A 2002 Math MP 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET

A 2002 Math MP 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve :4 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et quatrième
parties peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.
Le crible d’Ératosthène donne un algorithme qui permet de savoir si un entier est premier ou
non. Il est par suite possible d’indexer la suite des nombres premiers pi,i1,2,:
p12, p23, p35, ...
Dans tout le problème la lettre pest réservée aux nombres premiers. Étant donné un réel x,
sa partie entière xest l’entier nqui vérifie la double inégalité suivante :
xnxn1.
Étant donné un réel x, supérieur ou égal à 2, x2, il existe un entier Négal au rang du
plus grand nombre premier pNinférieur ou égal à x
pNsupppx
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Première partie
Le but de cette partie est de démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée et
d’étudier la nature de la série de terme général 1/pi,i1,2,.
I-1.La suite des nombres premiers est illimitée :
Démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée en considérant, par exemple, pour
nnombres premiers p1,p2, ,pndonnés, l’entier Qdéfini à partir de ces nnombres premiers
par la relation suivante :
Qp1.p2..pn1
i1
npi1.
Dans toute la suite nest un entier supérieur ou égal à 2 n2,sun réel donné strictement
positif s0
I-2.Ensemble Mn:
a. Justifier la relation suivante :
11
ns
1
k0
1
nk s .
b. Soient aet bdeux entiers, différents l’un de l’autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2
(ab,a2, b2) ; démontrer que la série double de terme général ui j,i0,1,2,,
j0,1,2,, défini par la relation suivante
ui j 1
ai s.bj s ,i0,1,2,,j0,1,2,.
est sommable. Déterminer sa somme S.
Soient p1,p2, ,pnles npremiers nombres premiers, Mnl’ensemble des réels obtenus en
considérant tous les produits des réels p1s,p2s,,pnsélevés à des exposants i,
1in, entiers positifs ou nuls.
Mnmmp1s1.p2s2..pnsn,iN.
c. Démontrer que l’application 1,2,...,np1s1.p2s2..pnsn, de Nndans
Mn, est injective. En déduire qu’il est possible d’indexer les réels mdans l’ordre croissant :
l’application imiest strictement croissante de Nsur Mn.
Exemples : écrire la suite des 12 premiers termes de la suite miiNlorsque le réel sest égal
à 1 et l’entier négal à 2 puis à 3.
Il est admis que la série de terme général vi1/mi,iN, est convergente ; sa somme est
désignée par le symbole : 
mMn
m1. Comme le laisse présager l’alinéa b, le résultat plus général
ci-dessous est vrai et est admis :
i1
n11
pis
1
mMn
1
m
i1
1
mi.
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Soit fnla fonction définie sur la demi-droite ouverte 0, par la relation suivante :
fns
i1
n11
pis
1.
Soit Nle rang du plus grand nombre premier inférieur à nNsupipin.
d. Démontrer l’inégalité suivante :
k1
n1
ks
i1
N11
pis
1.
Retrouver, en donnant une valeur particulière au réel s, le résultat : la suite des entiers
premiers est illimitée.
Déterminer, en supposant le réel sinférieur ou égal à 1 0s1, la limite, lorsque l’entier
ntend vers l’infini, de l’expression fnsintroduite ci-dessus.
Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimitée, qu’à tout réel xsupérieur ou
égal à 2 x2, peut être associé un entier Ntel que le réel xsoit encadré par les nombres
premiers pNet pN1:
pNxpN1.
e. Établir, lorsque le réel sest strictement supérieur à 1 s1, l’encadrement ci-dessous :
k1
n1
ks
i1
N11
pis
1
k1
1
ks.
En déduire, pour s1, la limite de l’expression fnsintroduite ci-dessus lorsque l’entier n
tend vers l’infini.
I-3.Série de terme général 1/pi,i1,2,... :
Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme général vi,i1,2,..., défini
par la relation suivante.
viln 1 1
pi.
En déduire la nature de la série de terme général :
wi1
pi,i1,2,....
