Etude des mouvements d`une balle de tennis

Etude&des&mouvements&
d’une&balle&de&tennis&
& &
Le#but#de#ce#projet#Python#est#d’étudier#les#mouvements#d’une#balle#de#tennis,#en#négligeant#puis#en#
prenant#en#compte#les#frottements#dus#à#l’air.#
1. Etude(analytique(
On#considère#une#balle#de#tennis,#assimilée#à#un#point#matériel#M#de#masse#𝑚,#envoyée#depuis#le#fond#
du#court#avec#une#vitesse#initiale#𝑣!,#vers#le#haut#avec#un#angle##𝛼#par#rapport#à#l’horizontale.#
On#choisit#pour#référentiel#le#référentiel#terrestre!(ℛ),#supposé#galiléen,#associé#au#repère#d’espace#
des#coordonnées#cartésiennes,#d’axe#(𝑂𝑧)#donnée#par#la#verticale#locale.#
Le#champ#de#pesanteur,#supposé#uniforme#dans#le#référentiel#d’étude!(ℛ),#est#noté#:#
𝑔!=−𝑔𝑢!#
1.1. (Etude(du(mouvement(en(l’absence(de(frottements(
On#néglige#dans#cette#partie#les#frottements#dus#à#l’air.#
1.1)#Etablir#les#équations#différentielles#du#mouvement#de#la#balle#dans#le#référentiel# ℛ.##
1.2)#En#déduire#les#équations#horaires#du#mouvement#de#la#balle#dans#le#référentiel# ℛ.#
1.3)#Représenter#l’allure#de#la#trajectoire#de#la#balle.#
1.4)#Déterminer,#en#fonction#de#𝑣!,𝑔!et!𝛼,#le#temps#𝜏!nécessaire#pour#que#la#balle#atteigne#sa#plus#
haute#altitude#et#les#coordonnées#du#point#S#ainsi#atteint.#
1.5)#Montrer#que#la#distance#d#atteinte#au#lieu#du#premier#rebond#s’écrit#:#
𝑑=
𝑣!
!cos 𝛼
𝑔
sin 𝛼+sin!𝛼+
2𝑔𝑧!
𝑣!
!#
1.2. (Etude(du(mouvement(en(présence(de(frottements((
Dans#cette#partie,#on#tient#compte#des#frottements#dus#à#l’air.#
Aux#vitesses#atteintes#par#une#balle#de#tennis,#un#modèle#de#frottements#fluides#tel#que#celui#du#cours#
n’est#pas#réaliste.#Il#faut#avoir#recours#à#une#loi#quadratique#pour#les#frottements,#de#la#forme#:#
𝑓=−𝐶𝜇𝑆 𝑣𝑣#
où# 𝐶#est# une# constante,# appelée# constante# de# traînée,# 𝜇#la# masse# volumique# du# fluide# causant# les#
frottements#(ici#l’air)#et#𝑆#la#section#transversale#de#la#balle.#
1.6)#Montrer#que#le#coefficient#𝐶#est#un#paramètre#sans#dimension.#
1.7)#Déterminer#l’expression#de#la#section#transversale#𝑆#de#la#balle#en#fonction#de#son#rayon#𝑅.#
1.8)#Etablir#les#nouvelles#équations#différentielles#du#mouvement#de#M#dans#le#référentiel# ℛ.##

2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Projet&5&:&Etude&des&mouvements&d’une&balle&de&tennis&
2. Modélisation(numérique(
On# souhaite#ici# modéliser# numériquement# le# mouvement# de# la# balle# de# tennis.# Pour# les#
modélisations,#on#prendra#les#valeurs#suivantes#:#
• 𝑔=9,81!m.s!!#
• 𝑚=55!g#
• 𝑅=39!mm#
• 𝑣!=30!m.s!!,#
• 𝛼=50°#
• 𝐶=0,30#
• 𝜇=1,292!kg.m!!#
2.1)#Dans#l’éditeur,#importer#les#modules#scientifiques#nécessaires#pour#le#problème.#
2.2)#Déclarer#et#affecter#les#variables#nécessaires#pour#le#problème.#
2.3)#Définir#un#vecteur#(noté#t)#contenant#1000#points#et#dont#les#valeurs#sont#comprises#entre#
𝑡=0!s#et#𝑡=5!s.##
•"Modélisation"sans"frottements"
2.4)# Définir# une#fonction# (notée# SansFrottement)# définissant# le# système# d’équations#
différentielles#régissant#le#mouvement#de#la#balle#de#tennis.#
2.5)# Résoudre# numériquement# le# système# d’équations# différentielles# précédent.# On# notera#
Solution_SansFrottement#la#solution#correspondante.#
2.6)#Représenter#les#équations#horaires#de#la#balle#de#tennis#(figure#1).#
2.7)#Représenter#la#trajectoire#de#la#balle#de#tennis#(figure#2).#
2.8)# Déterminer# numériquement# l’altitude# maximale# atteinte# par# la# balle.# Comparer# le# résultat#
obtenu#à#celui#obtenu#à#partir#de#l’expression#de#l’étude#analytique.#
•"Modélisation"avec"frottements"
2.9)# Définir# une#fonction# (notée# AvecFrottement)# définissant# le# système# d’équations#
différentielles#régissant#le#mouvement#de#la#balle#de#tennis.#
2.10)# Résoudre# numériquement# le# système# d’équations# différentielles# précédent.# On# notera#
Solution_AvecFrottement#la#solution#correspondante.#
2.11)#Sur#la#figure#1,#ajouter#les#équations#horaires#de#la#balle#de#tennis#lorsqu’on#ne#néglige#pas#
les#frottements.#
2.12)#Sur#la#figure#2,#représenter#la#trajectoire#de#la#balle#de#tennis#lorsqu’on#ne#néglige#pas#les#
frottements.#
•"Portée"du"lancé"
2.13)#Définir#une#fonction#(appelée#Portee)#permettant#de#calculer#la#distance#maximale#atteinte#
par#la#balle.#
2.14)#Sur#un#même#graphique,#représenter#avec#et# sans#frottements,#la# distance#atteinte#par#la#
balle#en#fonction#de#l’angle#du#lancer.#
2.15)#Trouver#numériquement##l’angle#assurant#le#lancer#le#plus#long.#
"
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