Chapitre 1 Arithmétique Partie 4 : Congruences

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1
Chapitre 1
Arithmétique
Partie 4 : Congruences
Activité préparatoire
Le numéro INSEE ou numéro de Sécurité Sociale est formé de 15 chiffres déterminés, pour
chaque individu de la façon suivante :
1 chiffre pour le sexe : Homme 1 ; Femme 2
2 chiffres qui sont les deux derniers chiffres de l'année de naissance
2 chiffres qui sont le mois de naissance
2 chiffres qui sont le département de naissance
3 chiffres codant la commune de naissance
3 chiffres associés au numéro d'inscription sur le registre des naissances
2 chiffres correspondant à une clé de contrôle
La clé de contrôle est ainsi déterminée :
On prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres, on cherche son reste r dans la division
par 97, la clé est alors égale au nombre 97 - r écrit avec deux chiffres (le premier étant
éventuellement un 0)
1/ Si vous avez connaissance de votre numéro INSEE ou de celui d'un parent, vérifier la clé
de contrôle. Sinon vérifier la clé de contrôle associée au numéro 2 85 05 33 565 001 89
2/ Le numéro précédent a été retranscrit 2 85 05 33 569 001 89 (erreur sur le 10ième chiffre)
Montrer qu'alors la clé de contrôle permet de détecter l'erreur.
Vérifier sur un autre exemple choisi par vous qu'une erreur sur un des chiffres va être
détectée par la clé de contrôle.
Définition (Congruence)
Soit n un entier naturel.
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a est congru à b modulo n, si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
On notera a
≡
b (modulo n) ou a
≡
b (n)
Remarques
• a
≡
b (n) ⇔ b
≡
a (n) La relation de congruence est symétrique.
• Si a
≡
r (n) et si 0 ≤ r < n, alors r est le reste de la division euclidienne de a par n
• Si a
≡
0 (n) alors n divise a
Définition équivalente
Soit n un entier naturel.
Soient a et b deux entiers relatifs.
a
≡
b (n) si et seulement si a - b est divisible par n
!

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2
Démonstration :
• Si a et b ont le même reste dans la division par n alors
et
a n q r b n q r
′
= × + = × +
avec q
et
q
′
entiers relatifs et r entier naturel. On soustrait membre à membre ces eux égalités
pour obtenir
(
)
a b n q q
′
− = × − et comme
q q
′
−
est entier relatif, n divise a – b.
• Si maintenant n divise a – b. Effectuons la division euclidienne de a par n et celle de b
par n. Il existe ainsi q et
q
′
entiers relatifs et r et
r
′
entier naturel tels
que
et
a n q r b n q r
′ ′
= × + = × +
avec 0
r n
≤ <
et 0
r n
′
≤ <
et par suite
n r r n
′
− < − <
(P1) .
En effectuant la différence membre à membre des égalités précédentes et après
réorganisation, on obtient :
(
)
a b n q q r r
′ ′
− + − = −
. Le membre de gauche de l’égalité
précédente est divisible par n car
a b
−
l’est par hypothèse et le terme
(
)
n q q
′
−
est de la
forme
; nk k
∈
ℤ
et est par conséquent divisible par n, d’où le résultat par somme. Par
égalité
r r
′
−
est un multiple de n. En considérant (P1) et du fait que le seul multiple de n
strictement compris entre –n et n est 0 on conclut que
0
r r r r
′ ′
− = ⇒ =
donc a et b ont
même reste dans la division euclidienne par n.
Propriétés :
a, b, c,
a
′
,
b
′
sont cinq entiers relatifs et n est un entier naturel
• Si a
≡
b (n) et b
≡
c (n) alors a
≡
c (n) (transitivité de la relation de congruence)
• Si a
≡
b (n) et
(
)
a b n
′ ′
≡ alors
(
)
a a b b n
′ ′
+ ≡ + ;
(
)
a a b b n
′ ′
− ≡ − ;
(
)
a a b b n
′ ′
× ≡ ×
et pour tout entier naturel non nul p,
(
)
p p
a b n
≡ .
