géométrie juniors

Razvan Barbulescu 17 f´evrier 2015, stage de Cachan
G´ EOM´ ETRIE
1 Triangles ´egaux
Probl`eme 1 (Pythagore 1`ere m´ethode).Soit ABC un triangle rectangle en A
et posons AB =c,BC =aet CA =b. Sur chaque segment du carr´e M NP Q
de cˆot´e aon construit un triangle ´egal `a BCA :MNR1,NP R2,P QR3et
QMR4. Montrer que les angles
\
R1NR2,
\
R2P R3,
\
R3QR4et
\
R4MR1ont 180◦.
En utilisant que l’aire du carr´e est a2et celle des triangles rectangles bc/2,
retrouver le th´eor`eme de Pythagore : a2=b2+c2.
Probl`eme 2 (Parall´elogramme).Un parall´elogramme est un quadrilat`ere ABCD
tel que AB =CD et AD =BC. Montrer que les diagonales se coupent au milieu.
Probl`eme 3 (Losange).Montrer qu’un parall´elogramme est un losange (a tous
les cˆot´es ´egaux) si et seulement si les diagonales se coupent `a l’angle droit.
Probl`eme 4 (Rectangle).Montrer qu’un parall´elogramme est un rectangle (tous
ses angles sont droits) si et seulement si ses diagonales sont ´egales.
Probl`eme 5 (Angles inscrits).Soient trois points A,Bet Csur le cercle de
centre 0. Alors on a
m(
\
BOC)=2m(
\
BAC).
En d´eduire que tous les angles inscrits dans un cercle, qui regardent le mˆeme
arc, ont la mˆeme mesure.
2 Axiomes de la g´eom´etrie
Les math´ematiciens Grecs se sont rendu compte qu’on ne peut pas montrer
toute affirmation `a l’aide d’une affirmation plus simple. Il faut prendre comme
point de d´epart un nombre d’affirmations qui sont consid´er´ees comme vraies sans
d´emonstration et qu’on appelle “axiomes”. Le choix des axiomes est arbitraire
et n’est pas tr`es important apr`es qu’un nombre suffisant d’affirmations ont ´et´e
prouv´ees. Prenons comme axiomes les deux affirmations suivantes :
Axiome 1.Si deux droites det d0sont parall`eles, alors toute s´ecante sfait le
mˆeme angle avec dqu’avec d0.
Axiome 2.Si deux triangles ABC et A0B0C0ont les angles deux `a deux ´egaux,
alors A0B0
AB =A0C0 AC =B0C0 BC .
Probl`eme 6 (Somme des angles d’un triangle).Montrer que la somme des angles
d’un triangle est ´egale `a la mesure d’un angle plat, not´ee 180◦.
Probl`eme 7 (Cinqui`eme postulat d’Euclide).Par un point ext´erieur `a une droite
on peut tracer une unique parall`ele.
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Probl`eme 8 (Th´eor`eme de Thal`es).Si ABC est un triangle et MN une droite
parall`ele `a BC avec Msur AB et Nsur AC. Alors on a
AM
AB =AN AC =MN BC .
Probl`eme 9 (Pythagore 2e m´ethode).Soit un triangle ABC rectangle en A. On
appelle Dle pied de l’hauteur de A. Montrer que
4BDA ∼ 4BAC ∼ 4ADC.
En d´eduire une deuxi`eme preuve du th´eor`eme de Pythagore.
3 Points de concurrence
Probl`eme 10 (Centre du cercle circonscrit).Montrer que les m´ediatrices des
cˆot´es d’un triangle sont concurrentes. On montrera que c’est le centre du cercle
qui passe par les trois sommets.
Probl`eme 11 (Centre du cercle inscrit).Montrer que les bissectrices d’un triangle
sont concurrentes. On montrera que c’est le centre d’un cercle qui est tangent
aux trois cˆot´es.
Probl`eme 12 (Centre de gravit´e).Montrer que les m´edianes d’un triangle sont
concurrentes. On montrera que c’est le point `a deux tiers de distance du sommet
et un tier de la base.
Probl`eme 13 (Orthocentre).Montrer que les hauteurs d’un triangle sont concur-
rentes. On peut montrer d’abord que le triangle est form´es des milieux des
segments d’un triangle plus grand.
