Outils pour Biologists - Chapître 4 : Forces et Energie

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Outils pour Biologists
Chapître 4 : Forces et Energie
Mathilde Badoual1 , Samuel Bottani2 , Laurent Ménard1
Laboratoires:
et Modélisation en Neurobiologie (IMNC) - CNRS 8165
Matières et Systèmes Complexes (MSC)- CNRS 7056
Université Paris Diderot
1 Imagerie
2
2
Motivation
Energie
Travail
Relation Force-Energie
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Tentative de caractérisation de l’énergie
L’énergie est une propriété des systèmes naturels.
L’énergie peut provenir de différentes sources elle existe sous
différentes natures.
Sa transformation (de nature, de localisation) permet de
produire une action ( engendrer un mouvement, augmenter
une température, émettre de la lumière, transformer la
matière )
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Conservation de l’énergie
Première loi de la thermodynamique
La première loi de la thermodynamique affirme que l’énergie
obéit à une loi de conservation.
L’énergie est conservée. Toute diminution de la quantité
d’énergie dans une région donnée de l’espace doit être
exactement compensé par une augmentation simultanée de la
même quantité d’énergie dans une région adjacente de
l’espace.
Changement d’énergie à l’intérieur d’une enceinte
⇒ flux d’énergie au travers de la membrane
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Énergies « mécaniques »
Liée à la vitesse : énergie cinétique
Liée à la position : énergie potentielle
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Énergie mécanique
Energie cinétique
L’énergie d’un objet en mouvement en raison de son mouvement ;
elle dépend de la masse et de la vitesse de l’objet.
Ec =
2
1
1
× masse (kg) × vitesse (m/s) = mv 2
2
2
Énergie potentielle
Énergie dans une interaction entre objets dépendant de leurs
positions relatives.
Une énergie potentielle correspond à une interaction, càd à une
force.
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Énergie mécanique
Energie cinétique
L’énergie d’un objet en mouvement en raison de son mouvement ;
elle dépend de la masse et de la vitesse de l’objet.
Ec =
2
1
1
× masse (kg) × vitesse (m/s) = mv 2
2
2
Énergie potentielle
Énergie dans une interaction entre objets dépendant de leurs
positions relatives.
Une énergie potentielle correspond à une interaction, càd à une
force.
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Travail (Rappel)
Énergie et Force sont des concepts liés par la notion de travail.
~ s’appliquant sur un objet durant un déplacement
Pour une force F
~
∆x , le travail W est défini par :
~ .∆x
~
W =F
NB : le travail peut être positif (sens de la force dans le sens
du déplacement) ou négatif (sens de la force opposé à celui
du déplacement).
Théorème de l’énergie cinétique
Un travail W correspond à une variation d’énergie cinétique
∆Ec = W
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Systèmes conservatifs ∆Em = ∆Ep + ∆Ec = 0.
Càd systèmes avec seulement des forces associées à des énergies potentielles
Quand il n’y a pas de frottement, ou qu’il est négligeable.
∆Em = ∆Ep + ∆Ec = ∆Ep + W = 0
Donc
∆Ec = −∆Ep
et aussi
∆Ep = −W
Càd, si le système subit un travail positif, son énergie potentielle
diminue : un travail positif W, augmente l’énergie cinétique de la
valeur W et diminue l’énergie potentielle de la valeur W.
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Variation d’énergie potentielle et force
Dans un système conservatif (∆Em = ∆Ep + ∆Ec = 0.)
Prenons un système qui subit un travail W :
∆Ep = −W
On a aussi W = F .dx (ici 1D ).
Donc on a
∆Ep = −W = F .∆x
et on aboutit à la
relation entre la force et la variation de l’énergie potentielle
F =−
∆Ep
∆x
Démonstration rigoureuse ⇒ F = −
dEp
dx
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Relation entre la force et la variation de l’énergie
potentielle
Dans un système conservatif (∆Em = ∆Ep + ∆Ec = 0.)
