SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX

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SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX
Par L.
GUSTAVE D U
PASQUIER
A KEUCI1ATEL (SUISSE)
-^8©-
[1] Les nombres complexes généraux ont été, pour les domaines de l'algèbre et
de l'arithnomie, ce que la géométrie non euclidienne fut pour la science géométrique : l'occasiou de revoir les principes fondamentaux et le point de départ d'une
extension considérable du champ des recherches. Ici comme là, on reconnut que
certains axiomes qu'on avait crus indispensables ne sont point logiquement nécessaires. Dans un système de nombres complexes généraux de la forme
x
= œ0e0 + xiei + . . . +
xHeH(l),
où les x\ sont des nombres réels d'ailleurs quelconques, dits les coordonnées du
complexe x, et les e\ des symboles dits unités relatives, nous supposons définies :
i) L'égalité de deux complexes par l'égalité des coordonnées correspondantes;
2) L'addition de deux complexes par l'addition des coordonnées correspondantes.
Il en résulte de suite qu'elle est associative et commutative, et que son opération
inverse la soustraction, toujours possible et univoque, s'opère par la soustraction
des coordonnées correspondantes.
3) La multiplication par le fait que tout produit ei ek de deux unités relatives
peut être remplacé par une combinaison linéaire et homogène, à coefficients réels,
des mêmes unités relatives,
e e
ik =
2J
Cikl
'ei
(*'» k, = o, 1,2,
...,n).
0) Le signe == (doublement égal) signifie « égal par définition ».
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX.
l65
Au sujet des (n -f- i) s constantes dki qui entrent dans ces (n + i)2 équations de
définition, et qui a priori peuvent être des nombres réels quelconques, nous ferons
l'hypothèse qu'elles remplissent les conditions nécessaires et suffisantes pour que :
i° La multiplication qu'elles définissent soit associative et distributive par rapport
à l'addition. 20 Le système des nombres complexes contienne comme sous-groupe
les nombres réels. 3° Dans le cas particulier où les coordonnées X\ sont telles que
le complexe x rentre dans ledit sous-groupe, l'addition et la multiplication des
complexes se confonde avec l'addition et la multiplication des nombres réels.
Enfiu, nous supposerons dans ce qui suit les coordonnées X\ toutes rationnelles.
Appelons système SD tout système de nombres complexes généraux où ces conditions sont remplies.
Dans le champ ainsi délimité, les complexes x forment, pour chacun des systèmes SD, un corps de nombres désigné par (R) dont on peut se proposer de faire
rarilhnomie. Voici ce que l'on constate.
[2] Dans une infinité de systèmes, l'arithmétique classique se généralise telle
quelle, presque sans difficulté, au corps (R). Subsumant tous ces systèmes sous
un même concept général, j'en formerai une seule famille et dirai qu'ils constituent
la première catégorie arithnomique.
Il se trouve une infinité d'autres systèmes SD, où l'arithmétique ordinaire ne
se généralise pas directement. Déjà dans des cas très simples de nombres bicomplexes a0 -f- a4 et, on a découvert que, par exemple, la décomposition d'un nombre
complexe entier en facteurs premiers, toujours possible, n'est pas toujours univoque. Dès lors, un produit peut être divisible par un nombre entier sans qu'aucun
des facteurs ne le soit. Toute l'arithnomie devient « irrégulière ». Pour rétablir des
lois de divisibilité simples et générales, on érigea la théorie des idéaux. Elle s'est
montrée d'une puissance insoupçonnée. Elle permet, en effet, de rétablir la théorie
du plus grand commun diviseur, l'unicité de décomposition en facteurs premiers, etc.,
dans tous les corps de nombres algébriques dont on s'était occupé jusqu'ici. D'ailleurs, elle est applicable aux systèmes de la première catégorie arithnomique, où
l'on a ainsi le choix entre deux méthodes dont l'une opère avec le concept d'idéal,
tandis que l'autre s'en passe entièrement. De tous les systèmes de nombres SD où
la théorie des idéaux conduit à une arithnomie « régulière », et qui ne font pas
partie de la première catégorie arithnomique, j'en formerai une deuxième famille,
la deuxième catégorie arithnomique.
On a cru jusqu'ici que c'étaient là les deux seules catégories existantes, du moins
dans le champ restreint délimité à l'article 1. Or, il existe une infinité de systèmes
à multiplication associative, commutative' même, distributive par rapport à l'addition et contenant comme sous-groupe les nombres naturels, où même la théorie
166
G. DU PASQUIER.
des idéaux ne conduit pas à une arithmétique régulière. Si a désigne un idéal non
principal et qu'on forme la série de ses puissances successives :
a,
a% a3,
...,
a'4,
... ad inf.,
il peut arriver que cette suite, quelque loin qu'on la prolonge, ne contienne aucun
idéal principal. La décomposition d'un idéal en idéaux premiers, toujours possible,
n'est pas toujours univoque.
