moment cinétique – forces centrales énergie potentielle effective

MOMENT CINÉTIQUE – FORCES CENTRALES
ÉNERGIE POTENTIELLE EFFECTIVE
I. DÉFINITIONS
I.1 Quantité de mouvement
G
G G G
Soit v la vitesse à l’instant t d’un point matériel M dans le référentiel ℜ = ( O, u x , u y , u z ) .
G
G
G
G
La quantité de mouvement de M est : p ( M )ℜ = m v ( M )ℜ . En abrégé, on a : p = m v .
Unités : kg.m.s-1
I.2 Moment cinétique en A
a) Définition
Soit A un point quelconque qui n’est pas nécessairement fixe.
JJJJG
G
G
Le moment cinétique en A du point M est : σ A = AM ^ mv .
Unités : kg.m2.s-1
b) Formule du changement de point
JJJJJG
G
G JJJJG G
G
G JJJJG JJJJG
G
σ A ' = A ' M ^ mv = A ' A + AM ^ mv , d’où σ A ' = σ A + A ' A ^ p .
(
)
I.3 Moment cinétique par rapport à un axe orienté
a) Définition
G
Soit ∆ un axe orienté. L’orientation de l’axe est donnée par le vecteur unitaire u∆ .
M
G
u∆
O’
Soit O un point quelconque de l’axe.
O
G G
Le moment cinétique de M par rapport à l’axe ∆ est : σ ∆ = σ O ⋅ u∆ .
G G
G JJJJG G G
G G
On vérifie que cette définition est indépendante du point O sur l’axe : σ O ' ⋅ u∆ = σ O + O ' O ^ p ⋅ u∆ = σ O ⋅ u∆ + 0 car
JJJJG G
G
O ' O ^ p ⊥ u∆ .
(
)
(
)
b) Cas particulier des coordonnées cylindriques avec un mouvement plan
JJJJG
G
G
G
G
OM = rur et v = r ur + rθ uθ
JJJJG
G
G
G
G
G
G
On a donc : σ = OM ^ mv = ru ^ m r u + rθ u = mr 2θu
O
r
(
r
θ
)
σ z = mr 2θ . On a vu dans le chapitre précédent que
z
dA 1 2 dA
= r θ , d’où σ z = 2m
.
dt
dt 2
I.4 Moment en A d’une force
Soit A un point quelconque qui n’est pas nécessairement fixe.
G
JJJJG G
G
Le moment en A de la force f appliquée en M est : Γ A = AM ^ f .
Unités : N.m
JJJJJG G
JJJJG JJJJG G G
JJJJG G
G
Formule du changement de point : Γ A ' = A ' M ^ f = A ' A + AM ^ f = Γ A + A ' A ^ f
JJJJG G
G
G
Γ A' = Γ A + A ' A ^ f
(
)
I.5 Moment d’une force par rapport à un axe orienté
a) Définition
G
Soit ∆ un axe orienté. L’orientation de l’axe est donnée par le vecteur unitaire u∆ .
Soit O un point quelconque de l’axe.
M
G
u∆
O’
O
G G
Le moment de la force par rapport à un axe orienté ∆ est : Γ ∆ = Γ O ⋅ u∆
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JJJJG G G
G G
G
G G
On vérifie que cette définition est indépendante du point O sur l’axe : Γ O ' ⋅ u∆ = Γ O + O ' O ^ f ⋅ u∆ = Γ O ⋅ u∆ + 0 car
JJJJG G
G
O ' O ^ f ⊥ u∆ .
G
f
b) Cas particulier d’une force perpendiculaire à l’axe ∆
JJJJG G
G
α
Γ A = AM ^ f
G
G
JJJJ
G
G
M
La norme du moment de la force vaut : Γ A = AM ^ f = AM f sin α
α H
G
On définit H le projeté orthogonal de A sur la droite M , f .
G
u∆
A
AH
On a alors : sin α =
, d’où
AM
G
G
Γ A = AH f = force × longueur du bras de levier (distance AH).
(
(
)
(
)
)
Comment déterminer le signe + ou – pour Γ ∆ ?
JJJJG
On peut appliquer la règle de la main droite : les 4 doigts de la main sont dans la direction de AM , la paume
G
G
G
G
de la main est dans la direction de f . Le pouce donne la direction de Γ A . Si Γ A et u∆ sont dans le même
sens, il faut mettre un signe +, sinon il faut mettre un signe –.
G
Sur le schéma Γ ∆ = + AH f = force × longueur du bras de levier (distance AH).
