Correction DS 1ère ES janvier 2016

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1ère ES
Jeudi 21 janvier 2016
Correction devoir de mathématiques n°3
Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer
pour l’attribution des points. Le barème sur 30 est donné à titre indicatif.
Exercice 1
Après avoir donné l’ensemble de définition, résoudre les équations suivantes :
a/ (4 – 5𝑥)3 = 0,064
𝐷=ℝ
(4 – 5𝑥)3 = 0,064
⇔ (4 – 5𝑥)3 = 0,43
⇔ 4 − 5𝑥 = 0,4
⇔ −5𝑥 = −3,6
⇔ 𝑥 = 0,72
𝑺 = {𝟎, 𝟕𝟐}
Exercice 2
1
b/ 𝑥²−𝑥 + 3 = 0
Il ne faut pas que : 𝑥 2 − 𝑥 = 0
⇔ 𝑥(𝑥 − 1) = 0
⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 (𝑥 − 1) = 0
⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1
𝐷 = ℝ\{0; 1}
1
1
+3 = 0⇔
= −3
𝑥² − 𝑥
𝑥² − 𝑥
⇔ 1 = −3(𝑥² − 𝑥)
⇔ 1 = −3𝑥 2 + 3𝑥
⇔ 3𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0
𝚫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
= (−𝟑)𝟐 − 𝟒 × 𝟑 × 𝟏 = −𝟑
𝚫 < 𝐎 donc l’équation n’a pas de
solutions réelles d’où
𝑺=∅
(5 points)
c/ 𝑥 3 = 27
𝐷=ℝ
𝑥 3 = 27 ⇔ 𝑥 3 = 33
⇔𝑥 = 3
𝑺 = {𝟑}
(6 points)
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1
Soit 𝑓 une fonction définie sur [-6 ; 8] et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :
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Jeudi 21 janvier 2016
1/ Compléter le tableau suivant à l’aide du graphique :
𝑥
–6
−4
−3
1
2
3
8
𝑦 = 𝑓(𝑥)
0
3
0
2
0
−3
−1
2/ Dans quel intervalle varie 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 varie dans [−1 ; 4] ?
Lorsque 𝑥 varie dans [-1 ; 4], 𝑓(𝑥) varie dans [– 𝟒 ; 𝟐].
3/ Résoudre graphiquement dans [– 6 ; 8] l’équation suivante :
𝑓(𝑥) = – 3
On cherche les abscisses des points d’intersection entre 𝐶𝑓 et la droite d’équation 𝑦 = −3.
𝑺 = {𝟑 ; 𝟓}
Ou Les solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = – 3, sont les abscisses des points d’intersection de la courbe 𝐶𝑓 avec la droite
d’équation 𝑦 = −3.
4/ Résoudre graphiquement dans [– 6 ; 8] l’inéquation suivante :
𝑓(𝑥) ≥ 0
On cherche les abscisses des points de 𝐶𝑓 situés au dessus de l’axe des abscisses :
𝑺 = [ – 𝟔 ; – 𝟑] ∪ [−𝟏, 𝟓 ; 𝟐]
Ou Les solutions de l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0, sont les abscisses des points de la courbe 𝐶𝑓 situés au dessus de l’axe des
abscisses.
5/ Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−1 ∶ 8].
𝑥
–1
𝑓(𝑥)
1
4
8
2
–1
0,5
–4
6/ Dresser le tableau de signes de 𝑓 sur [– 6 ; 8].
𝑥
–6
𝑓(𝑥) 0 +
–3
0 –
– 1,5
2
0 + 0
8
–
7/ Pour quelle valeur de 𝑥, la fonction 𝑓 admet-elle un minimum sur [−6 ; 8] ? Quel est ce minimum ?
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2
La fonction 𝑓 admet un minimum pour 𝒙 = 𝟒. Ce minimum vaut −4.
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Exercice 3
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Jeudi 21 janvier 2016
(8 points)
Dans cet exercice, on désire étudier une loi de marché relative à une revue « MOTS » en fonction du prix de
l'abonnement annuel.
On considère la fonction 𝑓 définie sur l'intervalle [0 ; 200] par :
𝑓(𝑝) = −50𝑝 + 12500
On admet que cette fonction donne le nombre d'abonnés en fonction du prix 𝒑, en euros, de
l'abonnement annuel à cette revue « MOTS ».
Partie A : Nombre d'abonnés
1. Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d'abonnés ?
𝑓(50) = −50 × 50 + 12500 = 10 000
Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés
2. Quelle est l'image de 52 par 𝑓 ? Que représente cette image ?
𝑓(52) = −50 × 52 + 12500 = 9 900
Lorsque l'abonnement est fixé à 52 €, il y a 9 900 abonnés. L’image de 52 représente le nombre d’abonnés
pour un prix de 52 €.