F =−
dEp
dx
Les forces qui dérivent d’une énergie potentielle
sont appelée
R
forces : conservatives. On a Ep (x ) = − xx0 F (X ).dX
Les forces qui ne dérivent pas d’une énergie potentielle sont
dissipatives, liées à la chaleur, à la non conservation de l’énergie
mécanique.
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Exemple : interaction entre une masse et la Terre
Force de pesanteur
Force de pesanteur : F (x ) = −m.g (avec g = 10 m.s−2 ,
repère positif vers le haut).
Énergie potentielle
de pesanteur définie comme
Rx
Ep (x ) = − F (X ).dX = m.g.x
(Vérifie bien [m.g.x ] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
Que peut-on t’on dire entre F = −m.g et Ep (x ) = m.g.x ?
d
F = −m.g = − dx
(m.g.x )
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Exemple : interaction entre une masse et la Terre
Force de pesanteur
Force de pesanteur : F (x ) = −m.g (avec g = 10 m.s−2 ,
repère positif vers le haut).
Énergie potentielle
de pesanteur définie comme
Rx
Ep (x ) = − F (X ).dX = m.g.x
(Vérifie bien [m.g.x ] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
Que peut-on t’on dire entre F = −m.g et Ep (x ) = m.g.x ?
d
F = −m.g = − dx
(m.g.x )
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Exemple : Énergie potentielle élastique
Force élastique
Force élastique (loi de Hook) : F (x ) = −k(x − x0 ) (repère
suivant direction de déformation, positif x croissant)
Énergie potentielle
élastique définie comme
Rx
Ep (x ) == − F (X ).dX = 12 k(x − x0 )2 .
(Vérifie bien [ 12 k(x − x0 )2 ] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
Que peut-on t’on dire entre F = −k(x − x0 ) et
Ep (x ) = 21 k(x − x0 )2 ?
d 1
F = −k(x − x0 ) = − dx
( 2 k(x − x0 )2 )
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Exemple : Énergie potentielle élastique
Force élastique
Force élastique (loi de Hook) : F (x ) = −k(x − x0 ) (repère
suivant direction de déformation, positif x croissant)
Énergie potentielle
élastique définie comme
Rx
Ep (x ) == − F (X ).dX = 12 k(x − x0 )2 .
(Vérifie bien [ 12 k(x − x0 )2 ] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
Que peut-on t’on dire entre F = −k(x − x0 ) et
Ep (x ) = 21 k(x − x0 )2 ?
d 1
F = −k(x − x0 ) = − dx
( 2 k(x − x0 )2 )
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Exemple : énergie potentielle électrostatique
Force électrostatique
Force électrostatique : F =
qq 0 1
4π0 D x 2 .
Énergie potentielle électrostatique d’une charge q à une
−qq 0 1
distance x d’une charge q 0 définie comme : Ep = 4π
0D x
0
−qq 1
(Vérifie bien [ 4π
] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
0D x
Que peut-on t’on dire entre F =
F =
qq 0 1
4π0 D x 2
0
d −qq 1
= − dx
( 4π0 D x )
qq 0 1
4π0 D x 2
et Ep (x ) =
−qq 0 1
4π0 D x
?
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Exemple : énergie potentielle électrostatique
Force électrostatique
Force électrostatique : F =
qq 0 1
4π0 D x 2 .
Énergie potentielle électrostatique d’une charge q à une
−qq 0 1
distance x d’une charge q 0 définie comme : Ep = 4π
0D x
0
−qq 1
(Vérifie bien [ 4π
] = ML2 /T 2 dimension de l’énergie)
0D x
Que peut-on t’on dire entre F =
F =
qq 0 1
4π0 D x 2
0
d −qq 1
= − dx
( 4π0 D x )
qq 0 1
4π0 D x 2
et Ep (x ) =
−qq 0 1
4π0 D x
?
