Chapitre II : Conversion électromécanique 1. Force de Laplace

Spéciale PSI - Cours "Conversion de puissance"
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Conversion électromécanique
Chapitre II : Conversion électromécanique
Objectifs :
• Rappel sur la force de Laplace et l’induction électromagnétique;
• Etude des conversions électromécaniques.
1. Force de Laplace
1.1.Force de Lorentz
On considère une particule M , de masse m, de charge q, animée d’une vitesse v par rapport au référentiel
de plus qu’il règne en tout point de l’espace un champ électromagnétique ( E , B ).
La particule M est soumise à la force de Lorentz F Lorentz = q( E + v
. On suppose
B)
Remarque : cette force se décompose en deux composante :
· une composante électrique F e = q E colinéaire à E ;
· une composante magnétique F = q v B perpendiculaire à B ; cette composante ne produit aucun travail
W = F .dM = (q v
B ).dM = (q v
B ). v dt = 0
1.2. Densité volumique de forces magnétiques
Soit un conducteur plongé dans un champ magnétique B . On note la densité volumique de porteurs de charge dans ce
conducteur.
La force magnétique d F qui s’exerce sur un élément de volume d de ce conducteur, de charge q, animée d’une vitesse v
par rapport au référentiel est
dF = q v
B = d v
B = jd
B avec j =
v = vecteur densité de courant (1 seul type de porteur).
Ce conducteur est donc soumis à une densité volumique de force magnétique f =
dF
d
= j
B
1.3. Cas des circuits liformes
Soit un conducteur &liforme, de section s et de longueur élémentaire d L et parcouru par un courant i = j . s . La force
magnétique qui s’exerce sur ce conducteur est :
Conversion de puissance. Chapitre II : Conversion électromécanique
dF = f d = j
dF =
2
B d avec d = s.d L
j
B
s .d L
=
j
s .d L
B =
j.s
dL
B = id L
B
L’élément de courant id L placé dans un champ magnétique B
est soumis à la force de Laplace d F = id L B .
2. Rappels : Induction électromagnétique
Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable B, la f.e.m. d’induction est donnée, au choix, par :
• la loi de Faraday :
e=
d
dt
où (t) est le +ux à travers le circuit, c’est à dire le +ux créé par les sources extérieures au circuit et par le circuit
lui-même, et ddt représente la dérivée totale du +ux (t) tenant compte du déplacement du circuit et de la variation de
B.
• la circulation des champs électromoteur de Lorentz et de Neumann :
e = eL + eN =
C
ve
B .d +
A
t .d
C
3. Conversion électromécaniques de puissance
On se place dans le cas des champs magnétiques permanents, la f.e.m. d’induction est donc donnée par e = eL =
B .d .
C ve
3.1. Mouvement d’un courant dans un champ magnétique permanent
On conserve les mêmes notations que précédement ; on suppose de plus que tous les porteurs de charges sont du même
type (charge q et densité volumique n) et on note v r (vitesse relative) leur vitesse par rapport à un référentiel
lié au
conducteur lui même animé d’une vitesse v e (vitesse d’entraînement) par rapport au référentiel
dans lequel règne un
champ magnétique B permanent. Dans une telle situation :
B = q( v r + v e )
• chaque porteur de charge est soumis à la force de Lorentz F = q v
• le champ électromoteur est donné par E m = v e
B ;
B ;
• l’élément de courant id L est le siège d’une f.e.m. induite de =
ve
B .d L .
3.2. Bilan de puissance des forces de Lorentz
La force de Lorentz d F qui s’exerce sur les porteurs de charges contenus dans un élément de volume d du conducteur est :
dF = q v
B = (nqd ) ( v r + v e )
B
On rappelle que la puissance des forces de Lorentz est nulle car E = 0 (dans
dP = d F . v = 0
(nqd ) ( v r
(nqd ) ( v r + v e )
B ). v r + ( v r
):
B . [ v r + v e] = 0
B ). v e + ( v e
B ). v r + ( v e
B ). v e = 0
Deux termes parmi les quatre ci-dessus sont nuls :
(nqd ) ( v r
B ). v e + ( v e
B ). v r = 0
On remarque alors que :
• dPe = nqd ( v e B ). v r = ( v e B ). j d = E m . j d = E m .idL = i E m .dL = ide est la puissance électrique
fournie par la f.e.m. induite de ;
Conversion de puissance. Chapitre II : Conversion électromécanique
• dPL = nqd ( v r
B ). v e = ( j d
B ). v e = (idL
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B ). v e = d F . v e est la puissance des forces de Laplace d F .
ce qui donne dPe + dPL = 0 pour l’élément de courant idL soit pour la totalité du circuit Pe + PL = 0.
