pppp - al9ahira

Mines MP 2013 { Epreuve
de Mathematiques 2
A. Produit scalaire de matrices
La i-ieme composante d'un vecteur x de Rn dans une base orthonormee (e1 ; e2 ; : : : ; en ) est donnee par
< x ; ei >. En particulier, < Aei ; ei > represente la i-ieme composante du vecteur f (ei ) ou f designe
n
P
< Aei ; ei > est la somme des elements
l'endomorphisme de Rn canoniquement associe a A. Par suite,
i=1
diagonaux de la matrice de f dans la base (e1 ; e2 ; : : : ; en ); c'est-a-dire la trace de f; encore egale a tr (A) par
invariance de la trace par changement de base.
2) { L'application < ; > est symetrique car 8A; B 2 Mn (R); tr (t AB ) = tr (t (t AB )) = tr (t BA).
{ Cette application etant clairement lineaire a droite par linearite de la trace, elle est bilineaire.
n
P
{ Soit (e1 ; e2 ; : : : ; en ) une base orthonormee de Rn . Pour tout A 2 Mn (R); on a < A ; A > = < tAAei ; ei >
1)
n
P
n
P
i=1
2
k Aei k > 0 avec egalite si et seulement si 8i 2 [ 1; n] ; Aei = 0;
soit
< Aei ; Aei >; d'ou < A ; A > =
i=1
i=1
c'est-a-dire ssi A est nulle.
L'application < ; > denit donc un produit scalaire sur Mn (R).
3) On rappelle (propriete du cours ou denition selon le point de vue adopte) qu'une matrice symetrique reelle A
est positive si et seulement si 8x 2 Rn ; < Ax ; x >> 0.
Toute matrice symetrique reelle etant diagonalisable dans On (R) d'apres le theoreme spectral, il existe une base
orthonormee (e1 ; e2 ; : : : ; en ) de Rn formee de vecteurs propres de B . En appelant i la valeur propre de B
associee au vecteur ei ; il vient :
< A ; B > = tr (tAB ) =
n
X
i=1
< tABei ; ei > =
n
X
i=1
i < Aei ; ei >;
quantite qui est bien positive puisque 8x 2 Rn ; < Ax ; x >> 0 et 8i 2 [ 1; n] ; i > 0.
B. Decomposition polaire
4)
{ La matrice tAA est symetrique reelle de maniere immediate. De plus, pour tout vecteur x 2 Rn ; on a
<tAAx ; x > = k Ax k2 > 0 donc tAA est positive.
{ Soit 1 ; 2 ; : : : ; n les valeurs propres de tAA; avec 0 6 1 6 2 6 6 n ; et (e1 ; e2 ; : : : ; en ) une base
n
P
orthonormee de vecteurs propres associes. Alors, pour tout vecteur unitaire X = xi ei de Rn ; on a
p
k AX k2 =
n
X
i=1
i x2i
6
n k X k2 = n ;
i=1
p
p
d'ou k A k2 6 n . Par ailleurs, le vecteur unitaire en realise l'egalite k Aen k = n ; d'ou au nal k A k2 = n .
5) f f etant autoadjoint positif (puisque sa matrice tAA dans une base orthonormee est symetrique positive),
il se diagonalise danspune base orthonormee que l'on notera encore (e1 ; e2 ; : : : ; en ). L'endomorphisme deni par
8i 2 [ 1; n] ; h(ei ) = i ei est alors autoadjoint positif et, par construction, f f = h2 .
6) Si x 2 Ker h~ ; alors il existe y 2 E tel que x = h(y ) et h(x) = 0.
Or, par construction de h; on a clairement rg (h) = rg (h2 ) et, comme Ker h Ker h2 ; il vient Ker h = Ker h2
d'apres le theoreme du rang. L'egalite h2 (y) = 0 entra^ne donc h(y) = 0, d'ou x = 0.
L'endomorphisme h~ est donc injectif et comme Im h est un espace vectoriel de dimension nie, h~ denit bien
un automorphisme de Im h.
7) { Pour tout x 2 Rn ;
k f (x) k2 = < f f (x) ; x > = < h2 (x) ; x > = < h h(x) ; x > = k h(x) k2 ;
d'ou k h(x) k=k f (x) k.