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Une énergie potentielle est associées aux différentes formes
de forces dépendant d’une position
Energie potentielle élastique = énergie stockée par quelque
chose qui peut s’étirer, se plier : Ep (x ) = 21 k(x − x0 )2
Energie potentielle de gravité : énergie stockée par une masse
dans un champ de gravité Ep (x ) = m × g × x
Energie potentielle électrostatique : énergie stockée entre deux
−qq 0 1
charges électriques q et q 0 : Ep = 4π
0D x
Energie potentielle chimique : énergie stockée dans les liaisons
chimiques et la nature des atomes. Chaque molécule a un
« potentiel chimique »par rapport au potentiel chimique –nul–,
des atomes individuels.
N’ont pas d’énergie potentielle les forces de frottement, les
forces de contact.
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La dynamique via l’énergie
Système conservatif
Ep + Ec = Em = constante
dEp
.∆x
dx
Suivant le sens du déplacement (∆x ) par rapport à la pente de
Ep (x ) l’énergie cinétique augmente ou diminue.
∆Ec = −W = F .∆x = −
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Mouvement dans un paysage de potentiel
Comprendre le mouvement à partir de
∆Ec = −
(F = −
dEp
dx .∆x
dEp
dx )
et
Ep + Ec = constante
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Système conservatif, mouvement à énergie constante (1)
Simulation PhET Energy Skate Park
http://phet.colorado.edu/sims/html/
energy-skate-park-basics/latest/
energy-skate-park-basics_en.html
22
23
Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire et soumis à
l’interaction de ce potentiel ?
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
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Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire et soumis à
l’interaction de ce potentiel ?
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
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Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire et soumis à
l’interaction de ce potentiel ?
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
31
32
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Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire et soumis à
l’interaction de ce potentiel ?
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
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35
Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire et soumis à
l’interaction de ce potentiel ?
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
36
37
Question
On place, sans leur donner de la vitesse , des objets aux positions des points indiqués, que
se passe-t’il ?
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Dérivée de l’énergie potentielle et force
dE Pente raide ( dxp grand)
évolution rapide.
−
dEp
dx
dEp Pente plate ( dx petit )
évolution lente.
donne le sens et l’« intensité » du changement.
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Dérivée de l’énergie potentielle et force (2)
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Système conservatif, mouvement à énergie constante (1)
Simulation PhET Energy Skate Park
41
Système conservatif, mouvement à énergie constante (1)
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Système conservatif, mouvement à énergie constante (2)
43
Système conservatif, mouvement à énergie constante (3)
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Système conservatif, mouvement à énergie constante (4)
45
Système conservatif, mouvement à énergie constante (5)
46
Système conservatif, mouvement à énergie constante (6)
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Question
Soit une fonction énergie
potentielle comme dans le
schéma. Comment va bouger un
corps laché à une position x
arbitraire avec l’énergie
mécanique totale E et soumis à
l’interaction de ce potentiel ? (On
rappelle le système est
conservatif)
1
Rester sur place, à sa position x initiale.
2
Se mettre à bouger vers la droite (abscisse croissante)
3
Se mettre à bouger vers la gauche (abscisse décroissante)
4
Alterner un mouvement de gauche à droite et vice versa
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Système conservatif, mouvement à énergie constante (1)
Simulation PhET Energy Skate Park
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Un nouveau regard sur la dynamique
Le principe de minimisation de l’énergie potentielle
F =−
dEp
dx
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Un système évolue à diminuer son énergie potentielle
Dans un paysage d’énergie potentielle :
Lorsque la pente de Ep est positive (dEp /dx > 0), le système évolue dans
le sens contraire à la pente pour diminuer son énergie potentielle, donc
dans le sens de −dEp /dx .
Lorsque la pente est négative (dEp /dx < 0), le système évolue dans le
sens de la pente qui va vers la diminution de l’énergie potentielle, donc
dans le sens de −dEp /dx .
La conservation de l’énergie mécanique va imposer une poursuite
du mouvement.