II. THÉORÈMES DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET DU MOMENT CINÉTIQUE
PAR RAPPORT À UN POINT MATÉRIEL
II.1 Théorème de la quantité de mouvement
C’est une simple variante du PFD.
G
Soit un point matériel soumis à une résultante de forces f .
Soit ℜ un référentiel galiléen. Théorème de la quantité de mouvement :
G
dp G
= f
dt
II.2 Théorème du moment cinétique
G
Soit un point matériel soumise à une résultante de forces f .
Soit O un point fixe dans un référentiel ℜ galiléen.
G
dσ O G
Théorème du moment cinétique :
= ΓO
dt
Démonstration :
JJJJG
G
G
σ O = OM ^ mv
JJJJG
G
G
G
JJJJG G G G
dσ O
G JJJJG
dv G
dv
dOM
=
. Le premier terme est nul et m
= f . On a alors : OM ^ f = Γ O f .
^ mv + OM ^ m
dt
dt
dt
dt
( )
II.3 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe orienté
G
Soit ∆ un axe orienté fixe dans ℜ . L’orientation de l’axe est donnée par le vecteur unitaire u∆ .
G
dσ O G G
= ΓO f
dt
G
G G G
dσ O G
G
On multiplie scalairement cette relation par u∆ , d’où
⋅ u∆ = Γ O f ⋅ u∆ .
dt
G G
d (σ O ⋅ u ∆ ) G G G
G
On peut rentrer u∆ dans la dérivée. On obtient :
= Γ O f ⋅ u∆ .
dt
Soit ∆ un axe orienté fixe dans un référentiel ℜ galiléen.
dσ ∆
Théorème du moment cinétique en projection sur ∆ :
= Γ∆
dt
( )
( )
( )
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II.4 Conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique
a) Définition d’un système isolé
Un point matériel est dit isolé ou libre s’il ne subit aucune interaction. Il est soumis à une force nulle.
JJG
G JJG
G
On a : p = cte et σ O = cte
Pour un système isolé, on a conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique.
b) Définition d’un système pseudo-isolé
Un système est pseudo isolé s’il est soumis à des actions extérieures qui se compensent :
G
∑f
i
G
=0.
i
On a conservation de la quantité de mouvement.
II.5 Application au pendule simple
On considère une masse m accrochée à un fil. Il y a trois méthodes pour obtenir l’équation différentielle du
mouvement :
Méthode n°1 : Principe fondamental de la dynamique.
Méthode n°2 : Raisonnement énergétique pour un système conservatif à une dimension. Em = cte . En écrivant
dEm
= 0 , on obtient directement l’équation différentielle du mouvement.
dt
Méthode n°3 : Théorème du moment cinétique.
G
uy
a) Principe fondamental de la dynamique
• Système = {Point matériel M de masse m}
G G G
• Référentiel ℜ = ( O, u x , u y , u z ) terrestre galiléen
•
•
Bilan des forces :
G
G JJG
G
¾ T = −T ur tension du fil : δ W = T ⋅ dl = 0 . La tension du fil ne
travaille pas. C’est une force conservative.
G
¾ P : poids.
G G G
PFD : ma = P + T . Il est préférable de projeter dans la base des
coordonnées cylindriques qui sont adaptées à la symétrie du problème :
mouvement à une dimension.
Sur le schéma, I représente la position de M pour θ = 0 . On a donc
OI = OM = l = cte .
G G
On projette dans la base ( ur , uθ ) :
(
(
)
G
ux
G
uz
O
l
θ
H
Z I
G
T
M
G
uθ
G
ur
G
P
m r − rθ 2 = −T + mg cos θ

avec r = l = cte.

m 2 r θ + rθ = − mg sin θ
G
La tension du fil a une composante nulle suivant uθ . On obtient ainsi directement l’équation différentielle :
)
g
g
mlθ = − mg sin θ , soit θ + sin θ = 0 . On pose ω02 = , soit θ + ω02 sin θ = 0 .
l
l
b) Raisonnement énergétique
• Bilan des forces :
G JJG
G
G
¾ T = −T ur tension du fil : δ W = T ⋅ dl = 0 . La tension du fil ne travaille pas. C’est une force
conservative.
G
¾ P : poids. On a vu dans le cours que c’est une force conservative. E p = mgZ avec Z orienté vers le
haut et d’origine le point I (cf schéma). On choisit le point I comme origine des énergies potentielles.
On a E p = mg ( l − OH ) = mgl (1 − cos θ )
•
Le système est conservatif puisque toutes les forces sont conservatives.