{ Il en ressort en particulier que Ker h = Ker f; d'ou dim Ker h = dim Ker f = dim(Im f )? .
{ N'importe quelle application lineaire v envoyant une base orthonormee de Ker h sur une base orthonormee
de (Im f )? conserve alors la norme donc realise un isomorphisme de Ker h sur (Im f )? .
1
{ On observe pour commencer que Ker h = (Im h )? = (Im h)? .
{ Les sous-espaces Ker h et Im h d'une part, et Im f et (Im f )? d'autre part, etant supplementaires orthogonaux
dans E , il existe un unique endomorphisme u de E qui concide avec f h~ 1 sur Im h et v sur Ker h.
{ De plus, l'application f h~ 1 conserve la norme : en eet, 8x 2 Im h; k f h~ 1 (x) k=k h h~ 1 (x) k=k x k.
Comme v conserve egalement la norme des vecteurs de Ker h; le theoreme de Pythagore entra^ne que 8x 2 E;
k u(x) k = k x k, ce qui montre que u appartient a O(E ).
{ Enn, les endomorphismes f et u h concident par construction sur les sous-espaces supplementaires Ker h
et Im h; donc sont egaux.
9) Il s'agit de l'interpretation matricielle du resultat de la question 8) : si f est l'endomorphisme canoniquement
associe a A; la relation f = u h se traduit matriciellement par A = US; avec U 2 On (R) et S symetrique
positive (puisque la base canonique est orthonormee pour le produit scalaire usuel).
8)
C. Projete sur un convexe compact
{ L'application dx : h 7 ! k x h k est 1-lipschitzienne donc continue de E dans R. Comme H est compact,
dx est bornee et atteint sa borne inferieure sur H d'apres le theoreme des bornes, d'ou l'existence de h0 2 H
tel que d(x; H ) =k x h0 k.
{ Si h1 6= h0 est un autre element de H tel que d(x; H ) =k x h1 k, alors d'apres le theoreme de la mediane,
k x 21 (h0 + h1 ) k2 = 12 k x h0 k2 + 21 k x h1 k2 14 k h0 h1 k2 < d(x; H ) 2 :
Or 21 (h0 + h1 ) 2 H vu que H est convexe, ce qui conduit a une contradiction avec la denition de la borne
inferieure.
11) { Utilisons cette fois l'indication de l'enonce. Pour tout h1 2 H et tout t 2 [0; 1]; on a th0 + (1 t)h1 2 H
par convexite de H; donc q(t) >k x h0 k2 . En ecrivant q(t) sous la forme k x h0 + (1 t)(h0 h1 ) k2 et en
developpant le carre scalaire, il vient alors :
8t 2 [0; 1[; (1 t): < x h0 ; h0 h1 > + (1 t)2 k h0 h1 k2 > 0:
En divisant par (1 t) > 0 et en faisant tendre t vers 1 par valeurs inferieures, on obtient alors 8h1 2 H;
< x h0 ; h0 h1 >> 0; ce qui equivaut a la condition demandee.
{ Reciproquement, si on a 8h1 2 H; < x h0 ; h0 h1 >> 0; alors 8t 2 [0; 1]; q(t) >k x h0 k2 en remontant
les calculs precedents. En particulier, q(0) > k x h0 k2 , ce qui signie que 8h1 2 H; k x h1 k > k x h0 k et
h0 est bien (l'unique) point de H tel que d(x; H ) = k x h0 k.
10)
Remarque : cette condition signie geometriquement que l'angle forme par les vecteurs x
obtus.
h0 et h
h0 est
D. Theoreme de Caratheodory et compacite
12)
Soit CC (H ) l'ensemble des combinaisons convexes des elements de H . Toute partie convexe de E qui contient
H contenant aussi les combinaisons convexes de leurs elements, on a deja l'inclusion immediate CC (H ) conv(H ).