Lors du déplacement d’un circuit liforme dans un champ magnétique permanent, la puissance
électrique de le f.e.m. induite est opposée à la puissance mécanique des forces de Laplace :
Pe + PL = 0
Cette égalité est la base des conversions électromécaniques. La conversion repose sur le fait que la puissance de la
force magnétique subie par un porteur de charge est nulle, et sur le fait que la force magnétique contribue :
• au mouvement de la charge dans le &l pour sa composante suivante le &l (fém induite) ;
• au mouvement du &l pour sa composante perpendiculaire au &l (force de Laplace).
3.3. Exemple : les rails de Laplace
On considère le dispositif ci-dessus constitué de deux rails parallèles distants de d, dans un plan horizontal, sur lesquels
peut se mouvoir une tige perpendiculaire aux rails. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique vertical uniforme et
constant. On choisit un repère cartésien comme indiqué sur la &gure. L’orientation du circuit est celle de i.
On note v e = V. u y la vitesse de translation de la tige, P et Q les points de contact avec les rails, B = B. u z le champ
magnétique.
Le champ électromoteur en tout point de la tige est E m = v e B = V B. u x . La force électromotrice e est égale à la
circulation de ce champ sur le tronçon QP :
e=
E m .d l =
V Bd
QP
Comme il circule un courant d’intensité i dans la tige (quelle que soit son origine : dipôle générateur placé dans le circuit ou
courant induit par la f. e. m. précédente), celle ci est soumise à la force de Laplace F = i.( d u x ) B = i d B u y .
Pour les puissances on a :
• La puissance électrique (de la f.e.m. induite) est :
Pe = ei =
V B di
• La puissance mécanique (de la force de Laplace) s’écrit :
PL = F . v e = i d B V
Le bilan de puissance peut donc s’écrire PL + Pe = 0. On retrouve bien que la puissance électrique de le f.e.m.
induite est opposée à la puissance mécanique des forces de Laplace.
3.4. Transducteurs électromécaniques
Nous généralisons les résultats précédents en ajoutant des pertes mécaniques (par frottement de la tige sur les rails) et des
pertes électriques (par e6et Joule dans la résistance du circuit).
Nous pouvons envisager deux régimes de fonctionnement :
• fonctionnement moteur (traction) : une source externe impose un courant i dans le circuit électrique, une force de
Laplace apparaît donc qui peut mettre en mouvement la tige, cette dernière pouvant entraîner une charge mécanique
(pompe ... ). La puissance Pélec ext cédée sous forme électrique par la source va être convertie pour partie en puissance
calori&que (perdue par e6et Joule PJ ) et pour partie en puissance mécanique qui pourra :
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— accroître l’énergie cinétique du système (phase de démarrage, d’accélération d’un mobile),
— être dissipée sous forme de chaleur dans les frottements mécaniques Pf rot ,
— être cédée à la charge mécanique Pméc .
En régime établi, l’énergie cinétique du système est une constante et le bilan de puissance s’écrit:
Pélec ext
PJ =
Pe = PL = Pméc + Pf rot
Conversion d’une puissance électrique en puissance mécanique
Remarque : On notera que la mise en mouvement de la tige est responsable de l’apparition de la force électromotrice e ;
parfois e = e est appelée force contre-électromotrice du fait de son sens.
• fonctionnement générateur : un dispositif mécanique extérieur met en mouvement la tige, il apparaît alors un champ
électromoteur d’induction qui peut, si le circuit est fermé sur une charge électrique, créer un courant. Le dispositif
d’entraînement fournit une puissance mécanique Pméc ext , dont une partie va être dissipée sous forme de chaleur dans
les frottements mécaniques Pf rot , et le reste sera convertie en puissance électrique Pe , dont une partie sera perdue par
e6et Joule PJ .