Faisons rentrer tous ces systèmes-là dans une même classe. Elle constituera
la troisième catégorie arithnomique. Son existence est le premier point que je voulais
signaler.
[3] Pour rétablir des lois de divisibilité simples, une seconde méthode, très
différente de la théorie des idéaux, est apte à faire disparaître les anomalies. Elle
consiste à définir d'une manière appropriée le nombre complexe entier.
D'après la définition habituelle, un nombre complexe x est dit « entier », lorsque toutes ses coordonnées sont des nombres entiers ordinaires; x est réputé « non
entier », si l'une au moins de ses coordonnées ne l'est pas. C'est ce que j'appelle
la définition lipschitzienne. Quelque naturelle qu'elle soit ou qu'elle paraisse, elle
n'est pas toujours appropriée. On pourrait citer de nombreux systèmes SD, où
l'arithnomie basée sur cette définition est irrégulière. Or, dans ces cas-là, on peut
rétablir la régularité par un simple changement de définition, en introduisant l'importante notion de domaine holoïde maximal, que je vais brièvement rappeler ici.
J'appelle domaine holoïde tout ensemble (H) de nombres ou de complexes quelconques jouissant des trois propriétés suivantes :
i) L'ensemble (H) contient une infinité d'éléments parmi lesquels le nombre i.
2) On peut effectuer sur ces éléments l'addition, la soustraction et la multiplication, sans restriction et sans jamais sortir dudit domaine (H).
3) Le domaine possède une base finie; en d'autres termes, il est possible de
choisir dans (H) un nombre fini d'éléments, disons tl9 t%, .. ., ttl, tels que l'expression
m
Ji + mJ% + •• • +mJn
reproduise tous les éléments du domaine, et uniquement ceux-là, lorsqu'on fait
parcourir à mit /??„, . . . mn, indépendamment les uns des autres, la suite des nombres entiers, de — 00 à -f- 00.
Un domaine holoïde (H) est dit maximal s'il n'exisle pas, dans le corps de nombres envisagé, un autre domaine holoïde qui contienne tous les éléments de (M)
plus d'autres non contenus dans (M).
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX.
167
Ces quatre propriétés caractérisent les nombres entiers. Aussi posé-je la définition suivante : Un complexe rationnel x est dit entier, s'il fait partie du domaine
holoïde maximal (M) du corps (R); x est réputé non entier, s'il n'est pas contenu
dans (M). Peu importe donc que ses coordonnées X\ soient entières ou fractionnaires.
Par de nombreux exemples, on peut se convaincre qu'une arilhnomie qui est
irrégulière avec la définition lipschitzienne, devient régulière avec la nouvelle définition du nombre complexe entier (*). La définition lipschitzienne, qui a l'avantage
d'être toujours applicable, parce qu'elle s'en tient uniquement à la nature des coordonnées, n'est donc appropriée que dans les cas où l'ensemble des complexes à
coordonnées entières constitue un domaine holoïde maximal (M).
[4] Tous les systèmes SD de nombres complexes ne possèdent pas dans leur
domaine de rationalité (R) un domaine holoïde maximal (M), et l'on rencontre ici
encore trois possibilités.
Premier cas. Le corps (R) contient un seul domaine holoïde maximal. La définition du nombre complexe entier est alors uriivoque et absolue. L'arithmétique qui
en découle est régulière en général; sinon, elle peut être rendue telle par la théorie
des idéaux.
Deuxième cas. Le corps (R) contient plusieurs domaines holoïdes maximaux,
(M),
(Ma).
(M3),
...,
voire même une infinité. La définition du nombre complexe entier est alors plurivoque et relative. Il y a plusieurs arithnomies du corps (R). Quand elles ne sont
pas régulières, la théorie des idéaux permet de rétablir la simplicité arithmétique.
Troisième cas, et c'est un fait surprenant. Il y a des systèmes SD de nombres
complexes sans domaine holoïde maximal (M). On peut dire alors que la définition
du nombre complexe entier reste arbitraire, en un certain sens. Si l'on adopte dans
ce cas la définition lipschitzienne, l'arithnomie qui en découle n'est pas régulière;
en particulier, la décomposition d'un nombre complexe entier en facteurs premiers,
toujours possible, n'est pas toujours univoque.