Quelle conclusion qualitative est-il possible d’en tirer sur la répartition des nombres premiers
?
I-4.Fonction :
Soit la fonction limite de la suite fn. Démontrer que cette fonction, définie d’après la
question I-2.e sur la demi-droite ouverte 1, par la relation ci-dessous, est continûment
dérivable.
s
N
lim 
i1
N11
pis
1
k1
1
ks.
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Deuxième partie
Le but de cette partie est d’établir une majoration du produit des nombres entiers premiers
inférieurs ou égaux à un entier donné net d’encadrer le plus petit commun multiple de tous les
entiers inférieurs ou égaux à cet entier n.
Soit toujours nun entier supérieur ou égal à 2 n2,Nle rang du plus grand nombre
premier inférieur ou égal à n; soit Pnle produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n:
pNnpN1,Pn
i1
Npi.
II-1.Majoration du produit Pndes nombres premiers majorés par un entier n:
a. Construire un tableau donnant pour les valeurs 2, 3, 4 et 5 de l’entier nles valeurs de
N,pN,Pn, 4n.
b. Vérifier que, si l’entier n1 n’est pas premier, l’inégalité Pn4nimplique l’inégalité
Pn14n1.
c. L’entier n1 est premier dans cet alinéa ; justifier l’existence d’un entier mtel que :
2m1n1.
Démontrer que tout nombre premier pcompris entre m2 et n1m2pn1
divise le coefficient du binôme C2m1
m. Établir la majoration suivante :
C2m1
m4m.
En déduire que l’inégalité Pm14m1implique l’inégalité Pn14n1.
d. En déduire, pour tout entier n2, la majoration :
Pn
i1
Npi4n.
Soit dnle plus petit commun multiple de tous les entiers 1, 2, 3,..., n.
II-2.Une expression du p.p.c.m.dn:
Démontrer que le p. p. c. m. dnest égal au produit des nombres premiers pi, inférieurs ou
égaux à l’entier n, élevés à des puissances iégales aux parties entières du rapport lnnsur lnpi;
c’est-à-dire :
pNnpN1,dn
i1
Npi
i, avec : ilnn
lnpi.
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II-3.Une minoration du p.p.c.m.d2n1:
Étant donné un entier nsupérieur ou égal à 2 n2, soit Inl’intégrale définie par la
relation suivante :
In0
1xn1xndx.
a. Démontrer la majoration :
In1
4n.
b. Démontrer que le p. p. c. m. d2n1est divisible par tout entier nk1, lorsque l’entier k
varie de 0 à n0kn. En déduire que le produit d2n1.Inest un entier en considérant, par
exemple, une expression de Inobtenue par développement de 1xn.
Démontrer, à l’aide de la majoration de l’intégrale In, une minoration du p. p. c. m. d2n1.
Troisième partie
Le but de cette partie est d’étudier les deux fonctions et définies ci-dessous pour en
déduire un encadrement à l’infini du réel x.
Pour tout réel xsupérieur ou égal à 2 x2,xest égal au nombre des nombres premiers
inférieurs ou égaux au réel x.
pNxpN1,xN
i1
N1.
Pour tout réel xsupérieur ou égal à 2 x2,xest égal à la somme des logarithmes des
nombres premiers inférieurs ou égaux au réel x.
pNxpN1,x
i1
Nlnpi.
Plus généralement : étant donnée une suite réelle Aakk1, soit HAla fonction définie sur
la demi-droite fermée 1, , par la relation suivante :
HAxest nul sur l’intervalle 1, 2 , égal, pour x2, à la somme des termes de la suite A
dont les rangs sont inférieurs ou égaux au rang Ndu plus grand nombre entier premier inférieur
ou égal à x:
HAx
0, si 1 x2,
k1
Nak, si 2 xet pNxpN1.
III-1.Un résultat auxiliaire :
Préciser, pour une suite Aaii1donnée, sur quels intervalles la fonction HAest continue.
Quels sont ses points de discontinuité ? Préciser en ces points xla valeur de HAxHAx0.
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