Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 Correction devoir de mathématiques n°3 Calculatrice autorisée. Le sujet contient 4 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l’attribution des points. Le barème sur 30 est donné à titre indicatif. Exercice 1 Après avoir donné l’ensemble de définition, résoudre les équations suivantes : a/ (4 – 5𝑥)3 = 0,064 𝐷=ℝ (4 – 5𝑥)3 = 0,064 ⇔ (4 – 5𝑥)3 = 0,43 ⇔ 4 − 5𝑥 = 0,4 ⇔ −5𝑥 = −3,6 ⇔ 𝑥 = 0,72 𝑺 = {𝟎, 𝟕𝟐} Exercice 2 1 b/ 𝑥²−𝑥 + 3 = 0 Il ne faut pas que : 𝑥 2 − 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(𝑥 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 (𝑥 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝐷 = ℝ\{0; 1} 1 1 +3 = 0⇔ = −3 𝑥² − 𝑥 𝑥² − 𝑥 ⇔ 1 = −3(𝑥² − 𝑥) ⇔ 1 = −3𝑥 2 + 3𝑥 ⇔ 3𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 𝚫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = (−𝟑)𝟐 − 𝟒 × 𝟑 × 𝟏 = −𝟑 𝚫 < 𝐎 donc l’équation n’a pas de solutions réelles d’où 𝑺=∅ (5 points) c/ 𝑥 3 = 27 𝐷=ℝ 𝑥 3 = 27 ⇔ 𝑥 3 = 33 ⇔𝑥 = 3 𝑺 = {𝟑} (6 points) Page 1 Soit 𝑓 une fonction définie sur [-6 ; 8] et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 1/ Compléter le tableau suivant à l’aide du graphique : 𝑥 –6 −4 −3 1 2 3 8 𝑦 = 𝑓(𝑥) 0 3 0 2 0 −3 −1 2/ Dans quel intervalle varie 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 varie dans [−1 ; 4] ? Lorsque 𝑥 varie dans [-1 ; 4], 𝑓(𝑥) varie dans [– 𝟒 ; 𝟐]. 3/ Résoudre graphiquement dans [– 6 ; 8] l’équation suivante : 𝑓(𝑥) = – 3 On cherche les abscisses des points d’intersection entre 𝐶𝑓 et la droite d’équation 𝑦 = −3. 𝑺 = {𝟑 ; 𝟓} Ou Les solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = – 3, sont les abscisses des points d’intersection de la courbe 𝐶𝑓 avec la droite d’équation 𝑦 = −3. 4/ Résoudre graphiquement dans [– 6 ; 8] l’inéquation suivante : 𝑓(𝑥) ≥ 0 On cherche les abscisses des points de 𝐶𝑓 situés au dessus de l’axe des abscisses : 𝑺 = [ – 𝟔 ; – 𝟑] ∪ [−𝟏, 𝟓 ; 𝟐] Ou Les solutions de l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 0, sont les abscisses des points de la courbe 𝐶𝑓 situés au dessus de l’axe des abscisses. 5/ Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−1 ∶ 8]. 𝑥 –1 𝑓(𝑥) 1 4 8 2 –1 0,5 –4 6/ Dresser le tableau de signes de 𝑓 sur [– 6 ; 8]. 𝑥 –6 𝑓(𝑥) 0 + –3 0 – – 1,5 2 0 + 0 8 – 7/ Pour quelle valeur de 𝑥, la fonction 𝑓 admet-elle un minimum sur [−6 ; 8] ? Quel est ce minimum ? Page 2 La fonction 𝑓 admet un minimum pour 𝒙 = 𝟒. Ce minimum vaut −4. Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. Exercice 3 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 (8 points) Dans cet exercice, on désire étudier une loi de marché relative à une revue « MOTS » en fonction du prix de l'abonnement annuel. On considère la fonction 𝑓 définie sur l'intervalle [0 ; 200] par : 𝑓(𝑝) = −50𝑝 + 12500 On admet que cette fonction donne le nombre d'abonnés en fonction du prix 𝒑, en euros, de l'abonnement annuel à cette revue « MOTS ». Partie A : Nombre d'abonnés 1. Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, quel est le nombre d'abonnés ? 𝑓(50) = −50 × 50 + 12500 = 10 000 Lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés 2. Quelle est l'image de 52 par 𝑓 ? Que représente cette image ? 