• Si a
≡
b (n) alors pour tout c
∈
ℤ
,
(
)
a c b c n
+ ≡ + ;
(
)
a c b c n
− ≡ − et
(
)
a c b c n
× ≡ ×
Démonstration
• Si a
≡
b (n) et b
≡
c (n) alors a - b et b - c sont divisibles par n donc par somme a – c
est divisible par n donc a
≡
c (n).
• Si a
≡
b (n) et
(
)
a b n
′ ′
≡ alors
a b
−
et
a b
′ ′
−
sont divisibles par n donc par
somme
(
)
a a b b
′ ′
+ − + est divisible par n, par suite
(
)
a a b b n
′ ′
+ ≡ + .
On montre de même par différence que
(
)
a a b b n
′ ′
− ≡ − .
Ensuite puisqu’il existe deux entiers relatifs k et
k
′
tels que
a b k n a b kn
− = × ⇒ = +
et de
même
a b k n
′ ′ ′
= + ×
, on obtient par produit membres à membres que :
(
)
2
aa bb bk n b kn kk n bb bk b k kk n n
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + + + = + + + .
Posons
K bk b k kk n
′ ′ ′
= + + , K est entier relatif car tous les termes qui le composent le sont,
ainsi
aa bb Kn aa bb Kn
′ ′ ′ ′
= + ⇒ − = avec
K
∈
ℤ
, ainsi
aa bb
′ ′
− est divisible par n et
finalement
(
)
a a b b n
′ ′
× ≡ × .
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul p,
(
)
p p
a b n
≡ .
Amorce : Pour p = 1,
(
)
(
)
1 1
a b n a b n
≡ ⇔ ≡ ce qui est vrai par hypothèse.
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang p, c'est-à-dire que
(
)
p p
a b n
≡ , comme on a
de plus
(
)
a b n
≡ alors par propriété du produit démontrée précédemment :
(
)
p p
a a b b n
× ≡ ×
et finalement
(
)
1 1p p
a b n
+ +
≡ qui démontre la propriété au rang p+1.
Conclusion : On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nul p :
(
)
p p
a b n
≡ .

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3
•
(
)
(
)
a c b c a b
+ − + = −
est divisible par n car par hypothèse a
≡
b (n), donc
(
)
a c b c n
+ ≡ + .
On montre de manière analogue que
(
)
a c b c n
− ≡ − . Et si maintenant
a b
−
est divisible par n
alors pour tout entier relatif c,
(
)
c a b a c b c
× − = × − ×
est divisible par n comme multiple
de a – b qui est lui-même multiple de n. On vient de montrer que
(
)
a c b c n
× ≡ ×
Remarque
La relation de congruence est compatible avec l'addition, la soustraction et la multiplication.
Attention, la relation de congruence n'est pas compatible avec la division ni avec la
racine carrée.
Par exemple 22 ≡ 8 (2) , mais on ne peut pas diviser par 2 pour affirmer que 11 est congru à
4 modulo 2 ou encore 9 ≡ 4 (5) , mais on ne peut pas prendre la racine carrée pour affirmer
que 3 est congru à 2 modulo 5
On ne pourra en général pas simplifier dans une congruence comme on simplifie dans
une égalité sans prendre d’immenses précautions :
Une congruence du type 2x ≡ 2y (n) ne pourra pas, en général, être simplifiée par 2.
Exemples
• Soit n un entier naturel, démontrons :
, 8 1
n
n
∀ ∈ −
ℕ
est divisible par 7 :
(
)
(
)
(
)
8 1 7 , 8 1 1 7 , 8 1 0 7
n n n
n n≡ ⇒ ∀ ∈ ≡ ≡ ⇒ ∀ ∈ − ≡
ℕ ℕ
donc 7 divise
8 1
n
−
.
On peut aussi démontrer ce résultat par récurrence comme déjà vu au chapitre 0.
• Déterminer le reste dans la division par 7 de
242
2 1
−
. Remarquons déjà que
(
)
3
2 8 1 7
= ≡ .
Effectuons la division euclidienne de 242 par 3, on obtient : 242 = 3
×
80 + 2.
On a donc
(
)
(
)
80 80
242 3 80 2 3 2 3
2 2 2 2 2 4
× +
= = × = ×
.
