les angles geometriques.

Cours de Mr Jules v1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 1
LES ANGLES GEOMETRIQUES.
« Les Mathématiques représentent essentiellement le langage théorique universel. C'est-àdire qu'à mon avis, les seules possibilités rigoureuses d'accéder à une pensée ayant validité
universelle se font par les Mathématiques ou par des lois mathématiques. » Einstein.
I.
introduction : _____________________________________________________________________ 2
II.
Définition d’un angle géométrique. _________________________________________________ 2
III.
Mesure d’un angle ; construction d’angles. ___________________________________________ 3
A.
Unité :_________________________________________________________________________ 3
B.
Le rapporteur : _________________________________________________________________ 3
C.
IV.
1.
2.
Constructions d’angles : __________________________________________________________ 5
En utilisant le rapporteur :________________________________________________________ 5
En utilisant le compas : __________________________________________________________ 6
Angles particuliers ; classification. __________________________________________________ 6
Classification des angles selon leurs mesures. _______________________________________________ 6
Classification des angles selon leurs mesures. _______________________________________________ 7
V.
Angles et triangles._________________________________________________________________ 8
A.
Somme des angles dans un triangle : _______________________________________________ 8
B.
Angles et triangles particuliers. ____________________________________________________ 8
1. Triangle isocèle :_______________________________________________________________ 8
2. Triangle équilatéral : ____________________________________________________________ 9
VI.
Constructions de triangles. _______________________________________________________ 10
A.
A partir de la longueur des 3 côtés (rappel) :________________________________________ 10
B.
A partir d’un angle et des deux longueurs adjacentes : _______________________________ 11
C.
A partir de la longueur d’un côté et des 2 angles adjacents à ce côté : ___________________ 11
D.
2 Remarques sur les constructions : _______________________________________________ 11
VII.
Exercices récapitulatifs : _________________________________________________________ 12
Cours de Mr Jules v1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 2
Pour ce cours, vous aurez besoin de votre matériel de géométrie et en particulier du rapporteur !
I.
INTRODUCTION :
Voici un figure que tous les enfants du monde connaissent ! Dessinez la même en plus petit puis en
plus grand (à peu prés et rapidement !).
Les « écartements » entre les côtés ont ils changé ? Bien sûr que ……… !
Lorsqu’on veut reproduire des figures de manière « semblable » ( plus grandes ou plus petites que la
figure originale mais exactement de même forme), on ressent tout de suite le besoin de savoir mesurer un
« écartement » entre deux demi droites.
Ainsi apparaît les notions d’angle géométrique (« l’écartement ») et de mesure d’angle.
II.
DEFINITION D’UN ANGLE GEOMETRIQUE.
y
Figure :
A
.…………….
S
……………………….
B
Voici dessiné l’angle ySx .
x
Il a d’autres noms : ASB ou BSA ou BSy ou ySB ou ASx ou xSA
Définitions :
Un angle est un objet géométrique formé par 2 demi droites de même ………………….
Ce point commun Origine s’appelle le …………………. de l’angle.
Les 2 demi droites s’appellent les ………………… de l’angle.
Notation : un angle de sommet U formé par [UF) et [UN) se note ……………..1, le sommet de l’angle
étant le point au milieu du nom et on code l’angle avec un petit arc de cercle (voire deux) sur le dessin.
Exercice
:Voici dessiné un angle.
B
on le note .............. ou ............... ou ………… ou ……………
Le point O est son .......................
Les demi-droites ..........….. et ...........… sont ses ......................
1
t
O
A
v
Parfois, on le note U . Attention, cette notation est source de nombreuses erreurs de la part des élèves quand il y a plusieurs
angles ayant le même sommet !
Cours de Mr Jules v1.1
Exercice
Classe de Sixième
Contrat 4 page 3
: Voici plusieurs dessins :
O
x
y
H
Compléter le tableau suivant :
Angle
K
Nom
z
R
C
Sommet
Côtés
K
(zK] et (yK]
KHx
[Hy) et [Hx)
R
III.
MESURE D’UN ANGLE ; CONSTRUCTION D’ANGLES.
Pour connaître « l’écartement » entre deux demi-droites de même origine, on a besoin de savoir mesurer un
angle.
A. Unité :
Il existe 3 unités pour mesurer les angles. Au collège, on utilisera uniquement le degré (noté °).2
Remarque : Le degré n’est pas l’unité du Système International pour les angles. C’est le radian, qui sera vu
en Seconde.
B. Le rapporteur :
Pour mesurer des angles, nous utiliserons un instrument en forme de demi lune : le ………………….
