Chapitre 1 Arithmétique Partie 4 : Congruences Activité préparatoire Le numéro INSEE ou numéro de Sécurité Sociale est formé de 15 chiffres déterminés, pour chaque individu de la façon suivante : 1 chiffre pour le sexe : Homme 1 ; Femme 2 2 chiffres qui sont les deux derniers chiffres de l'année de naissance 2 chiffres qui sont le mois de naissance 2 chiffres qui sont le département de naissance 3 chiffres codant la commune de naissance 3 chiffres associés au numéro d'inscription sur le registre des naissances 2 chiffres correspondant à une clé de contrôle La clé de contrôle est ainsi déterminée : On prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres, on cherche son reste r dans la division par 97, la clé est alors égale au nombre 97 - r écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0) 1/ Si vous avez connaissance de votre numéro INSEE ou de celui d'un parent, vérifier la clé de contrôle. Sinon vérifier la clé de contrôle associée au numéro 2 85 05 33 565 001 89 2/ Le numéro précédent a été retranscrit 2 85 05 33 569 001 89 (erreur sur le 10ième chiffre) Montrer qu'alors la clé de contrôle permet de détecter l'erreur. Vérifier sur un autre exemple choisi par vous qu'une erreur sur un des chiffres va être détectée par la clé de contrôle. Définition (Congruence) Soit n un entier naturel. Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a est congru à b modulo n, si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On notera a ≡ b (modulo n) ou a ≡ b (n) Remarques • a ≡ b (n) ⇔ b ≡ a (n) La relation de congruence est symétrique. • Si a ≡ r (n) et si 0 ≤ r < n, alors r est le reste de la division euclidienne de a par n • Si a ≡ 0 (n) alors n divise a ! Définition équivalente Soit n un entier naturel. Soient a et b deux entiers relatifs. a ≡ b (n) si et seulement si a - b est divisible par n TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 1 Démonstration : • Si a et b ont le même reste dans la division par n alors a = n × q + r et b = n × q′ + r avec q et q′ entiers relatifs et r entier naturel. On soustrait membre à membre ces eux égalités pour obtenir a − b = n × ( q − q′ ) et comme q − q′ est entier relatif, n divise a – b. • Si maintenant n divise a – b. Effectuons la division euclidienne de a par n et celle de b par n. Il existe ainsi q et q′ entiers relatifs et r et r ′ entier naturel tels que a = n × q + r et b = n × q′ + r ′ avec 0 ≤ r < n et 0 ≤ r ′ < n et par suite − n < r − r ′ < n (P1). En effectuant la différence membre à membre des égalités précédentes et après réorganisation, on obtient : a − b + n ( q′ − q ) = r − r ′ . Le membre de gauche de l’égalité précédente est divisible par n car a − b l’est par hypothèse et le terme n ( q′ − q ) est de la forme nk ; k ∈ ℤ et est par conséquent divisible par n, d’où le résultat par somme. Par égalité r − r ′ est un multiple de n. En considérant (P1) et du fait que le seul multiple de n strictement compris entre –n et n est 0 on conclut que r − r ′ = 0 ⇒ r = r ′ donc a et b ont même reste dans la division euclidienne par n. Propriétés : a, b, c, a′ , b′ sont cinq entiers relatifs et n est un entier naturel • Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n) (transitivité de la relation de congruence) • Si a ≡ b (n) et a′ ≡ b′ ( n ) alors a + a′ ≡ b + b′ ( n ) ; a − a′ ≡ b − b′ ( n ) ; a × a′ ≡ b × b′ ( n ) et pour tout entier naturel non nul p, a p ≡ b p ( n ) . Si a ≡ b (n) alors pour tout c ∈ ℤ , a + c ≡ b + c ( n ) ; a − c ≡ b − c ( n ) et a × c ≡ b × c ( n ) • Démonstration • • Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a - b et b - c sont divisibles par n donc par somme a – c est divisible par n donc a ≡ c (n). Si a ≡ b (n) et a′ ≡ b′ ( n ) alors a − b et a′ − b′ sont divisibles par n donc par somme a + a′ − ( b + b′ ) est divisible par n, par suite a + a′ ≡ b + b′ ( n ) . On montre de même par différence que a − a′ ≡ b − b′ ( n ) . Ensuite puisqu’il existe deux entiers relatifs k et k ′ tels que a − b = k × n ⇒ a = b + kn et de même a′ = b′ + k ′ × n , on obtient par produit membres à membres que : aa′ = bb′ + bk ′n + b′kn + kk ′n 2 = bb′ + ( bk ′ + b′k + kk ′n ) n . Posons K = bk ′ + b′k + kk ′n , K est entier relatif car tous les termes qui le composent le sont, ainsi aa′ = bb′ + Kn ⇒ aa′ − bb′ = Kn avec K ∈ ℤ , ainsi aa′ − bb′ est divisible par n et finalement a × a′ ≡ b × b′ ( n ) . Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul p, a p ≡ b p ( n ) . Amorce : Pour p = 1, a1 ≡ b1 ( n ) ⇔ a ≡ b ( n ) ce qui est vrai par hypothèse. Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang p, c'est-à-dire que a p ≡ b p ( n ) , comme on a de plus a ≡ b ( n ) alors par propriété du produit démontrée précédemment : a × a p ≡ b × b p ( n ) et finalement a p +1 ≡ b p +1 ( n ) qui démontre la propriété au rang p+1. Conclusion : On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nul p : a p ≡ b p ( n ) . TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 2 • ( a + c ) − ( b + c ) = a − b est divisible par n car par hypothèse a ≡ b (n), donc a + c ≡ b + c ( n ) . On montre de manière analogue que a − c ≡ b − c ( n ) . Et si maintenant a − b est divisible par n alors pour tout entier relatif c, c × ( a − b ) = a × c − b × c est divisible par n comme multiple de a – b qui est lui-même multiple de n. On vient de montrer que a × c ≡ b × c ( n ) Remarque La relation de congruence est compatible avec l'addition, la soustraction et la multiplication. Attention, la relation de congruence n'est pas compatible avec la division ni avec la racine carrée. ! Par exemple 22 ≡ 8 (2) , mais on ne peut pas diviser par 2 pour affirmer que 11 est congru à 4 modulo 2 ou encore 9 ≡ 4 (5) , mais on ne peut pas prendre la racine carrée pour affirmer que 3 est congru à 2 modulo 5 On ne pourra en général pas simplifier dans une congruence comme on simplifie dans une égalité sans prendre d’immenses précautions : Une congruence du type 2x ≡ 2y (n) ne pourra pas, en général, être simplifiée par 2. Exemples • Soit n un entier naturel, démontrons : ∀n ∈ ℕ, 8n − 1 est divisible par 7 : 8 ≡ 1( 7 ) ⇒ ∀n ∈ ℕ, 8n ≡ 1n ≡ 1( 7 ) ⇒ ∀n ∈ ℕ, 8n − 1 ≡ 0 ( 7 ) donc 7 divise 8n − 1 . On peut aussi démontrer ce résultat par récurrence comme déjà vu au chapitre 0. • Déterminer le reste dans la division par 7 de 2242 − 1 . Remarquons déjà que 23 = 8 ≡ 1( 7 ) . Effectuons la division euclidienne de 242 par 3, on obtient : 242 = 3 × 80 + 2. 80 80 On a donc 2242 = 23×80 + 2 = ( 23 ) × 22 = ( 23 ) × 4 . 80 80 Finalement 23 ≡ 1( 7 ) ⇒ ( 23 ) ≡ 180 ≡ 1( 7 ) ⇒ ( 23 ) × 4 ≡ 4 ( 7 ) et finalement 2242 − 1 ≡ 4 − 1 ≡ 3 ( 7 ) . Comme 0 ≤ 4 < 7 , le reste de la division euclidienne de 2242 − 1 par 7 est 3. • Démontrons que pour tout entier n, 2n 2 + n + 1 n'est pas divisible par 3. Il n’y a dans le que 3 cas possibles : si n ≡ 0 ( 3) , 2n 2 + n + 1 ≡ 2 × 02 + 0 + 1 ≡ 1( 3) donc 2n 2 + n + 1 n’est pas divisible par 3 si n ≡ 1( 3) , 2n 2 + n + 1 ≡ 2 × 12 + 1 + 1 ≡ 4 ≡ 1( 3) donc 2n 2 + n + 1 n’est pas divisible par 3 si n ≡ 2 ( 3) , 2n 2 + n + 1 ≡ 2 × 22 + 2 + 1 ≡ 11 ≡ 2 ( 3) donc 2n 2 + n + 1 n’est pas divisible par 3 On vient de traiter tous les cas possibles et on peut donc conclure que pour tout entier n, 2n 2 + n + 1 n’est pas divisible par 3. Exercices sur les congruences Exercice 1 Soit n un entier naturel 1/ Démontrer que si n ≡ 2 (5) ou si n ≡ 3 (5), alors n 2 + 1 est un multiple de 5. 2/ Démontrer que pour tout entier naturel n : n ( n 4 − 1) est un multiple 5. TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 3 Exercice 2 Démontrer que pour tout entier naturel n, 6n + 13n+1 est divisible par 7. Exercice 3 1/ Démontrer que n3 + 3n − 10 est divisible par 13 ⇔ n ≡ 3 (13) ou n ≡ 5 (13) 2/ Déterminer le plus petit entier supérieur ou égal à 2500 pour lequel n3 + 3n − 10 est divisible par 13. Exercice 4 Montrer qu’un nombre est divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement si la somme des chiffres le composant est divisible par 3 (respectivement par 9) Exercice 5 1/ Donner suivant les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne de 2n par 5. 2/ En déduire le reste de la division euclidienne par 5 de 23421 3/ Donner le reste de la division euclidienne par 5 de 32123421 4/ Donner le reste de la division euclidienne par 5 de 2223811 Exercice 6 9 1/ Montrer qu’un nombre A = an an −1 ...a1a0 écrit en base 9 est divisible par 8 si et seulement si la somme de ses chiffres S = a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an est divisible par 8. 5 2/ Montrer que A = xyz est divisible par 6 si et seulement si x − y + z est divisible par 6. Exercice 7 a/ Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. b/ Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de 82010 + 2 ? Exercice 8 1/ quel est le reste de la division par 8 du nombre 7 n où n est un entier naturel. 2/ Pour quels entiers naturels n le nombre A = n × 7 n + 4n + 1 est-il divisible par 8 ? Exercice 9 1/ Etudier les restes des divisions par 9 des puissances successives de 2. 2/ Démontrer que le nombre B = 22 n ( 22 n +1 − 1) − 1 est divisible par 9 pour tout entier naturel n. Exercice 10 Déterminer les restes des divisions de 37 n par 11 où n est un entier naturel quelconque. Exercice 11 Montrer qu’il n’existe pas d’entier relatif n tel que n 2 + n + 1 ≡ 0 ( 5 ) . Exercice 13 5 8 Un entier naturel N s'écrit abcca en base 5 et bbab en base 8. 1/ Montrer que 309a + 15c = 226b 2/ Montrer que b ≡ 0 ( 3) . En déduire b. 3/ Montrer que a ≡ 2 ( 5 ) . En déduire a et c. 4/ Ecrire N dans le système décimal. TS Spé Lycée Beaussier Mathématiques 4