5 : Triangles et ce qui s`y rapporte

5eme: Triangles et ce qui s’y rapporte
Michael A.
15 octobre 2014
Ce petit cours traitera des triangles et de ce que l’on peut appliquer à un triangle pour s’amuser un peu.
1 Triangles
1.1 Définition
Mais qu’est-ce qu’un triangle ?
Et bien c’est simple, un triangle correspond à trois points que l’on peut relier ensemble.
Attention, si on trace trois points alignés, ça ne ressemble plus vraiment à un triangle.
La définition serait donc : Trois points non alignés peuvent être reliés et former un triangle.
1.2 Différents types de triangle
Il existe trois ou quatre grands types de triangles.
Le triangle quelconque : celui-ci n’a pas de particularité. Il provient de la définition, du moment qu’on a 3
points non alignés, on forme un triangle.
Le triangle isocèle : Il a 2 côtés de même mesure/longueur.
Le triangle équilatéral : Il a 3 côtés de même mesure/longueur.
Le triangle rectangle : Il a un angle droit. (Un angle droit, c’est quand ça forme un angle de 90◦, c’est représenté
par un carré sur le dessin.
Avec ça, on peut combiner le triangle isocèle et rectangle pour avoir ... le triangle isocèle rectangle. Il a un angle
droit et les deux côtés adjacents à cet angle sont égaux (de même mesure/longueur).
On dit qu’un triangle est rectangle en un point. Et c’est ce point là qui comporte le petit carré.
2 Hauteur, médiatrice, médiane
2.1 Tableau récapitulatif
Conseil : Pour savoir si une définition fonctionne, il faut qu’elle puisse fonctionner dans tout les cas. Ici, je suis
parti d’un triangle quelconque et j’ai tracé les dessins correspondant. À partir des dessins, on peut en déduire une
définition. L’inversion est vrai aussi, la définition est souvent plus général que le dessin.
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Michael A. 2 HAUTEUR, MÉDIATRICE, MÉDIANE
Dessin (triangle quelconque ou segment) Définition
Hauteur La hauteur est une droite qui passe par un sommet
et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Médiatrice La médiatrice est une droite perpendiculaire
à un segment et passant par son milieu.
Médiane La médiane est une droite passant par un sommet
et passant par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Table 1 – Tableau récapitulatif comprenant une illustration et définition de hauteur, médiatrice et médiane.
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Michael A. 5 DIFFÉRENTES PROPRIÉTÉS
Figure 1 – Dans ce cas, la médiatrice, la médiane et la hauteur sont confondus.
Figure 2 – Le point G est le centre de gravité en ayant tracé au moins 2 médiatrices.
Attention dans certains cas, la hauteur, médiatrice et médiane peuvent être une seule et même droite. Ça arrive
mais c’est un cas particulier.
Attention, ne pas confondre médiatrice et médiane. On dit la médiatrice d’un segment et la médiane d’un triangle.
Une médiatrice peut être tracé sur un segment alors que la médiane ne peut être tracé que dans un triangle.
3 Cercle circonscrit
Rappel : Un cercle est un ensemble de points situés à égales distances d’un point qui est le centre.
Un cercle circonscrit, c’est un cercle inscrit dans une figure, tout les points de la figure sont des points du cercle.
Mais comment trace t-on un cercle circonscrit ?
Et bien pour cela, il suffit de tracer dans le cas d’un triangle au moins 2 médiatrices de ce triangle.
On en déduit que le centre de gravité est le point de concours des 3 médiatrices du triangle.
Le centre de gravité permet de déterminer le point d’équilibre du triangle. Si l’on découpe un triangle que l’on
a tracé sur une feuille de papier, et que l’on trace le centre de gravité de ce triangle alors en mettant la pointe d’un
crayon en ce point, le triangle tient en équilibre.
4 Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais. Deux droites perpendiculaires se coupent et
forment un angle droit.
5 Différentes propriétés
5.1 Triangles quelconques
Inégalité triangulaire : La somme des plus petits cotés d’un triangle est supérieur à son plus grand côté.
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Michael A. 5 DIFFÉRENTES PROPRIÉTÉS
Figure 3 – Les deux droites sont parallèles.
Figure 4 – Les deux droites sont perpendiculaires.
Ça correspond à une loi simple, le chemin le plus court pour aller d’un point à un autre est la ligne droite. En
passant par les deux autres côtés, on fait un détour ce qui est plus long, donc la somme de ces deux côtés est plus
grandes.
Figure 5 – Cela montre que la somme des deux petits côtés est supérieure à la longueur du plus grand côté.
5.2 Triangles particuliers
Propriété triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont égaux.
La réciproque est vraie.
Propriété triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors la médiatrice, la médiane et la hauteur issus du
sommet principal du triangle sont confondus.
Le sommet principal est le sommet opposé à la base. La base est le côté du triangle dont les deux angles sont
égaux.
Le triangle équilatéral est encore plus fort puisque c’est le cas pour chaque sommet du triangle.
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Michael A. 5 DIFFÉRENTES PROPRIÉTÉS
Propriété triangle équilatéral : Si un triangle est équilatéral, alors la médiatrice, la médiane et la hauteur
issus d’un sommet du triangle sont confondus.
Ceci est valable pour chaque sommet.
5.3 Médiane, médiatrice, hauteur
Propriété de la médiane : Si un point appartient à au moins 2 médianes d’un triangle, alors il appartient au
centre de gravité du triangle.
Voici la propriété de la médiatrice qui est issu de sa définition.
Propriété de la médiatrice : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est situé à égale
distance de ce segment.
Réciproque de la médiatrice : Si un point est situé à égale distance d’un segment alors il appartient à la
médiatrice de ce segment.
Propriété de la hauteur : Si un point appartient à au moins 2 hauteurs d’un triangle, alors il appartient à
l’orthocentre de ce triangle.
Les réciproques de ces propriétés sont vraies.
5.4 Droites parallèles et perpendiculaires
Propriété 1 : Si deux droites sont parallèles, et qu’une droite est parallèle à l’une de ces droites, alors elle est
aussi parallèle à l’autre.
Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, et qu’une droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est également
perpendiculaire à l’autre.
Propriété 3 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entres elles.
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