Un rapporteur est en général gradué de …….° à …..…°, dans les deux sens pour qu’il soit plus pratique à
utiliser (comme celui dessiné).
En est il de même pour ton rapporteur ? ……………. Si non, vas vite en acheter un, gradué dans les 2 sens !
2
1 degré est la mesure de l’angle au centre d’un disque qu’on aurait partagé en 360 angles de même mesure.
Cours de Mr Jules v1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 4
Comment mesure-t-on un angle avec le rapporteur ?
Méthode
Placez le centre du rapporteur sur le
………….... de l’angle.
Faites bien coïncider l’une des 2 graduations 0°
avec l’un des deux …………… de l’angle.
Lire la mesure de l’angle en partant du 0°
choisi à l’étape , jusqu’à l’endroit où l’autre
côté de l’angle « coupe » le rapporteur (allonger
les côtés si besoin).
xOy ≈ ……….
y
O
x
2 Remarques :
Bien faire coïncider le centre du rapporteur avec le sommet de l’angle ; et le 0° du rapporteur (qui est à
l’horizontal) avec un côté de l’angle !
Ne pas se tromper de sens lorsqu’on lit la mesure.
Exercice : Les rapporteur sont ils bien placés ? Si non pourquoi ? Si oui, donner la mesure de l’angle.
(les graduations sont de 10° en 10° sur les rapporteurs dessinés).
Exercice
: Sans réfléchir, je lis 80° pour la mesure de l’angle ci contre. Pourquoi ai je faux !
Donner la bonne mesure de l’angle : …………
Cours de Mr Jules v1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 5
Exercice :
Donnez la mesure des angles suivants :
z
xOy =
y
tOy =
zOx =
tOz =
t
O
x
zOy =
Exercice :
Donne, à l’aide de ton rapporteur, une mesure en degré de l’angle dans chacune des figures (quitte à
prolonger les côtés de l’angle si besoin) :
Vous amusez vous bien ? ………..
C. Constructions d’angles :
Maintenant qu’on sait mesurer un angle, on va pouvoir tracer un angle de même mesure qu’un angle déjà
dessiné. Il y a deux méthodes :
1. En utilisant le rapporteur :
Il s’agit de construire un angle nRj de même mesure que yOx ci contre :
Méthode
x
Mesurer l’angle déjà dessiné : yOx ≈ …….
Tracer une demi droite [Rj) quelconque.
A l’aide du rapporteur, placer un point n tel que :
nRj = yOx = ………..°
Tracer la demi droite [……….).
O
y
Cours de Mr Jules v1.1
Contrat 4 page 6
Cours de Sixième
2. En utilisant le compas :
Il s’agit de construire au compas un angle NRJ de même mesure que yOx ci contre :
y
Méthode
En fait, on va placer un point A sur un côté de
l’angle dessiné et un point B sur l’autre côté et on
va reproduire le triangle AOB au compas.
Placer A sur [Oy) et B sur [………).
Construire à la règle et au compas un triangle
NRJ identique à AOB, (attention à l’ordre des
points N, R et J ; effacer [NJ] ).
Prolonger les demi droites [RN) et [RJ) puis
x
O
placer le codage pour l’angle NRJ .
IV.
ANGLES PARTICULIERS ; CLASSIFICATION.
Voici les 5 angles particuliers à connaître et leurs noms :
Dessine un angle DEF dont les 2 côtés sont superposés.
DEF est un angle nul et DEF = …….°
Dessine un angle GHI dont les 2 côtés sont dans le
prolongement l’un de l’autre.
GHI est un angle plat et GHI = 180°
Dessine un angle ABCdont les 2 côtés [BA) et [BC) sont
perpendiculaires. (codage !)
ABCest un angle ………. et ABC = ….°
Dessine un angle MNO plus grand que l’angle nul mais
plus petit que l’angle droit.
Dessine un angle JKL plus grand que l’angle droit
mais plus petit que l’angle plat.
MNO est un angle aigu
JKL est un angle obtus
et ..…. ° < MNO < …... °
et …..... ° < JKL < …... °
Page 6
Cours de Mr Jules v1.1
Contrat 4 page 7
Cours de Sixième
CLASSIFICATION DES ANGLES SELON LEURS MESURES.
On va classer les angles suivant l’ordre croissant des mesures.
Catégorie
d’angle
………….
…………
…………
y
x
O
mesure
x
O
xOy = ……. °
O
x
O
… °< xOy < …. °
………….
y
y
y
figure
………….
