Correction DM 4

Mathématiques
L3 MIAGE
Devoir Maison 4 - Corrigé
Exercice : Vrai/Faux
a.
On lance un dé 10 fois de suite. On note X5 (resp. X50 , X10 ) la variable aléatoire du
nombre de 6 obtenus lors des 5 premiers lancers (resp. 5 derniers lancers, 10 lancers).
Alors P(X5 = 2 | X10 = 4) = 11/21.
On considère l’expérience du lancer d’un dé à 6 faces. Alors la variable aléatoire qui
vaut 1 si on obtient un 6 (succès) et 0 sinon (échec) suit une loi de Bernouilli de
paramètre 1/6 puisqu’on a une chance sur 6 d’obtenir un 6.
Dans ce cas, la variable aléatoire X5 (resp. X50 et X10 ) compte le nombre de succès
sur 5 (resp. 5 et 10) répétitions, indépendantes les unes des autres, de l’expérience
précédente. Elle suit donc une loi binomiale B(5, 1/6) (resp. B(5, 1/6) et B(10, 1/6)).
P(X5 = 2 | X10 = 4) =
P(X5 = 2 ∩ X10 = 4)
.
P(X10 = 4)
On peut déjà calculer le dénominateur, puisque X10 ∼ B(10, 1/6) :
!
P(X10 = 4) =
4
10
1
×
4
6
1
× 1−
6
!
6
=
10
1 56
× 4× 6 =
4
6
6
!
10
56
56
× 10 = 210× 10 .
4
6
6
L’événement X5 = 2 ∩ X10 = 4 est réalisé si et seulement si lors des 5 premiers lancers,
le dé est tombé exactement deux fois sur 6, et si au total, sur les 10 lancers, il y est
tombé 4 fois. Cela revient exactement à dire que sur les 5 premiers lancers et sur les
5 derniers lancers, il est tombé deux fois sur 6 : c’est l’événement X5 = 2 ∩ X50 = 2.
Vu que les cinq premiers lancers sont indépendants des 5 derniers (vu que tous les
lancers sont indépendants les uns des autres), on peut finir de calculer :
P(X5 = 2 ∩ X10 = 4) = P(X5 = 2 ∩ X50 = 2) = P(X5 = 2) × P(X50 = 2).
Enfin, X5 et X50 suivent chacune une loi binomiale de paramètres 5 et 1/6, d’où :
!
P(X5 = 2) =
P(X50
= 2) =
5 1 53
53
=
10
×
.
2 62 63
65
Finalement, on regroupant les résultats et calculant :
53
53
×
10
×
65
65 = 100 = 10 6= 11 .
6
210
21
21
5
210 × 10
6
10 ×
P(X5 = 2 | X10 = 4) =
FAUX.
b.
Dans une population, 1% des gens mesurent plus de 1,92m. Vous souhaitez alors vérifier
cela sur une échantillon de 200 personnes choisies au hasard.
Le nombre de personnes de plus de 1,92m dans l’échantillon peut alors être approximé
par une loi de Poisson de paramètre 2.
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On appelle succès le fait de mesurer plus de 1,92m, et on note X la variable aléatoire
du nombre de succès sur 200 personnes choisies au hasard. Dans ce cas, regarder
200 personnes, de façon indépendante, et compter le nombre de personnes de plus de
1,92m consiste à répéter 200 fois l’expérience qui consiste à choisir une personne au
hasard, et à regarder si c’est un succès ou non. Sachant qu’1% des gens mesurent plus
d’1,92m, on obtient que X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0, 01.
Or, on peut approximer une loi binomiale B(n, p) par une loi de Poisson P(np), et
ce sera une bonne approximation si n > 50 et np < 5. Or ici 200 > 50 et np =
200 × 0, 01 = 2 ce qui est bien inférieur à 5. On peut donc bien approximer par une
loi de Poisson de paramètre 2.
VRAI.
c.
Un ascenseur dessert les 10 étages d’un immeuble, 12 personnes le prennent au rez-dechaussée et chacune choisit un des 10 étages au hasard.
L’ascenseur s’arrêtera, en moyenne, à environ 7 étages différents.
On note Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si au moins une personne s’arrête à l’étage
i et 0 sinon (personne ne s’arrête). Dans ce cas, personne ne s’arrête correspond à
aucune des 12 personnes n’a choisi l’étage i, c’est à dire chacune des 12 personnes a
choisi un des 9 autres étages. On obtient donc que pour tout 1 ≤ i ≤ 10 :
P(Xi = 0) =
9
10
12
et P(Xi = 1) = 1 −
9
10
12
.
On reconnaît alors que, pour tout 1 ≤ i ≤ 10 :
Xi ∼ B(1 − (
9
9 12
) ) et donc, E[Xi ] = 1 − ( )12 .
10
10
Le nombre moyen d’étages différents auxquels l’ascenseur s’arrête vaut alors E[X1 +
X2 + . . . + X10 ]. Or l’espérance est linéaire même si les variables aléatoires ne sont
pas indépendantes.
