Nombres Entiers et Rationnels

Chapitre 1 :
I ) Division euclidienne
Définition : Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors on dit que : - a est un multiple de b,
-a est divisible par b,
- b divise a,
- b est un diviseur de a.
Exemple : 6 est un diviseur de 30 car
30=6×5+0
.
Définition : Un entier est dit premier lorsqu'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont tous les nombres premiers inférieurs à 20.
Critères de divisibilité :
–Un entier est divisible par 2, si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
–Un entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
–Un entier est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0.
–Un entier est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3.
–Un entier est divisible par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.
–Un entier est divisible par 4, si le nombre formé par les deux derniers chiffres est dans la table de 4.
Méthode : Comment trouver tous les diviseurs de 156 ?
Nombres Entiers et Rationnels

II ) PGCD de deux entiers naturels
Définition : Le PGCD de deux entiers naturels non-nuls est leur plus grand diviseur commun.
On le note PGCD ( a ; b ).
Exemple : Le PGCD des nombres 4 et 6 est 2.
Définition : Lorsque le PGCD de deux nombres est 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux.
Exemple : Les nombres 3 et 7 sont premiers entre eux.

III ) Applications
A) Simplification de fractions
Définition : Une fraction est dite irréductible si on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand le PGCD
du numérateur et du dénominateur est 1.
Exemples :
540
720
n'est pas irréductible, car PGCD (540 ; 720) = 180.
3
4
est irréductible, car PGCD (3 ; 4) = 1.
Méthode : Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction au maximum, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Exemples : Simplifions
540
720
.
720=540×1+180
540=180×3+0
Donc, d'après l'Algorithme d'Euclide : PGCD (540 ; 720) = 180.
D'où :
540
720 =540÷180 720÷180 =3 4
.
B) Résolution de problèmes
Application : Un marchand vient de recevoir 1240 bonbons et 320 chocolats. Il souhaite faire le plus
grand nombre de paquets identiques et en utilisant tous les bonbons et tous les chocolats.
Combien y aura-t-il de paquets ?
Le nombre de paquets identiques correspond au PGCD du nombre de bonbons et de chocolats.
Appliquons l'algorithme d'Euclide :
1240=320×3+280
320=280 ×1+40
280=40×7+0
Donc, le PGCD est 40 et le marchand fera au maximum 40 paquets.