Statistiques - seine-et

Statistiques
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2016-2017
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Rappels : effectifs, fréquences
Propriété 1.1 On a demandé à 40 personnes le nombre d’heures qu’ils consacrent
chaque jour à Internet. On a obtenu la série statistique ci-dessous :
Nombre d’heures
Effectifs
0 1 2 3 4 5 6
3 8 6 11 5 1 6
Total
40
[OFF : on laisse deux lignes supplémentaires vides en dessous du tableau]
Définition 1.1 La fréquence d’une valeur s’obtient en divisant l’effectif de cette valeur
par l’effectif total. On l’exprime, en général, par un pourcentage. Pour cela, on multiplie
le quotient précédent par 100.
effectif
× 100.
Autrement dit, fréquence =
effectif total
Exemple de calcul pour la durée trois heures dans l’exemple ci-dessus : [...]
Définition 1.2 Quand les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, l’ effectif cumulé croissant d’une valeur s’obtient en ajoutant à cet effectif les effectifs des valeurs
précédentes.
Remarque : la fréquence cumulée croissante s’obtient de la même manière.
Exemple : complétons le tableau suivant afin d’enrichir les informations sur cette série
statistique :
Nombre d’heures
0 1 2 3 4 5 6 Total
Effectifs
3 8 6 11 5 1 6
40
Effectif cumulé croissant
3 11 17 28 33 34 40
40
Fréquence cumulée croissante (en %)
Remarque : *l’effectif cumulé 17 signifie que 17 personnes consacrent 2 heures ou moins
à Internet ;
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3 MOYENNE
*on peut construire des tableaux d’effectifs cumulés décroissants ou de fréquences cumulées décroissantes.
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Valeurs groupées en classes
Exemple pour apprendre 2.1 Voici le relevé des tailles en centimètres de XX élèves
de la classe de troisième X. Comme presque toutes les tailles sont différentes, on les a
regroupés en classes (intervalles) afin d’analyser ces données :
Taille
[150; 160[ [160; 170[ [170; 180[ [180; 190[
Effectif
ECC
FCC (en %)
Remarque : la fréquence cumulée XX % signifie que dans cette classe, XX % des élèves
mesurent moins de XX cm.
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Moyenne
Définition 3.1 Pour calculer une moyenne, on ajoute toutes les valeurs et on divise
par l’effectif total.
Exemple : un athlète a effectué cinq sauts en longueur (en mètres) : 7, 50 ; 7, 65 ; 7, 80 ;
8, 01 ; 7, 92. Calculons la longueur moyenne de ses 5 sauts [...]
Définition 3.2 Pour calculer une moyenne pondérée, on ajoute tous les produits des
valeurs par leurs effectifs correspondants (”poids”, ou encore ”coefficients”) et on divise
par l’effectif total.
Dans l’exemple 1, calculons le nombre d’heures moyen passé sur Internet par les 40
personnes interrogées. [...]
Remarque : dans le cas d’un regroupement en classes, on ne peut pas calculer la valeur
exacte de la moyenne pondérée, mais une valeur approchée.
Pour cela : *on admet que toutes les valeurs sont au centre de la classe ;
*on remplace chaque classe par son centre ;
*on calcule la moyenne pondérée de la nouvelle série ainsi obtenue.
Dans l’exemple 2 [...]
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5 ETENDUE
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Médiane et quartiles
Définition 4.1 Les valeurs d’une série statistique étant rangées dans l’ordre croissant,
la médiane est un nombre M tel que :
*au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M ;
*au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M .
Exemples : [projeté]
*série 1 (effectif impair) : 2; 6; 8; 8; 11; 12; 13; 15; 15. La médiane de la série est 11 ;
*série 2 (effectif pair) : 3; 3; 5; 7; 8; 8; 13; 15. On doit prendre un nombre entre 7 et 8 : en
général 7, 5 ;
Autres exemples : *retour à l’exemple du 1. de cette leçon : on utilise l’effectif cumulé,
or 40 ÷ 2 = 20, donc la moitié de l’effectif est atteint pour 3h. La médiane est donc 3h ;
*retour à l’exemple 2 : là encore on utilise l’effectif cumulé. Or 28 : 2 = 14. La moitié
de l’effectif est atteint dans la classe 160 − 165. La médiane est donc 162, 5cm.
Définition 4.2 Les valeurs d’une série statistique étant rangées dans l’ordre croissant.
*Le premier quartile est la plus petite valeur de la série, notée Q1, telle qu’au moins un
quart des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q1 ;
*le troisième quartile est la plus petite valeur de la série, notée Q3, telle qu’au moins
les trois quarts des valeurs de la série sont inférieurs ou égales à Q3.
Remarque : *la différence Q3 − Q1 s’appelle écart interquartile.
*Question ouverte : quelle est la différence entre la médiane et le deuxième quartile Q2 ?
Exemples : [projeté]
*série 3 : 5; 8; 3; 7; 15; 13; 3; 8; 2; 11; 12; 19; 6. Calculer Q1, Q3, l’écart interquartile et la
médiane :
*retour à l’exemple 1 : calculer Q1 et Q3
*retour à l’exemple 2 : calculer Q1 et Q3
Série 3. : il y a treize valeurs que l’on range dans l’ordre croissant : 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 11; 12; 13; 15; 19.
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13 × = 3, 25 donc Q1 est la 4ème valeur : Q1 = 5 ;
4
3
13 × = 9, 75 donc Q3 est la 10ème valeur : Q3 = 12 ;
4
L’écart interquartile vaut 12 − 5 = 7 ;
La médiane est 8.
Exemple 1 : Q1 = 1, Q3 = 3 ;
Exemple 2 : Q1 = 157, 5, Q3 = 182, 5.
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Etendue
Définition 5.1 L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande
et la plus petite valeur de la série.
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5 ETENDUE
Exemples : dans l’exemple 1 : 6 − 0 = 6 donc l’étendue de la série est de 6h ;
dans l’exemple 2 : 185 − 150 = 35 donc l’étendue de la série est de 35cm.
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