De plus, H est clairement inclus dans CC (H ) (tout x 2 H s'ecrit x = 1:x) et CC (H ) est convexe. En eet,
p
q
p
P
P
P
si x = i xi 2 CC (H ) et y = j yj 2 CC (H ) (avec 8i 2 [ 1; p] ; i > 0; xi 2 H et i = 1, et de
i=1
j =1
i=1
q
P
m^eme 8j 2 [ 1; q] ; j > 0; yj 2 H et j = 1) et si 2 [0; 1];
j =1
:x + (1 ):y =
p
X
i=1
i xi +
q
X
j =1
(1 )j yj
p
P
q
P
donc :x + (1 ):y 2 H vu que les scalaires i et (1 )j sont positifs et que i + (1 )j = 1.
i=1
j =1
CC (H ) est donc le plus petit convexe de E contenant H; d'ou l'egalite CC (H ) = conv(H ).
13) La famille (x2 x1 ; x3 x1 ; : : : ; xp x1 ) est liee car de cardinal p 1 > n + 1 dans un espace vectoriel de
p
P
dimension n. Il existe donc des reels non tous nuls 2 ; 3 ; : : : ; p tels que i (xi x1 ) = 0. En posant
1 =
p
P
i=2
i ; on a bien trouve p reels non tous nuls tels que
2
i=2
p
X
i=1
14)
i xi = 0
et
p
X
i=1
i = 0:
Pour un indice i xe, l'ensemble des reels tels que i i > 0 est un intervalle ferme contenant 0, egal a
R si i = 0; borne superieurement si i > 0 et borne inferieurement si i < 0. Comme l'un au moins des i
est strictement positif et l'un au moins strictement negatif, l'ensemble f 2 R = 8i 2 [ 1; p] ; i i > 0g est
un segment. Choisissons pour l'une de ses bornes : il existe alors un indice j 2 [ 1; p] tel que j j = 0
et, pour tout i 6= j; i i > 0. De plus,
x =
p
X
i=1
(i i )xi
et
p
X
i=1
(i i ) = 1:
Il en ressort que x est combinaison convexe d'au plus p 1 elements de H . Si ce nombre d'elements est encore
superieur ou egal a n + 2; on peut recommencer le raisonnement et, par une iteration nie, on se ramene a une
combinaison convexe d'au plus n + 1 elements de H .
15) L'ensemble est bien un compact de Rn+1 : il est en eet ferme (comme intersection de demi-espaces fermes
et d'un hyperplan ane) et borne (si (t1 ; t2 ; : : : ; tn+1 2 ; alors 8i 2 [ 1; n + 1]]; 0 6 ti 6 1).
D'apres les questions 12) et 14), conv(H ) est precisement l'ensemble des combinaisons convexes d'au plus
n + 1 points de H; donc l'image de H n+1 par l'application
: (t1 ; t2 ; : : : ; tn+1 ); (x1 ; x2 ; : : : ; xn+1 )
7!
nX
+1
i=1
ti xi :
(A noter qu'une combinaison convexe de moins de n + 1 points s'obtient aussi de la sorte, en prenant certains
ti nuls).
L'application etant continue sur Rn+1 E n+1 (car par exemple bilineaire en dimension nie) et H n+1
etant compact en tant que produit de compacts, conv(H ) = H n+1 est donc un compact de E .
On (R)
On (R) est un ferme de Mn (R) comme image reciproque du ferme fIn g par l'application continue M 7 ! tMM .
E. Enveloppe convexe de
16)
Il est de plus borne car tout vecteur colonne d'une matrice orthogonale est de norme euclidienne egale a 1.
On (R) est ainsi un compact de Mn (R) et, d'apres le resultat de la question 15), son enveloppe convexe
conv(On (R)) est donc egalement un compact de Mn (R).
17) Soit M une matrice de On (R). Alors, pour tout vecteur unitaire X de Rn ; on a k MX k= 1; d'ou k M k2 = 1.
L'ensemble On (R) est donc contenu dans la boule unite B de Mn (R); k : k2 et, comme la boule B est
convexe, il vient conv(On (R)) B.