En régime établi, l’énergie cinétique du système est une constante et le bilan de puissance s’écrit:
Pméc ext
Pf rot =
PL = Pe = Pélec + PJ
Conversion d’une puissance mécanique en puissance électrique
Conversion de puissance. Chapitre II : Conversion électromécanique
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Remarques :
1) On notera que l’apparition du courant dans le circuit est responsable de l’apparition de la force de Laplace parfois
appelée force résistante du fait de son sens.
2) En pratique, l’apparition de la force électromotrice en fonctionnement moteur ou de la force mécanique résistante en
fonctionnement générateur pourra modi&er les conditions du fonctionnement (courant électrique dans le premier cas, vitesse
dans le second).
4. Transducteurs électromécaniques
4.1. Dé nition
Un transducteur électromécanique est un dispositif pouvant réaliser soit la conversion d’une énergie mécanique (aux pertes par frottement près) en énergie électrique (aux pertes par e2et Joule près), soit la
conversion inverse d’une énergie électrique (aux pertes par e2et Joule près) en énergie mécanique (aux
pertes par frottement près).
Il existe une très grande variété de transducteurs électromécaniques, d’une importance pratique considérable
: moteurs, dynamos, alternateurs, haut-parleurs. microphones, etc.
4.2. Exemple du haut-parleur
D’après Banque d’épreuves Archimède - CONCOURS 1998 - Option: PC.
HAUT-PARLEUR ELECTRODYNAMIQUE
Un haut-parleur est constitué d’une bobine plate (b) d’axe z z (de résistance R, d’inductance L, comportant N spires
de rayon a) solidaire d’une membrane pouvant se déplacer parallèlement à elle-même, suivant la direction z z normale à son
plan. L’équipage mobile (bobine + membrane) a pour masse totale m. Lorsque la bobine s’écarte de sa position d’équilibre
d’un écart algébrique z, elle est rappelée par une force élastique due à un ressort de raideur k. De plus, l’air produit sur la
membrane une force de frottement visqueux, proportionnelle à sa vitesse de déplacement, qui peut s’écrire: f = h v (h > 0).
La bobine est placée dans un champ magnétique uniforme B radial, normal à z z, créé par un aimant permanent (A).
(voir &gure 1.)
1) Analyse préliminaire
1*a. Expliquer pourquoi un mouvement de la membrane crée dans la bobine une force électromotrice d’induction et
comment une di6érence de potentiel de même fréquence que le mouvement apparaît aux bornes de (b). Quel rôle ce dispositif
peut-il jouer ?
1*b. On applique aux bornes de (b) une tension sinusoïdale. Montrer que cette tension va engendrer un mouvement de la
bobine. Qu’advient-il des masses d’air voisines de la membrane ? Quel est alors le rôle du dispositif ?
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2) Etude du dispositif mobile : bobine - membrane
On applique aux bornes de (b) une tension variable u(t) ; la bobine est alors traversée par un courant d’intensité i(t) et
la membrane se déplace avec la vitesse instantanée v(t).
2*a. Exprimer la force de Laplace à laquelle la bobine est soumise. (on désignera par la longueur totale du bobinage de
(b))
2*b. Déterminer la force électromotrice élémentaire, de, induite par le déplacement dzuz d’un élément (ad( u ) de bobine
dans le champ Bur . Etendre le résultat à la bobine tout entière.
2*c. Ecrire le théorème de la résultante cinétique pour l’équipage mobile (éq. M), d’une part, puis l’équation électrique
relative au haut-parleur (éq. E), d’autre part.
La tension appliquée étant sinusoïdale, de fréquence f, on pourra écrire u (t) = Um cos (*t), avec * = 2+f.
2*d. Ecrire les deux relations (M’) et (E’) liant les expressions complexes u(t), i(t) et v(t) associées respectivement à u(t),
i(t) et v(t). On rappelle qu’à toute fonction sinusoïdale du type a = Am cos (*t + ,), on peut associer le nombre complexe
a = Am ej( t+ ) .
2*e. Eliminer la vitesse v(t) entre les équations (M’) et (E’) pour faire apparaître une relation entre u(t) et i(t).
2*f. Montrer que l’impédance totale du dispositif est la somme de deux contributions : Z (*) = Z e (*) + Z m (*), avec
Z m (*) = R (*) + jS (*). On quali&e ces deux termes respectivement d’impédance propre et d’impédance motionnelle ;
analyser pourquoi.
2*g. Donner l’expression de Z e (*), puis celles de R (*) et S (*).