4 Constructions auxiliaires 1
Probl`eme 14.Soit ABC un triangle isoc`ele en A. Soient D∈[AC] et Esur
la droite AB, `a l’ext´erieur du segment [AB] tels que CD =BE. On appelle O
le point d’intersection des droites DE et BC. Montrez que Oest le milieu de
[DE].
Probl`eme 15.Soit ABCD un quadrilat`ere convexe et soient M,N,Pet Qles
milieux des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On note Ole point d’intersec-
tion de MP et NQ. Montrer que MO =OP et NO =OQ.
Probl`eme 16.Soit ABC un triangle isoc`ele avec m(
b
B) = 108◦et AB =AC. Si
[BD] est l’hauteur de Bet [AF ] la bissectrice de A, montrez que AF = 2 ·BD.
Probl`eme 17.On note a,bet cles cˆot´es du triangle ABC et mala longueur de
la m´ediane issue de A. Montrez que ma≤(b+c)/2. Quand a-t-on l’´egalit´e ?
1. source : G. Musa-Cerchez, http ://exmatecta.wikispaces.com/file/view/cls7 lectia3.pdf
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Probl`eme 18.Dans le trap`eze ABCD,AB kCD et BC =AB +CD. Si Eest
le milieu de [AD], calculez m(
\
BEC).
Probl`eme 19.Soit ABC un triangle isoc`ele en A. Soit Dle milieu de [BC], M
le milieu de [AD] et Nle pied de la perpendiculaire de Dsur BM. Montrez que
m(
\
ANC) = 90◦.
Probl`eme 20.Dans le triangle ABC,m(
b
A) = 60◦et AB = 3 ·AC. On appelle
Dle sym´etrique de Apar rapport `a C. Calculez m(
\
ADB)−m(
\
ABC).
5 Solutions
D´emonstration. (1)
M
N P
Q
R4
R3
R2
R1
Comme les triangles MNR1et QMR4sont ´egaux `a BCA,
\
R4MQ =
\
ACB et
\
R1MN =
\
ABC. Comme, en plus
\
QMN =
\
BAC,
m(
\
R4MQ)+m(
\
QMN)+m(
\
NMR1) = m(
\
ACB)+m(
\
BAC)+m(
\
CBA) = 180◦.
Ainsi, R1,Met R4sont align´es. De mani`ere similaire, on prouve que les triplets
R1,N,R2, respectivement, R2,P,R3et R3,Q,R4sont align´es.
Les cˆot´es du carr´e R1R2R3R4ont une longueur de b+c, donc son aire est
(b+c)2. Son aire est ´egale `a celle du carr´e M NP Q,a2, plus quatre fois celle du
triangle ABC,bc/2. Ainsi on obtient l’´egalit´e
(b+c)2=a2+ 4(bc/2).
Or, (b+c)2=b2+c2+ 2bc, donc a2=b2+c2.
D´emonstration. (2)
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AB
DC
O
Les triangles ADB et DBC ont trois cˆot´es ´egaux, donc ils sont ´egaux, en parti-
culier
\
ADB =
\
DBC. Les angles
\
DOA et
\
BOC sont oppos´es, donc ils sont ´egaux.
Ainsi, les triangles ADO et BCO sont ´egaux et, en particulier, DO =OB. De
mani`ere analogue on montre que AO =OC.
D´emonstration. (3)
A
C
D
B
Comme les diagonales se coupent au milieu et sont perpendiculaires, elles sont
m´ediatrices l’une de l’autre. Ainsi, les quatre cˆot´es du parall´elogramme sont
´egaux.
D´emonstration. (4)
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A
BC
D
Les triangles ABC et DCB sont ´egaux, donc
\
ABM =
\
BCD. Comme AB kDC,
m(
\
ABM) + m(
\
BCD) = 180◦, donc les deux angles sont droits.
D´emonstration. (5)
O
P
AB
α
β
Les triangles AP O et BP O sont isoc`eles, de sommet 0. La somme des angles
dans ces deux triangles est 180◦, donc
m(
[
AOP ) + m(
\
P OB) = 360◦−2m(
[
AP O)−2m(
\
BP O) = 360◦−2m(
\
AP B).
Or m(
\
AOM) = 360◦−m(
[
AOP ) + m(
\
P OB), d’o`u le r´esultat.
D´emonstration. (6)
A
BC
d
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