Lorsqu’on regarde deux demi droites de même origine, on se rend
compte en fait qu’on a deux angles : un « petit » angle codé par
un petit arc de cercle (en pointillé sur la figure),
et un « grand » angle codé par un grand arc de cercle à « l’extérieur ».
y
…. °< xOy <…. °
xOy = ……. °
Remarque :
x
x
O
xOy = …… °
B
A
C
Le petit angle s’appelle un angle saillant et est noté BAC.
Et on a 0° < BAC < 180°. Donc un angle saillant est un angle plus petit qu’un angle p……………...
Le grand angle s’appelle un angle rentrant et est noté BAC.
Et on a 180° < BAC < 360°. Donc un angle rentrant est un angle plus ………….. qu’un angle plat.
L
Angle s……………
A
D
Angle r………………
noté …………
noté ………..
Exercice
: Complétez le tableau comme pour l’angle 1. Certaines cases peuvent être vides !
s
C
Z
2
1
A
I
t
n
f
R
B
5
K
4
6
g
m
C
E
1
Nom de
l’angle
Saillant ou
rentrant
Aigu ou
obtus
3
U
v
O
2
3
4
5
6
sAv
saillant
aigu
Page 7
Cours de Mr Jules v1.1
V.
Contrat 4 page 8
Cours de Sixième
ANGLES ET TRIANGLES.
A. Somme des angles dans un triangle :
Règle : Dans n’importe quel triangle, la somme des mesures des 3 angles est égale à 180°
Preuve : elle sera vue rigoureusement l’année prochaine mais je vais vous la montrer sur le dessin ci
A
dessous.
x
y
C
B
Utilité : Lorsqu’on connaît les mesures de 2 angles dans un triangle, on peut en déduire la mesure du
troisième.
Exemple et modèle de rédaction :Soit ABC un triangle tel que A = 38 et B = 42°, calculer C .
Dans le triangle ABC, on a A + B + C = 180°
donc
C = 180° − 38° − 42°
C = 100°
A vous maintenant ! Calculer la mesure du troisième angle C :
A = 35° et B = 70°.
B. Angles et triangles particuliers.
1. Triangle isocèle :
Puisqu’un triangle isocèle possède un axe de symétrie3 passant par le milieu de la base et le sommet
principal, alors les deux angles à la base sont de même ……………………
Règle :
utiliser l’égalité de 2 angles à la base dans un triangle isocèle :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
ABC est un triangle
isocèle en A
croquis
(1 résultat ou conclusion)
alors
…….. = ….…
Autrement dit : Dans un triangle isocèle, les 2 angles à la base sont ……………………………
Utilité : Cette propriété sert à écrire une égalité d’ ………………..
Exercice
C
: Dans la figure ci contre, quelle est la mesure de C ? C = ………..
Calculer la mesure de A
B
A
3
Nous verrons cela dans le chapitre sur la symétrie axiale. Patience …
Page 8
Cours de Mr Jules v1.1
Réciproque :
Contrat 4 page 9
Cours de Sixième
prouver qu’un triangle est isocèle en un point :
(2 conditions ou hypothèses)
Croquis
(1 résultat ou conclusion)
ABC est un triangle
alors
Quand
ABC est ………….. en …..
ABC= ACB
Autrement dit : Un triangle ayant ……………………………….. est un triangle isocèle.
Utilité : Cette propriété sert à prouver qu’un triangle est ………………..……….. en point.
Exercice
: Quelle est la nature du triangle suivant ?
C
B
A
2. Triangle équilatéral :
Tracer plus bas à droite un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté.
Puisque le triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie4, les mesures des 3 angles sont ……………….
Calculer cette mesure commune aux 3 angles du triangle équilatéral.
Calcul de la mesure commune des 3 angles
Dans le triangle ABC,
figure
A + B + C = 180°
Puisque ABC est équilatéral, alors A = B = C
Donc l’égalité A + B + C = 180° devient : A + A + A = 180°
c-à-d
3 × ….. = 180°
donc
A =
finalement A = B = C = …….°
Propriété :
utiliser l’égalité des 3 angles dans un triangle équilatéral :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
ABC est un triangle
équilatéral
Croquis
(1 résultat ou conclusion)
alors
…….. = ….… = ……. = ……°
Autrement dit : Dans un triangle équilatéral, les 3 angles ont même ……………………………(……°)
Utilité : Cette propriété sert à écrire des égalités d’ ………………..
4
Cela aussi sera vu dans le chapitre sur les symétries axiales. Patience …
Page 9
Cours de Mr Jules v1.1
Réciproque :
Contrat 4 page 10
Cours de Sixième
prouver qu’un triangle est équilatéral :
(2 conditions ou hypothèses)
ABC est un triangle
Quand
Croquis
(1 résultat ou conclusion)
alors
ABC est ………………...