2*h. Montrer que l’impédance motionnelle Z m (*) correspond à l’association d’éléments comme Rm , Lm et Cm dont on
précisera la nature. Illustrer en représentant le schéma électrique équivalent de l’impédance Z (*).
2*i. Tracer sommairement les variations de R (*) et S (*) en fonction de *. Donner un équivalent de Z m (*) pour
*
0, *
et pour* 0 tel que *20 = k/m.
Montrer que, lorsque la pulsation varie de zéro à l’in&ni, le point M (*) du plan complexe, d’aKxe Z m (*) décrit un cercle
(passant par les trois points déterminés ci-dessus) dont on déterminera le centre et le rayon. Illustrer à l’aide d’un schéma.
Pour quelle pulsation le module de l’impédance Z m (*) est-il maximal ? Calculer |Z m |max .
2*i. Rechercher les pulsations *1 et * 2 telles que |Z m | soit égal à 12 |Z m |max .Que peut-on dire de R (*) et de |S (*)|
pour ces valeurs ? Calculer * 1 et * 2 . Comment appelle-t-on le rapport 2 0 1 ? L’exprimer et le calculer à l’aide des données
numériques.
2*k. Etudier et tracer l’évolution du point N (*) du plan complexe, d’aKxe Z e (*), lorsque * varie. Limiter le tracé,
sachant que l’on s’intéresse à la gamme de fréquences 300 3400 Hz, correspondant aux fréquences vocales.
2*l. Placer sur les graphes relatifs à Z m (*) et Z e (*) les points correspondant aux pulsations : * 0 , * 1 , * 2 et * 3 =
2.104 rad. s 1 (dont on précisera le sens).
2*m. Donner l’allure du graphe relatif au point d’aKxe Z (*) = Z e (*) + Z m (*) (on tiendra compte de la limitation en
fréquence introduite ci-dessus), puis tracer la variation du module de Z (*) en fonction de *. Conclure.
3) Bande passante acoustique
Par analogie avec une résistance électrique, on peut introduire une résistance acoustique Ra dé&nie à partir de la puissance
acoustique Pa par la relation : Pa = Ra v2 = 12 Ra (v.v ), v désignant la vitesse de déplacement du système bobinemembrane.
3*a. En utilisant les relations (M’) et (E’), établir le rapport v(t)/u(t). Pour simpli&er cette expression, on envisage de
négliger le terme L*; est-ce légitime ? Sachant que la tension d’alimentation de la bobine a toujours une amplitude constante
Um et une pulsation variable *, écrire l’expression de v(w).
3*b. Déterminer la quantité v2 = 12 (v.v ) en fonction de la pulsation *.
3*c. On se propose d’étudier la variation de log v2 en fonction de log * (comparable au diagramme de Bode en amplitude,
avec diagramme asymptotique puis tracé réel). Evaluer les équivalents de v 2 pour *
0 et *
; déterminer les
asymptotes, leurs pentes ainsi que leur point d’intersection, puis réaliser le tracé.
La résistance acoustique Ra dépend du rayon de courbure
l’air, on peut montrer que :
* si * < c/ = *c , Ra est proportionnelle à *2 ,
* si * > c/ , Ra demeure sensiblement constante.
de la membrane. En désignant par c la célérité du son dans
3*d. Etudier puis tracer le diagramme du type log(Ra ) en fonction de log * ; préciser la pente des asymptotes.
3*e. En déduire le diagramme relatif à la puissance Pa , traduisant la variation de log Pa en fonction de log *. Analyser
le tracé ; montrer que cette puissance demeure pratiquement constante dans une gamme de pulsation (ou de fréquence) que
l’on précisera. Conclure quant à la possibilité d’utiliser un tel haut-parleur sur une ligne téléphonique.
Conversion de puissance. Chapitre II : Conversion électromécanique
Données numériques :
Champ magnétique B = 0, 8 T
Rayon de la bobine a = 5 mm
Nombre de spires N = 160
Raideur du ressort k = 1425 N. m 1
CoeKcient de frottement h = 0, 28 N. s. m
Masse de l’équipage mobile m = 100 mg
Résistance de la bobine R = 630
Inductance de la bobine L = 10 3 H
Célérité du son c = 340 m. s 1
Rayon de la membrane = 1, 6 cm
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