G
G
G
G
1
L’énergie mécanique se conserve au cours du temps : Em = mv 2 + mgl (1 − cos θ ) . Or v = r ur + rθuθ = lθuθ
2
2
1
Soit Em = m lθ + mgl (1 − cos θ ) . Cette équation est appelée intégrale première du mouvement.
2
dEm
+ mglθ sin θ .
D’où
= 0 = ml 2θθ
dt
( )
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g
Si θ ≠ 0 , on obtient l’équation différentielle θ + sin θ = 0 .
l
c) Théorème du moment cinétique
• Bilan des forces :
G
G G JJJJG G G
G
¾ T = −T ur tension du fil : Γ O T = OM ^ T = 0 .
JJJJG G G
G
G G
G
G
G
¾ P : poids. Γ O P = OM ^ P = lur ^ ( mg cos θ ur − mg sin θ uθ ) = − mgl sin θ u z
( )
( )
•
G
Interprétation physique : on peut retrouver ce résultat directement avec la relation : force × longueur du
bras de levier. Le signe – est indispensable car si θ > 0 , le poids a tendance à faire tourner M dans le sens
G
des aiguilles d’une montre. Avec la règle de la main droite, le pouce est suivant ( −u z ) , d’où le signe –.
JJJJG
G
G G
G
G
Théorème du moment cinétique en un point O fixe : σ O = OM ^ mv = lur ^ m rθ uθ = mr 2θu z
(
)
dσ O G
G
G
g
= Γ O , d’où mr 2θu z = − mgl sin θ u z , d’où l’équation différentielle : θ + sin θ = 0 .
dt
l
III. MOUVEMENT À FORCE CENTRALE
III.1 Définition
Soit ℜ un référentiel galiléen.
Une force centrale est une force dont le support passe constamment par un point O fixe dans un référentiel
galiléen. Le point O est appelé centre de force. La force peut être attractive ou répulsive.
G
JJJJG
f et OM sont donc colinéaires.
III.2 Le moment cinétique est une constante du mouvement
G
JJJJG G G
G
JJJJG
dσ O G
= ΓO = OM ^ f = 0 car f et OM sont donc colinéaires.
Théorème du moment cinétique en un point O fixe :
dt
JJG
G
G
G
On a donc conservation du moment cinétique : σ O = cte . On pose : σ O = mC .
JJJJJG
G
G
G
G
Le vecteur C est calculé avec les conditions initiales : À t = 0 : σ O ( t = 0 ) = OM 0 ^ mv0 = mC .
G G
G G
On suppose dans la suite du cours que C ≠ 0 . Le cas C = 0 correspond à une trajectoire rectiligne.
III.3 La trajectoire est plane
JJJJG
G JJJJG
G G
G
G
G
σ O = OM ^ mv = mC . D’après les propriétés du produit vectoriel, on a C ⊥ OM et C ⊥ v .
JJJJG G
On utilise la première propriété : OM ⊥ C
G
La trajectoire est plane : M se trouve dans le plan passant par O et orthogonal à C
III.4 Le mouvement suit la loi des aires
G
On représente une figure dans le plan du mouvement. On choisit l’axe Oz de même direction que C
JJJJG
G
G
G
G
G
G
On pose C = Cu z . On a donc σ O = OM ^ mv = mC = mCu z .
y
JJJJG
G
G
G
G
OM = rur et v = r ur + rθ uθ
JJJJG
G
G
G
G
G
G
On a donc : σ O = OM ^ mv = rur ^ m r ur + rθ uθ = mr 2θu z
(
G
uθ
M
)
r
θ
G
G
G
On a donc σ O = mr 2θu z = mCu z
On définit la constante des aires = C = mr 2θ
On a vu dans le chapitre précédent que
G
ur
z
O
x
dA 1 2 dθ
dA C
= r
, soit
=
dt 2 dt
dt
2
C
dt
2
Le point M suit la loi des aires : en des temps égaux, le rayon vecteur balaie des aires égales.
En séparant les variables, dA =
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/Oscillat4.html
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Même intervalle de temps entre B et C qu’entre D et E.
Les aires balayées sont les mêmes.
III.5 Formules de Binet
a) Formule de Binet pour l’accélération
Pour un mouvement à force centrale, il est très intéressant de faire le changement de variable :
du
d 2u
1
u = avec u fonction de θ . On définit u ' =
et u " =
dθ
dθ 2
r
G
On cherche à exprimer l’accélération a en fonction de u, u ' , u " et C la constante des aires.