𝑓(52) = −50 × 52 + 12500 = 9 900 Lorsque l'abonnement est fixé à 52 €, il y a 9 900 abonnés. L’image de 52 représente le nombre d’abonnés pour un prix de 52 €. 3. Justifier que toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à cette revue MOTS. 𝑓(𝑝 + 2) = −50(𝑝 + 2) + 12500 = −50𝑝 − 100 + 12500 = −50𝑝 + 12500 − 100 = 𝑓(𝑝) − 100 Donc toute augmentation de 2 € du prix de l'abonnement annuel fait diminuer de 100 le nombre d'abonnés à cette revue MOTS. 4. Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, quel est alors le prix de l'abonnement annuel ? 𝑓(𝑝) = 5000 ⇔ −50𝑝 + 12500 = 5000 ⇔ −50𝑝 = −7500 ⇔ 𝑝 = 150 Si le nombre d'abonnés à la revue « MOTS » est de 5 000, alors le prix de l'abonnement annuel est de 150 €. 5. En utilisant les variations de la fonction 𝑓, justifier que, pour ce produit : « plus il est cher, plus la demande diminue ». La fonction 𝑓 est une fonction affine de coefficient directeur 𝑎 = – 50, donc négatif. La fonction est donc décroissante sur [0 ; 200]. Ce qui justifie que plus la revue est chère, plus la demande diminue. Partie B : Étude de la recette On appelle recette le montant total des abonnements annuels à la revue « MOTS » perçu par l'éditeur de la revue. Page D’après la question A1, lorsque l'abonnement est fixé à 50 €, il y a 10 000 abonnés. Donc la recette est de : 10 000 × 50 = 500 000€ = 𝑓(50) × 50 3 1. Calculer la recette lorsque : a. le prix de l'abonnement est égal à 50 € ; Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 b. le prix de l'abonnement est fixé à 40 € ; 𝑓(40) = −50 × 40 + 12500 = 10 500 Lorsque l'abonnement est fixé à 40 €, il y a 10 500 abonnés. Donc la recette est de : 10 500 × 40 = 420 000€ = 𝑓(40) × 40 c. le nombre d'abonnés est égal à 5 000. D’après la question A4le nombre d’abonnés est égal à 5000, l'abonnement est de 150 €. Donc la recette est de : 5 000 × 150 = 750 000€ = 𝑓(150) × 150 2. Le prix de l'abonnement est égal à 𝑝 euros. Exprimer la recette en fonction de 𝑝 et 𝑓(𝑝). La recette est alors de : 𝑓(𝑝) × 𝑝 3. En déduire que la fonction 𝑅, définie sur l'intervalle [0 ; 200] par : 𝑅(𝑝) = −50𝑝2 + 12500𝑝 est égal à la recette correspondant à un prix de l'abonnement égal à 𝑝 euros. 𝑓(𝑝) × 𝑝 = (−50𝑝 + 12500)𝑝 = −50𝑝2 + 12500𝑝 = 𝑅(𝑝) 4.Quel est le prix de l'abonnement annuel à cette revue « MOTS » qui rend la recette maximale ? Quel est alors le montant de la recette ? 𝑅 est un polynôme du 2nd degré, sa courbe représentative est une parabole. Comme 𝑎 = −50 < 0 alors 𝑅 est croissante sur [0 ; 125] et est décroissante sur [125 ; 200]. Coordonnées du sommet : 𝑏 𝛼 = − = 125 2𝑎 𝛽 = 𝑅(𝛼) = 781 250 La recette maximale est atteinte pour 125 abonnés et vaut 𝑅(125) = 781 250 €. Exercice 4 (11 points) 1/ Calculer les cinq premiers termes de la suite (𝑢𝑛 ) définie par : 0 𝑢0 = 2 = 1 1 𝑢1 = 2 = 2 𝑢𝑛 = 2𝑛 2 𝑢2 = 2 = 4 𝑢 3 = 23 = 8 𝑢4 = 24 = 16 2/ Calculer les cinq premiers termes de la suite (𝑣𝑛 ) définie par : 𝑣0 = 6 1 { 𝑣𝑛+1 = 3 − 𝑣𝑛 2 1 2 𝑣3 = 3 − 𝑣2 = 3 − × 3 = 1,5 1 1 𝑣2 = 3 − 2 𝑣1 = 3 − 2 × 0 = 3 1 2 1 2 𝑣4 = 3 − 𝑣3 = 3 − × 1,5 = 2,25 4 1 2 1 𝑣1 = 