3. Justifier que toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le
nombre d'abonnés à cette revue MOTS.
𝑓(𝑝 + 2) = −50(𝑝 + 2) + 12500 = −50𝑝 − 100 + 12500 = −50𝑝 + 12500 − 100 = 𝑓(𝑝) − 100
Donc toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à
cette revue MOTS.
4. Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, quel est alors le prix de l'abonnement annuel
?
𝑓(𝑝) = 5000 ⇔ −50𝑝 + 12500 = 5000 ⇔ −50𝑝 = −7500 ⇔ 𝑝 = 150
Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, alors le prix de l'abonnement annuel est de 150 €.
5. En utilisant les variations de la fonction 𝑓, justifier que, pour ce produit :
« plus il est cher, plus la demande diminue ».
La fonction 𝑓 est une fonction affine de coefficient directeur 𝑎 = – 50, donc négatif.
La fonction est donc décroissante sur [0 ; 200].
Ce qui justifie que plus la revue est chère, plus la demande diminue.
Partie B : Étude de la recette
On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue « MOTS » perçu par l'éditeur
de la revue.
Page
D’après la question A1, lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés.
Donc la recette est de :
10 000 × 50 = 500 000€ = 𝑓(50) × 50
3
1. Calculer la recette lorsque :
a. le prix de l'abonnement est égal à 50 € ;
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Jeudi 21 janvier 2016
b. le prix de l'abonnement est fixé à 40 € ;
𝑓(40) = −50 × 40 + 12500 = 10 500
Lorsque l'abonnement est fixé à 40 €, il y a 10 500 abonnés.
Donc la recette est de :
10 500 × 40 = 420 000€ = 𝑓(40) × 40
c. le nombre d'abonnés est égal à 5 000.
D’après la question A4le nombre d’abonnés est égal à 5000, l'abonnement est de 150 €.
Donc la recette est de :
5 000 × 150 = 750 000€ = 𝑓(150) × 150
2. Le prix de l'abonnement est égal à 𝑝 euros.
Exprimer la recette en fonction de 𝑝 et 𝑓(𝑝).
La recette est alors de :
𝑓(𝑝) × 𝑝
3. En déduire que la fonction 𝑅, définie sur l'intervalle [0 ; 200] par :
𝑅(𝑝) = −50𝑝2 + 12500𝑝
est égal à la recette correspondant à un prix de l'abonnement égal à 𝑝 euros.
𝑓(𝑝) × 𝑝 = (−50𝑝 + 12500)𝑝 = −50𝑝2 + 12500𝑝 = 𝑅(𝑝)
4.Quel est le prix de l'abonnement annuel à cette revue « MOTS » qui rend la recette maximale ?
Quel est alors le montant de la recette ?
𝑅 est un polynôme du 2nd degré, sa courbe représentative est une parabole.
Comme 𝑎 = −50 < 0 alors 𝑅 est croissante sur [0 ; 125] et est décroissante sur [125 ; 200].
Coordonnées du sommet :
𝑏
𝛼 = −
= 125
2𝑎
𝛽 = 𝑅(𝛼) = 781 250
La recette maximale est atteinte pour 125 abonnés et vaut 𝑅(125) = 781 250 €.
Exercice 4
(11 points)
1/ Calculer les cinq premiers termes de la suite (𝑢𝑛 ) définie par :
0
𝑢0 = 2 = 1
1
𝑢1 = 2 = 2
𝑢𝑛 = 2𝑛
2
𝑢2 = 2 = 4
𝑢 3 = 23 = 8
𝑢4 = 24 = 16
2/ Calculer les cinq premiers termes de la suite (𝑣𝑛 ) définie par :
𝑣0 = 6
1
{
𝑣𝑛+1 = 3 − 𝑣𝑛
2
1
2
𝑣3 = 3 − 𝑣2 = 3 − × 3 = 1,5
1
1
𝑣2 = 3 − 2 𝑣1 = 3 − 2 × 0 = 3
1
2
1
2
𝑣4 = 3 − 𝑣3 = 3 − × 1,5 = 2,25
4
1
2
1
𝑣1 = 3 − 2 𝑣0 = 3 − 2 × 6 = 0
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1
𝑣0 = 6
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3/ Etudier le sens de variation des suites ci-dessous :
a/ 𝑢𝑛 = 𝑛² + 4𝑛 (𝑛 ∈ ℕ)
𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1)² + 4(𝑛 + 1) – 𝑛² – 4𝑛 = 𝑛² + 2𝑛 + 1 + 4𝑛 + 4 – 𝑛² – 4𝑛 = 2𝑛 + 5
Or 𝑛 ∈ ℕ donc 𝑛 ≥ 0
i.e. 2𝑛 ≥ 0 d’où 2𝑛 + 5 > 0
donc
𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 > 0
donc la suite est strictement croissante.
