Etude des mouvements d`une balle de tennis

Etude des mouvements d’une balle de tennis Le but de ce projet Python est d’étudier les mouvements d’une balle de tennis, en négligeant puis en prenant en compte les frottements dus à l’air. 1. Etude analytique On considère une balle de tennis, assimilée à un point matériel M de masse 𝑚 , envoyée depuis le fond du court avec une vitesse initiale 𝑣! , vers le haut avec un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale. On choisit pour référentiel le référentiel terrestre (ℛ), supposé galiléen, associé au repère d’espace des coordonnées cartésiennes, d’axe (𝑂𝑧) donnée par la verticale locale. Le champ de pesanteur, supposé uniforme dans le référentiel d’étude (ℛ), est noté : 𝑔 = −𝑔𝑢! 1.1. Etude du mouvement en l’absence de frottements On néglige dans cette partie les frottements dus à l’air. 1.1) Etablir les équations différentielles du mouvement de la balle dans le référentiel ℛ . 1.2) En déduire les équations horaires du mouvement de la balle dans le référentiel ℛ . 1.3) Représenter l’allure de la trajectoire de la balle. 1.4) Déterminer, en fonction de 𝑣! , 𝑔 et 𝛼, le temps 𝜏 nécessaire pour que la balle atteigne sa plus haute altitude et les coordonnées du point S ainsi atteint. 1.5) Montrer que la distance d atteinte au lieu du premier rebond s’écrit : 𝑑=
𝑣! ! cos 𝛼
𝑔
sin 𝛼 +
sin! 𝛼 +
2𝑔𝑧!
𝑣! !
1.2. Etude du mouvement en présence de frottements Dans cette partie, on tient compte des frottements dus à l’air. Aux vitesses atteintes par une balle de tennis, un modèle de frottements fluides tel que celui du cours n’est pas réaliste. Il faut avoir recours à une loi quadratique pour les frottements, de la forme : 𝑓 = −𝐶𝜇𝑆 𝑣 𝑣 où 𝐶 est une constante, appelée constante de traînée, 𝜇 la masse volumique du fluide causant les frottements (ici l’air) et 𝑆 la section transversale de la balle. 1.6) Montrer que le coefficient 𝐶 est un paramètre sans dimension. 1.7) Déterminer l’expression de la section transversale 𝑆 de la balle en fonction de son rayon 𝑅 . 1.8) Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement de M dans le référentiel ℛ . 2 Projet 5 : Etude des mouvements d’une balle de tennis 2. Modélisation numérique On souhaite ici modéliser numériquement le mouvement de la balle de tennis. Pour les modélisations, on prendra les valeurs suivantes : • 𝑔 = 9,81 m. s !! • 𝑚 = 55 g • 𝑅 = 39 mm • 𝑣! = 30 m. s !! , • 𝛼 = 50° • 𝐶 = 0,30 • 𝜇 = 1,292 kg. m!! 2.1) Dans l’éditeur, importer les modules scientifiques nécessaires pour le problème. 2.2) Déclarer et affecter les variables nécessaires pour le problème. 2.3) Définir un vecteur (noté t) contenant 1000 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑡 = 0 s et 𝑡 = 5 s. • Modélisation sans frottements 2.4) Définir une fonction (notée SansFrottement) définissant le système d’équations différentielles régissant le mouvement de la balle de tennis. 2.5) Résoudre numériquement le système d’équations différentielles précédent. On notera Solution_SansFrottement la solution correspondante. 2.6) Représenter les équations horaires de la balle de tennis (figure 1). 2.7) Représenter la trajectoire de la balle de tennis (figure 2). 2.8) Déterminer numériquement l’altitude maximale atteinte par la balle. Comparer le résultat obtenu à celui obtenu à partir de l’expression de l’étude analytique. • Modélisation avec frottements 2.9) Définir une fonction (notée AvecFrottement) définissant le système d’équations différentielles régissant le mouvement de la balle de tennis. 2.10) Résoudre numériquement le système d’équations différentielles précédent. On notera Solution_AvecFrottement la solution correspondante. 2.11) Sur la figure 1, ajouter les équations horaires de la balle de tennis lorsqu’on ne néglige pas les frottements. 2.12) Sur la figure 2, représenter la trajectoire de la balle de tennis lorsqu’on ne néglige pas les frottements. • Portée du lancé 2.13) Définir une fonction (appelée Portee) permettant de calculer la distance maximale atteinte par la balle. 2.14) Sur un même graphique, représenter avec et sans frottements, la distance atteinte par la balle en fonction de l’angle du lancer. 2.15) Trouver numériquement l’angle assurant le lancer le plus long.