On appliquera la théorie des idéaux, pour éviter ces anomalies. Or, on constate
qu'elle aussi est impuissante, dans ce cas, à rétablir la régularité. Le système
(4) Les quaternions en fournissent un exemple remarquable. (Voir A. Hurwitz. Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen. Berlin, 1919.) — J'ai indiqué le système le
plus simple possible où ce phénomène se produit. (Voir Nouvelles Annales de Mathêm., IV,
t. XVIII, 1918, « Sur les nombres complexes de deuxième et de troisième espèce », par
L.-G. Du Pasquier.)
168
G. DU PASQUIER.
appartient à la troisième catégorie arithnomique. Dans ces systèmes-là, on ne peut
donc arriver à une arithnomie régulière ni par les idéaux, ni par un changement
de définition du nombre complexe entier.
Cette corrélation remarquable entre deux ordres de faits, absence de domaine
holoïde maximal et inefficacité de la théorie des idéaux, est le second point que je
voulais signaler.
[5] Quels sont les systèmes SD de nombres complexes qui présentent cette singularité? Adoptant la classification usuelle, nous rangerons dans une même classe
tous les systèmes qui ont le même nombre n de coordonnées et sont en outre équivalents entre eux (*), et nous conviendrons de dire qu'ils appartiennent à la même
forme, d'ordre n. Il existe, comme on sait, trois formes d'ordre 2, six formes d'ordre 3,
vingt-quatre formes d'ordre 4, etc.
Pour les formes à deux et à trois unités relatives, j'ai déjà indiqué, après choix
d'un représentant canonique pour chaque forme, quelle est la base du domaine
holoïde le plus général dans le corps (R), et combien de ces domaines holoïdes
sont maximaux (2); je puis donner le résultat analogue pour les formes à quatre
unités relatives.
Les systèmes de nombres complexes dont le corps (R) est dépourvu de domaine
holoïde,maximal paraissent être la grande majorité. Une seule forme d'ordre 2 (sur
les trois existantes) est sans domaine holoïde maximal; par contre, cette singularité
se retrouve dans quatre formes d'ordre 3 (sur les six existantes), et dans dix-huit
formes d'ordre 4 (sur les vingt-quatre existantes). J'indique ci-après, en supprimant.
les démonstrations, six systèmes de nombres tétracomplexes, non dépourvus dedomaine holoïde maximal; chacun d'eux est un représentant d'une infinité de systèmes qui lui sont équivalents au sens de M. Cartan. Ils rentrent tous soit dans la
première, soit dans la deuxième catégorie arithnomique (v. art. 2). Les hypothèses
de l'article 1 étant maintenues, il suffit de définir la multiplication. Je le fais par
un tableau carré à double entrée, indiquant le produit ei ek des deux unités relatives eL et ek à l'intersection de la ligne (file horizontale) qui porte à gauche ei et de
la colonne (file verticale) qui porte en tête ek.
Les n0, nt, rc3 et n:J représentent des nombres entiers ordinaires qui prennent,
de toutes les manières possibles et indépendamment les uns des autres, les valeurs
entières de — ©o à + °°-
(*) Voir l'exposé de M. E. Cartan dans l'Encyclopédie des sciences mathématiques pures et
appliquées, t. I, vol. I, pp. 329-469 ; T, 5 « Nombres complexes », notamment art. 21 et 22.
(2) L.-G. Du Pasquier, « Sur la théorie des nombres complexes à coordonnées rationnelles » (Bulletin de la Sociélé Mathématique de France, t. 48 (1920).
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GENERAUX.
l6g
Les trois premiers systèmes de la liste ci-dessous sont irréductibles et commutatifs. Le complexe e0 + e% y joue le rôle de l'unité principale, de sorte qu'on peut
poser, pour ces trois premiers systèmes :
«. + «,= !.
PREMIER SYSTEME
«.
««
«.
«,
«.
e
,
0
0
«,
e
e.
0
0
e,
0
0
e,
« j
«.
0
0
e3
c„
«0
>
Il possède dans son corps (R) un seul domaine holoïde maximal (M), lequel
est à coordonnées fractionnaire^. Les complexes entiers sont de la forme
^("•^>.+^. + (».^>.+ihEn faisant l'arithmétique de ce système, on introduit a', conjugué de a, de telle
manière que la norme N(a) = aa' soit un nombre réel,
N(a) = /!„ #1,(11, + 7i4)(/ia + n3).
170
G.
DU
PASQUIER.
DEUXIEME SYSTÈME
«.