b/ 𝑣𝑛 = −
3𝑛
2
1
+ 4 (𝑛 ∈ ℕ)
𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 = = −
6(𝑛 + 1) 1 6𝑛 1 −6𝑛 − 6 + 1 + 6𝑛 − 1 −6 −3
+ +
− =
=
=
= −1,5 < 0
4
4 4 4
4
4
2
Donc
𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 < 0
donc la suite est strictement décroissante.
c/ 𝑤𝑛 = −3𝑛² − 4𝑛 + 5
On considère la fonction associée :
à l’aide d’une fonction judicieusement choisie.
𝑓(𝑥) = −3𝑥² − 4𝑥 + 5
C’est un polynôme du second degré.
Sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas car 𝑎 = −3 < 0.
Coordonnées du sommet :
−(−4)
2
𝛼 =
= −
3
(2 × (−3))
19
𝛽 = 𝑓(𝛼) =
3
2
2
Donc sur ] − ∞ ; − ] la courbe représentative est croissante et sur [− ; +∞ [ la courbe est représentative
3
3
est décroissante.
Mais 𝑛 ∈ ℕ donc sur ℝ+ , la courbe est strictement décroissante, donc la suite est strictement décroissante.
4/ Compléter la suite de nombres en justifiant votre réponse : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 …
Dans la suite de nombres : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 , on constate que chaque terme est obtenu par l’addition de ses deux
prédécesseurs donc les nombres qui suivent sont : 21 – 34 – 55 …
5/ Parmi les suites ci-dessous, définies pour tout 𝑛 ∈ ℕ, reconnaître les suites arithmétiques
(Justifier votre réponse et déterminer la raison et le premier terme)
a/ 𝑢𝑛 = 9 − 𝑛
𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 = 9 – (𝑛 + 1) – (9 – 𝑛) = 9 – 𝑛 – 1 – 9 + 𝑛 = – 1
La différence est indépendante de 𝑛.
La suite (𝑢𝑛 ) est donc arithmétique de raison – 𝟏 et de premier terme : 𝑢0 = 9.
−𝑛
2
𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 = −
La différence est indépendante de 𝑛.
𝑛 + 1 𝑛 −𝑛 − 1 + 𝑛 −1
+ =
=
2
2
2
2
5
=
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b/ 𝑣𝑛
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La suite (𝑣𝑛 ) est donc arithmétique de raison
–𝟏
𝟐
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Jeudi 21 janvier 2016
et de premier terme : 𝑣0 = 0.
6/ Déterminer la raison, le premier terme 𝑢0 et le terme général de la suite arithmétique vérifiant :
𝑢20 = 2 et 𝑢30 = 7
La suite étant arithmétique, on sait que :
𝑢𝑛 = 𝑢𝑚 + (𝑛 − 𝑚)𝑟
Donc la raison de cette suite est:
𝑢30 − 𝑢20 = (30 − 20)𝑟
⇔
7 − 2 = 10𝑟
⇔
𝑟=
Déterminons le premier terme.
On sait que :
1
2
𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟
Donc :
𝑢20 = 𝑢0 + 20𝑟
⇔
2 = 𝑢0 + 20 ×
1
2
⇔
2 = 𝑢0 + 10
⇔
𝑢0 = −8
7/ Soit la suite (𝑢𝑛 ) définie par :
𝑢𝑛 = 𝑛² − 2𝑛 + 3
Calculer 𝑢𝑛+1 puis 𝑢2𝑛 .
𝒖𝒏+𝟏 = (𝑛 + 1)2 − 2(𝑛 + 1) + 3 = 𝑛² + 2𝑛 + 1 − 2𝑛 − 2 + 3 = 𝒏² + 𝟐
𝒖𝟐𝒏 = (2𝑛)2 − 2(2𝑛) + 3 = 𝟒𝒏² − 𝟒𝒏 + 𝟑
8/ Représenter dans le repère ci-joint, les 5 premiers termes de la suite (𝑤𝑛 ) définie par :
𝑤3 = 0,25
𝑤4 = 2
6
𝑤0 = 0,25 × 0 − 2 = −2
De même :
𝑤2 = −1
𝑤𝑛 = 0,25𝑛² − 2
2
𝑤1 = 0,25 × 1 − 2 = −1,75
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