G
G
G
r − rθ 2 ur + 2rθ + rθ uθ
En coordonnées cylindriques, on a : a = (
•
•
•
)
(
)
( )
G
1 d 2
r θ = 2rθ + rθ . La composante de l’accélération suivant uθ est donc nulle. C’est
r dt
G
prévisible puisqu’on a une force centrale portée par ur . On retrouve la loi des aires : r 2θ = cte = C .
On remarque que
C
C = r 2θ , donc θ = 2 = Cu 2
r
1
d  1  −1 du −1 du dθ −1
r = , donc r =   = 2
=
=
u ' Cu 2 puisque θ = Cu 2 . On a donc : r = −Cu '
u
dt  u  u dt u 2 dθ dt u 2
d
du'
du' dθ
= −Cu " ( Cu 2 ) = −C 2 u 2 u "
( Cu ') = −C = −C
dt
dt
dθ dt
2
1
On obtient donc finalement : r = −C 2 u 2 u " et rθ 2 = ( Cu 2 ) = C 2 u 3
u
•
r =−
G
G
Formule de Binet pour l’accélération (à connaître par cœur) : a = −C 2 u 2 ( u + u ") ur
b) Formule de Binet pour la vitesse
G
G
G
2
r + rθuθ , donc v 2 = ( r ) + rθ
v = ru
( )
2
= C 2 u '2 +
1 2 4
C u = C 2 ( u 2 + u '2 )
u2
Formule de Binet pour la vitesse (à connaître par cœur) : v 2 = C 2 ( u 2 + u '2 )
III.6 Interaction newtonienne – Énergie potentielle effective
a) Définition d’une force d’interaction newtonienne
On considère deux points matériels M1 et M2 en interaction.
G
k G
Ces points sont en interaction newtonienne si la force qui M1 exerce sur M2 est de la forme f1→2 = 2 u1→2
r
k
k
Attention, dans certains exercices, on rencontre la relation − 2 au lieu de 2
r
r
Exemple : force de gravitation universelle, force de Coulomb.
• Si k > 0, la force est répulsive.
• Si k < 0, la force est attractive.
G G G
On va considérer par la suite un point M1 fixe en O l’origine du référentiel ℜ = O, i , j , k et M = M2.
(
)
On choisit les coordonnées sphériques car la force que M1 exerce sur M2 s’exprime facilement dans la base des
G
G k G
coordonnées sphériques : f1→2 = f = 2 ur
r
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b) Énergie potentielle
On a vu une méthode systématique pour calculer l’énergie potentielle pour les forces qui ne dépendent que d’un
G JJG k G
G
G
G
k
seul paramètre (ici r) : δ W = f ⋅ dl = 2 ur ⋅ ( drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ ) = 2 dr .
r
r
On peut prendre une primitive, cette force dérive donc d’une énergie potentielle :
k
k
dE p = −δ W = − 2 dr , d’où E p = +cte . On choisit toujours la constante de façon à avoir E p ( ∞ ) = 0
r
r
k
L’énergie potentielle de la force d’interaction newtonienne est E p =
avec la convention k > 0 pour une
r
force répulsive et k < 0 pour une force attractive.
c) Définition de l’énergie potentielle effective
• Système = {Point matériel M de masse m}
G G G
• Référentiel ℜ = O, i , j , k galiléen
(
•
•
)
G k G
k
Bilan des forces : f = 2 uO→M . Elle dérive d’une énergie potentielle E p = .
r
r
G
G
C’est une force centrale. Le moment cinétique en O σ O se conserve. C est calculé avec les conditions
G
G
JJJJJG
G
G
G
G
initiales : σ O ( t = 0 ) = OM 0 ^ mv0 = mC . On choisit k tel que C = Ck . Le mouvement est dans le plan
( O, uG , uG ) . Il suit la loi des aires avec C = r 2θ .
x
y
Le système est conservatif puisque la force d’interaction newtonienne dérive
d’une énergie potentielle.
y
G
uθ
On a déjà rencontré dans le cours mécanique un système conservatif à une
dimension.
r
Ici, c’est plus compliqué car on a deux variables : r et θ .
θ
En utilisant C = r 2θ , on va pouvoir se ramener à un mouvement à une
dimension.
O
1
k
z
L’énergie mécanique vaut : Em = Ec + E p = mv 2 + .
2
r
JJJJG
G
G
G
G
C
r + rθuθ . Soit v 2 = r 2 + r 2θ 2 . On remplace θ par 2 .