3 − 2 𝑣0 = 3 − 2 × 6 = 0 Page 1 𝑣0 = 6 Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 3/ Etudier le sens de variation des suites ci-dessous : a/ 𝑢𝑛 = 𝑛² + 4𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) 𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1)² + 4(𝑛 + 1) – 𝑛² – 4𝑛 = 𝑛² + 2𝑛 + 1 + 4𝑛 + 4 – 𝑛² – 4𝑛 = 2𝑛 + 5 Or 𝑛 ∈ ℕ donc 𝑛 ≥ 0 i.e. 2𝑛 ≥ 0 d’où 2𝑛 + 5 > 0 donc 𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 > 0 donc la suite est strictement croissante. b/ 𝑣𝑛 = − 3𝑛 2 1 + 4 (𝑛 ∈ ℕ) 𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 = = − 6(𝑛 + 1) 1 6𝑛 1 −6𝑛 − 6 + 1 + 6𝑛 − 1 −6 −3 + + − = = = = −1,5 < 0 4 4 4 4 4 4 2 Donc 𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 < 0 donc la suite est strictement décroissante. c/ 𝑤𝑛 = −3𝑛² − 4𝑛 + 5 On considère la fonction associée : à l’aide d’une fonction judicieusement choisie. 𝑓(𝑥) = −3𝑥² − 4𝑥 + 5 C’est un polynôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas car 𝑎 = −3 < 0. Coordonnées du sommet : −(−4) 2 𝛼 = = − 3 (2 × (−3)) 19 𝛽 = 𝑓(𝛼) = 3 2 2 Donc sur ] − ∞ ; − ] la courbe représentative est croissante et sur [− ; +∞ [ la courbe est représentative 3 3 est décroissante. Mais 𝑛 ∈ ℕ donc sur ℝ+ , la courbe est strictement décroissante, donc la suite est strictement décroissante. 4/ Compléter la suite de nombres en justifiant votre réponse : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 … Dans la suite de nombres : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 , on constate que chaque terme est obtenu par l’addition de ses deux prédécesseurs donc les nombres qui suivent sont : 21 – 34 – 55 … 5/ Parmi les suites ci-dessous, définies pour tout 𝑛 ∈ ℕ, reconnaître les suites arithmétiques (Justifier votre réponse et déterminer la raison et le premier terme) a/ 𝑢𝑛 = 9 − 𝑛 𝑢𝑛+1 – 𝑢𝑛 = 9 – (𝑛 + 1) – (9 – 𝑛) = 9 – 𝑛 – 1 – 9 + 𝑛 = – 1 La différence est indépendante de 𝑛. La suite (𝑢𝑛 ) est donc arithmétique de raison – 𝟏 et de premier terme : 𝑢0 = 9. −𝑛 2 𝑣𝑛+1 – 𝑣𝑛 = − La différence est indépendante de 𝑛. 𝑛 + 1 𝑛 −𝑛 − 1 + 𝑛 −1 + = = 2 2 2 2 5 = Page b/ 𝑣𝑛 Nom : …………………………………………………………….. Prénom : ……………………………………………………………. La suite (𝑣𝑛 ) est donc arithmétique de raison –𝟏 𝟐 1ère ES Jeudi 21 janvier 2016 et de premier terme : 𝑣0 = 0. 6/ Déterminer la raison, le premier terme 𝑢0 et le terme général de la suite arithmétique vérifiant : 𝑢20 = 2 et 𝑢30 = 7 La suite étant arithmétique, on sait que : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑚 + (𝑛 − 𝑚)𝑟 Donc la raison de cette suite est: 𝑢30 − 𝑢20 = (30 − 20)𝑟 ⇔ 7 − 2 = 10𝑟 ⇔ 𝑟= Déterminons le premier terme. On sait que : 1 2 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 Donc : 𝑢20 = 𝑢0 + 20𝑟 ⇔ 2 = 𝑢0 + 20 × 1 2 ⇔ 2 = 𝑢0 + 10 ⇔ 𝑢0 = −8 7/ Soit la suite (𝑢𝑛 ) définie par : 𝑢𝑛 = 𝑛² − 2𝑛 + 3 Calculer 𝑢𝑛+1 puis 𝑢2𝑛 . 𝒖𝒏+𝟏 = (𝑛 + 1)2 − 2(𝑛 + 1) + 3 = 𝑛² + 2𝑛 + 1 − 2𝑛 − 2 + 3 = 𝒏² + 𝟐 𝒖𝟐𝒏 = (2𝑛)2 − 2(2𝑛) + 3 = 𝟒𝒏² − 𝟒𝒏 + 𝟑 8/ Représenter dans le repère ci-joint, les 5 premiers termes de la suite (𝑤𝑛 ) définie par : 𝑤3 = 0,25 𝑤4 = 2 6 𝑤0 = 0,25 × 0 − 2 = −2 De même : 𝑤2 = −1 𝑤𝑛 = 0,25𝑛² − 2 2 𝑤1 = 0,25 × 1 − 2 = −1,75 Page 2