties, les
molécules s’attirent et se repoussent de façon différente.
Nous retiendrons que le modèle du gaz parfait fonctionne mieux :
 Lorsque les molécules se percutent à grande vitesse, soit à température élevée
 Lorsque l’espace moyen entre les molécules est grand, grand volume spécifique du
gaz
Ces conditions sont respectées pour l’air dans la grande majorité des applications en
ingénierie. Nous utiliserons la valeur Rair = 287 J.kg-1.K-1.

Propriétés des gaz parfaits
Chaleurs massiques
Nous avons déjà abordé la notion de chaleur massique, ou capacité calorifique. Elle se définit
comme quantité de chaleur nécessaire pour augmenter d’un Kelvin la température d’un kilo
du corps.
c m = 
c : chaleur massique spécifique (J.kg-1.K-1)
m : masse considérée (kg)
dQ : quantité infinitésimale de chaleur fournie (J)
dT : variation de la température provoquée (K)
Comme la température d’un gaz varie aussi lorsqu’il reçoit ou fournit du travail, il existe une
infinité de façons de faire varier sa température d’un degré, en combinant chaleur et travail.
Pourtant, seules 2 valeurs suffisent pour décrire l’ensemble de ces comportements pour un
gaz parfait :
 chaleur massique à volume constant cv
 chaleur massique à pression constante cp
Par définition pour un gaz parfait, ces deux capacités sont indépendantes de la température.
Pour une évolution réversible à pression constante :
dQ = m cp ΔT
Pour une évolution à volume constant :
dQ = m cv ΔT
Pour les gaz réels cv et cp varient avec la température, mais pour la plupart des applications
une valeur moyenne peut être utilisée sans grande imprécision.
Nous retiendrons cv (air) = 718 J.kg-1.K-1 et cp (air) = 1005 J.kg-1.K-1.
La loi de Joule
Lors d’une de ses expériences les plus remarquables, James Prescott Joule cherche à faire
varier la pression et le volume d’un gaz sans lui transférer de chaleur ou de travail. Il laisse
ainsi un gaz comprimé se détendre dans un second récipient vide et mesure le flux de
chaleur vers le gaz. Le travail effectué est nul et Joule ne parvient à mesurer ni variation de
température, ni flux de chaleur.
Ce principe est connu sous le nom de principe de Joule et est posé comme vrai pour tout gaz
parfait : La température d’un gaz parfait ne varie qu’avec son énergie interne.
Il en découle une formule de l’énergie interne :
u = cv T
U = m cv T
Cette relation a l’intérêt d’être vraie pour toute évolution d’un gaz parfait, réversible ou non
et quelque soient les contraintes de volume et température.
Enthalpie d’un gaz parfait
Nous en déduisons une expression de l’enthalpie :
h = (cv + R) T
Pour tout gaz parfait.

Relations mathématiques
Différence des chaleurs massiques
Après quelques manipulations mathématiques, on trouve une formule simplifiée de
l’enthalpie :
h = cp T
Ratio des chaleurs massiques
Le quotient des chaleurs massiques à pression et à volume constants est nommé γ.
γ = 
Notons que puisque cp – cv = R, il est clair que cp doit être supérieur à cv pour tout gaz parfait,
ainsi γ est supérieur à 1. γair = 1,4
Transformations élémentaires en système fermé
Evolutions à volume constant
Les évolutions à volume constant sont dites isochores. En pratique elles ont lieu dès lors que
l’on chauffe (ou refroidit) un fluide dans un réservoir fixe ou fermé.
Les parois du réservoir restant immobiles, aucun travail ne peut être reçu ou effectué par le
système.
q1  2 = Δu
q1  2 = cv ΔT
Evolutions à pression constante
Une évolution à pression constante est dite isobare. Elle peut être représentée par un
cylindre dans lequel un piston contenant le gaz est lié à un poids, et exerce ainsi une force
constante quel que soit le volume.
w1  2 = – pc Δv
q1  2 = cp ΔT
Evolutions à température constante
Au cours d’une révolution à température constante, dite isotherme, du travail et de la
chaleur sont échangés par le système sans que sa température ne varie.
Δu = 0
q1  2 + w1  2 = 0
p v = k  p1 v1 = p2 v2
w1  2 = R Tc ln
  w1  2 = R Tc ln
Evolutions adiabatiques réversibles
Une évolution adiabatique est une évolution au cours de laquelle il n’y a aucun échange de
chaleur. La température du fluide varie mais à aucun moment il n’échange de chaleur.
q1  2 = 0
w1  2 = Δu

Relations entre pression, volume et température
 = 
 = 
 = 
p  = k