E[
10
X
1
Xi ] =
10
X
1
E[Xi ] =
10
X
(1 −
1
9
10
12
) = 10 × (1 −
9
10
12
) ≈ 7, 17.
VRAI.
d.
Sur une certaine portion d’autoroute, il y a en moyenne 2 accidents par semaine. On
suppose donc que le nombre d’accidents sur cette autoroute suit une loi de Poisson.
La probabilité qu’il se passe 2 semaines sans accident vaut e−2 .
On note X la variable aléatoire du nombre d’accidents en 2 semaines sur cette portion
d’autoroute. Vu que le nombre d’accidents en une semaine suit une loi de Poisson, X
en suit aussi une (allongement de la durée). Etant donné qu’il y avait en moyenne 2
accidents par semaine, il y en a donc en moyenne 4 en 2 semaines. X suit donc une
loi de Poisson de paramètre 4.
On cherche alors la probabilité qu’il n’y ait pas d’accidents en 2 semaines, c’est à dire
la probabilité de l’événément X = 0, pour cela on peut utiliser les formules pour la
loi de Poisson :
40
P(X = 0) = e−4 ×
= e−4 × 1 = e−4 6= e−2 .
0!
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FAUX.
e.
Un flux de données arrive sur un routeur. On suppose que leurs temps d’arrivée peuvent
être modélisés par une loi de Poisson, avec un taux de 0, 3 paquets par seconde.
La probabilité qu’on reçoive au moins un paquet sur un intervalle d’une seconde vaut
alors exactement e−0,3 .
On note X la variable aléatoire du nombre de paquets qui arrivent en une seconde.
D’après l’énoncé, elle suit une loi de Poisson, et vu que le taux est de 0, 3 paquets par
seconde, son paramètre est 0, 3. On s’intéresse ici à l’événement X ≥ 1. Pour pouvoir
le calculer, il faut passer au complémentaire qui est ici X < 1, c’est à dire X = 0,
puisqu’on ne peut pas recevoir moins de 0 paquets.
−0,3
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e
0, 30
×
0!
!
= 1 − e−0,3 6= e−0,3 .
FAUX.
f.
Deux dés, l’un à 6 faces et l’autre à 10 faces, sont jetés de manière successives, et on
s’intéresse à X (resp. Y ) la variable aléatoire du nombre de lancers effectués jusqu’à
obtenir un 2 avec le dé à 6 faces (resp. 10 faces).
Il faut en moyenne effectuer environ 3 lancers des dés avant qu’un 2 apparaissent sur
l’un des dés.
On note Z la variable aléatoire du nombre de lancers effectués pour obtenir un 2 avec
l’un des deux dés. Il y a alors deux façons de procéder :
Par le minimum :
Par définition, on a Z = min(X, Y ). Or X (resp. Y ) suit une loi géométrique
(vu qu’on s’intéresse au nombre d’essais avant succès (ici obtenir un 2), sur des
répétitions indépendantes d’une même expérience (lancer de dé à 6 faces, resp.
10 faces)), de paramètre pX = 1/6 (resp. pY = 1/10) vu que p représente la
chance de succès sur une seule répétition, et que le succès a 1 chance sur 6 (resp.
sur 10) d’avoir lieu vu que le dé a 6 (resp. 10) faces.
Or, le minimum de deux lois géométriques suit une loi géométrique, et on a même
une formule pour calculer ce paramètre :
1
1
5 9
45
15
1
pZ = 1 − (1 − pX )(1 − pY ) = 1 − (1 − )(1 − ) = 1 − ×
= 1−
=
= .
6
10
6 10
60
60
4
Par calcul direct :
Z compte ici le nombre d’essais avant succès, sachant que chacun de ces essais
est indépendant. Z suit donc une loi géométrique, et son paramètre pZ est la
probabilité de succès sur un essai. Or, un succès signifie l’un des dés est tombé
sur un 2. On peut alors noter S6 (resp. S10 ) l’événement “obtenir un 2 avec le
dé à 6 (resp. 10) faces”, ces deux événements étant indépendants. Dans ce cas :
pZ = P(S6 ∪S10 ) = P(S6 )+P(S10 )−P(S6 ∩S10 ) = P(S6 )+P(S10 )−P(S6 )×P(S10 )
=
1
1
1
10
6
1
15
1
1
+
− ×
=
+
−
=
= .
6 10 6 10
60 60 60
60
4
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Dans les deux cas, le nombre moyen d’essais avant succès est l’espérance.
E[Z] =
1
= 4.
1
4
FAUX.
g.
On note X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(4, 1/2).
Le graphique ci-dessous est sa fonction de répartition.
F (x)
0, 9125
0, 825
0, 75
0, 5
0
1
2
3
x
Si X suit une loi binomiale B(4, 1/2), on a F (0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0). On peut
donc calculer cette valeur :
!
P(X = 0) =
4
×
0
0
1
2
1
× 1−
2
4−0
4
=1×1×
1
2
=
1
1
=
= 0, 0625.
4
2
16
Or 0, 0625 6= 0, 5, donc le graphique ne peut pas correspondre à la fonction de répartition de X.
FAUX.