Nombres Entiers et Rationnels

Chapitre 1 :
Nombres Entiers et Rationnels
I ) Division euclidienne
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors on dit que :
- a est un multiple de b,
-a est divisible par b,
- b divise a,
- b est un diviseur de a.
Exemple :
6 est un diviseur de 30 car 30=6×5+0 .
Définition :
Un entier est dit premier lorsqu'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont tous les nombres premiers inférieurs à 20.
Critères de divisibilité :
–
Un entier est divisible par 2, si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
–
Un entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
–
Un entier est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0.
–
Un entier est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3.
–
Un entier est divisible par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.
–
Un entier est divisible par 4, si le nombre formé par les deux derniers chiffres est dans la table de 4.
Méthode :
Comment trouver tous les diviseurs de 156 ?
II ) PGCD de deux entiers naturels
Définition :
Le PGCD de deux entiers naturels non-nuls est leur plus grand diviseur commun.
On le note PGCD ( a ; b ).
Exemple :
Le PGCD des nombres 4 et 6 est 2.
Définition :
Lorsque le PGCD de deux nombres est 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux.
Exemple :
Les nombres 3 et 7 sont premiers entre eux.
III ) Applications
A) Simplification de fractions
Définition :
Une fraction est dite irréductible si on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand le PGCD
du numérateur et du dénominateur est 1.
Exemples :
Méthode :
540 n'est pas irréductible, car PGCD (540 ; 720) = 180.
720
3 est irréductible, car PGCD (3 ; 4) = 1.
4
Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction au maximum, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemples :
Simplifions 540 .
720
720=540×1+180
540=180×3+0
Donc, d'après l'Algorithme d'Euclide :
D'où :
PGCD (540 ; 720) = 180.
540 540÷180 3 .
=
=
720 720÷180 4
B) Résolution de problèmes
Application :
Un marchand vient de recevoir 1240 bonbons et 320 chocolats. Il souhaite faire le plus
grand nombre de paquets identiques et en utilisant tous les bonbons et tous les chocolats.
Combien y aura-t-il de paquets ?
Le nombre de paquets identiques correspond au PGCD du nombre de bonbons et de chocolats.
Appliquons l'algorithme d'Euclide :
1240=320×3+280
320=280×1+40
280= 40×7+0
Donc, le PGCD est 40 et le marchand fera au maximum 40 paquets.