En coordonnées polaires, on a OM = rur et v = ru
r
1
k  1 2   mC 2 k 
2
2 2
Soit : Em = Ec + E p = m r + r θ + =  mr  +  2 + 
2
r 2
r
  2r
(
G
ur
M
x
)
mC 2 k
+ . Comme r 2 > 0 , on doit avoir E p eff < Em
2r 2
r
Il faut savoir redémontrer l’énergie potentielle effective.
On définit l’énergie potentielle effective : E p eff =
d) Interaction répulsive
On a k > 0. L’énergie potentielle effective est toujours positive.
G
qq
qq G
Exemple : force de Coulomb avec q1 > 0 et q2 > 0 . La force vaut f = 1 2 2 ur et k = 1 2 .
4πε 0
4πε 0 r
On représente graphiquement E p eff en fonction de r.
Ep eff
On peut prévoir à partir du graphe que
l’énergie mécanique est toujours > 0.
Em> 0
valeurs de r
inaccessibles
rmin
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r
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Interprétation : Pour des conditions initiales données, Em = Em ( t = 0 ) =
1 2 k
mv0 + . On a alors des valeurs de r
r0
2
inaccessibles.
On a donc r ≥ rmin . On dit que l’on a un état de diffusion.
Exemple : deux particules infiniment éloignées l’une de l’autre. Elles peuvent se rapprocher jusqu’à la distance rmin
et doivent alors s’éloigner l’une de l’autre à nouveau. r peut redevenir infini. On dit qu’une particule est diffusée par
l’autre. La vitesse angulaire garde un signe constant puisque r 2θ > 0 .
On définit le péricentre, le point P correspondant à la distance de plus courte approche. Attention : en ce point P,
G
G
G
r + rθuθ . En P , on a r = 0 puisque r est minimum.
la vitesse n’est jamais nulle. En effet : v = ru
On démontrera dans le prochain chapitre que le point M décrit une branche d’hyperbole. On verra comment tracer
cette hyperbole. On la représente ci-dessous simplement pour illustrer le mouvement.
r
θ
Une seule branche d’hyperbole peut être parcourue.
Ici, celle de droite puisque la force est répulsive.
M
P
O
Axe focal
Attention : origine des coordonnées polaires : point O.
M(r,θ) avec r = OM
e) Interaction attractive
On a k < 0. L’énergie potentielle effective peut être positive et négative.
G
Gm1 m2 G
Exemple : force de Coulomb avec q1 > 0 et q2 < 0 ou force de gravitation : f = −
ur et k = −Gm1 m2 .
r2
mC 2 k
On représente graphiquement E p eff en fonction de r : E p eff =
+
r
2r 2
−mC 2
mC 2 k
+ pour r =
¾ E p eff = 0 =
2k
r
2r 2
2
dE p eff
d
E
−mC 2
mC
k
p eff
¾
.
=− 3 − 2 .
= 0 pour r =
dt
k
dt
r
r
On a trois possibilités selon le signe de l’énergie mécanique.
Ep eff
Ep eff
Em> 0
valeurs de r
inaccessibles
valeurs de r
inaccessibles
rmin
r
Ep eff
rmin
r
Em= 0
r1
r2
r
Em< 0
mouvement
borné
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•
Si Em > 0. On a un état de diffusion ( r ≥ rmin ) . Exemple d’une comète se dirigeant vers le Soleil. On verra
dans le prochain chapitre que la trajectoire est une branche d’hyperbole. Le point P est le périhélie. La
distance OM est la plus faible.
Une seule branche d’hyperbole peut être
parcourue. Ici, celle de gauche puisque la force est
attractive.
M
r
θ
P
O
Axe focal
Attention : origine des coordonnées polaires : point O.
M(r,θ) avec r = OM
•
Si Em = 0. On a un état de diffusion avec r ≥ rmin. On verra dans le prochain chapitre que la trajectoire est
une parabole.
•
Si Em < 0, r reste borné entre r1 et r2. On a un état lié. On verra dans le prochain chapitre que la trajectoire est
une ellipse. Le point où la distance est la plus petite est appelé le périgée (point P). Le point où la distance est
la plus grande est appelé l’apogée (point A). La vitesse angulaire garde un signe constant puisque r 2θ > 0 .
Exemple : planète en orbite autour du soleil. La trajectoire est une ellipse.
M
r
A
θ
P
O
axe focal
Attention : origine des coordonnées polaires : point O.
M(r,θ) avec r = OM.
Un des foyers est le point O.
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