18) D'apres la question 11), le projete N de M sur conv(On (R)) est caracterise par
8V 2 conv(On (R)); < M N ; V N > 6 0;
ce qui se traduit par l'inegalite tr (AV ) 6 tr (AM ). De plus, comme M 62 conv(On (R)),
tr (AN ) tr (AM ) = < M N ; N > < M N ; M > = k M N k22 < 0:
En ecrivant A sous la forme US avec U 2 On (R) et S symetrique positive, il vient 8V 2 conv(On (R));
tr (USV ) < tr (USM ). En particulier, pour V =t U; on obtient
tr (US t U ) = tr (t UUS ) = tr (S ) < tr (USM ):
19) S etant symetrique reelle, il existe une base orthonormee (e1 ; e2 ; : : : ; en ) formee de vecteurs propres de S .
En posant Sei = i ei (avec i > 0), l'inegalite de Cauchy-Schwarz donne alors :
< MUSei ; ei > = i < MUei ; ei > 6 i k MUei k k ei k 6 i k Uei k k ei k = i k ei k2 = i :
En appliquant la question 1),
tr (MUS ) =
20)
n
X
i=1
< MUSei ; ei > 6
n
X
i=1
i = tr (S ):
Or tr (MUS ) = tr (USM ) : les inegalites des questions 18) et 19) conduisent alors a tr (S ) < tr (S ).
L'hypothese M 62 conv(On (R)) amenant a une contradiction, on en deduit que B conv(On (R)), d'ou nalement conv(On (R)) = B d'apres le 16).
3
F. Points extremaux
D'apres l'inegalite triangulaire,
k X k = k UX k = 12 k V X + W X k 6 12 (k V X k + k W X k) = 12 (k X k + k X k) = k X k :
La norme k : k etant euclidienne, les vecteurs V X et W X sont donc colineaires (et de m^eme sens).
Il en resulte que t V V X = X et t V W X sont colineaires pour tout vecteur X 2 Rn ce qui entra^ne, par un
resultat classique que nous admettrons a ce stade du probleme, que t V W est une matrice scalaire de la forme
In . On obtient alors W = V mais, comme V et W sont orthogonales, on a necessairement = 1.
Le cas = 1 est impossible (car on aurait U = 0). Il reste donc = 1; ce qui conduit a U = V = W;
c'est-a-dire au fait que U soit extremal dans B.
22) En utilisant a nouveau la decomposition polaire, A s'ecrit sous la forme US avec U 2 On (R) et S symetrique
positive.
Or, d'apres le theoreme spectral, il existe Q 2 On (R) et D diagonale a coecients diagonaux positifs tels que
S = Q 1 DQ.
On obtient alors A = (UQ 1 )DQ et il sut de poser P = UQ 1 2 On (R) pour conclure.
23) { Soit X = Q 1 ei ; ou ei designe le i-ieme vecteur de la base canonique de Rn . On a alors k QX k=k X k= 1
et comme A appartient a B; il vient k AX k6 1.
Or AX = P Dei = P (di ei ) donc, comme di est positif, k AX k = di k P ei k = di k ei k = di , ce qui conduit a
di 6 1.
{ Si tous les coecients di valaient 1; D serait egale a la matrice identite In ; d'ou A = P Q 2 On (R) :
impossible. Il existe donc un indice j 2 [ 1; n] tel que dj < 1.
24) Soit = 1 j avec les notations du 23). Appelons D , resp. D ; la matrice diagonale dont les coecients
diagonaux sont les m^emes que ceux de D; a l'exception du j -ieme qui vaut dj + ; resp. dj . Posons enn
A = P D Q et A = P D Q.
Pour tout vecteur unitaire X de Rn ;
k A X k = k P D QX k = k D QX k 6 k D k2 : k QX k = k D k2 : k X k = k D k2 :
Or, d'apres le 4), k D k2 6 1 etant donne que D est symetrique positive et que ses valeurs propres sont
majorees par 1.
En observant que k D k2 = kjD jk2 ; ou jD j est la matrice diagonale dont les coecients sont les valeurs
absolues de ceux de D ; on obtient de m^eme k D k2 6 1.
On a ainsi construit deux matrices A et A de B telles que A = 21 A + A et A 6= A : la matrice A
n'est donc pas extremale.
Conclusion : les points extremaux de B sont exactement les matrices orthogonales A 2 On (R).
21)
4