Correction DS 1ère ES janvier 2016

Nom : …………………………………………………………….. 1ère ES
Prénom : ……………………………………………………………. Jeudi 21 janvier 2016
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Correction devoir de mathématiques n°3
Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer
pour l’attribution des points. Le barème sur 30 est donné à titre indicatif.
Exercice 1 (5 points)
Après avoir donné l’ensemble de définition, résoudre les équations suivantes :
a/  b/ 
 c/ 
Il ne faut pas que : 
 donc l’équation n’a pas de
solutions réelles d’où
Exercice 2 (6 points)
Soit  une fonction définie sur [-6 ; 8] et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :

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1/ Compléter le tableau suivant à l’aide du graphique :
1
2
3
8
0
3
0
2
0
2/ Dans quel intervalle varie  lorsque  varie dans   ?
Lorsque  varie dans [-1 ; 4],  varie dans  .
3/ Résoudre graphiquement dans  l’équation suivante :
On cherche les abscisses des points d’intersection entre  et la droite d’équation .
Ou Les solutions de l’équation , sont les abscisses des points d’intersection de la courbe  avec la droite
d’équation .
4/ Résoudre graphiquement dans  l’inéquation suivante :
  situés au dessus de l’axe des abscisses :
Ou Les solutions de l’inéquation , sont les abscisses des points de la courbe  situés au dessus de l’axe des
abscisses.
5/ Dresser le tableau de variations de  sur .
6/ Dresser le tableau de signes de  sur .
7/ Pour quelle valeur de , la fonction  admet-elle un minimum sur  ? Quel est ce minimum ?
La fonction  admet un minimum pour . Ce minimum vaut .
–1 1 4 8
2 –1
0,5 –4
   2 8
0 + 0 – 0 + 0 –

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Exercice 3 (8 points)
Dans cet exercice, on désire étudier une loi de marché relative à une revue « MOTS » en fonction du prix de
l'abonnement annuel.
On considère la fonction  définie sur l'intervalle  par :
On admet que cette fonction donne le nombre d'abonnés en fonction du prix , en euros, de
l'abonnement annuel à cette revue « MOTS ».
Partie A : Nombre d'abonnés
1. Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d'abonnés ?
Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés
2. Quelle est l'image de 52 par  ? Que représente cette image ?
Lorsque l'abonnement est fixé à 52 €, il y a 9 900 abonnés. L’image de 52 représente le nombre d’abonnés
pour un prix de 52 €.
3. Justifier que toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le
nombre d'abonnés à cette revue MOTS.
Donc toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à
cette revue MOTS.
4. Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, quel est alors le prix de l'abonnement annuel
? 
Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, alors le prix de l'abonnement annuel est de 150 €.
5. En utilisant les variations de la fonction , justifier que, pour ce produit :
« plus il est cher, plus la demande diminue ».
La fonction  est une fonction affine de coefficient directeur , donc négatif.
La fonction est donc décroissante sur .
Ce qui justifie que plus la revue est chère, plus la demande diminue.
Partie B : Étude de la recette
On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue « MOTS » perçu par l'éditeur
de la revue.
1. Calculer la recette lorsque :
a. le prix de l'abonnement est égal à 50 € ;
D’après la question A1, lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés.
Donc la recette est de : 

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b. le prix de l'abonnement est fixé à 40 € ;
Lorsque l'abonnement est fixé à 40 €, il y a 10 500 abonnés.
Donc la recette est de : 
c. le nombre d'abonnés est égal à 5 000.
D’après la question A4le nombre d’abonnés est égal à 5000, l'abonnement est de 150 €.
Donc la recette est de : 
2. Le prix de l'abonnement est égal à  euros.
Exprimer la recette en fonction de et .
La recette est alors de : 
3. En déduire que la fonction , définie sur l'intervalle [0 ; 200] par :
est égal à la recette correspondant à un prix de l'abonnement égal à  euros.
4.Quel est le prix de l'abonnement annuel à cette revue « MOTS » qui rend la recette maximale ?
Quel est alors le montant de la recette ?
 est un polynôme du 2nd degré, sa courbe représentative est une parabole.
Comme  alors  est croissante sur [0 ; 125] et est décroissante sur [125 ; 200].
Coordonnées du sommet :  
La recette maximale est atteinte pour 125 abonnés et vaut  €.
Exercice 4 (11 points)
1/ Calculer les cinq premiers termes de la suite  définie par :
2/ Calculer les cinq premiers termes de la suite  définie par :

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3/ E t ud ie r le sens de v a r i a t io n des s u i t e s ci-dessous :
a/ 
Or  donc 
i.e.  d’où 
donc 
donc la suite est strictement croissante.
b/ 
Donc 
donc la suite est strictement décroissante.
c/  à l’aide d’une fonction judicieusement choisie.
On considère la fonction associée : 
C’est un polynôme du second degré.
Sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas car .
Coordonnées du sommet :  
Donc sur  
 la courbe représentative est croissante et sur    la courbe est représentative
est décroissante.
Mais donc sur , la courbe est strictement décroissante, donc la suite est strictement décroissante.
4/ Compléter la suite de nombres en justifiant votre réponse : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 …
Dans la suite de nombres : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 , on constate que chaque terme est obtenu par l’addition de ses deux
prédécesseurs donc les nombres qui suivent sont : 21 – 34 – 55 …
5/ Parmi les s u i t e s ci-dessous, dé fi n ie s pour tout , r eco nnaît r e les s u i t e s a r i t h mé t i q u e s
(Justifier votre réponse et déterminer la raison et le premier terme)
a/ 
La différence est indépendante de .
La suite  est donc arithmétique de raison  et de premier terme : .
b/ 
La différence est indépendante de .