«.
e,
«J
e.
e
.
e
0
0
e
,
e,
-e.
0
0
ea
0
0
e
,
«.
«,
0
0
«.
eä
.
Son domaine de rationalité (R) possède un seul domaine holoïde maximal (M),
lequel est à coordonnées fractionnaires. Les complexes entiers sont de la forme
/
fh \
n.t
«0 e* + *• «t + l ". + "f"J ** + -7- «.•
TROISIÈME SYSTÈME
e»
«0
e
o
«.
«.
e
.
0
O
— «o
0
0
«3
e,
e,
«.
0
0
«.
«.
0
0
«3
'
e
3
"
—«.
Son domaine de rationalité (R) possède également un seul domaine holoïde
maximal (M), lequel est constitué par l'ensemble des complexes à coordonnées
entières. Les complexes entiers sont donc ici, conformément à la définition lipschitzienne, de la forme
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX.
171
Le QUATRIèME SYSTèME comprend les nombres tétracomplexes
où la multiplication est définie par
e.a = e ; e e=o,
si
A =|=
f*
Q*> [*-* = i, 2, 3).
Ce système, réductible et commutatif, possède un seul domaine holoïde maximal dans le corps (R). C'est l'ensemble des complexes à coordonnées entières. Les
nombres complexes entiers sont donc, ici aussi, de la forme
ft« + «i e* + " A + >VaLe CINQUIèME SYSTèME, constitué par les nombres tétracomplexes
6
. + V 1 + V . + 6 .*..
où la multiplication est définie par les formules
i*± = il = il = —ï;
*.*«== — *.*4 = i, ;
*,*. = —*,«, = *.;
*.** = — *.*. = «.:•
est irréductible et non-commutatif. Son domaine de rationalité (R) contient un seul
domaine holoïde maximal, lequel est à coordonnées fractionnaires. C'est le système
des quaternions. Tout quaternion entier est de la forme
M ^ + » . > + ( T + « - ) ^ ( ^ ".)'Le SIXIèME SYSTèME, formé des nombres tétracomplexes de la forme
avec les règles de multiplication suivantes :
% = %=—*î=ï;
*.*.= — «.*. = '.;
*.*. = — *.*.= — *.:
*.**=—**«*=—*.;
est irréductible et non-commutatif. Il a ceci de particulier que son domaine de rationalité (R) contient une infinité de domaines holoïdes maximaux,
(M,),
(M,),
(M3),
172
G. DU PASQUIER.
L'ensemble des complexes à coordonnées entières, soit le domaine holoïde
(H) =
( I , ï 4 , *,,!,),
n'est pas maximal, de sorte que la définition lipschitzienne conduit à une arithmétique irrégulière. L'un des domaines holoïdes maximaux a comme base
l
-±±, ai,
2
±±±
"
2«
où a 4= o représente un nombre entier positif ou négatif, arbitrairement choisi,
mais fixe. On obtient donc l'une des arithnomies du corps (R) en envisageant comme
nombres entiers tous les complexes de la forme
nt
nt .
/
«,,\ .
;i, .
n. + —
+—
« + ( an. + 2a
—J H- + 2a
—1,.
2
2 t \ et seulement ces complexes-là, où n0, nt, /?a et n3 prennent, de toutes les manières
possibles et indépendamment les unes des autres, les valeurs entières de — 00
à + 00.
[6] Les dix-huit autres formes sont dépourvues de domaine holoïde maximal.
Dans sept d'entre elles, les systèmes sont à multiplication non-commutative; dans
onze, à multiplication commutative. Nous supposerons toujours les coordonnées,
désignées par x0, xt, # a , x3, réelles et en particulier rationnelles.
Le SEPTIèME SYSTèME se compose des complexes
où la multiplication est définie par
e
l = e*'>
e
l =e,
;
e
; = c , e* = e, c\ = c\ * > = e* c\ = e*es=e*
«s = o .
Ce système est réductible et à multiplication commutative.
Dans le HUITIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
e\ = e\ = e% ;
e^cx = etet = e% ;
Le système est réductible.
e\ = c\ e% = exe3 = esei = ctet =
o.
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX.
178
Dans le NEUVIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
< = — e\ = c, ;
e%e9 = cÀe% = e.t ;
e] = exe% = cx ea = e:tet = e%et = o.
Le système est réductible.
Dans le DIXIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
<= ' ;
<\tf, = c%ex = eA;
eAe3 = eiei = e%;
e\ = e; = etea = e3e% =
o.
Le système est réductible et équivalent à celui que définissent les formules
*! = *.;"
<V'a = ea *. = *.;
W* = eSi = W*=W*
= el = el =
o.
