L`amas thématique des mathématiques

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La première planète extrasolaire
Sujet proposé par Théo Héikay
« Il n’y a pas de choses simples, mais il y a une manière simple de voir les choses. »
INTRODUCTION
Y a-t-il de la vie ailleurs ? Dans ce système solaire, à part la Terre, cela semble peu
probable, et en tout cas inobservé. Et plus loin ? Il faudrait qu’il y ait des planètes
autour d’étoiles proches du Soleil, si possible, pour qu’on ait une chance de les
étudier un jour. Car observer un objet de cette nature, tout près d’un objet si brillant
qu’il le dissimule dans ses feux, et si loin cependant que cette planète en est encore
plus indiscernable, a tenu pour longtemps de la vraie gageure. Une voie indirecte a
alors été suivie : un compagnon peut, en orbitant autour d’une étoile, créer de très
légers effets cinématiques sur celles-ci se manifestant dans des décalages Doppler du
rayonnement stellaire pouvant être mis en évidence par une optique
spectrophotométrique de très grande précision.
1995 a vu cette entreprise couronnée pour la première fois de succès, initialisant
désormais une quête fructueuse puisqu’ en date du 16 juillet 2011, 564 exoplanètes
dites encore planètes extrasolaires ont été ainsi (indirectement) observées, presque
toutes de masse supérieure à celle de la Terre.
PRÉREQUIS
Les notions nécessaires, comme la magnitude, le corps noir, la vitesse d’évasion ou la
vitesse thermique sont apportées dans le problème.
ÉNONCÉ
À l’automne 1995, des astronomes suisses ont découvert des variations périodiques
dans les vitesses radiales de l’étoile m Pegasi, très comparable au Soleil, de
magnitude visible apparente 6,18 et située à 44,7 années-lumière de nous. Ces

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résultats ont été attribués à la présence, autour de l’étoile, d’une planète dont la
période orbitale serait de 4,23 jours, et dont la masse serait comparable à celle de
Jupiter.
I _ Rappels sur des définitions astronomiques
) _ L’année lumière (al) est la distance parcourue par la lumière en un an.
Donner la valeur de al (c = 3.108 m.s– 1).
Le parsec (pc) est la distance d’une étoile d’où on verrait le rayon de l’orbite terrestre
(UA) sous un angle de 1’’.
Donner la valeur du parsec (UA = 1,496.1011 m). Donner la relation numérique entre pc et
al.
) _ La notion de magnitude remonte à l’antiquité, quand Hipparque établissait le
premier catalogue d’étoiles en inventant la notion de grandeur, nombre entier,
d’autant plus élevée que l’étoile est faible, l’étoile la plus brillante étant de grandeur
1.
De façon moderne, la magnitude apparente d’une étoile est liée à son éclairement
(flux de puissance observé) par la relation
m = – 2,5 log E + cste
Plus précisément, il faut spécifier le domaine de rayonnement observé, la constante
étant fixée selon une source établie.
Pour une observation dans le domaine visible,
mV = – 2,5 log E – 14,2
II _ Propriétés de m Pegasi
On appelle magnitude absolue m la magnitude apparente qu’aurait l’étoile si elle
était placée à une distance de 10 pc. L’intérêt de cette notion est qu’elle permet de
comparer les luminosités intrinsèques des étoiles puisqu’elles sont placées ainsi
artificiellement à la même distance.

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1° _ Calculer la magnitude absolue MV(©) du Soleil (L © = 3,86. 1026 W).
2° _ Donner la relation entre magnitude apparente et magnitude absolue. On appelle m – M
le « module de distance ». Pourquoi ?
3° _ Calculer MV pour M. Le résultat est-il plausible pour une étoile semblable au Soleil ? On
appréciera le rapport des luminosités du Soleil et de M Pegasi.
III _ Propriétés de la planète extrasolaire
1° _ En utilisant la 3e loi de Kepler (a3/T2 = GM/42) calculer, en UA, la distance
approximative de la planète à son étoile.
La comparer avec celles du système solaire (M© = 2.1030 kg). Commenter.
2° _ On suppose que la planète se comporte comme un corps noir (elle émet par
unité de surface une puissance T4,  = 5,67.10– 8 SI) sphérique de rayon R. Son albédo
(rapport de la puissance réfléchie à la puissance incidente) est .
Si L est la luminosité de l’étoile, donner l’expression de T en fonction de , L et R, en partant
de l’équilibre énergétique de la planète.
Estimer la température de surface de la planète supposée semblable à Jupiter ( = 0,34).
3°_ Démontrer que la vitesse de libération v à la surface d’une planète de masse M et de
rayon R est
v1 = 2GM
R
Démontrer que la masse moyenne d’agitation thermique d’une particule de masse m d’un
gaz de température T est
vt = 3kT
m
Discuter l’existence possible d’une atmosphère à la surface de la planète.
(Masse de Jupiter M = 1,9.1027 kg, rayon de Jupiter R = 71 300 km, masse de
l’atome d’hydrogène m = 1,67.10– 27 kg).

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CORRECTION DE L’AUTEUR
I _ a) La durée de l’année (365,25 j de 86 400 s chacun) est 1 a = 3,16. 107 s d’où
al = cT = 3,16.107 = 9,48.1015 m
D’après la définition du persec 1’’ = UA
d soit
d = 1,496.1011
6018060
= 3,086.1016 m
d’où pc = 3,26 al.
II _ a) La luminosité du Soleil L © donne, à une distance d, un éclairement
EV = L ©
4d²
(4d² est la surface de rayon d).
La magnitude absolue est calculée d’après l’éclat à d = 10pc d’où
MV(©) = – 2,5 log L©
4(10pc)² – 14,2
A.N. On trouve MV(©) ~ 4,5.
II _ ) Si pour une étoile donnée de luminosité L, E est l’éclat à la distance d, et E10
l’éclat à la distance de 10 parsec, on a L = 4d²E = 4(10pc)²E10

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Soit
E
E10 = 
10
d ²
si d est mesurée en pc. Par ailleurs
m = – 2,5 log E + cste
M = – 2,5 log E10 + cste
d’où
m – M = – 2,5 log E
E10 = – 5 log 10 d
d’où m – M = 5 log d – 5 module de distance.
m – m mérite son nom parce qu’il n’est fonction que de la distance, et
qu’inversement sa connaissance permet d’atteindre la distance.
) _ Pour M Pegasi, MV = mV + 5 – 5 log d soit
MV = 6,18 + 5 – 5 log 44,7
3,26 ~ 5,5
Cette valeur est proche de celle du Soleil, ce qui confirme que M Pegasi est bien une
étoile de type solaire.
MV (©) – MV (Pegasi) = 4,5 – 5,5 = 1 = – 2,5 log E10(©)
E10(Pegasi)
d’où
E10(©)
E10(Pegasi) = 100,4 ~ 2,5
qui est le rapport des luminosités.