ABC= ACB = 60°
Autrement dit : Un triangle ayant ……………………..……………de mesure égale à…….., est un triangle équilatéral.
Utilité : Cette propriété sert à prouver qu’un triangle est ………………..………...
Exercice : prouver que le triangle ABC est équilatéral.
C
B
A
VI.
CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES.
A. A partir de la longueur des 3 côtés (rappel) :
Pour tracer un triangle quelconque au compas et à la règle graduée, il faut connaître ses trois longueurs, (2
voire 1 longueur seulement si le triangle est spécial).
Méthode générale pour tracer une figure à partir d’un énoncé :
On fait d’abord un petit croquis à main levée de la figure pour avoir une idée de la forme et on reporte
sur ce petit croquis les informations données par l’énoncé (longueurs, angles, codages etc)
Puis, on suit le plan de construction, étape par étape, à la règle et au compas, pour construire
proprement la figure.
Attention aux notations !
Tracez le triangle ABC sachant que AB = 8 cm, AC = 3 cm, BC = 6 cm.
Plan de construction
figure
tracer le segment (le plus grand en général)
…….... de longueur …….cm.
construire au compas le point …. tel que :
……… = …….. cm et ………. = ………cm.
Page 10
Cours de Mr Jules v 1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 11
B. A partir d’un angle et des deux longueurs adjacentes :
On utilise en plus de la règle graduée et du compas, le rapporteur.
Et on fait d’abord un petit croquis avec les mesures pour se faire une idée.
Tracez le triangle UFN sachant que F = 20°, UF = 4 cm et FN = 6 cm.
Plan de construction
figure
tracer le segment (le plus grand en général)
…….... de longueur …….cm.
construire au rapporteur l’angle ……… tel
que :
……… = ……..°
placer le troisième point …….. tel que :
………… = ………..cm
C. A partir de la longueur d’un côté et des 2 angles adjacents à ce côté :
On utilise en plus de la règle graduée et du compas, le ……………………….
Et on fait un petit croquis avec les mesures pour se faire une idée.
Tracez le triangle BOL sachant que BO = 5 cm, B = 40° et O = 50°.
Plan de construction
figure
tracer le segment …….... de longueur …….cm.
construire au rapporteur l’angle ……… tel que :
……… = ……..°
construire au rapporteur l’angle ……… tel que :
……… = ……..°
placer le troisième point ……..
D. 2 Remarques sur les constructions :
Pour pouvoir construire un triangle, combien faut il toujours au minimum d’informations ? ………
Exemples : triangle dont on connaît 2 angles et 1 longueur
3 informations
triangle rectangle isocèle et 1 longueur
…… informations
Page 11
Cours de Mr Jules v 1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 12
VII. EXERCICES RECAPITULATIFS :
Exercice :
Reproduis à la règle cette figure en vraie grandeur.
D
B
A
C
Exercice
Reproduis la figure suivante en vraie grandeur.
B
A
30°
C
110°
E
D
Exercice :
Construis un quadrilatère ABCD tel que :
AB = 5 cm, ABC= 90°, BC = 3 cm ;
BCD= 70° et BAD= 120°.
(fait d’abord un croquis !)
Exercice
:
Calculer l’ angle xAy dans les 2 cas suivants :
on sait que zAx = 110° et zAy = 80°
z
y
A
on sait que zAx = 40° et yAz est un angle droit.
x
y
z
A
x
Page 12
Cours de Mr Jules v 1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 13
L’ARRIVÉE DE LA RÉGATE
Pour repérer l’arrivée des bateaux 2 personnes se sont placées en deux points A et B de la jetée. Elles
ont mesuré que l’angle sous lequel on voit le bateau n°2 par rapport à la jetée est de 68° depuis le
point A et de 54° depuis le point B.
Le tableau ci-dessous donne les angles pour les 6 bateaux de la régate. Replacez chacun de ces
bateaux sur le plan ci- dessous et donnez le classement provisoire.
bateau
52°
68°
26°
57°
68°
87°
angle B
60°
54°
80°
47°
34°
45°
B
54°
Ligne d’arrivée
angle A
P
O
R
T
68°
A
Page 13
Cours de Mr Jules v 1.1
Classe de Sixième
Contrat 4 page 14
LA GRANDE OURSE5 ET LE RAPPORTEUR
!
543210
•
•
"
$% & ' (
)
!
#
&
*
!
+ ,
!
F
G
102°
106°
D
AB = 60 mm
BC = 44 mm 174°
CD = 49 mm
DE = 41 mm
EF = 68 mm
FG = 49 mm
E
B
128°
C
A
137°
B
A
5
Cherchez ce qu’est la Grande Ourse.
Page 14