Dans le ONZIèME SYSTèME, la multiplication des complexes est commutative et
définie par
eï = — 1 :
el = el = e%et = e9ei = o\
eiet = eûel=ca]
eie.i = e.4ei = — et.
Le système est irréductible.
Dans le DOUXIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
<?ï = e* ;
< = e< ;
< = *, <-\ = * . * , = e,e, = «,*, = e^e.ä = eteq = o.
Le système est réductible.
Dans le TREIZIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
*Î = <V
e e
i * = e*ex = c*'>
e
l = el =
(i
iei
= e3ei = e^ei = e.ie^ = o.
Le système est irréductible.
Dans le QUATORZIèME SYSTèME, la multiplication n'est pas commutative, ni dans
3ucuii système appartenant à la même forme. Dans le système canonique, elle est
définie par
e\=\
— e9:
. ^ = <\,;
cie% = — e%ex = e%\
el = ele.l = etet = etet = e3ei = o.
Ce système est réductible.
Dans le QUINZIèME SYSTèME, la multiplication est non-commutative et définie par
*ï = • :
<\ i\ = — <'A = e, ;
»Le système est irréductible.
et c, = <V\ = et\
e: = el = ej>t = e.^ = o.
174
G. DU PASQUIER.
Dans le SEIZIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
e
l = e^
e\ = e\ = o\
ele& = eie3 = e3el = eîel = e%e3 = e3e^ = o.
Le système est réductible.
Dans le DIX-SEPTIèME SYSTèME, la multiplication est non-commutative et définie
par
^ = «i«. = — *.«. = «.;
e\ = k.e^\
el = eie3 = e%e3 = eie^ = e3ei =
o.
On obtient une infinité de systèmes, suivant la valeur qu'on attribue au paramètre k. Si l'on veut obtenir un dGmaine de rationalité (R) à quatre unités relatives,
on prendra pour k un nombre rationnel. Le système est irréductible.
Dans le DIX-HUITIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
e\ = e\ = e3\
el = o\
eiek = o
pour
i=^k
(i, k, = 1, 2, 3).
Le système est irréductible.
Dans le DIX-NEUVIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et définie par
e
\ = e%\
e
l = el=°>
e e
ih = °
Pour
£
'=M'
(*,*, = i , a , 3).
Le système est irréductible.
Dans le VINGTIèME, SYSTèME, la multiplication est non-commutative et définie par
e\ = — 1;
eie%=—eiei
= e9\
ele3 = —e3ei = —ei;
e\ = <% = e%et = ete% = o»
Le système est irréductible.
Dans le VINGT ET UNIèME SYSTèME, la multiplication est non-commutative et défi-
nie par
e\=i\
eieù = — eiei = e3\
eie3 = — e3el = e,;
el = el = etet = ete% = o.
Le système est irréductible.
Dans le VINGT-DEUXIèME SYSTèME, la multiplication est non-commutative et définie par
e\ = e\ = e\ = o\
e^ = — eîex = e3\
Le système est irréductible.
eie3 = e3ei=:e%e3 = e3ei = o.
SUR LES NOMBRES COMPLEXES GÉNÉRAUX.
I75
Dans le VINGT-TROISIèME SYSTèME, la multiplication est non-commutative et définie par
é\=\\
eieâ = — e0_ei = e0_\
e1e3 = — e3ei = e3;
e\ = e\ = etet = ete% = o.
Le système est irréductible.
Dans le VINGT-QUATRIèME SYSTèME, la multiplication est commutative et se résume
en cette règle : tout produit de deux unités relatives est nul; en formule :
e.ek = o
(i, k, = i, 2, 3).
Le système est irréductible.
Si l'on attribuait au paramètre k qui figure dans le dix-septième système une
valeur irrationnelle, cela reviendrait à envisager des* nombres complexes à cinq
unités relatives et avec coordonnées rationnelles. En donnant k.k une valeur fixe et
rationnelle, d'ailleurs arbitraire, les dix-neuf systèmes énumérés dans cet article 6
ont le corps (R) dépourvu de domaine holoïde maximal et représentent dix-huit
formes différentes.
Tous les systèmes qu'elles embrassent contiennent des racines de zéros ou nombres pseudonuls, c'est-à-dire des complexes x =(= o tels que x11 = o à partir d'un
certain exposant n. Cependant, racines de zéros et domaine holoïde maximal ne
s'excluent pas toujours. La présence de nombres pseudonuls est une condition nécessaire, mais non suffisante, pour l'absence de domaine holoïde maximal.
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