La preuve de la conjecture de Goldbach

La preuve
de la conjecture
de Goldbach
Yves Meyer
yves.mey[email protected]han.fr
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Le congr`es international
des math´ematiciens
se tiendra
`a S´eoul, Cor´ee-du-Sud,
du 13 au 21 aoˆut 2014.
Que s’y passera-t-il ?
Vous allez le savoir maintenant.

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1. Les nombres premiers.
Un produit n=l×mde deux nombres entiers l≥2
et m≥2 est un nombre compos´e. Les entiers let msont
des diviseurs de n. Un nombre premier est un entier na-
turel n≥2 qui n’est pas compos´e. Par exemple 6 = 2×3
est compos´e, tout comme 21 = 3 ×7,mais 11 est pre-
mier. En allant un peu plus loin, 97 est premier ainsi que
101,mais 98 = 2 ×72,99 = 32×11,100 = 22×52ne
sont pas premiers. Un nombre pair ne peut ˆetre premier
(sauf 2).
Un test de primalit´e est un algorithme permettant de
savoir si un nombre entier nest premier. Ces tests
sont lents et deviennent impraticables d`es que nest tr`es
grand. En 2002, trois jeunes math´ematiciens indiens
Manindra Agrawal, Nitin Saxena et Neeraj Kayal ont
d´ecouvert un test de primalit´e qui ne n´ecessite que
O((log2n)12) op´erations ´el´ementaires.
Les 25 nombres premiers inf´erieurs `a 100 sont : 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 et 97.
La premi`ere trace des nombres premiers se trouve dans
les ´ El´ements d’Euclide (tomes VII `a IX). Euclide d´emontra
le th´eor`eme suivant il y a deux mille trois cents ans:
Th´eor`eme 1.1. Il y a une infinit´e de nombres pre-
miers.

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Les nombres premiers, ´ecrits dans l’ordre croissant, for-
ment donc une suite infinie (qui ne s’arrˆete pas)
p1= 2, p2= 3, p3= 5, p4= 7, p5= 11, p6= 13,
p7= 17, p8= 19, p9= 23, p10 = 29, p11 = 31, . . .
On ne sait que tr`es peu de choses sur les nombres pre-
miers. Il n’existe pas d’algorithme produisant automa-
tiquement des nombres premiers. On ne sait pas calculer
le n-i`eme nombre premier (not´e pn).
Les diff´erences pn+1 −pnvalent 2, 4, 6 et 8 lorsque
1≤n≤24.Ces diff´erences sont petites.
Le math´ematicien am´ericain Yitang Zhang vient de
d´emontrer que de telles “petites diff´erences” apparaissent
une infinit´e de fois dans la suite des nombres premiers :
Th´eor`eme 1.2. Il existe un entier rinf´erieur `a 7.107
tel que l’on ait pn+1 −pn=rpour une infinit´e de
nombres premiers pn.
Ceci sera publi´e dans quelques mois aux Annals of
Mathematics, ´edit´e par l’Universit´e de Princeton.
Yitang Zhang esp`ere d´emontrer qu’il existe une in-
finit´e de nombres premiers pntels que pn+1 −pn=
2 (conjecture des nombres premiers jumeaux). Yitang
Zhang exposera sa d´ecouverte au congr`es international
des math´ematiciens qui se tiendra `a S´eoul du 13 au 21
aoˆut 2014.
Les nombres premiers servent `a s´ecuriser les paiements
en ligne.

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Le chiffrement RSA (nomm´e par les initiales de ses
trois inventeurs) est l’algorithme de cryptographie le plus
utilis´e dans le commerce ´electronique, et plus g´en´eralement
pour ´echanger des donn´ees confidentielles sur Internet.
Cet algorithme a ´et´e invent´e en 1977 par Ronald Rivest,
Adi Shamir et Leonard Adleman.
RSA fonctionne parce que nous ne savons presque rien
sur les nombres premiers.
Le plus grand nombre premier connu (d´ecouvert le 25
janvier 2013, dans le cadre du projet GIMPS) est le nom-
bre de Mersenne
P= 257.885.161 −1.
On sait qu’il y a une infinit´e de nombres premiers mais
on ne sait pas les construire. Ceci parce que la preuve
du th´eor`eme d’Euclide n’est pas constructive.
2. La conjecture de Goldbach
La conjecture de Goldbach (1690-1764), ´enonc´ee en
1742 dans une lettre de Goldbach `a Euler, dit que tout
nombre entier impair n, sup´erieur ou ´egal `a 7, est la
somme de trois nombres premiers.
L’entier nvous ´etant donn´e, vous trouverez, en cher-
chant bien, trois nombres premiers p, q et rtels que
n=p+q+r.
V´erifions la conjecture de Goldbach sur les entiers im-
pairs inf´erieurs `a 100. On a :