chapitre 4 - droite des milieux et parallélisme

chapitre 4 - droite des milieux et parallélisme
I – Souvenirs de 5ème : le parallélogramme
Comment prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme
En observant les côtés opposés
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
En observant les diagonales
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
En observant les angles
Si un quadrilatère non croisé a ses angles opposés de la même mesure, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a tous ses angles consécutifs supplémentaires deux à deux, alors c’est un parallélogramme.
En observant la symétrie centrale
Si un quadrilatère non croisé admet un centre de symétrie, alors c’est un parallélogramme.
Les propriétés qui découlent du parallélogramme
Propriétés des côtés opposés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de la même longueur.
Propriété des diagonales
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Propriétés des angles
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont de la même mesure.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.
Propriété de symétrie
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il admet l’intersection de ses diagonales pour centre de symétrie.
Les 3 théorèmes de la droite des milieux
Activité de découverte et de démonstration
Le triangle ABC est un triangle quelconque.
Construis les points I et J, milieux respectifs des segments [AB] et [BC] en marquant le codage.
Trace la droite (IJ).

A l’aide de cette figure, nous allons démontrer les 3 théorèmes de la droite des milieux.
Construis le point K, symétrique du point I par rapport au point J en marquant le codage.
Parmi les propriétés étudiées en classe de 5ème, laquelle permet de démontrer que le quadrilatère ICKB est
un parallélogramme ? (recopie-la sur les pointillés)
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Maintenant qu’on a prouvé que le quadrilatère ICKB est un parallélogramme, utilise les propriétés étudiées
en classe de 5ème pour trouver une relation entre les droites (BI) et (CK) et une autre relation entre les
longueurs BI et CK.
Propriété pour prouver que les droites (BI) et (CK) sont ...................................... :
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Propriété pour prouver que les longueurs BI et CK sont ...................................... :
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En utilisant le fait que I est le milieu de [AB] et donc que les points A, B et I sont alignés, que peux-tu déduire
concernant les droites (CK) et (AI) et que peux-tu déduire concernant les longueurs CK et AI ?
Quelle propriété étudiée en classe de 5ème te permet alors de prouver que le quadrilatère IACK est un
parallélogramme ?
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Bilan de l’activité.
Puisque IACK est un parallélogramme, ses côtés opposés (IK) et (BC) sont parallèles et de même longueur.
Théorème des milieux n°1
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au 3ème côté.
A quoi ça sert ?
Démontrer que deux droites sont parallèles.
Exemple ABCD est un quadrilatère
quelconque. I, J, K et L sont les milieux
respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et
[DA].
Démontrer que le quadrilatère IJKL est un
parallélogramme.
Indice : travailler d’abord dans le triangle ABC,
puis dans le triangle ACD, et conclure.
(cette propriété porte également le nom de
« théorème de Varignon »)

Théorème des milieux n°2
Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle, alors la longueur de ce segment est
égale à la moitié de la longueur du 3ème côté.
Démonstration : Reprenons l’activité et le fait que le quadrilatère IACK est un parallélogramme.
On sait aussi que J est le milieu de [IK].
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de la même longueur. Donc IJ mesure la moitié de la
longueur de AC.
𝐼𝐽 = 1
2𝐴𝐶
A quoi ça sert ?
Mesurer des longueurs.
On considère le triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm. Les points I, J et K sont les milieux
des côtés. Quel est le périmètre du triangle IJK ?
Théorème des milieux n°3
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors
elle coupe le 3ème côté en son milieu.
A quoi ça sert ?
A trouver le milieu d’un segment.
Reproduis le segment ci-dessous sur une feuille de papier calque, puis trouve son milieu à l’aide du
quadrillage de ton cahier.