Finalement
( )
(
)
( )
(
)
( )
80 80
3 3 80 3
2 1 7 2 1 1 7 2 4 4 7
≡ ⇒ ≡ ≡ ⇒ × ≡ et finalement
(
)
242
2 1 4 1 3 7
− ≡ − ≡ .
Comme
0 4 7
≤ <
, le reste de la division euclidienne de
242
2 1
−
par 7 est 3.
• Démontrons que pour tout entier n,
2
2 1
n n
+ +
n'est pas divisible par 3.
Il n’y a dans le que 3 cas possibles :
si
(
)
(
)
2 2
0 3 , 2 1 2 0 0 1 1 3
n n n ≡ + + ≡ × + + ≡ donc
2
2 1
n n
+ +
n’est pas divisible par 3
si
(
)
(
)
2 2
1 3 , 2 1 2 1 1 1 4 1 3
n n n ≡ + + ≡ × + + ≡ ≡ donc
2
2 1
n n
+ +
n’est pas divisible par 3
si
(
)
(
)
2 2
2 3 , 2 1 2 2 2 1 11 2 3
n n n ≡ + + ≡ × + + ≡ ≡ donc
2
2 1
n n
+ +
n’est pas divisible par 3
On vient de traiter tous les cas possibles et on peut donc conclure que
pour tout entier n,
2
2 1
n n
+ +
n’est pas divisible par 3.
Exercices sur les congruences
Exercice 1 Soit n un entier naturel
1/ Démontrer que si n ≡ 2 (5) ou si n ≡ 3 (5), alors
2
n
+ 1 est un multiple de 5.
2/ Démontrer que pour tout entier naturel n :
(
)
4
1
n n
−
est un multiple 5.
!

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4
Exercice 2
Démontrer que pour tout entier naturel n,
1
6 13
n n
+
+est divisible par 7.
Exercice 3
1/ Démontrer que
3
3 10
n n
+ −
est divisible par 13 ⇔
(
)
3 13
n ≡ou
(
)
5 13
n ≡
2/ Déterminer le plus petit entier supérieur ou égal à 2500 pour lequel
3
3 10
n n
+ −
est divisible par 13.
Exercice 4
Montrer qu’un nombre est divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement si la somme
des chiffres le composant est divisible par 3 (respectivement par 9)
Exercice 5
1/ Donner suivant les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne de
2
n
par 5.
2/ En déduire le reste de la division euclidienne par 5 de 2
3421
3/ Donner le reste de la division euclidienne par 5 de 3212
3421
4/ Donner le reste de la division euclidienne par 5 de 2223
811
Exercice 6
1/ Montrer qu’un nombre
9
1 1 0
...
n n
A a a a a
−
=écrit en base 9 est divisible par 8 si et seulement si la
somme de ses chiffres
0 1 2 1
...
n n
S a a a a a
−
= + + + + +
est divisible par 8.
2/ Montrer que
5
A xyz
= est divisible par 6 si et seulement si
x y z
− +
est divisible par 6.
Exercice 7
a/ Justifier que 8
2002
+ 2 est divisible par 11.
b/ Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de 8
2010
+ 2 ?
Exercice 8
1/ quel est le reste de la division par 8 du nombre
7
n
où n est un entier naturel.
2/ Pour quels entiers naturels n le nombre
7 4 1
n
A n n
= × + +
est-il divisible par 8 ?
Exercice 9
1/ Etudier les restes des divisions par 9 des puissances successives de 2.
2/ Démontrer que le nombre
(
)
2 2 1
2 2 1 1
n n
B
+
= − −
est divisible par 9 pour tout entier naturel n.
Exercice 10
Déterminer les restes des divisions de
37
n
par 11 où n est un entier naturel quelconque.
Exercice 11
Montrer qu’il n’existe pas d’entier relatif n tel que
(
)
2
1 0 5
n n+ + ≡ .
Exercice 13
Un entier naturel N s'écrit
5
abcca
en base 5 et
8
bbab
en base 8.
1/ Montrer que 309a + 15c = 226b
2/ Montrer que
(
)
0 3
b≡. En déduire b.
3/ Montrer que
(
)
2 5
a≡. En déduire a et c.
4/ Ecrire N dans le système décimal.