L`amas thématique des mathématiques

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It is worth remembering, if only for the sense of calm that it provides, that
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Sujet proposé par Théo Héikay
« Il n’y a pas de choses simples, mais il y a une manière simple de voir les choses. »
INTRODUCTION
Y a-t-il de la vie ailleurs ? Dans ce système solaire, à part la Terre, cela semble peu
probable, et en tout cas inobservé. Et plus loin 
feux, et si loin cependant que cette planète en est encore
plus indiscernable, a tenu pour longtemps de la vraie gageure. Une voie indirecte a
alors été suivie 
légers effets cinématiques sur celles-ci se manifestant dans des décalages Doppler du
rayonnement stellaire pouvant être mis en évidence par une optique
spectrophotométrique de très grande précision.
1995 a vu cette entreprise couronnée pour la première fois de succès, initialisant
extrasolaires ont été ainsi (indirectement) observées.
PRÉREQUIS
vitesse thermique sont apportées dans le problème.
ÉNONCÉ
magnitude visible apparente 6,18 et située à 44,7 années-lumière de nous. Ces

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période orbitale serait de 4,23 jours, et dont la masse serait comparable à celle de
Jupiter.
I _ Rappels sur des définitions astronomiques
a) ère (al) est la distance parcourue par la lumière en un an.
Donner la valeur de al (c = 3.108 m.s 1).
Donner la valeur du parsec (UA = 1,496.1011 m). Donner la relation numérique entre
pc et al.
b) 
grandeur 1.
éclairement (flux de puissance observé) par la relation
m =  2,5 log E + cste
Plus précisément, il faut spécifier le domaine de rayonnement observé, la
constante étant fixée selon une source établie.
Pour une observation dans le domaine visible,
mV =  2,5 log E  14,2
II _ Propriétés de m Pegasi
artificiellement à la même distance.

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i. Calculer la magnitude absolue MV(©) du Soleil (L © = 3,86. 1026 W).
ii. Donner la relation entre magnitude apparente et magnitude absolue. On appelle m
 M le « module de distance ». Pourquoi ?
iii. Calculer MV pour M. Le résultat est-il plausible pour une étoile semblable au
Soleil ? On appréciera la rapport des luminosités du Soleil et de M Pegasi.
III _ Propriétés de la planète extrasolaire
i. En utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/42) calculer, en UA, la distance
approximative de la planète à son étoile. La comparer avec celles du système solaire
(M© = 2.1030 kg). Commenter.
ii. On suppose que la planète se comporte comme un corps noir (elle émet par
unité de surface une puissance T4,  = 5,67.10 8 SI) sphérique de rayon R. Son
albédo (rapport de la puissance réfléchie à la puissance incidente) est .
Si L est la luminosité de l’étoile, donner l’expression de T en fonction de , L et R, en
partant de l’équilibre énergétique de la planète.
Estimer la température de surface de la planète supposée semblable à Jupiter ( = 0,34).
iii. Démontrer que la vitesse de libération v à la surface d’une planète de masse M et de
rayon R est
v1 = 2GM
R
Démontrer que la masse moyenne d’agitation thermique d’une particule de masse m d’un
gaz de température T est
vt = 3kT
m
Discuter l’existence possible d’une atmosphère à la surface de la planète.
(Masse de Jupiter M = 1,9.1027 kg, rayon de Jupiter R = 71 300 km, masse de
 27 kg).

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CORRECTION DE L’AUTEUR
I _  400 s chacun) est 1 a = 3,16. 107 
al = cT = 3,16.107 = 9,48.1015 m
UA
d soit
d = 1,496.1011
6018060
= 3,086.1016 m
II _ a) La luminosité du Soleil L © donne, à une distance d, un éclairement
EV = L ©
4d²
(4d² est la surface de rayon d).
La magnitude absolue est c
MV(©) =  2,5 log L©
4(10pc)²  14,2
A.N. On trouve MV(©) ~ 4,5.
c) 10
4d²E = 4(10pc)²E10
Soit
E
E10 = 
10
d ²

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si d est mesurée en pc. Par ailleurs
m =  2,5 log E + cste
M =  2,5 log E10 + cste
m  M =  2,5 log E
E10 =  5 log 10 d
 M = 5 log d  5 module de distance.
m              
d) Pour M Pegasi, MV = mV + 5  5 log d soit
MV = 6,18 + 5  5 log 44,7
3,26 ~ 5,5
Cette valeur est proche de celle du Soleil, ce qui confirme que M Pegasi est bien une
étoile de type solaire.
MV (©)  MV (Pegasi) = 4,5  5,5 = 1 =  2,5 log E10(©)
E10(Pegasi)
E10(©)
E10(Pegasi) = 100,4 ~ 2,5
qui est le rapport des luminosités.
une grande incidence car